七年级数学下学期期末模拟卷（新教材北京版）

**基本信息** 本卷以北京版七年级数学下册为范围，通过文化传承（《九章算术》）、现实应用（快递机器人）及跨学科情境（光的反射），融合代数、几何、统计模块，体现数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|平移、普查、因式分解、平行线性质|春晚吉祥物考平移，《九章算术》应用题| |填空题|8/24|不等式、完全平方、平均数、光的反射|抖空竹抽象几何问题，建筑占地面积比较| |解答题|10/72|方程组、数据分析、几何证明、材料阅读|快递机器人方案设计，因式定理探究题|

2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图是马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】 解：根据平移的定义，平移后的图形与原图形的形状、大小和方向完全相同， A、图形发生了旋转，方向改变，故不符合题意； B、图形发生了旋转，方向改变，故不符合题意； C、图形的形状、大小和方向与原图完全一致，可以通过平移得到，故符合题意； D、图形发生了旋转，方向改变，故不符合题意． 2．下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（    ） A．检测一批灯泡的使用寿命 B．调查北京市七年级学生每日睡眠时间 C．调查某校七（1）班学生的身高情况 D．调查全国中学生课外阅读量 【答案】C 【分析】普查适合调查范围小，人数少，调查无破坏性的情况，结合各选项的实际情况判断即可. 【详解】解：A选项，检测灯泡使用寿命具有破坏性，不适合普查； B选项，北京市七年级学生数量多，范围广，不适合普查； C选项，某校七(1)班学生人数少，范围小，适合普查； D选项，全国中学生数量多，范围广，不适合普查. 3．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的方法∶提公因式法、平方差公式、完全平方公式即可判断各选项，注意分解结果要彻底． 【详解】解：A、，本选项的因式分解错误； B、，本选项的因式分解错误； C、，本选项的因式分解错误； D、，本选项的因式分解正确． 4．如图，直线，直线分别交于点平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵平分交于点， ∴. 5．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵原有9枚黄金总重量与11枚白银总重量相等，每枚黄金重两，每枚白银重两 ∴； ∵两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻13两，交换后甲袋有8枚黄金和1枚白银，总重量为，乙袋有10枚白银和1枚黄金，总重量为，乙袋重量比甲袋多13两 ∴； 因此可得方程组 ． 6．若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 【答案】B 【分析】求出不等式组的解集，结合求出整数解，然后求和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4， ∴或或， 故选B． 7．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 【答案】C 【分析】先对多项式用提公因式法和平方差公式分解因式，再代入，的值计算各因式的取值得到因式码，最后将因式码从小到大排列得到密码，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 得到三个因式码为13，21，31， 按从小到大顺序排列后连接得到密码132131． 8．如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，由平行线的判定定理可判断①；过点作，则，由平行线的性质可得，即可判断②；设，，可得，，，即可判断③；过点作，则，可得，，进而得到，即得到，即可判断④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 过点作，则， ∴，， ∴， 即，故②正确； 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵，，，， ∴，， 过点作，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②③④， 故选：． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．“x的3倍与2的差小于”所对应的不等式是______． 【答案】 【分析】根据题目描述的数量关系即可列出对应的不等式． 【详解】解：根据题意可得，的倍为，与的差为，差小于， 因此列出不等式为． 10．若代数式是一个完全平方式，则实数______． 【答案】7或 【详解】解：代数式是一个完全平方式， ， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 综上，实数或． 11．老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算的结果是11.27，结果老师说最后一位错了，其它的数字都对，那么正确答案是______． 【答案】11.23 【分析】本题考查平均数，这13个自然数的总和为整数，且总和，据此即可求出总和，用总和÷13即可得到正确的平均数． 【详解】由题可知，总和， ∴145.6≤总和≤146.77， ∵总和是13个自然数的和， ∴总和为整数， ∴总和146， ∴平均数为：． 故答案为：11.23． 12．初一年级组织爱心义卖，某班销售物品中的笔记本售价为3元/个、笔桶售价为4元/个，经过统计，这两种物品共售卖25元，请问这两种物品各售卖多少个？__________．（写出一种情况即可） 【答案】售卖笔记本3个，售卖笔桶4个 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设笔记本售卖个，笔筒售卖个，根据两种物品共售卖25元，列二元一次方程，即可解答，熟知等量关系是解题的关键． 【详解】解：设笔记本售卖个，笔筒售卖个， 则可得， 为正整数， 是方程的一个解， 故售卖笔记本3个，售卖笔桶4个， 故答案为；售卖笔记本3个，售卖笔桶4个（答案不唯一） 13．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小雅把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 【答案】/度 【分析】过点作，根据平行线的性质，求得的度数，再根据平行线的传递性，证明，可求得的度数，即可进一步求得答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．已知，，，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．通过计算，和的值，利用进行求解． 【详解】解：，，， ，，， ， 故答案为：3． 15．如图1，光的反射定律内容如下：①反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；②反射光线和入射光线分别位于法线两侧；③反射角等于入射角． 如图2，甲同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为_____（填序号）． ①；②；③；④ 【答案】④ 【分析】过点G作，，则，由平行线的性质得到，，求出 ，则可得到，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点G作，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由光的反射定律可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴可能取到的度数为． 16．同学们在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 记图1中回字形福建土楼的占地面积为，图2中山西大院的占地面积为． （1）若，比较与的大小：______（填“”，“”或“”）； （2）若，则的值为______． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，因式分解的应用，正确表示出和是解题的关键． （1）等于图1中外面大长方形的面积减去中间空白的长方形面积，等于图2中外面大长方形的面积减去中间空白的长方形面积，据此求出和，再利用作差法求解即可； （2）根据（1）所求可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意得， ， ， ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴由（1）得， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）按要求完成下列各题： (1)解不等式： ； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2)原方程组的解为 【详解】（1）解： ． ∴不等式的解集为； （2）解：， 整理，得， ，得③， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为． 18．（5分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（6分）将下列各式分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式； （2）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（6分）根据“八五”普法规划实施要求，围绕公民法治素养提升行动核心内容，学校决定组织八年级两个班的学生开展“关爱明天普法先行”知识问答比赛，比赛分为两轮，各项成绩均按百分制计． 收集数据： 第一轮比赛，八（1）班和八（2）班分别组成了两支人的队伍进行书面知识比赛，成绩如下表： 八（1）班 八（2）班 第二轮比赛，两班各选派一名同学作为班级代表参加演讲比赛，评委从演讲内容、语言表达、综合素质三个方面为选手打分，统计如下表： 选手 演讲内容 语言表达 综合素质 八（1）班小文 八（2）班小明 分析数据： （1）在第一轮比赛中，两个班级的四个统计量如下表： 班级 平均数 众数 中位数 方差 八（1）班 八（2）班 表中______，______． （2）第二轮比赛计分规则：演讲内容、语言表达、综合素质三项成绩的占比为，请你计算八（1）班小文和八（2）班小明本轮比赛的得分． 应用数据： （3）根据（1）和（2），分析哪个班学生在本次比赛表现更突出． 【答案】（1），；（2）小文的得分为分，小明的得分为分；（3）八（1）班学生在本次比赛表现更突出 【分析】本题考查了众数，中位数，加权平均数，运用中位数做决策，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据出现次数最多的数为众数，得出众数；先把数据排序，位于中间位置的数（如果中间位置有两个数，取它们的平均数）为中位数，得出，即可作答． （2）根据加权平均数的公式进行列式计算，即可作答． （3）结合八（1）班学生成绩的平均数、众数和中位数均高于八（2）班，进行分析，即可作答． 【详解】解：（1）在八（1）班人的成绩中，出现的次数最多， 故众数； 把八（2）班人的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，， 故中位数； 故答案为：，； （2）八（1）班小文的得分为：（分）， 八（2）班小明的得分为：（分）， （3）八（1）班学生在本次比赛表现更突出，理由如下： 由（1）得， ∵， 即八（1）班学生成绩的平均数、众数和中位数均高于八（2）班， 由（2）得八（1）班小文的得分为分，八（2）班小明的得分为分， ∵ ∴八（1）班学生在本次比赛表现更突出． 21．（6分）如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，与分别与交于点和点，与交于点，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知结合对顶角相等证明，即可得证； （2）根据平行线的性质可求的度数，进而可得的度数，再由角平分线的性质可得的度数，从而得到的度数，最后根据平行线的性质即可得解． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：与都平行于，即， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 22．（8分）小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)小厉，理由见解析 【分析】（1）根据阴影部分面积大长方形的面积小长方形的面积，分别表示出、，利用整式的混合运算法则化简即可； （2）计算并化简得出最简结果，根据即可求解． 【详解】（1）解： ； ． （2）解：小厉的想法正确，理由如下： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小厉的想法正确． 23．（8分）某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： A型智能机器人台数 B型智能机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二： A型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； B型智能机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过660万元购买A，B两种型号智能机器人共10台，且每种型号至少购买1台，则该企业有哪几种购买方案？要使每天分拣快递的件数最多，应选择哪种购买方案？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． (2)共有种购买方案，分别是：①购买A型台，B型台；②购买A型台，B型台；③购买A型台，B型台． 要使每天分拣快递的件数最多，应选择购买A型台，B型台的方案． 【分析】（1） 根据表格中两种购买情况的总费用，设出未知数，列二元一次方程组求解单价； （2）设出购买型机器人的数量，根据总费用不超过万元列一元一次不等式，结合未知数的实际意义得到所有购买方案，再计算各方案的日分拣量，比较得到最优方案． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元． 由题意得 ，解得 ， 答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元． （2）解： 设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人 台． 由题意得 ，解得． 为正整数，且要购买两种型号的智能机器人， ． 因此共有种购买方案： 方案1：购买型台，型台，日分拣快递件数为 （万件）； 方案2：购买型台，型台，日分拣快递件数为 （万件）； 方案3：购买型台，型台，日分拣快递件数为 （万件）； ， 购买型台，型台时，每天分拣快递的件数最多． 答：该企业共有种购买方案，分别是购买型台型台，购买型台型台，购买型台型台；要使每天分拣快递的件数最多，应选择购买型台，型台的方案． 24．（8分）如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． (2)因式分解：其中，则 ， ． 【拓展延伸】 (3)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出q的值： ． (4)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 【答案】(1) (2)1；4 (3) (4)1，4，11 【分析】（1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）由得到，，即可求解； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由甲图可得，长方形的面积为， 由乙图可得，长方形的面积为， 故得到的等式是． （2）解：∵， 又， ∴，， ∴，或，， ∵， ∴，． （3）解：∵可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，． （4）解：∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，4，11． 25．（10分）直线，，两两相交，，过点A的直线与平行，点D是直线上一点（不与点A重合），过点D作交于点E，和的平分线所在直线相交于点P（点P不与点B，D重合）． (1)如图1所示： ①依题意补全图形； ②试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)请直接写出的度数______． 【答案】(1)①见解析， (2)或或或 【分析】（1）①依据题意即可作图；②过点向左作，根据平行线的性质以及角平分线的意义求解即可； （2）分四种情况讨论，点在点左侧，且点在内；点在点左侧，且点在外；点在点右侧，且点在内；当点在点右侧，且点在外，然后过点作的平行线，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图： ②，理由如下： 过点向左作， ∵分别平分 ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 即； （2）解：①点在点左侧，且点在内时，如图： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 由（1）知， ； ②点在点左侧，且点在外时，如图： 过点作直线 ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； ③点在点右侧，且点在内时，如图： 过点作直线 ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴； ④当点在点右侧，且点在外时，如图： 过点作直线 ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， 综上：的度数为或或或． 26．（10分）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 【答案】(1)a的值为0，b的值为 (2)x的值为或或4； (3)或或 【分析】本题主要考查了因式定理的应用、二元一次方程组的解法、一元三次方程的因式分解与求解、平方差公式的应用以及整数的性质，熟练掌握利用因式定理对多项式进行因式分解以及根据平方差公式和整数性质求解不定方程是解题的关键． （1）根据因式定理，将和代入多项式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值． （2）先由(1)得到的具体表达式，再根据列出方程，通过因式定理找出方程的因式，分解因式后求解方程． （3）先计算和的值，根据题意设、，两式相减得到平方差，利用平方差公式分解后，根据正整数的性质列出所有可能的因数分解情况，进而求出的正整数解． 【详解】（1）解：∵， ∴即① ∵， ∴ 即② 联立①②得 解得 ∴a的值为0，b的值为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 当时，， ∴是的因式， 当时，， ∴是的因式， 设另一个因式为， 则， 即， 解得， ∵， ∴， ∴或或， ∴x的值为或或4； （3）解：当，， 当，， ∵能写成某些正整数的平方， ∴，能写成某些正整数的平方， 不妨设①，②（其中，都是正整数）， 得：，即， ∵， 且，同奇同偶，且， 所有可能情况如下： 或或或或， 解得或或或或， 此时或或或或， ∵正整数m， ∴或或． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D B D B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9． 10．7或 11．11.23 12．售卖笔记本3个，售卖笔桶4个 13．/度 14．3 15．④ 16． / 三、解答题（本大题共10小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【答案】(1) (2)原方程组的解为 【详解】（1）解： ． ∴不等式的解集为；·····································2分 （2）解：， 整理，得， ，得③， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为．·····································5分 18．（5分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ；·····································2分 （2）解： ．·····································5分 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式； （2）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ；·····································3分 （2）解： ．·····································6分 20．（6分） 【答案】（1），；（2）小文的得分为分，小明的得分为分；（3）八（1）班学生在本次比赛表现更突出 【分析】本题考查了众数，中位数，加权平均数，运用中位数做决策，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据出现次数最多的数为众数，得出众数；先把数据排序，位于中间位置的数（如果中间位置有两个数，取它们的平均数）为中位数，得出，即可作答． （2）根据加权平均数的公式进行列式计算，即可作答． （3）结合八（1）班学生成绩的平均数、众数和中位数均高于八（2）班，进行分析，即可作答． 【详解】解：（1）在八（1）班人的成绩中，出现的次数最多， 故众数； 把八（2）班人的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，， 故中位数； 故答案为：，；·····································2分 （2）八（1）班小文的得分为：（分）， 八（2）班小明的得分为：（分），·····································4分 （3）八（1）班学生在本次比赛表现更突出，理由如下： 由（1）得， ∵， 即八（1）班学生成绩的平均数、众数和中位数均高于八（2）班， 由（2）得八（1）班小文的得分为分，八（2）班小明的得分为分， ∵ ∴八（1）班学生在本次比赛表现更突出．·····································6分 21．（6分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知结合对顶角相等证明，即可得证； （2）根据平行线的性质可求的度数，进而可得的度数，再由角平分线的性质可得的度数，从而得到的度数，最后根据平行线的性质即可得解． 【详解】（1）证明：，， ， ；·····································2分 （2）解：与都平行于，即， ， ， ， 平分， ， ， ， ．·····································6分 22．（8分） 【答案】(1)，； (2)小厉，理由见解析 【分析】（1）根据阴影部分面积大长方形的面积小长方形的面积，分别表示出、，利用整式的混合运算法则化简即可； （2）计算并化简得出最简结果，根据即可求解． 【详解】（1）解： ；·····································2分 ．·····································4分 （2）解：小厉的想法正确，理由如下：·····································5分 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小厉的想法正确．·····································8分 23．（8分） 【答案】(1)A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． (2)共有种购买方案，分别是：①购买A型台，B型台；②购买A型台，B型台；③购买A型台，B型台． 要使每天分拣快递的件数最多，应选择购买A型台，B型台的方案． 【分析】（1） 根据表格中两种购买情况的总费用，设出未知数，列二元一次方程组求解单价； （2）设出购买型机器人的数量，根据总费用不超过万元列一元一次不等式，结合未知数的实际意义得到所有购买方案，再计算各方案的日分拣量，比较得到最优方案． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元． 由题意得 ，解得 ， 答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元．·························3分 （2）解： 设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人 台． 由题意得 ，解得． 为正整数，且要购买两种型号的智能机器人， ． ·····································5分 因此共有种购买方案： 方案1：购买型台，型台，日分拣快递件数为 （万件）； 方案2：购买型台，型台，日分拣快递件数为 （万件）； 方案3：购买型台，型台，日分拣快递件数为 （万件）； ， 购买型台，型台时，每天分拣快递的件数最多． 答：该企业共有种购买方案，分别是购买型台型台，购买型台型台，购买型台型台；要使每天分拣快递的件数最多，应选择购买型台，型台的方案．·····································8分 24．（8分） 【答案】(1) (2)1；4 (3) (4)1，4，11 【分析】（1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）由得到，，即可求解； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由甲图可得，长方形的面积为， 由乙图可得，长方形的面积为， 故得到的等式是．·····································2分 （2）解：∵， 又， ∴，， ∴，或，， ∵， ∴，．·····································4分 （3）解：∵可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，．·····································6分 （4）解：∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，4，11．·····································8分 25．（10分） 【答案】(1)①见解析， (2)或或或 【分析】（1）①依据题意即可作图；②过点向左作，根据平行线的性质以及角平分线的意义求解即可； （2）分四种情况讨论，点在点左侧，且点在内；点在点左侧，且点在外；点在点右侧，且点在内；当点在点右侧，且点在外，然后过点作的平行线，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图： ·····································2分 ②，理由如下： 过点向左作， ∵分别平分 ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 即；·····································6分 （2）解：①点在点左侧，且点在内时，如图： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 由（1）知， ； ②点在点左侧，且点在外时，如图： 过点作直线 ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； ③点在点右侧，且点在内时，如图： 过点作直线 ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴； ④当点在点右侧，且点在外时，如图： 过点作直线 ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， 综上：的度数为或或或．·····································10分 26．（10分） 【答案】(1)a的值为0，b的值为 (2)x的值为或或4； (3)或或 【分析】本题主要考查了因式定理的应用、二元一次方程组的解法、一元三次方程的因式分解与求解、平方差公式的应用以及整数的性质，熟练掌握利用因式定理对多项式进行因式分解以及根据平方差公式和整数性质求解不定方程是解题的关键． （1）根据因式定理，将和代入多项式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值． （2）先由(1)得到的具体表达式，再根据列出方程，通过因式定理找出方程的因式，分解因式后求解方程． （3）先计算和的值，根据题意设、，两式相减得到平方差，利用平方差公式分解后，根据正整数的性质列出所有可能的因数分解情况，进而求出的正整数解． 【详解】（1）解：∵， ∴即① ∵， ∴ 即② 联立①②得 解得 ∴a的值为0，b的值为；·····································2分 （2）解：由（1）得， 当时，， ， 当时，， ∴是的因式， 当时，， ∴是的因式， 设另一个因式为， 则， 即， 解得， ∵， ∴， ∴或或， ∴x的值为或或4；·····································5分 （3）解：当，， 当，， ∵能写成某些正整数的平方， ∴，能写成某些正整数的平方， 不妨设①，②（其中，都是正整数）， 得：，即， ∵， 且，同奇同偶，且， 所有可能情况如下： 或或或或， 解得或或或或， 此时或或或或， ∵正整数m， ∴或或．·····································10分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．如图是马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（     ） A．B．C． D． 2．下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（    ） A．检测一批灯泡的使用寿命 B．调查北京市七年级学生每日睡眠时间 C．调查某校七（1）班学生的身高情况 D．调查全国中学生课外阅读量 3．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线分别交于点平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 7．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 8．如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．“x的3倍与2的差小于”所对应的不等式是______． 10．若代数式是一个完全平方式，则实数______． 11．老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算的结果是11.27，结果老师说最后一位错了，其它的数字都对，那么正确答案是______． 12．初一年级组织爱心义卖，某班销售物品中的笔记本售价为3元/个、笔桶售价为4元/个，经过统计，这两种物品共售卖25元，请问这两种物品各售卖多少个？__________．（写出一种情况即可） 13．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小雅把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 14．已知，，，则______． 15．如图1，光的反射定律内容如下：①反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；②反射光线和入射光线分别位于法线两侧；③反射角等于入射角． 如图2，甲同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为_____（填序号）． ①；②；③；④ 16．同学们在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 记图1中回字形福建土楼的占地面积为，图2中山西大院的占地面积为． （1）若，比较与的大小：______（填“”，“”或“”）； （2）若，则的值为______． 三、解答题（本大题共10小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）按要求完成下列各题： (1)解不等式： ； (2)解方程组：． 18．（5分）计算： (1) (2) 19．（6分）将下列各式分解因式． (1) (2) 20．（6分）根据“八五”普法规划实施要求，围绕公民法治素养提升行动核心内容，学校决定组织八年级两个班的学生开展“关爱明天普法先行”知识问答比赛，比赛分为两轮，各项成绩均按百分制计． 收集数据： 第一轮比赛，八（1）班和八（2）班分别组成了两支人的队伍进行书面知识比赛，成绩如下表： 八（1）班 八（2）班 第二轮比赛，两班各选派一名同学作为班级代表参加演讲比赛，评委从演讲内容、语言表达、综合素质三个方面为选手打分，统计如下表： 选手 演讲内容 语言表达 综合素质 八（1）班小文 八（2）班小明 分析数据： （1）在第一轮比赛中，两个班级的四个统计量如下表： 班级 平均数 众数 中位数 方差 八（1）班 八（2）班 表中______，______． （2）第二轮比赛计分规则：演讲内容、语言表达、综合素质三项成绩的占比为，请你计算八（1）班小文和八（2）班小明本轮比赛的得分． 应用数据： （3）根据（1）和（2），分析哪个班学生在本次比赛表现更突出． 21．（6分）如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，与分别与交于点和点，与交于点，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 22．（8分）小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 23．（8分）某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： A型智能机器人台数 B型智能机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二： A型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； B型智能机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过660万元购买A，B两种型号智能机器人共10台，且每种型号至少购买1台，则该企业有哪几种购买方案？要使每天分拣快递的件数最多，应选择哪种购买方案？ 24．（8分）如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． (2)因式分解：其中，则 ， ． 【拓展延伸】 (3)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出q的值： ． (4)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 25．（10分）直线，，两两相交，，过点A的直线与平行，点D是直线上一点（不与点A重合），过点D作交于点E，和的平分线所在直线相交于点P（点P不与点B，D重合）． (1)如图1所示： ①依题意补全图形； ②试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)请直接写出的度数______． 26．（10分）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．如图是马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（     ） A．B．C． D． 2．下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（    ） A．检测一批灯泡的使用寿命 B．调查北京市七年级学生每日睡眠时间 C．调查某校七（1）班学生的身高情况 D．调查全国中学生课外阅读量 3．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线分别交于点平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 7．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 8．如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．“x的3倍与2的差小于”所对应的不等式是______． 10．若代数式是一个完全平方式，则实数______． 11．老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算的结果是11.27，结果老师说最后一位错了，其它的数字都对，那么正确答案是______． 12．初一年级组织爱心义卖，某班销售物品中的笔记本售价为3元/个、笔桶售价为4元/个，经过统计，这两种物品共售卖25元，请问这两种物品各售卖多少个？__________．（写出一种情况即可） 13．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小雅把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 14．已知，，，则______． 15．如图1，光的反射定律内容如下：①反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；②反射光线和入射光线分别位于法线两侧；③反射角等于入射角． 如图2，甲同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为_____（填序号）． ①；②；③；④ 16．同学们在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 记图1中回字形福建土楼的占地面积为，图2中山西大院的占地面积为． （1）若，比较与的大小：______（填“”，“”或“”）； （2）若，则的值为______． 三、解答题（本大题共10小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）按要求完成下列各题： (1)解不等式： ； (2)解方程组：． 18．（5分）计算： (1) (2) 19．（6分）将下列各式分解因式． (1) (2) 20．（6分）根据“八五”普法规划实施要求，围绕公民法治素养提升行动核心内容，学校决定组织八年级两个班的学生开展“关爱明天普法先行”知识问答比赛，比赛分为两轮，各项成绩均按百分制计． 收集数据： 第一轮比赛，八（1）班和八（2）班分别组成了两支人的队伍进行书面知识比赛，成绩如下表： 八（1）班 八（2）班 第二轮比赛，两班各选派一名同学作为班级代表参加演讲比赛，评委从演讲内容、语言表达、综合素质三个方面为选手打分，统计如下表： 选手 演讲内容 语言表达 综合素质 八（1）班小文 八（2）班小明 分析数据： （1）在第一轮比赛中，两个班级的四个统计量如下表： 班级 平均数 众数 中位数 方差 八（1）班 八（2）班 表中______，______． （2）第二轮比赛计分规则：演讲内容、语言表达、综合素质三项成绩的占比为，请你计算八（1）班小文和八（2）班小明本轮比赛的得分． 应用数据： （3）根据（1）和（2），分析哪个班学生在本次比赛表现更突出． 21．（6分）如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，与分别与交于点和点，与交于点，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 22．（8分）小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 23．（8分）某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： A型智能机器人台数 B型智能机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二： A型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； B型智能机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过660万元购买A，B两种型号智能机器人共10台，且每种型号至少购买1台，则该企业有哪几种购买方案？要使每天分拣快递的件数最多，应选择哪种购买方案？ 24．（8分）如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． (2)因式分解：其中，则 ， ． 【拓展延伸】 (3)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出q的值： ． (4)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 25．（10分）直线，，两两相交，，过点A的直线与平行，点D是直线上一点（不与点A重合），过点D作交于点E，和的平分线所在直线相交于点P（点P不与点B，D重合）． (1)如图1所示： ①依题意补全图形； ②试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)请直接写出的度数______． 26．（10分）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $