精品解析：湖南株洲市九方中学2025-2026学年下学期高二年级五月质量检测数学试题

2026年上学期高二年级五月质量检测 数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 2. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 若，则z＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得： 4. 等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等差数列的通项公式与前项和公式求解首项和公差，得到的表达式后对裂项，通过裂项相消法计算前10项和 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列通项公式，结合可得：，即， 由等差数列前项和公式，结合可得：，即. 将代入上式，解得，， 因此，故. 设的前10项和为，则：  5. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用二项式定理求解即可. 【详解】化简得到， 展开式通项为， 令，得到，代入得到， 故展开式中含项的系数为. 6. 四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由向量关系求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则，所以， 所以点到直线的距离为. 7. 已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究单调性，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意得：，令， 所以，所以在单调递增，且，， 又因为在上不单调，所以，解得. 8. 已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的内角特征推导渐近线斜率，再结合双曲线的关系求解离心率. 【详解】由的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点）， 则渐近线的斜率为， 所以双曲线的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期 B. C. 在上单调递增 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 【答案】AB 【解析】 【分析】求出函数的周期判断A；求出的值判断B；利用整体思想判断函数在上单调性，可判断C；求得，由正弦函数的性质判断D. 【详解】因为轴， 所以图象的一条对称轴为直线， 所以， 所以，故A正确； 易得，则， 所以， 因为的图象过点，所以， 所以，所以，， 因为，所以，故B正确； 因为， 当时，， 由正弦函数的性质可知在上是先减后增，故C错误； 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，易知为奇函数，故D错误． 10. 已知如图所示的几何体由六个平面四边形组成，和是两个全等的矩形，，，平面平面，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若直线与平面交于，则 D. 若平面与平面的距离为1，则该六面体的体积 【答案】ABD 【解析】 【分析】取基底向量，用它们表示出，证明即可判断A选项；根据即列出向量等式，得到，再利用它证明；将用表示，根据空间四点共面的推论得到的方程，求解即可；首先证明平行于底面的截面的面积只与截面高度有关，根据祖暅原理可知可以在不改变体积的前提下移动，使得该几何体可以放进长方体中，用长方体的体积减去多余部分的体积即是所求几何体的体积. 【详解】设，因为是矩形，所以， 依题意有平面平面，平面平面， 且平面平面，所以， 同理可得， 又因为， 所以，且， 对于A，可知， 则， 所以，A正确； 对于B，可知， 若，则，展开得， 移项得， 又， ， 则 ， 所以，B正确； 对于C，设， 则 ，因为平面，所以， 解得，所以，C错误； 对于D，取该几何体平行于底面的某截面， 同A中分析可知，， 所以也是矩形， 设，则 ，即的长度只与有关即只与截面高度有关， 同理可得的长度也只与截面高度有关，所以截面的面积只与截面高度有关， 根据祖暅原理，可以移动使得的正投影刚好是，而不影响该几何体的体积， 此时该几何体可以放进长方体中，如图所示，依题意长方体的高为， 因为长方体的体积， 直三棱柱的体积为， 直三棱柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以几何体体积为，D正确. 11. 现有四个不透明的袋子，每个袋子中均有标号为的个球，其中袋中全是红球，袋中全是白球，袋中全是黄球，袋中全是黑球.若甲、乙、丙、丁四人随机从四个袋中选取一个(可多人选同一个袋子)，并从中随机取出一个球， 则（ ） A. 取出的四个球颜色互不相同的概率为 B. 取出的四个球中红球比白球恰好多2个的概率为 C. 当时，取出的四个球既不同色也不同号码的概率为 D. 若甲、乙、丙、丁分别取到红、白、黄、黑球，则甲、乙、丙三人取到的号码之和等于丁取到的号码的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】四人随机从四个袋中选取一球的颜色有种，利用古典概型的概率公式判断AC；取出的四个球中红球比白球恰好多2个，有两种情况，即红球2个，白球0个，或者红球3个，白球1个，分别求概率相加判断B；将所求概率转化为求的整数解的个数，利用隔板法求出时，方程的解的为组数为，再利用组合数性质求和，判断D. 【详解】对于A，四个人选出球颜色互不相同的概率为，A正确； 对于B，取出的四个球中红球比白球恰好多2个，有两种情况， 即红球2个，白球0个，概率为， 或者红球3个，白球1个，概率为， 所以取出的四个球中红球比白球恰好多2个的概率为，B正确； 对于C，四个球既不同色也不同号码的概率为，C错误； 对于D，设甲、乙、丙、丁取到球的号码分别为， 则所求概率转化为求的整数解的个数， 当时，由隔板法可得方程的解的组数为， 当时，方程的解的组数为，， 当时，方程的解的组数为， 故满足条件的取法有 ， 故所求概率为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为焦点为，，所以可设椭圆方程为， 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆方程为. 13. 记为数列的前项和，已知，则___________. 【答案】12 【解析】 【详解】当时，，所以，又，所以， 当时，由，得， 所以，所以， 所以. 14. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数 ，利用导数结合条件可证明 在 上单调递增，原不等式等价于，利用函数的定义域以及单调性即可求解. 【详解】构造函数 ，其定义域为 ，   由题知：，且 ，因此 ，即 在 上单调递增. 已知 ，得 ， 原不等式  等价于： ，  根据 的单调性和定义域得，解得 ， 即不等式的解集为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄次数 每周0∼2次 33 22 22 23 每周3∼4次 12 17 25 22 每周5次及以上 3 3 12 6 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低， 不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人， 再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为体育锻炼频率的高低与年龄有关； （2）分布列为： 0 1 2 P 【解析】 【小问1详解】 零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关. 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 55 45 100 体育锻炼频率高 35 65 100 合计 90 110 200 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01． 【小问2详解】 由表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列： 0 1 2 P 所以的数学期望为. 16. 已知四棱锥中，平面，，，. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； （3）若存在一点，且，求与平面夹角的余弦取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线段长度结合余弦定理确定形状，借助线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用面面夹角的向量公式和同角三角函数的基本关系计算即可. （3）利用线面角的向量求法结合同角三角函数的基本关系得到，再构造函数并结合导数得到取值范围即可. 【小问1详解】 由题意可知为等边三角形，， 由余弦定理可知， 即为等腰三角形，取中点E，连接， 易知三点共线， 即，又平面， 而平面，所以， 因为平面，所以平面； 【小问2详解】 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以，设平面与平面的夹角为， 设平面的一个法向量为，即， 令，解得， 易知平面的一个法向量为，所以， 由同角三角函数的基本关系得， 则平面与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由题意得， 则，，设平面的一个法向量为， 即，令，解得， 而存在一点，设，且， 设，则，则， 解得，可得， 则，设与平面夹角为， 可得， 由同角三角函数的基本关系得， 令，则， 而，此时，可得在上单调递减， 而，，则，故. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）分析的单调性； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，的单调增区间为；单调减区间为； 当时，的单调减区间为；单调增区间为； 当时，的单调增区间为， 当时，的单调增区间为；单调减区间为； （3） 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数几何意义求得切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可； （2）求出导函数，按照和分类讨论求解即可； （3）参变分离，把恒成立问题转化为恒成立问题，构造函数，利用导数求解函数最值即可求解. 【小问1详解】 当时，得到，则， ，则， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意得， 可得， 当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增; 当时，的解为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 故的单调增区间为；单调减区间为. 【小问3详解】 由题意得当时，恒成立， 等价于“当时，恒成立”. 即在上恒成立. 此时，所以恒成立. 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 18. 在平面直角坐标系中，已知点在双曲线：上，的一条渐近线的倾斜角为. （1）求的标准方程； （2）若直线与交于，两点，设关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，记直线为. ①若的斜率为，面积为，求的方程； ②若经过点，试判断与圆的位置关系，并说明理由. 【答案】（1） （2）①；②相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据渐近线的倾斜角求出斜率，再根据渐近线和双曲线过点，列出方程组，求出参数值，写出标准方程即可. （2）①先设交点坐标和直线方程，再联立直线与曲线方程，然后根据韦达定理，表示出直线斜率和三角形面积，进而求出参数值； ②根据直线与圆的位置关系的判断依据，将点到直线的距离和圆的半径用含有未知参数m的式子表示出来，进而比较二者是否相等，判定直线和圆的位置关系. 【小问1详解】 由题意知，且，解得，， 所以的标准方程是. 【小问2详解】 ①若平行于轴，则垂直于轴不成立. 设，，：， 联立方程得，消去得， 所以，， 可得，， 则，，于是：. 由题意，所以，解得， 所以：，，. 可知， 可得，化简得，解得或 (负值舍去)， 即，所以的方程是. ②与圆相切. 证明如下： 方法一：因为：经过，所以. 证直线与圆相切，只要证， 即证①. 将，代入①得， 将韦达定理代入得， 化简得，所以①成立， 即与相切. 方法二：由①知的方程为，由以及可得，有，即， 因为，是方程的两个根，所以， 则， 所以与相切. 19. 已知数列的前项和为，且， （1）求数列通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先利用作差法，消去前项和，再通过时的式子确定首项，代入公式进而得到通项； （2）先将分段数列按“奇数项、偶数项”拆分为两个基本数列（等差数列+等比数列）， 再利用等差数列、等比数列的求和公式计算两组的和，最后合并结果即可； （3）先假设存在满足条件的项，结合等比、等差数列的性质建立等式，再运用基本不等式的性质判断即可. 【小问1详解】 由数列满足， 当时，，又，所以， 当，时，， 两式相减，可得，整理得， 所以，， 所以是等比数列，则其公比为4，所以的通项公式为. 【小问2详解】 由题意，，则前项中：奇数项：，共项， 是首项为3，公差为4的等差数列（因为，相邻两项差为4）， 则：， 偶数项：，共项，对应， 是首项为4，公比为16的等比数列（），则：， 因此前项和为：． 【小问3详解】 由（1）知，，因为， 所以，整理得：， 所以，即， 因为成等差数列，即（）， 假设成等比数列，则，代入的表达式： ，化简得：， 由，得，故：， 结合，， 等号仅当时成立，这与题设(互不相等）矛盾． 故数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二年级五月质量检测 数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 2 D. 1 2. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则z＝（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 6. 四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期 B. C. 在上单调递增 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 10. 已知如图所示的几何体由六个平面四边形组成，和是两个全等的矩形，，，平面平面，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若直线与平面交于，则 D. 若平面与平面的距离为1，则该六面体的体积 11. 现有四个不透明的袋子，每个袋子中均有标号为的个球，其中袋中全是红球，袋中全是白球，袋中全是黄球，袋中全是黑球.若甲、乙、丙、丁四人随机从四个袋中选取一个(可多人选同一个袋子)，并从中随机取出一个球， 则（ ） A. 取出的四个球颜色互不相同的概率为 B. 取出的四个球中红球比白球恰好多2个的概率为 C. 当时，取出的四个球既不同色也不同号码的概率为 D. 若甲、乙、丙、丁分别取到红、白、黄、黑球，则甲、乙、丙三人取到的号码之和等于丁取到的号码的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 13. 记为数列的前项和，已知，则___________. 14. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄次数 每周0∼2次 33 22 22 23 每周3∼4次 12 17 25 22 每周5次及以上 3 3 12 6 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低， 不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人， 再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知四棱锥中，平面，，，. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； （3）若存在一点，且，求与平面夹角的余弦取值范围. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）分析的单调性； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，已知点在双曲线：上，的一条渐近线的倾斜角为. （1）求的标准方程； （2）若直线与交于，两点，设关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，记直线为. ①若的斜率为，面积为，求的方程； ②若经过点，试判断与圆的位置关系，并说明理由. 19. 已知数列的前项和为，且， （1）求数列通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $