聚焦线面角的应用问题-《中学生数理化》高一数学2026年4月刊

资一数型识锁物室预骨中学生表理化 聚焦线面角的应用问题 ■程阳阳 平面上的一条斜线和它在平面上的射影 为1和2，且圆台的母线与底面所成角的大小 所成的角叫作这条直线和这个平面所成的 4,则圆台的体积是( 为 )。 角简称线面角其范国是0，]。 下面例析 线面角的应用。 A.号 B爱 一、求圆锥的母线长 D.3π 例1已知圆锥的表面积为9π，母线与 底面所成的角为60°，则该圆锥的母线长是 解：已知圆台的上、下底面半径分别为1 ()。 和2，圆台的母线与底面所成的角为不，设圆 A.√2 B.√3C.2√2 D.2√3 台的高为h,可得母线长1=√2h。因为 解：设圆锥的母线长为1，底面半径为r。 L·cos60°=r, r=√3， √(w2h)”一(2一1)2=h,所以h=1。由圆台 由题意得 解得 所以 xrl十xr2=9π，" l=2√3， 的体积公式得V-号x(1+1×2+2)X1 该圆锥的母线长为2√。应选D。 3。应选B。 7 评注：圆锥的母线、高和底面圆的半径构 成直角三角形。 二、求体积 评注：圆台的休积V=子(S:+S,十 例2已知圆台的上、下底面半径分别 VSI ST)h 面垂直的目的。证明面面垂直的关键是寻找 解：对于A,平行于同一个平面的两条直 “线面垂直”。 线的位置关系有相交、异面、平行，因此不 三、借助面面平行的性质证明面面垂直 定是互相平行，A错误。对于B,垂直于同一 对于两个平行平面，如果其中一个平面 条直线的两条直线的位置关系有平行、相交 与第三个平面垂直，那么另一个平面也与第 异面，因此不一定是互相平行，B错误。对于 三个平面垂直。 C,在正方体ABCD-A,B,C,D1中（图略），平 例3在空间中，下列说法正确的是 面A,B,BA⊥底面ABCD,平面B,C1CB⊥ ）。 底面ABCD,则平面A1B1BA与平面 A.平行于同一个平面的两条直线互相平 B1C1CB相交于B1B,C错误。对于D,符合 行 面面平行的性质，D正确。应选D。 B.垂直于同一条直线的两条直线互相平 行 评析：本题主要考查直线与直线、直线与 C.两个平面与第三个平面垂直，则这两 平面，以及平面与平面的平行与垂直关系。 个平面互相平行 解题时，需逐一剖析并论证各个关系。 D.两个平行平面中的一个与第三个平面 作者单位：浙江省绍兴鲁迅高级中学 垂直，则另一个也与第三个平面垂直 （责任编辑王琼霞) 21 知识结构与拓展 中学生教理化高数学2026年4月 三、求异面直线的夹角 例3如图1所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1=2,CD1和A1D与底面 所成的角分别为30°和45°，则异面直线BC 与BD所成角的余弦值是( )。 D 图2 =60°，所以点O在AC上。因为DO⊥平面 ABC,DO二平面ACD,所以平面ACD⊥平 D 面ABC,所以当AD与平面ABC所成的角 为60°时，二面角D-AC-B的大小为90°。 图1 评注：从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫作二面角。二面角的平面角a 4.③ C. D.5 的取值范围为[0，π]：二面角的平面角不是唯 解：因为CD1和A1D与底面所成的角 一的，但大小是确定的。 分别为30°和45°，所以∠D1CD=30°， 五、求直线到平面的距离 ∠A1DA=45°。因为AA1=2,所以 例5如图3，已知四棱锥P-ABCD,底 面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°， an∠D,CD-0-给-g所以CD PB⊥CD,PB与底面ABCD所成的角为 2V5。因为1an∠A,DA=AA=1,所以AD 60°，PB=2,则CD到平面PAB的距离是 AD ()。 =2。在长方体ABCD-AB,C,D中，因为 BD∥B,D1,所以∠CB,D,就是异面直线 B,C与BD所成的角（或其补角）。易得B1C =W√4+4=2√2，B1D1=√4+12=4，CD1= √4+12=4。在△CB,D1中，由余弦定理得 cos∠CB,D,=8+16-16=2 2×22×4=4。应选B。 图3 1 评注：求异面直线所成角的三个步骤：构 A.2 B.1 C.3 2 D 造角，计算角，确定角。 解：依题意得点P到平面ABCD的距离 四、求二面角 h=2sin60°=√3。 例4在矩形ABCD中，AD=1,AB= 由PB⊥CD,可得AB⊥PB,所以S△PAB √3，沿AC将此矩形折成一个二面角，折后 AD与平面ABC所成的角为60°，则折得的 =2×2×2=2,S64m= 1 2 ×2×2sin60°= 二面角D-AC-B的大小是_。 √3。设点D到平面PAB的距离为d,由 解：由题意可知，沿AC将此矩形折成一 VD-PAB=VP-ABD,可得2d=√3X√3，所以d= 个二面角，如图2所示。作DO⊥平面ABC 3 于点O,连接AO,则∠DAO=60°。 乞。因为CD∥平面PAB,所以CD到平面 在直角三角形DAC中，因为tan∠DAC PAB的距离即为点D到平面PAB的距离， DC AD =3,所以∠DAC=60。结合∠DAO 为受，应选D。 22 资一数型识糖物室预骨中学生表理化 评注：CD到平面PAB的距离，需满足 CD∥平面PAB。 B 六、求点到平面的距离 例6如图4，在四棱锥P-ABCD中， G PA⊥平面ABCD,PA=BC=1,AD=2, PB与平面ABCD所成的角为天，底面 D 图5 ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ABC= (1)若EF∥平面ABC,求证：F为AD 2 的中点。 则点A到平面PBC的距离是_。 (2)若直.线AB与底面BCDE所成的角 P 为45°，求点D到平面ABC的距离。 提示：(1)过点F作FG∥CD交AC于 G,则FG∥EB。因为EF∥平面ABC,所以 EF∥BG,所以四边形BEFG是平行四边形。 又因为BE∥CD,BE=2CD,所以FG∥ 图4 CD,FG=2CD,所以F为AD的中点. 解：在平面PAB内，过A作AE⊥PB, 垂足为E。因为PA⊥平面ABCD,所以 (2)由已知得∠ABE即为直线AB与底 ∠PBA就是PB与平面ABCD所成的角，所 面BCDE所成的角，所以∠ABE=45°，所以 AE=BE=1。 以∠PBA=开。 因为AE⊥底面BCDE,DEC平面 因为AB,BC二平面ABCD,所以PA⊥ BCDE,所以AE⊥DE。同理得AE⊥CD, AB,PA⊥BC。又PA=1,所以AB=1,PB 则AE⊥平面BCD。在Rt△AED中，可得 =反，AE=名PB=号 DE=√3。所以VAD= 3XS△eD X AE→ 因为∠ABC=艺，所以BC⊥AB。因为 号×号×2x×1= 3 AB∩PA=A,AB,PA二平面PAB,所以 因为CD⊥DE,DE∩AE=E,所以CD⊥平 BC⊥平面PAB。又AE二平面PAB,所以 面ADE。因为ADC平面AED,所以CD⊥AD BC⊥AE。 所以AC=2√2。易得AB=√2，BC=2,结合余弦 因为AE⊥PB,BC∩PB=B,BC,PB 定理得cos∠BAC= 2+8一4 C平面PBC,所以AE⊥平面PBC,所以AE 2×√2×2√2 4,所以 即为点A到平面PBC的距离，即AE=2 2 n∠BAC= 牙所以sa-号×巨×2后×号 评注：点到平面的距离是指该点和经过 。设点D到平面ABC的距离为h,由等体 7 该点与平面垂直的直线与平面的交点之间的 距离。 2h 积法得VVAn,即大、 3,解得力 收格号限是 -2② 如图5，四棱锥A-BCDE中，AE⊥底面 7 ,即点D到平面ABC的距离为22I 7 BCDE,底面BCDE是直角梯形，BE∥CD, 作者单位：湖北省巴东县第三高级中学 ∠BED=90°，AD=CD=2BE=2。 (责任编辑王琼霞) 23