概率中需要澄清的两个问题&说说“互斥事件”和“相互独立事件”的那点事-《中学生数理化》高一数学2026年5月刊

中学生数理化 知识结构与拓展 高-数学2026年5月 概率中需要溍 ■甘志国 一、当P(AB)=0,即P(A+B)= P(A)十P(B)时，不能得到A,B互斥 由数学必修（第二册）第241页性质 6:P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB),可 知P(AB)=0,则P(A十B)=P(A)+ P(B)。 若A,B互斥，则P(AB)=0。但是，若 P(AB)=0,能得出A,B互斥吗？ 实际上，在古典概型中，能得出A,B互 斥。由P(AB)=0,可得AB=心，因此A,B 互斥。 而在几何概型中是不正确的。比如，假 设一质点T可随机地落在区间[0,2]上，记 “质点T落在区间[0,2]的中点1上”为事件 A,“质点T落在区间「0,2门上”为事件B,则 AB=A,P(AB)=P(A)=0。而A,B可以 同时发生，所以A,B不互斥。 二、“独立”不一定“互斥”，“互斥”也不一 定“独立” 例1甲坛子里有3个白球，2个黑球； 乙坛子里有2个白球，2个黑球。从这两个 坛子里分别摸出1个球。记“从甲坛子中摸 出白球”为事件A,“从乙坛子中摸出白球”为 事件B,请判断两个事件A,B是否独立，是 否互斥。 解：曲题意得P(A)=号，P(B)=子 合P(AB)-名程-品所以P(AB) P(A)P(B),即A,B相互独立。因为A,B 能同时发生，所以A,B不互斥。 事实上，2和A(A≠⑦)相互独立且不 互斥，因为P(2A)=P(A)=P(2)P(A), 2A=A≠⑦。 例2(1)设3张票中只有1张是奖票， 甲、乙两人按先后顺序轮流不放回抽1张票。 记“甲抽到奖票”为事件A,“乙抽到奖票”为 事件B,请判断两个事件A,B是否独立，是 否互斥。 6 清的两个问题 (特级教师) (2)设3张票中只有2张是奖票，甲、乙 两人按先后顺序轮流不放回抽1张票。在这 个问题中，记“甲抽到奖票”为事件A,“乙抽 到奖票”为事件B,请判断两个事件A,B是 否独立，是否互斥。 解：(1)由题意得P(A)=3,P(B)= 号=日，P(AB)=P()=0,所以 P(AB)≠P(A)P(B),即事件A,B不相互 独立。因为A,B不能同时发生，所以A,B 互斥。 (2)由题意得P(A)=2 =3,P(B)=2X2 3×2 号P(AB)-日所以P(AB) 2 P(A)P(B),即两个事件A,B不相互独立。 因为A,B能同时发生，所以A,B不互斥。 例3判断两个事件⑦，A是否独立，是 否互斥。 解：因为P(☑A)=P(☑)=0=P(☑)· P(A),所以事件心，A相互独立。 由⑦A=⑦，可得两个事件⑦，A互斥。 友情提醒：例1、例2(1)、例2(2)及例3 分别给出了两个事件独立但不互斥、互斥但 不独立、不独立且不互斥、独立且互斥的具体 实例。 三、介绍一个定理及其推论 定理：若两个事件A,B既互斥又相互独 立，则P(A)=0或P(B)=0。 推论：在古典概型中，两个事件A,B既 互斥又相互独立的充要条件是A=⑦或B= 0。 基金项目：本文系北京市教育学会“十三 五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考 研究”（课题编号FT2017GD003,课题负责 人：甘志国)阶段性研究成果之一。 作者单位：北京市丰台区第二中学甘志国 特级教师工作室 (责任编辑王琼霞) 互斥事件是指两个不能同时发生的事 件；相互独立事件是指两个互不影响的事件， 它们可以同时发生，也可以同时不发生或一 个发生另一个不发生。互斥事件也称和事 件。若事件A与B互斥，则P(A+B)= P(A)+P(B),该公式叫概率的加法公式。 特别地，当事件A与B必有一个发生，即它 们对立时，P(A)=1一P(B)。相互独立事件 也称积事件，若事件A与B相互独立，则它 们同时发生的概率P(AB)=P(A)P(B), 该公式叫概率的乘法公式。下面就互斥事件 和相互独立事件的有关题型进行举例分析。 一、互斥（对立）事件与相互独立事件的 判断 例1甲、乙两人各投掷一枚质地均匀 的正四面体骰子，正四面体骰子的面上分别 标记数字1,2,3,4，分别观察骰子底面上的 数字，下列说法错误的是()。 A.事件“甲投得骰子底面数字是1”的概 案为1 4 B.事件“甲投得骰子底面数字是奇数”与事 件“甲投得骰子底面数字是偶数”是对立事件 C.事件“甲投得骰子底面数字是1”与事 件“乙投得骰子底面数字是2”是互斥事件 D.事件“甲投得骰子底面数字是4”与事 件“乙投得骰子底面数字是4”是相互独立 事件 分析：根据对立事件、互斥事件及相互独 立事件的定义进行判断。 解：对于A,正四面体骰子质地均匀，每 个面朝下（底面数字）的概率相等，均为，故 1 甲投得数字是1的概率为，A正确。对于 B,“甲投得奇数”与“甲投得偶数”的并集为所 有可能结果（全集），交集为空集，即二者不能 同时发生，且必有一个发生，因此是对立事 件，B正确。对于C,互斥事件要求不能同时 发生，但甲投得数字1与乙投得数字2是两 个相互独立事件，可以同时发生，故不是互斥 事件，C错误。对于D,相互独立事件的定义 是P(AB)=P(A)P(B),甲投得数字4的概 资一数识结抽氧折骨中学生教理化 说说“互斥事件”和 “相互独立事件”的那点事 ■裴发德 率为子，乙投得数字4的概率也为子，且甲、 1 1 乙都投得数字4的概率为4×4=16，所以 P(AB)=P(A)P(B),符合相互独立事件的 定义，D正确。应选C。 评注：要判断两个事件是不是互斥事件， 只需要分别找出各个事件包含的所有结果， 看它们之间能不能同时发生。在互斥的前提 下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从 而可判断是否为对立事件。判断两个事件相 互独立的两种方法：直接法，即根据事件本身 的性质，判断两个事件的发生是否相互影响； 公式法，即若P(AB)=P(A)P(B),则事件 A,B为相互独立事件。 二、互斥（对立）事件的概率计算 例2某人射击1次命中7~10环的概 率如表1所示。 表1 命中环数 7 8 9 10 命中概率 0.23 0.27 0.19 0.16 (1)求射击1次，至少命中7环的概率。 (2)求射击1次，命中不足7怀的概率。 分析：(1)利用互斥事件的概率加法公式 求相应的概率。(2)利用对立事件的概率之 间的关系，求对应事件的概率。 解：(1)记射击1次命中k环为事件A, k∈N,k≤10，则事件Ak彼此互斥。 记射击1次至少命中7环为事件A,则 P(A)=P(A:)+P(A:)+P(A)+P(Ai) =0.23+0.27+0.19+0.16=0.85。 (2)记射击1次命中不足7环为事件B。 因为事件A,B对立，所以P(B)=1一P(A) 知识结构与拓展 中学生数理化高数学02年5月 =1-0.85=0.15。 评注：互斥事件概率的两种求法：将所求 事件分解为一些彼此互斥事件，运用互斥事 件的概率加法公式求解：找出所求事件的对 立事件，利用公式P(A)=1一P(A)求解。 三、相互独立事件的概率计算 例3甲、乙两人参加面试，每人需回答 2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概 率都是0.7，乙答对每道题目的概率都是 0.6,不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两 人答题互不影响。 (1)求甲只答对第二题的概率。 (2)求甲、乙两人答对题目数之和为1的 概率。 分析：(1)根据相互独立事件的概率乘法 公式求解。(2)利用相互独立事件，以及互斥 事件的概率性质求解。 解：(1)设事件A=“甲只答对第二题”， 则P(A)=(1一0.7)×0.7=0.21。 (2)记事件B=“甲只答对一道题”，C= “乙只答对一道题”，D=“甲两道题都答错”， E=“乙两道题都答错”，则P(B)=0.7× (1-0.7)+(1-0.7)×0.7=0.42,P(D)= (1-0.7)×(1-0.7)=0.09,P(C)=0.6× (1-0.6)+(1-0.6)×0.6=0.48,P(E)= (1-0.6)×(1-0.6)=0.16。 记事件F=“甲、乙两人答对题目数之和 为1”。因为事件B,E相互独立，事件C,D 相互独立，所以P(F)=P(BE)十P(CD)= P(B)P(E)+P(C)P(D)=0.42×0.16+ 0.09×0.48=0.1104。 评注：求相互独立事件同时发生的概率， 先要确定各事件之间是相互独立的，然后求 出每个事件的概率，最后求概率之积。使用 相互独立事件同时发生的概率计算公式时， 一定要注意各个事件是相互独立的。 四、复杂事件的概率计算 例4甲、乙两名同学为了参加“一二· 九运动”相关体育比赛，赛前两人进行跳绳、 踢键球和长跑的专项对抗练习。在这三个项 目中，甲获胜的概率分别为0.6,0.5,0.7，且 各项目的对抗练习结果相互独立，则甲恰好 8 在两个项目中战胜乙的概率为( )。 A.0.44 B.0.45 C.0.46 D.0.47 分析：结合对立事件、互斥事件、相互独 立事件的概率公式求解。 解：记三个项目中，甲获胜分别是事件 A,B,C,则P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(C) =0,7,所以P(A)=1-0.6=0.4,P(B)=1 -0.5=0.5,P(C)=1-0.7=0.3。 由题意知事件“甲恰好在两个项目中战 胜乙”即为事件ABCUABCUABC。 因为事件ABC,ABC,ABC两两互斥， 所以P(ABCUABCUABC)=P(ABC)+ P(ABC)+P(ABC)。 因为各项目的对抗练习结果相互独立， 所以A,B,C相互独立，所以P(ABC)= P(A)P(B)P(C)=0.4×0.5×0.7=0.14, P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.6×0.5× 0.7=0.21,P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= 0.6×0.5×0.3=0.09,所以P(ABCUABCU ABC)=0.14+0.21+0.09=0.44。应选A。 评注：求复杂事件的概率问题，先要将整 个事件拆分成若干个“小事件”，并用适当的 符号表示，判断“小事件”间的相互关系，计算 每个“小事件”发生的概率，然后应用相互独 立事件同时发生的概率乘法公式和互斥事件 的概率加法公式计算即可。 如图1，某电子元 件由A,B,C三种部 件组成，现将该电子 元件应用到某研发设 备中，经过反复测试， 图1 A,B,C三种部件能正常工作的概率分别为 5,4,3,各个部件是否正常工作相互独立， 432 则该电子元件能正常工作的概率为一。 提示：答案为铝 作者单位：甘肃省靖远县第二中学 (责任编辑王琼霞)