聚焦五种正多面体问题-《中学生数理化》高一数学2026年4月刊

商一黄学职结胸军拓骨中学生款理化 聚焦五种正多面体问题 ■程凡 正多面体是指多面体的各个面都是全等 AB1C1D,的棱长为1，M是线段DD1的中 的正多边形，并且各个多面角都是全等的多 点，则( 面角。其中面数最少的是正四面体，面数最 多的是正二十面体。正多面体有且仅有五 种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正 十二面体、正二十面体。 聚焦一：正四面体 D 例1如图1所示，正四面体ABCD的 表面积为S,其内切球的表面积为S,则 : B 图2 A.A1B1∥平面BC,M B.B1D1与BC1所成的角为60° C.平面A1B,D⊥平面BC1M D.三棱维CBCM的体积为立 解：对于A,取AD的中点N,则平面 MNBC1即为平面BC1M。因为AB∥A1B1, 图1 AB∩平面BC,MN=B,所以A错误。对于 B,因为AD1∥BC1,所以∠AD1B,(或其补 解：设正四面体的棱长为a。因为正四 角)即为异面直线B,D,与BC1所成的角。 面体的表面积为S,所以S,=4×1 因为△AD1B1是正三角形，所以∠AD1B,= =√3a。易得正四面体的高h=AO= 60°，B正确。对于C,平面AB,D即为平面 A1B,CD,因为AD1⊥A1D,所以BC⊥ √AB2-BOF= 、、g2z》= 3a。 A1D。由正方体的性质得A1B:⊥平面 BB1C1C,因为BC1C平面BB1C1C,所以 设正四面体的内切球的半径为r,则正 AB1⊥BC1。因为A1D∩A1B,=A1,A1D, 四面体的体积V= 4 3a=3 A,B,二平面AB,D,所以BC1⊥平面 AB1D。又BC,二平面BC,M,所以平面 √3a×r,解得r= √6 12a,所以S:=4r2= ABD⊥平面BC1M,C正确。对于D, ra? 6,所以二13a=6√3 Veaw=Va6=日×1x3×1x1= π 6,D πa 6 错误。应选BC。 评注：正四面体的四个面是全等的等边 评注：对于空间问题，要熟记作图规则， 三角形，其内切球与外接球的球心重合，且外 正确识别立体图形。 接球的半径是内切球半径的3倍，内切球与 聚焦三：正八面体 外接球的半径和等于正四面体的高。 例3如图3，正八面体ABCDEF的12 聚焦二：正六面体 条棱长相等，则二面角E-AB-F的余弦值为 例2（多选题）如图2，正方体ABCD 17 中学生表理化贺识皱种与拓年1月 图4 A.2π B.4π 图3 C.8π D.12π 解：设AC与BD的交点为O,AB的中 解：正十二面体在每个顶点有3个面角， 点为G。根据正八面体的几何特征，可知E 过点O,且EG⊥AB,FG⊥AB。因为EGC 每个面角足要，所以正十二面体在各顶点的 平面ABE,FGC平面ABF,平面ABE∩平 3π= 曲率为2π一3×5一5。因为正十二面体有 面ABF=AB,所以∠EGF为二面角E-AB F的平面角。 20个顶点，所以其总曲率为20×号=4x。应 在正八面体中，因为EF⊥平面ABCD, 选B。 ACC平面ABCD,所以EF⊥AC,所以 评注：正十二面体共有20个顶点，30条 △AOE是直角三角形。设正八面体的棱长 棱和12个面，而每一个面皆是正五边形。 为2，则AO=2,AE=2,所以OE=√2，所 聚焦五：正二十面体 以EF=2√2。在△AEB中，可得EG= 例5已知正二十面体是由20个等边三 AB=B。同理得GF=5。 角形所组成的正多面体，共有12个顶点，30 2 条棱，20个面，正二十面体的体积公式为V= 在△EGF中，由余弦定理得cos∠EGF 15+5W5 =EG+FG-EF23+3-8 1 12 2a(其中a为棱长)。已知一个正二 2·EG·FG 2X3×3=-3· 十面体各棱长之和为303，则该正二十面体 评注：正八面体是由8个等边三角形构 内切球的半径是( )。 成，也可以看作是由两个棱长都相等的四棱 A.3+5 B.3+⑤ 锥构成。 2 4 聚焦四：正十二面体 C.3+5 例4刻画空间的弯曲性是几何研究的 6 重要内容。用曲率刻画空间的弯曲性，规定： 解：由题意知正二十面体的棱长a=√3。 多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点 设正二十面体内切球的半径为x,正二十面 的面角之和的差（多面体的面的内角叫作多 体是由20个相同的正三棱锥构成，正三棱锥 面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非 的高即为正二十面体内切球的半径，所以 顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该 20××。×r-155.。解得r 多面体各顶点的曲率之和。例如：正四面体 12 在每个顶点有3个面角，每个面角是否，所以 3+√5 。应选B。 4 评注：正二十面体的外接球、内切球、内 正四面体在各顶点的曲率为2元一3×号=元， 棱切球都存在，并且三球的球心重合。 其总曲率为4π。如图4所示的正十二面体 作者单位：湖北省巴东县第三高级中学 的总曲率为( )。 (责任编辑王琼霞) 18