重庆市南开中学2026届高三5月第九次质量检测数学试题

**基本信息** 重庆南开中学2026届高三数学模拟卷，以“基础巩固-能力提升-创新应用”为梯度，通过密码学情境（填空14题）、概率统计案例（解答17题）等设计，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、数列、解三角形等|基础概念辨析，如第3题等差数列性质| |多选|3/18|函数性质、椭圆、三角函数图象|多维度能力考查，如第10题椭圆与圆综合| |填空|3/15|向量、概率、密码学应用|创新情境设计，密码学坐标转换体现数学语言表达| |解答|5/77|数列证明、函数导数、概率统计、立体几何、抛物线|综合性强，如概率统计题结合独立性检验培养数据观念，解析几何题考查逻辑推理|

重庆南开中学高2026届高三第九次质量检测 数 学 答 案 及 解 析 2026.5 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D A B D C B 1．【答案】B 【解析】集合,，则,选B 2．【答案】C 【解析】，选C 3．【答案】D 【解析】，则，所以，选D 4．【答案】A 【解析】在中由余弦定理得：，则，选A 5．【答案】B 【解析】由题意：函数关于对称，且在上单调递增， 则，得，选B 6．【答案】D 【解析】原式展开化简得， 则， 又是锐角，则，选D 7．【答案】C 【解析】周长 （三点共线时取等），由，得， 又在中，，得，所以，选C 8．【答案】B 【解析】点在底面的射影点为,有, 则,且, 则，即圆台的高为，则圆台的母线长， 则侧面积，选B 二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分,部分选对得部分分,有选错得 0 分. 9 10 11 BCD AC ABD 9．【答案】BCD 【解析】对于A选项，因为，所以A错误。 对于B选项，成立，所以B正确。 对于C选项，，所以C正确。 对于D选项，因为，故该函数在单调递减，又由A知该函数为偶函数，且，结合函数图象可知，所以D正确。 故选BCD。 10. 【答案】AC 【解析】对于A选项，由题可得，所以直线的倾斜角为或，斜率；所以A正确。 对于B选项，在中，，所以，所以离心率；所以B错误。 对于C选项，设直线，联立椭圆得：， 所以，所以C正确； 对于D选项，，所以D错误。 故选AC。 11．【答案】ABD 【解析】由题知， 对于A选项，，所以A正确。 对于B选项，将代入，则是余弦函数的对称轴，所以B正确。 对于C选项，，所以最小正周期为，所以C错误。 对于D选项，，所以该函数的最大值为，解得，所以D正确。 故选ABD。 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. 【答案】 【解析】，所以，解得. 13. 【答案】 ; 注：第一空2分，第二空3分 【解析】四局比赛结束共有两种情况，所以, 而，∴. 14. 【答案】985 【解析】由题意，暗码8坐标为(1,2)即，此坐标原码为9 暗码3坐标为(3,3)即，此坐标原码为8 暗码9坐标是题中示例，对应原码为5， 所以原码为985. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （共13分）(5分)+ (8分) 【解析】（1）由题得：，则，整理得， (3分) 又，得， (4分) 所以是以为首项，为公比的等比数列. (5分) （2）由（1）得，所以， (6分) 又， (8分) 其中，则，则， (10分) 验证：时，, (12分) 则满足条件的最大正整数. (13分) 16.（共15分）(6分)+ (9分) 【解析】（1）当时，则， （2分） 当单调递增；当单调递减， （3分） 所以时，最大值 又，所以最小值为 （5分） 所以函数在的值域为 （6分） （2） （8分） ①当时，在上单调递增，不满足题意； （9分） ②，令，有，其中； 当时，， 有；，此时为极大值点，不满足题意； （11分） 当时， 需要，解得， （12分） 有；，此时为极小值点， （14分） 综上，实数的取值范围. （15分） 17.（共15分）(5分)+ (10分) 【解析】(1)∵女员工样本中位数为38.5，由， ∴35+，解得 （5分） (2)由样本数据，调查了300名男员工，200名女员工 （6分） 由频率分布直方图，其中青年女员工为：200×(0.015+0.025+0.025)×5=65名 （7分） 由等高堆积条形图，则青年男员工为：300×0.45=135名 （8分） ∴列联表为： （10分） 男 女 合计 资深员工 165 135 300 青年员工 135 65 200 合计 300 200 500 零假设样本中员工年龄层次与性别无关联 （11分） （13分） 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，样本中企业员工的年龄层次与性别无关联。 （15分） 18. （共17分）(5分)+ (6分) + (6分) 【解析】(1)由，故△ABC为等腰三角形，， 设，，，，， ∴，， （2分） ∴，解得 （4分） ∴，，∴ （5分） (2)(i)如图空间坐标系，切点,则切线斜率， ∴切线为：，交x轴为，（*） （6分） 令，由（1）知， ∴三棱锥底面积，高 ∴体积 （8分） 令， 则，由于 ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； （10分） ∴当时，取得最大值为 （11分） (2) (ii)由题意，由（*）式，， ∴，，， ∴， （13分） 设二面角的平面角为，又由图形知，此时二面角关于平面对称，则二面角的平面角为， 设平面法向量，则 令，则 （14分） 由，令， 平面法向量 （15分） 则，当最大时，最小，最大 （16分） 此时， ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，二面角的平面角取得最大值 （17分） 19. （共17分） (3分)+ (9分) + (5分) 【解析】 （1）由垂直于轴时，，不妨设，代入，解得 （3分） （2）(i)设直线：，则： 设，，， 联立 得： ∴ ∴ （5分） 联立得： ∴ ∴ （7分） 所以 即 整理得： （8分） 由两点在第一象限，得 ① 同理 ② （9分） 所以直线：，代入，化简得 同理直线BD：得 （11分） 联立直线AC，BD方程，并代入①，②化简整理： 即点在定直线上 （12分） （2）(ii)在AC中代入，解得 （13分） 即 ∴直线方程为： （14分） 由的面积 代入 ，则 （15分） 代入EO，CD的方程组∴ （16分） 消去，解得，则 （17分） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2026届高三第九次质量检测 数 学 试 题 2026.5 （本试卷满分150分 考试用时120分钟） 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（ ） A. B. 3 C. D. 8. 已知圆台，上底面直径为，下底面直径为，当时，直线与圆台底面所成夹角为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分,部分选对得部分分,有选错得 0 分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. C. 当时， D. ,不等式恒成立 10. 已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于、两点，直线与以短轴为直径的圆O相切于点D，，则（ ） A. 直线的斜率 B. 椭圆C的离心率为 C. D. 面积为 11．已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. 当时， B. 函数图象的对称轴为 C. 函数的最小正周期为 D. 若函数的最大值为1，则 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12．已知平面向量，，若，则 . 13. 甲、乙两名网球选手进行网球比赛，比赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束。甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是，每局比赛结果相互独立，记事件A为四局结束比赛，则 ；又记事件B为甲获得比赛胜利,则 . 14．密码学是一种编译密写技术的科学，其中原式信息为原码，对应的保密信息为暗码，将明码转化为暗码的方式称为加密算法。现有某加密算法F：通过特定的坐标转换公式，将如图所示的3×3数字矩阵中原码数字的坐标转换为暗码数字的坐标。将位于第x行第y列的数字的坐标记作，如数字的坐标为；记函数为.该加密算法F的转换公式为：，如坐标为的原码在F算法下被转化为坐标为的暗码。已知某原码在F算法下的暗码为“839”，则该原码为 . 第1列 第2列 第3列 第1行 7 8 9 第2行 4 5 6 第3行 1 2 3 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等比数列; （2）设，若，求满足条件的最大正整数. 16. 已知函数. （1）当时，求函数在的值域； （2）若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围. 17. 为了解某大型企业员工的性别、年龄构成，对该企业员工按性别、年龄比例抽取500人作为样本，其中女员工有200人，女员工年龄结构的频率分布直方图如下，已知这200名女员工年龄的样本中位数为38.5岁. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）已知35岁以下为青年员工，35岁以上为资深员工，根据等高堆积条形图和频率分布直方图数据，完善列联表。依据小概率值的独立性检验，能否认为样本中员工的年龄构成与性别有关联？ ， 其中． 男 女 合计 资深员工 青年员工 临界值表： 合计 200 500 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 18. 给定如图所示的空间直角坐标系.在平面内，点在轴上，，, 为中点，. (1)求; (2) 在平面内，过点作函数图象的切线，切点为. (i)若点在轴负半轴上, 求三棱锥体积的最大值; (ii) 若，当二面角的平面角最大时，求的值. 19. 已知抛物线，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，当垂直于轴时，. （1）求的值； （2）过点作直线交抛物线于两点（两点在第一象限），记直线与直线的交点为，其中直线的斜率为，直线的斜率为. （i）求证：点在定直线上； （ii）当时，设直线交直线于点，且的面积为，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $高2026届高三年级质量检测 数学试题 2026.5 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.已知集合A={x|x≤3，B={x12>1},则A∩B= A.(1,3] B.(0,3] C.(0,+∞) D.(-0,3] 2卫知复数：=出i为虚数单位)，则： A.2+2i B.2-2i C.-2+2i D.-2-2i 3.已知等差数列an}满足a1=4,a1=28,则a3= A.18 B.16 C.14 D.12 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=7,b=5,A=120°，则c= A.3 B.√39 C.8 D.√109 5.已知函数f(x)=e-2x,若f代t+1)>f(2t-1),则实数t的取值范围是 A.(1,2) 层.2 B. C.（-0,2) D.（2,+0) 6.已知锐角a,B满足(1+√3tana)(1+√3tanB)=4,则a+B= B军 c 7.已知双曲线C:-若=1(b>0)的左、右焦点分别为R、R,动点P为双曲线右支上任意一点，点 Q(0,4),若△PQF,周长的最小值为12，则b= A.√10 B.3 C.2√2 D.6 8.已知圆台O,O2,上底面直径AB为2，下底面直径CD为4，当AB⊥CD时，直线AC与圆台底面所成夹 角为牙，则该圆台的侧面积为 A.35m B.36π C.65π D.6√6π 数学试题 第1页（共4页） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共8分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.已知函数)=，则 1+x A.-1<fx)<1 B.f(-x)=f(x) C.当x0时)=x) D.Hx∈R,不等式f(1+x2)≤f(2x)恒成立 0.已知椭圆C:若+y=1(a>1)的左焦点为R,过K的直线与椭圆C交于，N两点，直线M与以 短轴为直径的圆0相切于点D,∠D0F,=年，则 A.直线MN的斜率k=±1 B.椭圆C的离心率为 3 C.1MW1=√3 D△0w面积为5 1山.已知函数(x)=co2x,将(x)的图象向左平移p(0<<)个单位长度得到函数g(x)的图象，则 A.当0=平时，g(x)=-sim2 B.函数g(:)图象的对称轴为红-p(keZ) C.函数fx)·g(x)的最小正周期为π D.若函数)+g(x)的最大值为1，则=骨 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知平面向量a=(1,2),b=(3,x),若a1(b+2a),则x= 13.甲、乙两名网球选手进行网球比赛，比赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束 甲每局获胜的概率为子，乙每局获胜的概率是}，每局比赛结果相互独立，记事件A为四局结束比 赛，则P(A)= ;又记事件B为甲获得比赛胜利，则P(B1A)= 14.密码学是一种编译密写技术的科学，其中原式信息为原码，对应的保密信息为暗码，将明码转化为 暗码的方式称为加密算法.现有某加密算法F:通过特定的坐标转换公式，将如图所示的3×3数字 矩阵中原码数字的坐标转换为暗码数字的坐标.将位于第x行第y列的数字m的坐标记作(x,y), 如数字5的坐标为(2,2)；记函数为k= 1≤k≤3 (k-34≤k≤6 该加密算法F的转换公式为：(x,y)F (x+y,2y-1),如坐标为(2,2)的原码5，在F算法下被转化为坐标为(1,3)的暗码9.已知某原码 在F算法下的暗码为“839”，则该原码为 第1列 第2列 第3列 第1行 7 8 9 第2行 4 5 6 第3行 1 2 3 数学试题 第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 4a.(nEN). 已知数列a,满足a1=1,且a,1-a。+2 1)求证：数列化}是等比数列： (2)设Sn= 1+L+…+1,若S。<2026,求满足条件的最大正整数m. a az 16.（15分) 已知函数f)=-受+x+(2m+1)hn(x+I)(x>-1,且meR). (1)当m=1时，求函数f(x)在x∈[0,3]上的值域； (2)若函数f(x)存在极小值点xo,且x。>0,求实数m的取值范围. 17.（15分) 为了解某大型企业员工的性别、年龄构成，对该企业员工按性别、年龄比例抽取500人作为样本，其 中女员工有200人，女员工年龄结构的频率分布直方图如下，已知这200名女员工年龄的样本中位 数为38.5岁. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)已知35岁以下为青年员工，35岁以上为资深员工，根据等高堆积条形图和频率分布直方图数 据，完善2×2列联表.依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为样本中员工的年龄构 成与性别有关联？ 频率 女员工 1.00 组距 0.05 口 资深员工 0.45 口 0.015 青年员工 0.00 0"2025303540455055年龄 女员工男员工 n(ad-be)2 男 女 合计 参考公式x=(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)' 资深员工 其中n=a+b+c+d. 临界值表： 青年员工 0 0.010 0.005 0.001 合计 200 500 Xa 6.635 7.879 10.828 数学试题 第3页（共4页） 18.(17分) 给定如图所示的空间直角坐标系0-x%.在平面xOy内，点A,D在x轴上，A0=2OD,AB=AC,D 为BC中点，BO.BA=7D0. 器， (2)在平面xOz内，过点D作函数图象z(x)=e的切线，切点为P(xp,0,p). (i)若点D在x轴负半轴上，求三棱锥P-ABC体积的最大值； (iⅱ)若xp>1,当二面角B-PA-C的平面角最大时，求xp的值. (x)=e 19.(17分) 已知抛物线T:y2=2x(p>0),过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，当AB垂直于x轴 时，IAB|=4. (1)求p的值： (2)过点M(4,0)作直线交抛物线于C,D两点(A,C两点在第一象限)，记直线AC与直线BD的交 点为E,其中直线AB的斜率为，直线CD的斜率为 (i)求证：点E在定直线上； (i)当k>0时，设直线B0交直线CD于点N,且△0MN的面积为46，求k的值 数学试题第4页（共4页）