重难点01 平面向量中的最值范围问题（6类核心考点）（高效培优期末专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量最值范围问题，以五大考点构建从基础应用到综合拓展的完整训练体系，强化几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |与平面向量基本定理有关的最值范围|7题|线性表示参数最值，结合三角形、扇形等图形|从基本定理出发，建立参数与几何量的关系| |数量积的最值范围|7题|几何图形（梯形、矩形等）中动点数量积，含多选与解答题|延伸至数量积的几何意义，培养动态分析能力| |向量模的最值范围|5题|模的方程表示、几何图形中模的范围，含多选|基于模的定义，结合函数思想与几何性质| |向量夹角的最值范围|5题|夹角余弦值范围、仿射坐标系下夹角问题|从数量积与模的关系推导夹角范围，提升逻辑推理| |新定义参数的最值范围|4题|自定义运算、“长向量”等新情境下的参数范围|通过新定义实现知识迁移，发展数学抽象与创新意识|

重难点01 平面向量中的最值范围问题 考点01 与平面向量基本定理有关的最值范围 考点04 向量夹角的最值范围 考点02 数量积的最值范围 考点05新定义参数的最值范围 考点03向量模的最值范围 考点01 与平面向量基本定理有关的最值范围 1．（25-26高一下·吉林·期中）已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．已知扇形中，点为弧上任意一点（不含点，），若，，则的取值范围是（） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河北·期中）如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广东深圳·期中）O为平面内的定点，，，的夹角为120°，，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高一下·上海宝山·期中）在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点），若，则的最小值为______． 6．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________． 7．（25-26高一下·广东汕尾·期中）如图所示，在中，为上一点，且满足，则的最小值为__________. 考点02 数量积的最值范围 1．（25-26高一下·山东烟台·期中）已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一下·安徽池州·期中）已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（   ） A．的面积的最大值为 B．当P为BC中点时， C．若的面积为面积的，则 D．若，则的最小值为 4．（25-26高一上·广东深圳·期末）若平面向量，满足，，则当最小时，______；记与的夹角为，则的最大值为______. 5．（25-26高一下·重庆·期中）如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则_____________（用，表示）；已知，，，则的最大值为_________． 6．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）如图，的内角，，的对边分别是，为边上的中点，，且，    (1)求以及的边长； (2)设，分别为边，上的动点，线段交于，设，，， ①求证： ②四边形的面积为面积的，求的取值范围. 7．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，在菱形ABCD中，，，E是AB的中点，，，H为BD与FG的交点． (1)当时，用，表示，． (2)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (3)求的取值范围． 考点03向量模的最值范围 1．（24-25高一下·四川成都·期中）已知实数满足，则的最大值为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 2．（多选）（25-26高一下·全国·期中）已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．在上的投影向量为 D．当取最小值时， 3．（25-26高一下·宁夏银川·期中）如图，在等腰梯形中，，，.点在线段上运动，则的取值范围是_______________. 4．（25-26高一下·福建厦门·期中）在矩形中，点是平面内的动点，且，则=_____；若，则的最小值为_____.    5．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，，是平面内的三个向量，其中，为单位向量，且． (1)求与夹角的大小； (2)设，求； (3)设，求的取值范围． 考点04 向量夹角的最值范围 1．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·北京·期中）已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 3．（25-26高一下·江西抚州·期中）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若在θ仿射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的仿射坐标，记为，若满足，则称为θ仿射坐标系下的“完美向量”．已知在θ仿射坐标系下，，． (1)若，求向量的仿射坐标，并直接写出两个“完美向量”的仿射坐标； (2)当，求与的夹角β的余弦值； (3)设，对任意实数t，恒成立，求θ的取值范围，求的最大值． 4．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在仿射坐标系中的斜坐标． (1)若，，求； (2)若，，，求在上的投影向量的斜坐标； (3)若，，，，求的最小值． 5．（25-26高一下·四川巴中·期中）已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)； (2)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 考点05新定义参数的最值范围 1．（25-26高一下·青海西宁·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： (1)已知向量，满足，，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值． 2．（25-26高一下·上海·阶段检测）对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”． (1)设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)已知均是向量集的“长向量”， (i)求证：； (ii)若，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 3．（25-26高一下·河北邢台·期中）对于三维向量（，），定义“F变换”：，其中，，，．记． (1)若，求． (2)已知（），． (ⅰ)求p，q的值； (ⅱ)若经过m次“F变换”后，最小，求m的最小值． 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角. (1)若非零向量满足，且，求的取值范围； (2)若向量，且，求正数的值； (3)已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角和都是有理数，且，求. 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01 平面向量中的最值范围问题 考点01 与平面向量基本定理有关的最值范围 考点04 向量夹角的最值范围 考点02 数量积的最值范围 考点05新定义参数的最值范围 考点03向量模的最值范围 考点01 与平面向量基本定理有关的最值范围 1．（25-26高一下·吉林·期中）已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】首先确定点是的重心，再根据线性运算，用基底表示，利用三点共线，表示，再根据基本不等式求最值. 【详解】如图，连结接并延长交于点， 由可知，点是的重心，则点是的中点， ， 因为点三点共线，所以，即， 则， 当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 2．已知扇形中，点为弧上任意一点（不含点，），若，，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设扇形各点坐标并表示出向量，利用建立坐标方程组，解出关于的表达式，代入整理成辅助角公式形式，再结合θ的范围确定的范围，由正弦函数单调性和值域求出的取值范围. 【详解】以为坐标原点，所在的直线为直角坐标系的轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设扇形的半径为1，则，， 设，所以， ． 因为，所以， 解得 所以， 由此可知，，，． 因为,所以. 当,即时,,此时取最大值. 当时,因为即; 当时,因为 所以. 由于,且不含端点,故. 综上,的取值范围是. 3．（25-26高一下·河北·期中）如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算与三点共线定理构建出关于的关系式，结合基本不等式求出目标乘积的最值即可. 【详解】因为，所以，所以， 显然，又三点共线，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 4．（25-26高一下·广东深圳·期中）O为平面内的定点，，，的夹角为120°，，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量的模的运算求得，利用配方法和基本不等式可求得的范围，进而可求得的最大值. 【详解】因为，，的夹角为120°， 所以. 因为，所以， 又， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，所以，， 所以，所以的最大值为. 5．（25-26高一下·上海宝山·期中）在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点），若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】通过平面向量线性运算结合平面向量基本定理得到（），再利用基本不等式求解的最小值. 【详解】    设（）， 由图可得： 因为为线段靠近的三等分点，故， 代入得： 结合题意得：，，其中，因此. 由基本不等式，可得， 将代入得：, 当且仅当（对应，即为中点）时等号成立. 故的最小值为. 6．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】通过建立直角坐标系使用三角换元，利用参数表示动点坐标，最终将求的范围转化为求两个相互独立变量的最值问题. 【详解】以点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，，， 设， ，，，解得， 所以在边上，不妨设，，点， 因为，所以有，设，则， 故，，即，， 因为，所以， 即， 结合，当时，取最大值， 当时，取最小值， 故． 7．（25-26高一下·广东汕尾·期中）如图所示，在中，为上一点，且满足，则的最小值为__________. 【答案】6 【分析】先利用线段比例关系，将用表示，再结合在上的三点共线条件，推导出的关系，再通过均值不等式求最小值，并验证等号成立的条件，最后求出最值即可. 【详解】由可得， 由得， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6. 考点02 数量积的最值范围 1．（25-26高一下·山东烟台·期中）已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案 【详解】以A为原点，、所在的直线分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则，，， ，所以， 设，故， 因为，所以， 则，， 所以， 因为，其对称轴为，取得最小值， 当，取得最大值，所以 2．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取 中点 ，利用向量中点分解与平方差公式将转化为，再结合的取值范围求得最终结果. 【详解】如图，取AB的中点O，则， 又因为|，所以，所以，则的取值范围为. 3．（多选）（25-26高一下·安徽池州·期中）已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（   ） A．的面积的最大值为 B．当P为BC中点时， C．若的面积为面积的，则 D．若，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算律及三角形面积公式即可判断A；由平面向量数量积的运算律即可判断B；由三点共线即可判断C；由平面向量数量积的运算律即可判断D． 【详解】对于A，由已知条件，得， 由，得， 平方得，得，． ， 由，得，则， 所以，故A正确． 对于B，当为中点时，， 则，故B正确． 对于C，由在上，设且，则与面积比等于， 由得，故C正确． 对于D，若，则，结合，得，为等边三角形． ,， 则 ， 当时，取得最小值，故D错误． 4．（25-26高一上·广东深圳·期末）若平面向量，满足，，则当最小时，______；记与的夹角为，则的最大值为______. 【答案】 1 【分析】①先根据已知条件求出，然后化简，然后根据数量积的定义确定其最值.②先利用向量夹角的余弦公式求出，然后利用同角的三角函数关系式求出，进而列出的表达式，然后进行化简、换元，根据基本不等式的性质确定最大值. 【详解】因为平面向量，满足，所以等式两边平方得 ，展开化简得. 因为，所以. 所以， 设向量的夹角为时，， 所以，所以. 由于取最小值时，取最大值， 所以此时，所以. 因为，所以. 所以. 令 ，则 ，令 ，则 . 由基本不等式，当 即 时， 取得最大值 . 故答案为：①1；②. 5．（25-26高一下·重庆·期中）如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则_____________（用，表示）；已知，，，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】第一空：由是中点得到，由是中点得到，由是中点得到，将、代入可得.第二空：①将用表达；②求出后结合余弦定理和基本不等式求乘积的最大值，从而求得的最大值. 【详解】第一空： 是中点，故， 是中点，故， 是中点，故， 将、代入可得： ，，， ， . 第二空： 由，得：， ， ， 又，， 在中由余弦定理： ， 即， 即，即， 又， 将与， ， 又， 解得 ，当且仅当时取等号， 则， 故. 6．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）如图，的内角，，的对边分别是，为边上的中点，，且，    (1)求以及的边长； (2)设，分别为边，上的动点，线段交于，设，，， ①求证： ②四边形的面积为面积的，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据正弦定理得到，根据向量数量积的运算律得到，进而求出，结合余弦定理求解即可. （2）①设，，，根据向量的线性运算得到，结合平面向量基本定理即可得证. ②根据向量数量积的运算律及①得到，根据面积关系得到，进而得到，代入化简得，结合的范围求值域即可. 【详解】（1）由及正弦定理，得. 又为边上的中点，所以， 则， 所以. 所以，则. 所以的边长 （2）①设，，， 所以，. 由于，所以. 由、、三点共线，可得，所以. ② 由，得. 又， 所以. 由于，，所以， 则，所以， 故. 7．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，在菱形ABCD中，，，E是AB的中点，，，H为BD与FG的交点． (1)当时，用，表示，． (2)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (3)求的取值范围． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合中点及共线向量的性质，将目标向量转化为用基底表示. （2）假设存在满足题意，利用向量垂直的充要条件建立关于的方程，求解并检验是否符合题意. （3）利用，，三点共线，设；利用，，三点共线，设，建立方程组，求出关于的表达式，进一步求出关于的表达式,进而计算数量积并求值域. 【详解】（1）因为E是AB的中点，所以，，因此, , . （2）假设存在满足，则. 因为. 因为，, 所以 ， 解得，不符合题意. 故不存在满足. （3）连接，如图所示： 因为,所以，，，三点共线及，，三点共线. 设，，则. 得. 由平面向量基本定理得，，解得，. 所以，. 所以， . 由，得，，所以，，. 所以，的取值范围为. 考点03向量模的最值范围 1．（24-25高一下·四川成都·期中）已知实数满足，则的最大值为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】记，根据数量积的性质求得，则，即可求解最大值. 【详解】记，因为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为19. 故选：C 2．（多选）（25-26高一下·全国·期中）已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．在上的投影向量为 D．当取最小值时， 【答案】ABD 【分析】由恒成立，转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求出的值.利用向量的模长公式可以判断A；向量垂直的充要条件可以判断B；向量投影向量公式可以判断C；结合绝对值的几何意义，建立平面直角坐标系可以判断D. 【详解】由得：，. 对任意，恒成立，两边平方得： ， 代入，整理得关于的二次不等式： 由对任意实数不等式恒成立，可得： 所以，故A正确； ，则，故B正确； 在上的投影向量为，故C错误； ， 表示动点到两定点距离和的2倍，如图所示， 关于x轴对称的点为，则， 所以由图可知当三点共线时，动点到两定点距离和的2倍取得最小值，此时， 所以当取最小值时，，D正确. 3．（25-26高一下·宁夏银川·期中）如图，在等腰梯形中，，，.点在线段上运动，则的取值范围是_______________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出，结合二次函数的单调性即可求解. 【详解】如图：过作于点，以为原点，以所在直线分别为轴建立直角坐标系，则，直线的方程为. 设,,，，即， 当或时取得最大值； 当时取得最小值.所以的取值范围是. 4．（25-26高一下·福建厦门·期中）在矩形中，点是平面内的动点，且，则=_____；若，则的最小值为_____.    【答案】 0 2 【分析】由条件得到，所以；建立平面直角坐标系，先得到点的轨迹，再对进行变形，通过数形结合，根据几何意义求出最小值. 【详解】因为，所以，所以，即，所以； 依题意，建立以为原点，，所在直线分别为，轴的平面直角坐标系， 因为， 所以，，，，， 因为，则点在以为圆心，为半径的圆上， 设，则，， 则，即， 因为，，， 所以，， 所以 ， 其几何意义是点到与的距离之和， 因为，所以点在直线()上，即对应线段(不含点)，连接,， 所以要求的最小值，只需要求的最小值即可， 而关于对称的点为，连接,， 故，此时，即， 所以的最小值是2.    5．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，，是平面内的三个向量，其中，为单位向量，且． (1)求与夹角的大小； (2)设，求； (3)设，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据向量垂直以及向量的内积公式求解即可. （2）根据向量的模以及向量内积代入求解即可. （3）根据向量内积以及向量的模不等式求解即可. 【详解】（1）已知，为单位向量，且， 则，解得. 因为，所以. （2）已知，则， 化简， 又，， 所以， 解得或. （3）已知等式，展开得， 代入，整理得. ，， 代入得，设，不等式化为，解得. 考点04 向量夹角的最值范围 1．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， ， 所以， ，当且仅当，即时取等号，最小值为． 2．（25-26高一下·北京·期中）已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查向量夹角为钝角的条件，即两向量数量积小于0且两向量不共线，分别列出不等式求解，最后取交集得到t的取值范围。 【详解】向量，可得。 由, 得，所以或， 若两向量共线，可得，即，解得或, 因为夹角为钝角时两向量不能共线，所以且， 所以的取值范围是. 综上，的取值范围是. 3．（25-26高一下·江西抚州·期中）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若在θ仿射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的仿射坐标，记为，若满足，则称为θ仿射坐标系下的“完美向量”．已知在θ仿射坐标系下，，． (1)若，求向量的仿射坐标，并直接写出两个“完美向量”的仿射坐标； (2)当，求与的夹角β的余弦值； (3)设，对任意实数t，恒成立，求θ的取值范围，求的最大值． 【答案】(1)仿射坐标，， (2) (3) 【分析】（1）根据向量的三角形法则和坐标表示计算即可. （2）根据向量的数量积定义和向量的模的公式以及向量夹角的余弦公式计算即可. （3）根据向量的模的公式化简不等式，然后根据二次函数的性质和向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】（1），仿射坐标， ， 即或，或， 所以或，或，， 所以，为“完美向量”. （2），， ，， ， ， ． （3）， 由得， ， 得到， 对任意恒成立．因为，所以， ，，所以， ， 令， 因为，所以，， 所以的最大值为，当且仅当时，取等号． 4．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在仿射坐标系中的斜坐标． (1)若，，求； (2)若，，，求在上的投影向量的斜坐标； (3)若，，，，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】(1)根据题干给出的斜坐标的定义表示，根据向量的共线定理求参即可； (2)根据投影向量公式可知，计算出两向量的数量积与模长即可得到，由基底向量的模长与夹角代入计算的数量积与模长； (3)根据题干给的定义，将表示出来，计算其模长及夹角，根据模长的范围确定夹角的范围，进而计算的最小值． 【详解】（1）由题意得，，， 因为，则存在实数使得，即， 整理得：，即， 因为为单位向量且不共线，所以，，得，； （2）由题意得，，，且，则 ； 因为在上的投影向量为， 因为， 故， 故在上的投影向量的斜坐标为； （3）由题意得，，，， 设夹角为，则，则： ； ， ，则 因为， 且，故，即， 因为，故； 解得：；故； 则，故； 即，故， 则的最小值为． 5．（25-26高一下·四川巴中·期中）已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)； (2)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 【答案】(1)； (2)且. 【分析】（1）利用数量积的定义及运算律求解. （2）利用向量的夹角公式及向量共线列式求解. 【详解】（1）由，，，的夹角为，得， 所以. （2）由与的夹角为钝角，得，且与不共线， 由，得， 即，解得； 由与共线，不共线，得，解得， 因此由与不共线，得，则且， 所以的取值范围为且. 考点05新定义参数的最值范围 1．（25-26高一下·青海西宁·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： (1)已知向量，满足，，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）先求，再求，最后根据定义求解即可； （2）先求，再求，最后根据定义求解即可； （3）由题意可得，从而得，利用换元法及基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为， 所以，解得， 所以， 所以， 所以； （2）由题意可得， 所以 所以, 所以， 所以， 所以； （3）因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 令， 则 ， 当且仅当时等号成立， 即的最小值. 2．（25-26高一下·上海·阶段检测）对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”． (1)设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)已知均是向量集的“长向量”， (i)求证：； (ii)若，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)(i)证明见解析；(ii)4048 【分析】（1）根据向量模长的不等关系，解得的范围即可； （2）(i)结合“长向量”的概念，根据向量模的公式，数量积的运算法则得，进而得，即可得到； (ii)设，由得，，设，由对称得到方程组，求出，再根据，即可得结果. 【详解】（1）解：因为向量，， 所以，，， 因为是向量集的“长向量”， 所以，由题意可得：，即，解得：. 所以实数x的取值范围为 （2）(i)证明：因为均是向量集的“长向量”， 所以，由题意得，，即，即， 同理， 三式相加并化简得：， 所以，即， 所以，即，证毕. (ii)设，因为，， 所以，即， 因为，，所以， 设，因为与关于点对称，与关于点对称 则依题意得：， 将①代入②得，， 从而， …… ， 以上k个式子相加化简得， ， 又由②知， ， 即， 所以， 其中， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以，当时，. 3．（25-26高一下·河北邢台·期中）对于三维向量（，），定义“F变换”：，其中，，，．记． (1)若，求． (2)已知（），． (ⅰ)求p，q的值； (ⅱ)若经过m次“F变换”后，最小，求m的最小值． 【答案】(1)4； (2)(ⅰ)，；(ⅱ)9． 【分析】(1)根据题干给的定义，代入计算即可； (2)(ⅰ)根据给出的坐标设的坐标，根据给出的定义找出两参数的关系，代入中计算参数的值； (ⅱ)由第(ⅰ)问的结论推出向量坐标的规律，通过归纳总结判断结果． 【详解】（1）因为，则，，， 故，又因为：，，， 故，所以． （2）(ⅰ)设，则，，则； 若（等号不同时取）或（等号不同时取），不满足，不符合题意； 若（等号不同时取）或（等号不同时取），，不满足，不符合题意； 当时，可得则； ，则，，； 当时，同理可得，即，； 综上：，． (ii)因为，从开始，后续向量的各分量始终为偶数， 且在迭代的过程中多数向量的分量中均有2， 设的三个分量为2，，这三个数． 当时，的三个分量为，2，这三个数，所以． 当时，的三个分量为2，2，4，则的三个分量为0，2，2， 的三个分量为2，0，2， 所以， 所以由，可得． 所以的三个分量只能是2，2，4三个数，的三个分量只能是0，2，2三个数， 所以当时，，当时，，故的最小值为9． 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角. (1)若非零向量满足，且，求的取值范围； (2)若向量，且，求正数的值； (3)已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角和都是有理数，且，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题设定义及条件，得到，又，再结合的性质，即可求解； （2）根据条件，利用向量模长及夹角公式，得到，进而得到，再结合题设条件，即可求解； （3）根据题设可得，利用，得，再结合是正整数，对取值讨论，即可求解. 【详解】（1）因为且，则， 又，所以，得到，   又，且    所以的取值范围是. （2）因为和，则， 则设向量和的夹角为，则，    所以，  则，整理得到， 所以（舍）或，解得或（舍）， 所以. （3）因为， 则，     又，则， 即， 又，则，又是正整数， 当不合题意，     当，由，得到， 所以，满足题意，故， 当时，，得到，解得， 此时，不是有理数，所以不合题意， 当时，，所以时，不合题意，    综上，. 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $