七年级数学下学期期末模拟卷（新教材人教版七下全部，高效培优·强化卷）

**基本信息** 本试卷全面覆盖人教版七下数学核心知识，通过新能源汽车销售、AI学习调查等现实情境，融合新定义“松雅点”及几何探究题，考查抽象能力、数据意识与推理能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|二元一次方程组、立方根、平移性质等|第7题结合物理实验考平行线性质，体现学科融合| |填空题|6/12|统计估计、坐标系点坐标等|第18题以三角板与平行线动态情境，考查空间观念| |解答题|8/72|方程组应用、统计图表、几何探究等|22题新能源汽车购车方案渗透模型意识，25题“松雅点”新定义培养创新意识，26题几何综合提升推理能力|

2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版七下全部。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程组是二元一次方程组的有（　　） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列说法中不正确的是（　　） A．27的立方根是3 B．﹣8的立方根是﹣2 C．的立方根为2 D．125的立方根为±5 3．已知m＜n，则下列变形不正确的是（　　） A．2m＜2n B． C．m+2＜n+2 D．m﹣1＜n﹣1 4．如图，将三角形ABC平移一定的距离得到三角形A′B′C′，则下列结论中不一定正确的是（　　） A．AA′∥BB′ B．AA′＝BB′ C．∠ACB＝∠A′B′C′ D．BC＝B′C′ 5．4月23是世界读书日，某校为了了解初三1500名学生周末阅读时间，从中随机抽取了100名学生进行调查．下列说法正确的是（　　） A．学校采用的调查方式是全面调查 B．总体是1500名学生 C．样本是100名学生的周末阅读时间 D．样本容量是100名学生 6．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足a＜b＜﹣a，则b的值可以是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 7．如图是一个物理实验的截面示意图，其中AB与CD表示互相平行的墙面，绳子EN一端与木杆NG的一端相连，另一端点E固定在墙面AB上，若∠AEN＝120°，∠ENG＝150°，则∠CGN的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 8．若点A（n+2，4）在y轴上，则点B（n﹣1，n+3）在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 9．某超市去年8月﹣11月，每月总销售额的条形统计图和每月牛奶类销售额占总销售额百分比的折线统计图如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．8月份总销售额比11月份多 B．月销售总额与牛奶类销售额变化不一致 C．10月份牛奶类销售额比11月份少 D．四个月中8月份牛奶类销售额最高 10．已知原点、点A（2，m）、点B（﹣2，n）在同一条直线上，则m与n的大小关系为（　　） A．m＝n B．m＝﹣n C．m＞n D．m＜n 11．下列说法正确的有（　　） ①若与的值互为相反数，且10a2﹣6b＝16，则； ②若m是整数，关于x、y的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有m的值的和为﹣12； ③若关于x，y的二元一次方程组，不论a为何值，x，y满足关系式x+5y＝﹣10； ④已知关于m，n的方程组，无论a取何值，m和n的值都不可能互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．已知三个实数a，b，c，满足a﹣b+c＜0，a+b+c＝1，则下列结论不正确的是（　　） A． B．若a＞c，则 C．a+3b+c＞2 D．b2＞4ac 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知，则xy的值是　 　 ． 14．每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解九年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 1.0≤x＜4.2 4.2≤x＜4.5 4.5≤x＜4.8 4.8≤x＜5.1 5.1≤x≤5.3 人数（频数） 2 8 14 12 4 该校九年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名九年级学生的视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数为　 　 ． 15．在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴，y轴的距离分别为3，4，则点A的坐标为　 　 ． 16．若关于x和y的方程组的解互为相反数，则k＝　 　 ． 17．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m+1，2m﹣3），若点P不在第一象限，则m的取值范围为　 　 ． 18．已知直线AB∥CD，现将一个含30°角的直角三角板PMN如图放置，点P，N分别在直线AB，CD上，∠MPN＝90°，∠PNM＝30°，作∠MPB的角平分线PT，直线PT交CD于点Q，点E是直线AB上一定点，过E作直线EF与三角板PMN的一条直角边所在的直线平行，交直线CD于点F，若∠CFE＝α，则∠PQN＝　 　 （用含α的代数式表示）． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）解下列方程组： （1）； （2）． 20．（8分）已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的立方根为2． （1）求a与b的值； （2）如果的整数部分为c，求2a+b+c的平方根与的小数部分的差． 21．（8分）如图，有三个论断： ①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题，并判断该命题是真命题还是假命题； （2）若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由． 22．（8分）随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元． （1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？ （2）该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司投入的购车资金不超过340万元．假设每辆A型汽车的售价为32万元，每辆B型汽车的售价为15万元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元，该经销商共有哪几种购车方案？ 23．（10分）随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某中学为了解本校学生日常使用AI大模型辅助学习次数的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按每周使用次数（x次）分为四组（A：x＜15；B：15≤x＜20；C：20≤x＜25；D：x≥25），根据调查结果，绘制了如下尚不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数为　 　 人，扇形统计图中m＝　 　 ． （2）求D组的人数，并补全条形统计图． （3）若该校共有1200名学生，估计全校每周使用AI学习20次及以上的学生约有多少人． 24．（10分）已知平面直角坐标系中有一点N（n+1，2n﹣4）． （1）若点N在x轴上，求此时点N的坐标； （2）若点N在过点A（2，8）且与y轴平行的直线上，求此时n的值； （3）若点N到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点N的坐标． 25．（10分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），若点P（x3，y3）满足，则把点P（x3，y3）称作A（x1，y1），B（x2，y2）两点的“松雅点”：且把数值M＝x1x2+y1y2称作A（x1，y1），B（x2，y2）两点的“唯一值”．根据该约定，完成下列各题： （1）若点P（1，3）是，两点的“松雅点”，则t＝　 　 ，s＝　 　 ，A，B两点的“唯一值”M＝　 　 （将正确的答案填写在相应的横线上）； （2）已知点R（9，11），且点P是A（x+y，﹣2），B（4，x﹣y）两点的“松雅点”，先将点P向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点Q，若直线RQ与坐标系中其中一条坐标轴平行，A，B两点的“唯一值”M＝36，求点P的坐标； （3）已知点是A（m﹣n，2），B（1，2m+3n）两点的“松雅点”，M是A，B两点的“唯一值”，请用含有字母a的式子表示“唯一值”M． 26．（12分）综合与实践 基本图形 如图1，在四边形ABCD中，延长BA至点E，∠DAE＝∠ABC，∠BAD＝∠BCD． （1）①求证：∠ABC＝∠D． ②如图1，∠ABC的三等分线与∠BCD的三等分线交于点P，且∠CBP＞∠ABP，∠PCB＞∠PCD，求∠BPC的度数． 类比探究 （2）如图2，F是射线AE上一点，连接CF，交AD于点G，∠AGC＝138°．若∠DAE的三等分线与∠DCF的三等分线交于点P，∠DAP＜∠EAP，∠PCF＜∠PCD，请直接写出∠APC的度数． 拓展延伸 （3）如图3，F是射线AE上一点，连接CF．延长AB，FC分别至点H，I．∠CBH的三等分线与∠DCI的三等分线CK的反向延长线交于点Q，且∠CBQ＞∠HBQ，∠ICK＞∠DCK，∠BQC＝72°．若∠DAE的三等分线与∠DCF的三等分线交于点P，且∠DAP＝m∠EAP，∠PCF＝n∠PCD，m＝n，求∠APC的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 强化卷·参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B C C C C B C B B D 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．12 14．240人 15．（﹣4，3） 16． 17．m 18．45°或90° 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分） 【解答】解：（1）， ①+②得：2x＝20， 解得：x＝10， 将x＝10代入①得：10+2y＝4， 解得：y＝﹣3， 故原方程组的解为；（3分） （2）， 将②整理得：4x﹣3y＝5③， ③﹣①×2得：7y＝7， 解得：y＝1， 将y＝1代入①得：2x﹣5＝﹣1， 解得：x＝2， 故原方程组的解为．（6分） 20．（8分） 【解答】解：（1）∵4a+1的平方根是±3， ∴4a+1＝9， ∴a＝2，（2分） ∵b﹣1的立方根为2， ∴b﹣1＝8， ∴b＝9；（4分） （2）∵， ∴， ∴的整数部分为3，即c＝3，（5分） ∴的小数部分为， 当a＝2，b＝9，c＝3时，2a+b+c＝2×2+9+3＝16， ∵16的平方根是±4， ∴2a+b+c的平方根是±4，（6分） 当2a+b+c的平方根是4时，；（7分） 当2a+b+c的平方根是﹣4时，．（8分） 21．（8分） 【解答】解：（1）若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD；（2分） 此命题为真命题；（4分） （2）∵∠1＝∠2，∠1＝∠CGH， ∴∠2＝∠CGH， ∴CE∥FB， ∴∠C＝∠HFD，（6分） ∵∠B＝∠C， ∴∠HFD＝∠B， ∴AB∥CD．（8分） 22．（8分） 【解答】解：（1）设每辆A型新能源汽车的进价是x万元，每辆B型新能源汽车的进价是y万元， 根据题意得：，（2分） 解得：． 答：每辆A型新能源汽车的进价是24万元，每辆B型新能源汽车的进价是12万元；（4分） （2）设购进m辆A型新能源汽车，则购进（20﹣m）辆B型新能源汽车， 根据题意得：， 解得：6≤m，（6分） 又∵m为正整数， ∴m可以为6，7，8，（7分） ∴该经销商共有3种购车方案， 方案1：购进6辆A型新能源汽车，14辆B型新能源汽车； 方案2：购进7辆A型新能源汽车，13辆B型新能源汽车； 方案3：购进8辆A型新能源汽车，12辆B型新能源汽车．（8分） 23．（10分） 【解答】解：（1）50；（2分）40；（4分） （2）D组人数：50﹣10﹣20﹣5＝15（人）．（6分） 如图为所求： ；（8分） （3）1200×（）＝480（人）． 答：全校每周使用AI学习20次及以上的学生约有480人．（10分） 24．（10分） 【解答】解：（1）因为点N在x轴上， 所以2n﹣4＝0， 解得n＝2，（1分） 则n+1＝3， 所以点N的坐标为（3，0）；（3分） （2）因为点N在过点A（2，8）且与y轴平行的直线上， 所以n+1＝2， 解得n＝1．（6分） （3）因为点N到x轴的距离与到y轴的距离相等， 所以n+1＝2n﹣4或n+1+2n﹣4＝0， 解得n＝5或1． 当n＝5时， n+1＝6，2n﹣4＝6， 则点N坐标为（6，6）．（8分） 当n＝1时， n+1＝2，2n﹣4＝﹣2， 则点N坐标为（2，﹣2）， 所以点N的坐标为（6，6）或（2，﹣2）．（10分） 25．（12分） 【解答】解：（1）4（1分）；3（2分）；1（3分）； （2）设P（a，b）， ∵点P是A（x+y，﹣2），B（4，x﹣y）两点的“附中点”， ∴， ∴， ∵先将点P向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点Q， ∴，即， 当RQ∥x轴时，， ∴x﹣y＝2， ∵A，B两点的“唯一值”M＝36， ∴4（x+y）﹣2（x﹣y）＝36， ∴x+3y＝18， 解，得， ∴点P的坐标是（7，0）；（5分） 当 RQ∥y轴时，同理可求点P的坐标是（6，﹣2）．（7分） 综上可知，点P的坐标是（7，0）或（6，﹣2）； （3）∵点是 A（m﹣n，2），B（1，2m+3n）两点的“附中点”， ∴， ∴， ∴A（2a+1，2），B（1，9a﹣8）， ∴M＝2a+1+18a﹣16＝20a﹣15．（10分） 26．（12分） 【解答】（1）①证明：∵∠DAE＝∠ABC，∠BAD＝∠BCD，∠DAE+∠BAD＝180°， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠DAE＝∠D， ∴∠ABC＝∠D．（2分） ②解：如图1，过点P作PM∥AB． 由①可知AB∥CD， ∴PM∥AB∥CD， ∴∠ABP＝∠BPM，∠PCD＝∠CPM． ∵∠BPC＝∠BPM+∠CPM， ∴∠BPC＝∠ABP+∠PCD． ∵∠ABC的三等分线与∠BCD的三等分线交于点P，且∠CBP＞∠ABP，∠PCB＞∠PCD， ∴． ∵∠ABC+∠BCD＝180°， ∴， ∴∠BPC＝∠ABP+∠PCD＝60°．（4分） （2）解：如图2，过点P作PN∥AB． 由（1）①可知AB∥CD， ∴PN∥AB∥CD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠EAD＝∠B，∠B+∠BCD＝180°，∠AGC+∠BCG＝180°． ∴∠EAD+∠BCD＝180°，∠BCG＝180°﹣∠AGC＝180°﹣138°＝42°， ∵∠EAD+∠BCG+∠DCG＝180°， ∴∠EAD+∠DCG＝180°﹣∠BCG＝180°﹣42°＝138°， ∵∠APC＝∠2+∠3， ∴∠APC＝∠1+∠4． ∵∠DAE的三等分线与∠DCF的三等分线交于点P，∠DAP＜∠EAP，∠PCF＜∠PCD， ∴． ∴， ∴∠APC＝∠1+∠4＝92°．（8分） （3）解：F是射线AE上一点，连接CF．延长AB，FC分别至点H，I．∠CBH的三等分线与∠DCI的三等分线CK的反向延长线交于点延长DC至点L， ∴∠DCK＝∠LCQ， 由题意可知． 同（1）②可知∠BQC＝∠HBQ+∠LCQ＝∠HBQ+∠DCK， ∴， ∴∠CBH+∠DCI＝216°． ∵∠DAE＝∠ABC， ∵∠DAE＝∠ABC， ∴∠CBH＝180°﹣∠ABC＝180°﹣∠DAE． ∵∠DCI＝180°﹣∠DCF， ∴∠CBH+∠DCI＝180°﹣∠DAE+180°﹣∠DCF＝360°﹣（∠DAE+∠DCF）＝216°， ∴∠DAE+∠DCF＝144°． 分类讨论：（i）当m＝n＝2时，即，点P为图2中点P1的位置， ∴．（10分） （ii）当时，即，，点P为图2中点P2的位置， 同（1）②∴． 综上所述，∠APC的度数为48°或96°．（12分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版七下全部。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程组是二元一次方程组的有（　　） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解答】解：①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，符合题意； ②x2+2y＝1中，未知数的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组，不符合题意； ③方程组含x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组，不要符合题意； ④符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，符合题意． 故选：C． 2．下列说法中不正确的是（　　） A．27的立方根是3 B．﹣8的立方根是﹣2 C．的立方根为2 D．125的立方根为±5 【答案】D 【解答】解：由题知， 因为27的立方根是3，﹣8的立方根是﹣2，的立方根为2，125的立方根为5， 显然只有D选项符合题意． 故选：D． 3．已知m＜n，则下列变形不正确的是（　　） A．2m＜2n B． C．m+2＜n+2 D．m﹣1＜n﹣1 【答案】B 【解答】解：A．∵m＜n， ∴2m＜2n，故本选项不符合题意； B．∵m＜n， ∴，故本选项符合题意； C．∵m＜n， ∴2+m＜2+n，故本选项不符合题意； D．∵m＜n， ∴m﹣1＜n﹣1，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．如图，将三角形ABC平移一定的距离得到三角形A′B′C′，则下列结论中不一定正确的是（　　） A．AA′∥BB′ B．AA′＝BB′ C．∠ACB＝∠A′B′C′ D．BC＝B′C′ 【答案】C 【解答】解：∵△A′B′C′由△ABC平移而成， ∴AA′∥BB′，AA′＝BB′，∠ACB＝∠A′C′B′，BC＝B′C′， 故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意． 故选：C． 5．4月23是世界读书日，某校为了了解初三1500名学生周末阅读时间，从中随机抽取了100名学生进行调查．下列说法正确的是（　　） A．学校采用的调查方式是全面调查 B．总体是1500名学生 C．样本是100名学生的周末阅读时间 D．样本容量是100名学生 【答案】C 【解答】解：A．该校采用的调查方式是抽样调查，故A不符合题意； B．总体是1500名学生周末阅读时间，故B不符合题意； C．样本是100名学生的周末阅读时间，故C符合题意； D．样本容量是100，故D不符合题意； 故选：C． 6．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足a＜b＜﹣a，则b的值可以是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 【答案】C 【解答】解：由数轴得﹣2＜a＜﹣1， ∴1＜﹣a＜2， ∵a＜b＜﹣a， ∴b的值可以是0， 故选：C． 7．如图是一个物理实验的截面示意图，其中AB与CD表示互相平行的墙面，绳子EN一端与木杆NG的一端相连，另一端点E固定在墙面AB上，若∠AEN＝120°，∠ENG＝150°，则∠CGN的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】C 【解答】解：如图，过点N作NF∥AB， ∵AB∥CD， ∴NF∥AB∥CD， ∴∠1＝∠AEN，∠2＝∠CGN， ∵∠AEN＝120°， ∴∠1＝120°， ∵∠ENG＝150°， ∴∠2＝∠ENG﹣∠1＝30°， ∴∠CGN＝∠2＝30°， 故选：C． 8．若点A（n+2，4）在y轴上，则点B（n﹣1，n+3）在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【解答】解：∵点A（n+2，4）在y轴上， ∴n+2＝0， 解得n＝﹣2， 则点B（n﹣1，n+3）为（﹣3，1），在第二象限． 故选：B． 9．某超市去年8月﹣11月，每月总销售额的条形统计图和每月牛奶类销售额占总销售额百分比的折线统计图如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．8月份总销售额比11月份多 B．月销售总额与牛奶类销售额变化不一致 C．10月份牛奶类销售额比11月份少 D．四个月中8月份牛奶类销售额最高 【答案】C 【解答】解：根据每月总销售额的条形统计图和每月牛奶类销售额占总销售额百分比的折线统计图所示， ∵8月份总销售额为90万元，11月份总销售额为70万元， 又∵90＞70， ∴8月份总销售额比11月份多，故选项A正确，不符合题意； 由题意知：8月份牛奶类销售额为90×25%＝22.5（万元）， 9月份牛奶类销售额为80×10%＝8（万元）， 10月份牛奶类销售额为60×20%＝12（万元）， 11月份牛奶类销售额为70×15%＝10.5（万元）， 牛奶类销售额从8月份到9月份在减少，9月份到10月份在增加，10月份到11月份在减少，而销售总额从8月份到9月份在减少，9月份到10月份在减少，10月份到11月份在增加， ∴月销售总额与牛奶类销售额变化不一致，故选项B正确，不符合题意； ∵12＞10.5， ∴10月份牛奶类销售额比11月份多，故选项C错误，符合题意； ∵8＜10.5＜12＜22.5， ∴四个月中8月份牛奶类销售额最高，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 10．已知原点、点A（2，m）、点B（﹣2，n）在同一条直线上，则m与n的大小关系为（　　） A．m＝n B．m＝﹣n C．m＞n D．m＜n 【答案】B 【解答】解：已知原点、点A（2，m）、点B（﹣2，n）在同一条直线上， 设直线解析式y＝kx， 代入A（2，m），m＝2k， 代入B（﹣2，n），n＝﹣2k， 可得m+n＝0， 即m＝﹣n． 故选：B． 11．下列说法正确的有（　　） ①若与的值互为相反数，且10a2﹣6b＝16，则； ②若m是整数，关于x、y的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有m的值的和为﹣12； ③若关于x，y的二元一次方程组，不论a为何值，x，y满足关系式x+5y＝﹣10； ④已知关于m，n的方程组，无论a取何值，m和n的值都不可能互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：若与的值互为相反数，且10a2﹣6b＝16， 则：，解得：， ∴；故①错误； ∵，解得：， ∵m是整数，x，y均为整数， ∴m+3＝﹣5，﹣1，1，5， ∴m＝﹣8，﹣4，﹣2，2， ∴满足条件的所有m的值的和为﹣8﹣4﹣2+2＝﹣12；故②正确； ∵， ②﹣①×2，得：x+5y＝﹣12；故③错误； ∵，解得：， 当m，n互为相反数时，m+n＝0， 即：，此方程无解， 故无论a取何值，m和n的值都不可能互为相反数．故④正确； 故选：B． 12．已知三个实数a，b，c，满足a﹣b+c＜0，a+b+c＝1，则下列结论不正确的是（　　） A． B．若a＞c，则 C．a+3b+c＞2 D．b2＞4ac 【答案】D 【解答】解：已知三个实数a，b，c，满足a﹣b+c＜0，a+b+c＝1， 由a+b+c＝1，得b＝1﹣a﹣c，代入a﹣b+c＜0中，得2a+2c＜1， ∴， ∴A选项正确． ∵a＞c，∴a+c＜2a，结合，不能判定， 例如，a＝0.2，b＝0.7，c＝0.1符合题意，显然， ∴B选项不正确． 由a﹣b+c＜0，得﹣a+b﹣c＞0 ①， 由a+b+c＝1，得2a+2b+2c＝2②， ①+②，得a+3b+c＞2， ∴C选项正确． 对于函数y＝ax2+bx+c，根据题意可知，函数图象经过点P（1，1），点Q（﹣1，a﹣b+c）． ∵a﹣b+c＜0， ∴点Q在第三象限． 若a＝0，则已知的两式变为﹣b+c＜0，b+c＝1， ∴﹣b+1﹣b＜0， 解得， ∴b2＞4ac成立， 若a≠0，则抛物线y＝ax2+bx+c一定与x轴有两个不同的交点，且（a﹣b+c）（a+b+c）＜0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0即b2＞4ac成立， ∴D选项正确． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知，则xy的值是　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：∵， ∴x﹣2＝0，y﹣6＝0， ∴x＝2，y＝6， ∴xy＝2×6＝12． 故答案为：12． 14．每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解九年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 1.0≤x＜4.2 4.2≤x＜4.5 4.5≤x＜4.8 4.8≤x＜5.1 5.1≤x≤5.3 人数（频数） 2 8 14 12 4 该校九年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名九年级学生的视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数为　240人　 ． 【答案】240人． 【解答】解：估计这600名九年级学生的视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数为：600240（人）． 故答案为：240人． 15．在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴，y轴的距离分别为3，4，则点A的坐标为　（﹣4，3）　 ． 【答案】（﹣4，3）． 【解答】解：根据题意点A的横坐标为负，纵坐标为正， ∵点A到x轴，y轴的距离分别为3，4， ∴A（﹣4，3）． 故答案为：（﹣4，3）． 16．若关于x和y的方程组的解互为相反数，则k＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题知， 因为关于x和y的方程组的解互为相反数， 则， 解得， 将代入3kx+（k﹣1）y＝6得， ， 解得k． 故答案为：． 17．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m+1，2m﹣3），若点P不在第一象限，则m的取值范围为m　 ． 【答案】m． 【解答】解：由题知， 因为点P的坐标为（m+1，2m﹣3）且点P不在第一象限， 所以m+1≤0或2m﹣3≤0， 解得m． 故答案为：m． 18．已知直线AB∥CD，现将一个含30°角的直角三角板PMN如图放置，点P，N分别在直线AB，CD上，∠MPN＝90°，∠PNM＝30°，作∠MPB的角平分线PT，直线PT交CD于点Q，点E是直线AB上一定点，过E作直线EF与三角板PMN的一条直角边所在的直线平行，交直线CD于点F，若∠CFE＝α，则∠PQN＝　45°或90°　 （用含α的代数式表示）． 【答案】45°或90°． 【解答】解：当EF∥PN时，如图所示， ∵AB∥CD，∠CFE＝α， ∴∠BEF＝∠CFE＝α． ∵EF∥PN， ∴∠NPB＝∠BEF＝α． 又∵∠MPN＝90°， ∴∠MPB＝360°﹣90°﹣α＝270°﹣α． ∵PT平分∠MPB， ∴∠TPB∠MPB＝135°， ∴∠BPQ＝180°﹣∠TPB＝45°． ∵AB∥CD， ∴∠PQN＝∠BPQ＝45°； 当EF∥PM时，如图所示， ∵AB∥CD，∠CFE＝α， ∴∠AEF＝180°﹣α． ∵EF∥PM， ∴∠MPB＝∠AEF＝180°﹣α． ∵PT平分∠MPB， ∴∠TPB∠MPB＝90°， ∴∠BPQ＝180°﹣∠TPB＝90°． ∵AB∥CD， ∴∠PQN＝∠BPQ＝90°， 综上所述，∠PQN的度数为45°或90°． 故答案为：45°或90°． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①+②得：2x＝20， 解得：x＝10， 将x＝10代入①得：10+2y＝4， 解得：y＝﹣3， 故原方程组的解为；（3分） （2）， 将②整理得：4x﹣3y＝5③， ③﹣①×2得：7y＝7， 解得：y＝1， 将y＝1代入①得：2x﹣5＝﹣1， 解得：x＝2， 故原方程组的解为．（6分） 20．（8分）已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的立方根为2． （1）求a与b的值； （2）如果的整数部分为c，求2a+b+c的平方根与的小数部分的差． 【答案】（1）a＝2，b＝9； （2）或． 【解答】解：（1）∵4a+1的平方根是±3， ∴4a+1＝9， ∴a＝2，（2分） ∵b﹣1的立方根为2， ∴b﹣1＝8， ∴b＝9；（4分） （2）∵， ∴， ∴的整数部分为3，即c＝3，（5分） ∴的小数部分为， 当a＝2，b＝9，c＝3时，2a+b+c＝2×2+9+3＝16， ∵16的平方根是±4， ∴2a+b+c的平方根是±4，（6分） 当2a+b+c的平方根是4时，；（7分） 当2a+b+c的平方根是﹣4时，．（8分） 21．（8分）如图，有三个论断： ①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题，并判断该命题是真命题还是假命题； （2）若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由． 【答案】（1）若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD，此命题为真命题； （2）证明见解答． 【解答】解：（1）若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD；（2分） 此命题为真命题；（4分） （2）∵∠1＝∠2，∠1＝∠CGH， ∴∠2＝∠CGH， ∴CE∥FB， ∴∠C＝∠HFD，（6分） ∵∠B＝∠C， ∴∠HFD＝∠B， ∴AB∥CD．（8分） 22．（8分）随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元． （1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？ （2）该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司投入的购车资金不超过340万元．假设每辆A型汽车的售价为32万元，每辆B型汽车的售价为15万元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元，该经销商共有哪几种购车方案？ 【答案】（1）每辆A型新能源汽车的进价是24万元，每辆B型新能源汽车的进价是12万元； （2）该经销商共有3种购车方案， 方案1：购进6辆A型新能源汽车，14辆B型新能源汽车； 方案2：购进7辆A型新能源汽车，13辆B型新能源汽车； 方案3：购进8辆A型新能源汽车，12辆B型新能源汽车． 【解答】解：（1）设每辆A型新能源汽车的进价是x万元，每辆B型新能源汽车的进价是y万元， 根据题意得：，（2分） 解得：． 答：每辆A型新能源汽车的进价是24万元，每辆B型新能源汽车的进价是12万元；（4分） （2）设购进m辆A型新能源汽车，则购进（20﹣m）辆B型新能源汽车， 根据题意得：， 解得：6≤m，（6分） 又∵m为正整数， ∴m可以为6，7，8，（7分） ∴该经销商共有3种购车方案， 方案1：购进6辆A型新能源汽车，14辆B型新能源汽车； 方案2：购进7辆A型新能源汽车，13辆B型新能源汽车； 方案3：购进8辆A型新能源汽车，12辆B型新能源汽车．（8分） 23．（10分）随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某中学为了解本校学生日常使用AI大模型辅助学习次数的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按每周使用次数（x次）分为四组（A：x＜15；B：15≤x＜20；C：20≤x＜25；D：x≥25），根据调查结果，绘制了如下尚不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数为　50　 人，扇形统计图中m＝　40　 ． （2）求D组的人数，并补全条形统计图． （3）若该校共有1200名学生，估计全校每周使用AI学习20次及以上的学生约有多少人． 【答案】（1）50；40； （2）D组人数：50﹣10﹣20﹣5＝15（人）． 如图为所求： ； （3）全校每周使用AI学习20次及以上的学生约有480人． 【解答】解：（1）总人数（人）， m%100%＝40%， 故m＝40， 故答案为：50；（2分）40；（4分） （2）D组人数：50﹣10﹣20﹣5＝15（人）．（6分） 如图为所求： ；（8分） （3）1200×（）＝480（人）． 答：全校每周使用AI学习20次及以上的学生约有480人．（10分） 24．（10分）已知平面直角坐标系中有一点N（n+1，2n﹣4）． （1）若点N在x轴上，求此时点N的坐标； （2）若点N在过点A（2，8）且与y轴平行的直线上，求此时n的值； （3）若点N到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点N的坐标． 【答案】（1）（3，0）； （2）1； （3）（6，6）或（2，﹣2）． 【解答】解：（1）因为点N在x轴上， 所以2n﹣4＝0， 解得n＝2，（1分） 则n+1＝3， 所以点N的坐标为（3，0）；（3分） （2）因为点N在过点A（2，8）且与y轴平行的直线上， 所以n+1＝2， 解得n＝1．（6分） （3）因为点N到x轴的距离与到y轴的距离相等， 所以n+1＝2n﹣4或n+1+2n﹣4＝0， 解得n＝5或1． 当n＝5时， n+1＝6，2n﹣4＝6， 则点N坐标为（6，6）．（8分） 当n＝1时， n+1＝2，2n﹣4＝﹣2， 则点N坐标为（2，﹣2）， 所以点N的坐标为（6，6）或（2，﹣2）．（10分） 25．（10分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），若点P（x3，y3）满足，则把点P（x3，y3）称作A（x1，y1），B（x2，y2）两点的“松雅点”：且把数值M＝x1x2+y1y2称作A（x1，y1），B（x2，y2）两点的“唯一值”．根据该约定，完成下列各题： （1）若点P（1，3）是，两点的“松雅点”，则t＝　4　 ，s＝　3　 ，A，B两点的“唯一值”M＝　1　 （将正确的答案填写在相应的横线上）； （2）已知点R（9，11），且点P是A（x+y，﹣2），B（4，x﹣y）两点的“松雅点”，先将点P向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点Q，若直线RQ与坐标系中其中一条坐标轴平行，A，B两点的“唯一值”M＝36，求点P的坐标； （3）已知点是A（m﹣n，2），B（1，2m+3n）两点的“松雅点”，M是A，B两点的“唯一值”，请用含有字母a的式子表示“唯一值”M． 【答案】（1）4；3；1； （2）点P的坐标是（7，0）或（6，﹣2）； （3）“唯一值”M＝20a﹣15． 【解答】解：（1）∵，， ∴A（﹣2，s），B（t，3）， ∵点P（1，3）是，两点的“附中点”， ∴，， ∴t＝4；s＝3， ∴A（﹣2，3），B（4，3）， ∴M＝﹣2×4+3×3＝1． 故答案为：4（1分）；3（2分）；1（3分）； （2）设P（a，b）， ∵点P是A（x+y，﹣2），B（4，x﹣y）两点的“附中点”， ∴， ∴， ∵先将点P向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点Q， ∴，即， 当RQ∥x轴时，， ∴x﹣y＝2， ∵A，B两点的“唯一值”M＝36， ∴4（x+y）﹣2（x﹣y）＝36， ∴x+3y＝18， 解，得， ∴点P的坐标是（7，0）；（5分） 当 RQ∥y轴时，同理可求点P的坐标是（6，﹣2）．（7分） 综上可知，点P的坐标是（7，0）或（6，﹣2）； （3）∵点是 A（m﹣n，2），B（1，2m+3n）两点的“附中点”， ∴， ∴， ∴A（2a+1，2），B（1，9a﹣8）， ∴M＝2a+1+18a﹣16＝20a﹣15．（10分） 26．（12分）综合与实践 基本图形 如图1，在四边形ABCD中，延长BA至点E，∠DAE＝∠ABC，∠BAD＝∠BCD． （1）①求证：∠ABC＝∠D． ②如图1，∠ABC的三等分线与∠BCD的三等分线交于点P，且∠CBP＞∠ABP，∠PCB＞∠PCD，求∠BPC的度数． 类比探究 （2）如图2，F是射线AE上一点，连接CF，交AD于点G，∠AGC＝138°．若∠DAE的三等分线与∠DCF的三等分线交于点P，∠DAP＜∠EAP，∠PCF＜∠PCD，请直接写出∠APC的度数． 拓展延伸 （3）如图3，F是射线AE上一点，连接CF．延长AB，FC分别至点H，I．∠CBH的三等分线与∠DCI的三等分线CK的反向延长线交于点Q，且∠CBQ＞∠HBQ，∠ICK＞∠DCK，∠BQC＝72°．若∠DAE的三等分线与∠DCF的三等分线交于点P，且∠DAP＝m∠EAP，∠PCF＝n∠PCD，m＝n，求∠APC的度数． 【答案】（1）①见解答； ②60°； （2）92°； （3）48°或96°． 【解答】（1）①证明：∵∠DAE＝∠ABC，∠BAD＝∠BCD，∠DAE+∠BAD＝180°， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠DAE＝∠D， ∴∠ABC＝∠D．（2分） ②解：如图1，过点P作PM∥AB． 由①可知AB∥CD， ∴PM∥AB∥CD， ∴∠ABP＝∠BPM，∠PCD＝∠CPM． ∵∠BPC＝∠BPM+∠CPM， ∴∠BPC＝∠ABP+∠PCD． ∵∠ABC的三等分线与∠BCD的三等分线交于点P，且∠CBP＞∠ABP，∠PCB＞∠PCD， ∴． ∵∠ABC+∠BCD＝180°， ∴， ∴∠BPC＝∠ABP+∠PCD＝60°．（4分） （2）解：如图2，过点P作PN∥AB． 由（1）①可知AB∥CD， ∴PN∥AB∥CD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠EAD＝∠B，∠B+∠BCD＝180°，∠AGC+∠BCG＝180°． ∴∠EAD+∠BCD＝180°，∠BCG＝180°﹣∠AGC＝180°﹣138°＝42°， ∵∠EAD+∠BCG+∠DCG＝180°， ∴∠EAD+∠DCG＝180°﹣∠BCG＝180°﹣42°＝138°， ∵∠APC＝∠2+∠3， ∴∠APC＝∠1+∠4． ∵∠DAE的三等分线与∠DCF的三等分线交于点P，∠DAP＜∠EAP，∠PCF＜∠PCD， ∴． ∴， ∴∠APC＝∠1+∠4＝92°．（8分） （3）解：F是射线AE上一点，连接CF．延长AB，FC分别至点H，I．∠CBH的三等分线与∠DCI的三等分线CK的反向延长线交于点延长DC至点L， ∴∠DCK＝∠LCQ， 由题意可知． 同（1）②可知∠BQC＝∠HBQ+∠LCQ＝∠HBQ+∠DCK， ∴， ∴∠CBH+∠DCI＝216°． ∵∠DAE＝∠ABC， ∵∠DAE＝∠ABC， ∴∠CBH＝180°﹣∠ABC＝180°﹣∠DAE． ∵∠DCI＝180°﹣∠DCF， ∴∠CBH+∠DCI＝180°﹣∠DAE+180°﹣∠DCF＝360°﹣（∠DAE+∠DCF）＝216°， ∴∠DAE+∠DCF＝144°． 分类讨论：（i）当m＝n＝2时，即，点P为图2中点P1的位置， ∴．（10分） （ii）当时，即，，点P为图2中点P2的位置， 同（1）②∴． 综上所述，∠APC的度数为48°或96°．（12分） 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $