【天壹试题】2025-2026学年高二下学期5月校内检测数学试题

高二5月校内检测 数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.函数y=x2十1在区间[1,3]上的平均变化率是 A.-2 B.2 C.4 D.-4 2.已知随机变量X服从两点分布，E(X)=0.6,则其成功概率为 A.0.3 B.0.6 C.0.5 D.0.4 3.3名同学分别报名参加学校的舞蹈社团、书法社团、乒乓球社团、辩论社团，每人限报其中 的一个社团，则不同的报名方法种数是 A.64 B.12 C.9 D.81 4.已知数列{an}为等差数列，若an十am+1十an+2=6n十3，则a1o= A.15 B.19 C.17 D.21 5.已知函数f(x)=lnx十ax的极值为一1，则实数a= A.-e B.-2 C.-1 D.-3 6.某养猪场圈养了1000头小猪，计划半年后出栏，根据经验，该品种的猪生长半年后达到 的重量X(kg)服从正态分布V(100,5),当猪的重量大于90kg时，即可出栏，则半年后 即可出栏的猪的数量约为 (参考数据：若X~V(H,o),则P(一o≤X≤H十o)=0.6827,P(u-2o≤X≤H十2o)= 0.9545) A.977 B.683 C.841 D.955 【高二数学第1页（共4页）】 7.以A,B分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若P(A)=0.2,P(B)= 0.1,P(AB)+P(BA)=0.75,则这两个村庄同时发生停电事件的概率为 A.0.03 B.0.05 C.0.06 D.0.04 8已知椭圆兰+若=1(a>b>0)的上、下焦点分别为乃，5，且循圆上存在点P,使得 |PF=7PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是 A(是 B(o,] c(o,】 D.[) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法正确的是 A.已知C2=C5,则x的可能取值为6 B.已知C2=C%5,则x的可能取值为7 c在(月 的二项展开式中，常数项是210 D在( 1) 的二项展开式中，常数项是45 10.已知直线1：x-√3y+3=0和圆C:(x一1)2+y2=2(r>0),则 A.直线1的倾斜角为否 B.直线l在x轴上的截距为3 C.若直线1被圆C所截得弦长为2，则r=√5 D.若圆C上的点到直线l的距离的最小值为1，则r=√2 11.已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q,记数列{an}的前n项积为Tm,且T9>1, T20<1,则下列正确的是 A.q>1 B.a9>1 C.当n=10时，Tn取最大值 D.a10十a11-1>a1oa11 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若A=C”2+6,则n= 13.已知双曲线C的左焦点为F(一2,0)，其中一条渐近线过点（√3,3），则双曲线C的标准 方程为 14.已知函数f(x)=(1一x)e,点(a,b)在曲线y=f(x)上，则f(a)一f(b)的最大值为 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点M(1,2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A,B两点，求线段AB的长度 16.(本小题满分15分) 已知数列a.清足：a=1.S-号 2 30n+1. (1)证明：数列{an}是等比数列； an (2)若，=a,十)a+1十求数列{b.)的前n项和T。… 17.(本小题满分15分) 现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试. (1)求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； (2)设X表示选出的4名同学中男生的人数，求X的分布列及数学期望E(X). 【高二数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，∠ADC=120°，AD=DC=2, PC=√10. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD; (2②)若∠ABC=120,且平面ABP与平面APD的夹角的余弦值为一，求AB的长。 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(1-x2)[1+1n(1+x)],x∈[0，十o∞)，f'(x)为f(x)的导函数. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：f(x)≤x+1; (3)若f(x)≤a.x十1，求a的取值范围. 【高二数学第4页（共4页）】高二5月校内检测 数学 答题卡 淮考 证号 姓 名 0I0000I000□0I0 口DDD口口1口D1■ 班 级 2I2]22四2I22I2四22 33I3]333]3]33]3 4I4D444I44I4口44■ 考 场 5555555555 6666666666 7I707刀707I7I7I7I7I7□ 座位号 8888888888 9]9]999I9]9I9]99 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规 注 定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完 全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑 事 色墨水签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 贴条形码区域 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题 项 区域范围书写的答案无效：在草稿纸，试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 填涂样例 正确填涂： 错误填涂：中Xp口 缺考标记：☐ 单选题（每小题5分，共40分） 1 A]B][C]D] 5 [ABC D 2 [A B][C]D 6ABI☑D 3A□BICD 7A□BD 4AB☐CD] 8A▣B☐D 多选题（每小题6分，共18分） 9ABCD 10[A]B [C]D 11AB☐CD 填空题（每小题5分，共15分） 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！高二5月校内检测·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B C A B D 题号 9 10 11 答案 ABD AC BCD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.【答案C 【解析)Ay-3+1+1-4.故选C △ 3-1 2.【答案】B 【解析】.随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p,∴.E(X)=0×(1一p)+1×饣=p=0.6.故 选B 3.【答案】A 【解析】由题意可知：每位同学均有4种选择，所以不同的报名方法种数是4×4×4=64.故选A. 4.【答案】B 【解析】因为数列{an}为等差数列，所以an十an+1十a+2=3an+1=6n十3，则am+1=2n十1，所以a1o=ag+1 =2×9+1=19,故选B. 5.【答案】C 【解析】由题日条件可得：函数f(x)的定义域为(0，十o∞)，∫(x)=二十a.当a>0时不符合题意，则a <0,令f(x)>0,得0<<-2：令)<0，得x>-2所以函数f)在区间(0，-2)上单调 递增，在(-子，+∞)上单调递减.则x=一是是函数f(x)的极大值点，故f(-）=ln(-)1 一1，解得a=一1.故选C 6.【答案】A 【解析】因为X~N(100,52),所以P(X≥90)=0.5+0.9545=0.97725，所以半年后可出栏的猪的数 2 量约为1000×0.97725≈977，故选A. 7.【答案】B 【解析)由PAB)+P(B1A)=PAB+PAB)=PCAB)+PAB)=0.75,可得P(AB)=O.05.放 P(B) P(A)0.2 0.1 选B. 8.【答案】D 【解析】由椭圆的定义得PF1+PF:=2a,又PR=7PF,所以PE=子aPF:=子a,又 |PF-PF≤FF:=2,当且仅当点P在椭圆下顶点时等号成立，所以子a-子a<2c,即受a≤ 2,则=≥，即≤<1，即椭圆的离心率的取值花围是[至，1)故选D. 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】ABD 【解析】因为C2=C5,故x十2=2x一5或x+2+2x-5=15,得x=7或x=6,故A,B正确； 根据二项展开式的通项公式T+1=C(x)t(一x)=(一1)1Cx0,令20-号=0，解得及 8,∴.Tg=(-1)8C。=45,故D正确，C错误.故选ABD. 10.【答案】AC 【解析】圆C:(x-1)2+y=r2(r>0),所以圆心C(1,0),半径为r,则圆心C到直线l:x-√3y+3=0 的距离d=1十3=2. 对A,直线的斜率为气，所以1的倾斜角为吾，所以A正确： 对B,当y=0时，x=一3，所以直线1在x轴上的截距为一3，故B错误； 对C,若直线1被圆C所截得弦长为2，则=+（号）广=4+1=5，所以，=5，所以C正确： 对D,若圆C上的点到直线l的距离的最小值为1，所以d一r=1,所以r=1,所以D错误，综上，故 选AC. 11.【答案】BCD 【解析】因为等比数列{αn}的各项均为正数，所以q>0, 因为Tg=a1a2ag…a1g=(a1a1g)片=(a)号=(a0)19>1,所以a0>l; T20=a1a2a3…a20=(a1a20)10<1,所以a1a20=a10a1<1,因为a10>1,所以am<1,则0<q<1且a1> 1,又因为a10>1,故a,=a>1,当n=10时，Tn取最大值，所以选项B,C正确，选项A错误； 因为a1oan+1-(a10+an)=a1o(a1m-1)+(1-am)=(am-1)(a10-1),因为a1o>1,a1<1,所以a1o an十1一(a1o十a11)=(a一1)(a10一1)<0，即a16十a1一1>a16a1,所以选项D正确.综上，故 选BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】4 【解折】代=a-1D.C=C=n2,n(n-1=n2+6:i--12=0得元=4或=-3 2 (舍)，.n=4. 13.【答案】x-号=1 3 b=8 【解析】：一条渐近线过点(W3,3),且c=2,此条渐近线斜率=3=5，可得 a√5 a2+b2=4 a=1 1b=√5 所以双曲线C的标准方程为：？一苦-1. 14.【答案】1 【解析】求导得f'(x)=一xe,当x∈（一oo,0)时，'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(0，十o)时，f(x) <0,f(x)单调递减，所以f(x)≤f(0)=1,点(a,b)在曲线y=f(x)上，则b∈（一∞，1]，所以f(a) f(b)=b-f(b)=b+(b-1)e,设g(b)=b+(b-1)e,g'(b)=1+be,[g'(b)]'=(b+1)e,当b∈ (-∞，-1)时，g(b)单调递减；当b∈(-1,1)时，g(b)单调递增，所以g'(b)≥g'(-1)=1-二>0， 故g(b)单调递增，故g(b)≤g(1)=1,即f(a)-f(b)的最大值是1. 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.【答案】(1)y2=4.xx=-1(2)8 【解析】(1)y2=2p.x(p>0)过点M(1,2),.2p=4,解得p=2,…4分 .抛物线C:y2=4x,准线方程为x=一1；… 5分 (2)由(1)知，抛物线焦点为(1,0)，… 6分 设直线AB:y=x-1,A(x1y1),B(x2y2),… 8分 由”得-6十1=0则-=6 11分 则|AB|=x1十x2十=6十2|=8.… 13分 16.【答案1详见解新《21- 【解折1m=1时a=S-号-号，解得a= 2 ………………………………………… 2分 n>2时，an=S。-Sn-1=- 2 30+1十3a,化简得a+1= 1 2, 4分 又a2=- =a5分 2 所以{a,}是以1为首项，一号为公比的等比数列： 6分 (2)由1)可知：a,=1×(-)=(2), 7分 1 2 2叫 所以bn (2+1)(2+1) (1+2)(1+2 9分 2,21-2(。与川 (1十21)(1十2") 11分 所以工，=2[（合-号）+（合号）十…+（百）】 13分 1 2 2”+1 15分 1.【答案1号2)X的分布列见解析，正()-号 【解析1)由题意可知，选出的4名同学全是男生的概率为心 C …3分 5 所以选出的4名同学中至少有1名女生的概率为1一 C C 6 …………5分 (2)根据题意，X的可能取值为1,2,3,4， 6分 PX=1--rX-2)-e- 3 C。 21010' 8分 P(X=3)= CC-105=1 C。2102,P(X=4) C35_ 1 C1021061 10分 所以X的分布列为： X 1 2 3 4 P 1 3 1 30 10 2 6 12分 EX)=1×0+2x是+3X号+4×日-8器-号 1_8414 15分 18.【答案】(1)详见解析(2)22 【解析】(1)取AD的中点E,因为AD=2,所以DE=1,…1分 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 在△DEC中，由余弦定理得CE=√CD十DE2-2CD·DE·cos120=√7，…3分 因为△PAD为等边三角形，所以PE=√5，…4分 在△PEC中，PE十CE2=PC,所以PE⊥CE,…5分 因为PE⊥AD,AD∩CE=E,所以PE⊥平面ABCD,…6分 因为PEC平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD;…7分 (2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, 因为∠ABC=120°，∠ADC=120°，AD=DC=2,所以点B在以点D为圆心，半径为2的圆上，所以 BD=2,…………………………………9分 由题设得A(2,0,0),P(1,0,W3), 设∠ADB=0,0<0<,故B(2c0s0,2sin0.0),则Pi=(10,-5),AB=(2c0s0-2,2sim0,0). ………………10分 设平面PAD的法向量m=(0,1,0),平面PAB的法向量n=(x,y,之)， 则P·=0,即-Ex=0 Ai·n=0'2(cos0-1)x+(2sin6)y=0 可取n=(w3sin0,w3(1-cos0),sin0), 12分 记平面ABP与平面APD的夹角为a, 则w。=R滑9产7om可 1-V3(1-cos0) 21 ………14分 化简得cos20-cos0=0,且c0s0≠1，所以cos0=0,sin0=1, 16分 所以AB=(-2,2,0),即AB=2W2. ………………*………”…………17分 19.【答案】(1)f'(x)在[0，十∞)上单调递减(2)详见解析(3)汇1，+∞) 解析】水I)f(）)=一2z计2n+)-3x-2n(+z. 记g)=f(x).则g()=-3-2(千+ln1+x)）月 …4分 当x∈[0，+o∞)时，千十1n(1+x)≥0，所以g(x)<0,因此f(x)在[0，十o∞)上单调递减：… …6分 (2)下面证明当x∈[0，十o∞)时，(1-x)[1+ln(1十x)]≤1.…7分 记()=1-1十n1十]，则)=-2子，1n1时20，容易看出A()在[0：十eo)止单 调递减，所以h(x)≤h'(0)=0,因此h(x)在[0，十∞)上单调递减，h(x)≤h(0)=1.…10分 又因为当x∈[0，+o∞)时，1+x>0,所以f(x)=(1+x)(1-x)[1+1n(1+x)]≤x+1;…11分 (3)当a≥1时，由(2)可知，f(x)≤1十x≤1十a.x,符合题意.…12分 当a<0时，因为f0)=1,f(兮）=-号n寺<0，且由(1)有f()在[0，十∞)上单调递减，因此存 在∈(0，号)使得()=0，且当0≤x<时f()>0,当>x,时∫()<0，所以f(x)在[0， x]上单调递增，在(x,十∞)上单调递减.因此f(x)>f(0)=1≥a.x。+1,不符合题意.·14分 当0<a<1时，设u()=h(x+1)有则u()=千)，因此u)在区间[0，十eo)上单调递 增，故u≥40)=0，即ln(x+1)2千等号成立当且仅当x=0.记1=2，则0<红<7，所 以f(m)>(1-)(1+十）=(1-西)(2十1)=a西十1，不符合题意.… 16分 综上所述，a的取值范围为[1，十o∞). …17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】