重难点05 球的内切外接问题（11类核心考点）（高效培优期末专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦球的内切外接问题，按11类模型系统编排，覆盖从基础几何体到复杂位置关系的求解，突出空间想象与模型转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |内切球问题|4题（正三棱锥、正四面体等）|考查体积表面积计算，需用等体积法|从简单几何体切入，建立内切球半径与体积、表面积关系| |外接球-线面垂直模型|5题（鳖臑、圆直径等）|含线面垂直条件，用补形或球心定位|结合线面垂直性质，构建直角三角形求球半径| |外接球-面面垂直等模型|各2-4题（对棱相等、二面角等）|涉及复杂位置关系，需转化为基本模型|从位置关系拓展，深化空间几何量的关联| |棱切球/多球/最值问题|3-5题（正四面体、正方体等）|综合考查球与棱相切、多球相切及动态最值|提升综合应用，体现数学思维的严谨性与创新性|

重难点05 球的内切外接问题 考点01内切球问题 考点07外接球—棱台模型 考点02外接球—线面垂直模型 考点08外接球—旋转体模型 考点03外接球—面面垂直模型 考点09棱切球问题 考点04外接球—对棱相等模型 考点10 多球问题 考点05外接球—二面角模型 考点11 最值与范围问题 考点06外接球—共斜边模型 考点01内切球问题 1．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二上·江西南昌·专题练习）正四面体的棱长为，则该几何体的内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·陕西西安·期中）正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为_____． 考点02外接球—线面垂直模型 1．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东滨州·期末）在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建泉州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为______． 5．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，直线AB垂直于圆O所在的平面，内接于圆O，且BD为圆O的直径，，E为垂足，则下列结论正确的是（    ） A．若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值 B．若AC的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值 C．若BD的长为定值，则EO的长也为定值 D．若CD的长为定值，则的长也为定值 考点03外接球—面面垂直模型 1．（24-25高一下·福建莆田·期末）已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 考点04外接球—对棱相等模型 1．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2.（2026·安徽马鞍山·模拟预测）已知三棱锥中，，则三棱锥的外接球的体积为（     ） A． B． C． D． 考点05外接球—二面角模型 1.如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 2.如图，在四面体中，和均是边长为6的等边三角形，，则四面体外接球的表面积为 . 3．（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）如图所示，四边形为正方形，将围绕旋转60°得到三棱锥，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（2026·湖南永州·一模）在等腰直角三角形中，斜边为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为___________． 考点06外接球—共斜边模型 1.（25-26高二上·辽宁大连·期末）在矩形中，，，沿对角线将折起，折至，则四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为 ． 考点07外接球—棱台模型 1．（25-26高二上·广东·期末）已知正三棱台的高为5，，，则该正三棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·重庆·月考）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 考点08外接球—旋转体模型 1．（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·天津西青·月考）如图，在直角梯形中，，，.若梯形绕所在直线旋转一周，则所得几何体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北衡水·期末）高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 考点09棱切球问题 1．（2026·全国·模拟预测）正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东肇庆·二模）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西西安·期中）正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为_____． 考点10 多球问题 1．（2026高一·全国·专题练习）如图，在棱长为4的正四面体中，大球内切于该正四面体，小球与大球及正四面体的三个侧面相切，则小球的表面积为________. 2．（25-26高三上·云南·月考）如图，在正四面体中，中间1个大球为正四面体的内切球，4个小球与大球､正四面体的三个面均相切.若，则该正四面体中，其中一个小球与大球的体积比为______. 3．（2026·广西北海·一模）若一个半径为1的实心球O放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该盒子内再放入一个球，则球的表面积的最大值是______． 4．（2026高一·全国·专题练习）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为____. 考点11 最值与范围问题 1．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________． 2．（25-26高一下·吉林四平·期中）一气球（近似看成球体）在不变形的前提下放在由长为a的12根木条搭成的正方体中，该气球表面积的最大值是______． 3．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 4．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形. (1)当时， （i）求证：； （ii）若是上任意一点，，，当面积的最小值是9时，求证：平面； (2)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若，，且四边形的面积为8，若点可能为，，的中点，试确定点位置，使得四面体为鳖臑（需要证明），并求出该鳖臑外接球表面积的最小值. 5．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中. (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的余弦的取值范围； (3)当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点05 球的内切外接问题 考点01内切球问题 考点07外接球—棱台模型 考点02外接球—线面垂直模型 考点08外接球—旋转体模型 考点03外接球—面面垂直模型 考点09棱切球问题 考点04外接球—对棱相等模型 考点10 多球问题 考点05外接球—二面角模型 考点11 最值与范围问题 考点06外接球—共斜边模型 考点01内切球问题 1．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切球的球心将三棱锥分成四个三棱锥，这四个三棱锥的高均为内切球半径，再根据等体积法可得内切球半径，从而可得球的体积. 【详解】因为正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，如图： 设O为三棱锥的内切球的球心，则连接， 三棱锥被分成四个三棱锥，这四个三棱锥的高均为内切球的半径r， 由等体积法可得 ， ，，解得 内切球体积. 故选：A. 2．（2025高二上·江西南昌·专题练习）正四面体的棱长为，则该几何体的内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等体积法，结合锥体的体积公式、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】 设该正四面体内切球的半径， 设是的中点， 因为四面体是正四面体，所以， 因此， 设点在底面的射影为点，则点在线段上， 因为正四面体的棱长为， 所以，所以， 因为， 得， 故选：B 3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正四棱台存在内切球的条件求出正四棱台的高，再代入正四棱台的体积公式计算体积. 【详解】 正四棱台存在内切球，取,,,的中点，分别为,，,点，上底面与球相切的点为点，由此获得一个含内切圆的等腰梯形截面图，如上图所示，而梯形有内切圆的充要条件：上底下底两腰之和； ，，则，则梯形的高，此时梯形的高即为正四棱台的高，而正四棱台的体积公式：，为上底面的面积，，为下底面的面积，，将其均代入中，可得. 故选：D 4．（24-25高一下·陕西西安·期中）正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为_____． 【答案】 【分析】设正方体的棱长为，分别求出内切球､棱切球､外接球的半径，再根据体积公式，可知体积比为半径比的立方比，即可得解. 【详解】设正方体的棱长为，则其内切球､棱切球､外接球的半径分别为，即半径之比为， 又球的体积公式为（为球的半径）， 所以正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为. 故答案为： 考点02外接球—线面垂直模型 1．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，进而可得三棱锥外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可. 【详解】由已知得，作下图， 设外接圆的半径为， 已知，，. 根据正弦定理可得，解得 . 因为平面，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离=1， 所以外接球半径. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 2．（24-25高一下·山东滨州·期末）在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合球的截面性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】由为的外心，，得是的中点，又， 则，由平面，得三棱锥的外接球球心在射线上， 设该球半径为，则，由，得， 解得，所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 3．（24-25高一下·福建泉州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】由，，，∴，即有， 又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示：     图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线， 也是外接球的直径，设外接球半径为R，则， 所以瞥臑的外接球表面积为. 故选：B． 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为______． 【答案】/ 【分析】由题意作图，根据外接球的性质确定球心位置，利用余弦定理、正弦定理以及勾股定理，结合球的表面积公式，可得答案. 【详解】由题意，取的外接圆圆心为，取的中点为，空间中取点， 连接，其中，平面，如下图： 则点是三棱锥的外接圆圆心， 在中，由余弦定理可得， 即，所以， 因为平面，平面，所以， 又，则在平行四边形中，， 易得，则外接球表面积为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，直线AB垂直于圆O所在的平面，内接于圆O，且BD为圆O的直径，，E为垂足，则下列结论正确的是（    ） A．若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值 B．若AC的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值 C．若BD的长为定值，则EO的长也为定值 D．若CD的长为定值，则的长也为定值 【答案】ACD 【分析】对于A，取AD的中点H，通过证明、推导出为外接球的球心，则AD为外接球直径，即可判断选项对错；对于B，通过体积法，举例证伪选项即可；对于C，通过证明即可判断BD和EO的长度关系，进一步可判断选项对错；对于D，通过变换，结合、，可得与CD长度的关系，即可判断选项对错． 【详解】对于A，取AD的中点H，如图所示， 平面BCD，平面BCD，，， 平面BCD，平面BCD，， ，，BC、平面ABC， 平面ABC，平面ABC，， ，为外接球的球心，AD是直径，该三棱锥外接球的半径为，故A正确； 对于B，假设内切球的球心为， 第一种情况不妨假设，，，，，此时内切球的半径为， 根据， 即， 即， 解得； 第二种情况不妨假设，，，，，此时内切球的半径为， 根据， 即， ， 解得； 综上所述，当AC的长为定值，三棱锥内切球的半径不为定值，故B错误； 对于C，由选项A可知，又，，AC、平面ACD， 平面ACD，平面ACD，， ，若BD的长为定值，则EO的长也为定值，故C正确； 对于D，由以上分析可知，，故，， 由于O为BD中点， 故 ， 故CD的长为定值，则的值也为定值，故D正确． 故选：ACD． 考点03外接球—面面垂直模型 1．（24-25高一下·福建莆田·期末）已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，找到球心的位置，设，连接，利用半径相等得到方程，求出，进而求出外接球半径和表面积. 【详解】取的中点，连接，， 因为底面与侧面均是边长为2的正三角形， 所以⊥，⊥， 因为平面平面，交线为，且平面， 所以⊥平面， 在上取点，使得，故为等边三角形的中心， 该三棱锥外接球的球心在平面上的投影为， 其中，，， 设，连接，过点作⊥于点， 则，，， 设，则， 即，解得， 所以，该三棱锥外接球的表面积是. 故选：C 2．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积 3．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 【答案】 【分析】分别求出和外接圆的圆心，利用几何关系寻找外接球球心和外接圆圆心的数量关系，即可得到外接球的半径. 【详解】 因为是等腰直角三角形，设的外接圆圆心为，因为，，则的外接圆半径， 因为侧面是等边三角形，设其外接圆圆心为，半径为， 由正弦定理可得，解得， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以. 考点04外接球—对棱相等模型 1．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线与三棱锥外接球直径的关系，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积. 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 2.（2026·安徽马鞍山·模拟预测）已知三棱锥中，，则三棱锥的外接球的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得，点在底面的投影即为的外心，再利用正弦定理求得外接圆的半径，然后找到球心的大致位置，根据半径相等列等式求解即可. 【详解】 过点作平面，垂足为，连接、、， 因为，所以， 故点是底面的外心，设外接圆的半径， 由正弦定理，所以，， 所以，， 设三棱锥的外接球球心为，显然在线段上， 设，三棱锥的外接球的半径为， 则，，又， 所以，，， 三棱锥的外接球的体积为. 故选：C. 考点05外接球—二面角模型 1.如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，找到二面角的平面角，并得到球心的位置，利用半径相等得到方程，求出外接球半径，得到表面积. 【详解】如图所示，过点作，过点作，两直线相交于点， 因为，， 所以，⊥，则⊥， 由于⊥，故即为二面角的平面角， 则， 过点作⊥于点， 因为⊥，⊥，，平面， 故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，平面， 则⊥平面，， 取的中点，则外接球球心在平面的投影为，即⊥平面， 连接，，则，过点作，交直线于点， 则，   ， ， 由余弦定理得 ， 设，则，故， 由勾股定理得，， 故，解得， 故外接球半径为，外接球表面积为. 故选：C 2.如图，在四面体中，和均是边长为6的等边三角形，，则四面体外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】设四面体外接球的球心为的中心分别为，则可得平面平面，且四点共面，可得，进而求出，然后由勾股定理求出四面体外接球的半径；取中点，作，设点轨迹所在平面为，求出四面体外接球半径和到平面的距离，从而可求出平面截外接球所得截面圆的半径，进而可得结果. 【详解】 取中点，连接，则，平面， 又和均是边长为6的等边三角形，， ∴平面，， 所以， ∴， 设四面体外接球的球心为的中心分别为， 易知平面平面，且四点共面， 由题可得，， 在中，得，又， 则四面体外接球半径， 所以四面体外接球的表面积为； 3．（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）如图所示，四边形为正方形，将围绕旋转60°得到三棱锥，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】正方形的边长为a，由题意，求出各个长度，代入体积公式，可求得a值，分析可得AC中点O为外接球球心，即可求得答案. 【详解】设正方形的边长为a，则， 取AC中点O，连接BO，PO，则， 因为将围绕旋转60°得到三棱锥， 所以P到平面ABC的距离， 则三棱锥的体积， 解得， 因为与均为直角三角形，且AC为斜边，O为AC中点， 所以O为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径. 故选：D 4．（2026·湖南永州·一模）在等腰直角三角形中，斜边为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为___________． 【答案】 【分析】根据正弦定理得出三棱锥的高最大为，再应用换元法计算求解得出线线垂直进而得出外接球半径，最后应用球的表面积求解. 【详解】如图，为直角三角形，且． 设，过点作，交直线于点，则． 在中，由正弦定理，得 ． 当平面平面时，三棱锥的高最大，为． ． 设，则． ． 在区间上单调递增，． ，当时取等号，此时取得最大值，最大值为． 此时，且两两互相垂直． 三棱锥的外接球的直径为表面积为． 故答案为： 考点06外接球—共斜边模型 1.（25-26高二上·辽宁大连·期末）在矩形中，，，沿对角线将折起，折至，则四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四面体的外接球的球心到四个顶点的距离相等可得球心为的中点，从而可得体积. 【详解】因为四边形为矩形， 所以折起后均为直角三角形， 所以的外接圆的圆心均为的中点， 又四面体的外接球的球心到四个顶点的距离相等， 所以球心为的中点，半径， 所以外接球的体积为. 故选：B. 2．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】取的中点，因为， 所以， 所以三棱锥外接球的球心为，半径为． 故三棱锥外接球的表面积为．    故答案为： 考点07外接球—棱台模型 1．（25-26高二上·广东·期末）已知正三棱台的高为5，，，则该正三棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，由正三棱台的对称性可得，正三棱台的外接球的球心落在上底面中心与下底面中心的连线上，先求出三棱台的高，再由球的性质得到外接球的半径. 【详解】分别取、的中心，连接，过作， 因为，由正弦定理得，得，同理可得， 由题意， 设正三棱台的外接球球心为O，因为为上底面截面圆的圆心，为下底面截面圆的圆心， 所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线EF上， 设外接球O的半径为R，所以，，， 即，， 当在EF的延长线上时，可得，无解； 当在线段EF上时，轴截面中由几何知识可得，解得， 所以正三棱台的外接球表面积为. 故选：D 2．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由棱台的体积公式可得棱台的高，再求棱台的外接球体积即可. 【详解】由题可知，，设棱台高为， 则，解得，    根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积. 故选：B. 3．（25-26高一下·重庆·月考）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 【答案】 【分析】 根据条件及三棱台的体积公式，可得正三棱台的高，根据正三棱台的性质及勾股定理，可得外接球的球心到下底面的距离，进而可得外接球的半径R，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】因为正三棱台的上、下底面边长分别为、， 所以上底面面积，下底面面积， 设正三棱台的高为h，则体积， 则，解得， 上底面的中心到顶点A的距离， 下底面的中心到顶点D的距离， 因为，所以外接球球心O位于底面DEF的下方， 设外接球球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为，设外接球的半径为， 则，即，解得，则， 所以外接球的表面积为 考点08外接球—旋转体模型 1．（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆台体积公式求出高，再根据外接球球心在上下底面圆心连线上，由球心到两底面圆周的距离相等列方程求出外接球半径，代入球的体积公式计算结果. 【详解】设该圆台的上､下底面的圆心分别为，高为，则圆台的体积为 ，求解可得， 设该圆台外接球的球心为，则在上，设，所以， 设该圆台外接球的半径为，所以，求解可得， 所以该圆台外接球的体积为. 2．（25-26高三上·天津西青·月考）如图，在直角梯形中，，，.若梯形绕所在直线旋转一周，则所得几何体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中条件，先求出各个边长，由题意，旋转后的几何体为圆台，取其轴截面，设外接球球心为O，分别讨论O在线段AD上和在DA延长线上两种情况，根据勾股定理，列出方程组，化简计算，求出，代入面积公式，即可得答案. 【详解】过C作，交AB于E， 则， 因为，且四边形ADCE为矩形， 所以，即. 由题意得，梯形绕所在直线旋转一周得到的几何体为圆台，取圆台的轴截面， 如图所示，设外接球球心为O，半径为R，， 当O在线段AD上时，则， 由勾股定理得，即， 整理得，即，不成立，故O不在线段AD上； 当球心O在DA的延长线上时，则，如图： 所以，即， 解得，所以， 所以该圆台外接球的表面积为. 故选：D 3．（25-26高三上·河北衡水·期末）高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设外接球的半径为，依题意可得，求出，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】设外接球的半径为，依题意可得，解得， 所以圆锥的外接球的表面积. 故选：C 考点09棱切球问题 1．（2026·全国·模拟预测）正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将正四面体放在正方体中，正方体的内切球即为正四面体的棱切球，求解即可. 【详解】把正四面体放在正方体中，如图，    则正方体的内切球即为正四面体的棱切球， 即正方体的棱长为正四面体的棱切球的直径， 因为，所以正方体的棱长为，棱切球的半径为， 所以正四面体的棱切球的体积为. 故选：C. 2．（2026·广东肇庆·二模）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意构造直角三角形，列出关于高及得方程组，即可求解出正三棱锥的棱切球半径. 【详解】如图三棱柱为正三棱锥，且底面边长，侧棱 设正三棱锥的棱切球球心为，半径为，则顶点在底面的投影为也为的中心，取的中点，连接，过点作垂足为，则，设， 在中， 因为为的中心，则，， 在中即； 在中，，即， 在中，，则； 在中，，则， 在中，，则， 又因为，则，化简得， 由得解得. 故选：C. 3．（24-25高一下·陕西西安·期中）正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为_____． 【答案】 【分析】设正方体的棱长为，分别求出内切球､棱切球､外接球的半径，再根据体积公式，可知体积比为半径比的立方比，即可得解. 【详解】设正方体的棱长为，则其内切球､棱切球､外接球的半径分别为，即半径之比为， 又球的体积公式为（为球的半径）， 所以正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为. 故答案为： 考点10 多球问题 1．（2026高一·全国·专题练习）如图，在棱长为4的正四面体中，大球内切于该正四面体，小球与大球及正四面体的三个侧面相切，则小球的表面积为________. 【答案】/ 【分析】根据条件作出图形，利用正四面体的结构特征及锥体的体积公式求出两个球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】在正四面体中，平面，四点共线， 点是的中点，连结，切点在上，    由正四面体的棱长为4，得，，则， 设球的半径为，由，得， 设球的半径为，则，即，解得， 所以小球的表面积为. 故答案为： 2．（25-26高三上·云南·月考）如图，在正四面体中，中间1个大球为正四面体的内切球，4个小球与大球､正四面体的三个面均相切.若，则该正四面体中，其中一个小球与大球的体积比为______. 【答案】 【分析】根据正四面体的体积公式和球的体积公式进行求解即可. 【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接，，，，，，则， ， 又，则， 所以，大球的体积为. 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 所以，所以一个小球的体积为， 故其中一个小球与大球的体积比为. 故答案为：. 3．（2026·广西北海·一模）若一个半径为1的实心球O放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该盒子内再放入一个球，则球的表面积的最大值是______． 【答案】 【详解】设正方体为，又一个半径为1的实心球O与该正方体内切，所以正方体的棱长为， 当球与正方体的三个面相切且与球O相切时，球的半径能取得最大值 ， 设球的半径为，连接球心与球心，以及球心到与它相切的正方体的三个面的垂足，可构成一个以球心，球心和正方体顶点为顶点的直角三角形， 此时球心与球心的距离为，球心到正方体顶点的距离为，正方体棱长的一半为， 根据上述关系可列出方程：，解得， 所以球的表面积最大值为.14．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，在棱长为的正方体内有两个球、相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为_____.（参考公式：.） 【答案】 【分析】设两球半径分别为，球心在正方体体对角线上，过分别作的垂线，垂足分别为，结合求得，再结合球的体积公式即可求解． 【详解】如图，设两球半径分别为，球心在正方体体对角线上， 过分别作的垂线，垂足分别为， 由图可得， 即， 整理得，所以， 故两球体积之和为 ， 由二次函数性质可知：当且仅当时，有最小值， 即两球体积之和的最小值为． 故答案为：． 4．（2026高一·全国·专题练习）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为____. 【答案】/ 【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径即可. 【详解】 如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为， 为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和. 易得，，，由， 可得，又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得，即球的最大半径为. 考点11 最值与范围问题 1．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________． 【答案】 【分析】由题意可知若一个正方体可以在盒内任意旋转,则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直径.则此题转化成求正四棱台内切球半径.分情况讨论：当内切球与棱台的上、下底面相切时，半径即为棱台高的一半；当内切球与棱台的腰相切时，利用三角形相似可求得内切球半径. 【详解】 将正四棱台的四条侧棱延长交于一点，形成一个正四棱锥，作出截面（如图） 正四棱台的上、下底面为正方形，且上、下底面面积分别为4和64， 则上底边长为2，下底边长为8.即. 侧面梯形的高为6,则，所以棱台的高. 若一个正方体可以在盒内任意旋转,则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直径. 当内切球与棱台的上、下底面相切时，内切球半径； 当内切球与棱台的侧面相切时（如图），假设 由，则， 即，得,则，. 又，，即，解得 ，正四棱台内切球的半径,即正方体外接球半径. 此时正方体的边长为，则正方体棱长的最大值为. 2．（25-26高一下·吉林四平·期中）一气球（近似看成球体）在不变形的前提下放在由长为a的12根木条搭成的正方体中，该气球表面积的最大值是______． 【答案】 【分析】根据正方体的性质可知，气球的最大半径为正方体底面对角线长的一半，然后代入球的表面积公式求解即可. 【详解】气球充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状）， 由题意与棱长为a的正方体相切于棱中点时，球的半径最大，即表面积最大， 此时球的半径就是正方体底面对角线长的一半， 因为正方体的棱长为a，所以正方体底面对角线的长为， 设球的半径为，即，则，所以球的表面积为. 3．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】当平面垂直于平面时，三棱锥的体积最大，进而结合勾股定理和底面梯形外接圆性质确定外接球的球心位置和球半径，再结合求表面积公式求解即可. 【详解】依题意，，正三角形的高为，则到的距离与梯形的高均为. 三棱锥的体积，其中， 是到底面的高，由图知，当且仅当平面平面时，最大（），此时其体积最大. 又因是等腰梯形，为圆内接四边形，其外心必在对称轴（中点到中点的连线）上，而. 设四棱锥的底面外接圆半径为，外心到的距离为， 由勾股定理： 将代入可得，解得， 因.则可知棱锥底面外接圆圆心就是中点，且，即. 外接球的球心必在过底面外心且垂直于底面的直线上， 设，外接球半径为，则：. 由平面平面，，得底面，， 且.由勾股定理得：， 代入得：， 化简得：. 因此， 外接球表面积：. 4．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形. (1)当时， （i）求证：； （ii）若是上任意一点，，，当面积的最小值是9时，求证：平面； (2)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若，，且四边形的面积为8，若点可能为，，的中点，试确定点位置，使得四面体为鳖臑（需要证明），并求出该鳖臑外接球表面积的最小值. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 (2) 【分析】（1）（i）求证，，再利用线面垂直的判定定理和性质定理求证； （ii）求证，，利用线面垂直的判定定理求证； （2）点为线段的中点，求证，再利用长方体求出外接球半径即可. 【详解】（1）（i）连接，因为平面，平面，所以， 因为底面为平行四边形且，所以四边形为菱形，则， 因为平面，所以平面， 又平面，所以； （ii）设，连接， 因为平面，平面，所以， 因为面积的最小值是9，所以，则， 故当时，，故， 则，则，即， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 则，则， 因为，， 所以，则， 因为平面，所以平面； （2）点为线段的中点， 设，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为点为线段的中点，则，即为直角三角形， 因为， 所以，则， 故，故四面体为鳖臑； 将该鳖臑补形至长方体中，其中， 所以体对角线长为， 设外接球的半径为，所以， 则外接球表面积为，等号成立时， 故该鳖臑外接球表面积的最小值为. 5．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中. (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的余弦的取值范围； (3)当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直去证明面面垂直即可； （2）找到二面角的平面角，由余弦定理可求解； （3）由于是不规则四面体的外接球，转化为过三角形外接圆圆心作该面的垂线必过球心，来研究外接球半径即可. 【详解】（1）（1）因为，所以，则 且平面平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）由，知二面角的平面角即为. 在中，,，则由余弦定理得 ， 在中，由且，结合，可得， 故， 所以，所以， 所以的范围是， 即二面角的余弦的取值范围是. （3） 设和的外接圆圆心分别为和， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点， 在中，因为，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 在中，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 过点作于，连接，设，显然四边形为矩形， 所以.所以， 即， 所以， 故当时，取得最小值，即， 此时三棱锥外接球的体积最小值为，此时 学科网（北京）股份有限公司 $