专题05 解答压轴题（期末真题汇编，内蒙古专用）七年级数学下学期

**基本信息** 内蒙古多地区七年级下期末解答压轴题汇编，聚焦几何综合、代数应用与统计分析，凸显跨知识整合与真实情境问题解决。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|19道|几何（平行线性质与判定、坐标系变换）、代数（方程组与不等式应用）、统计（数据收集与分析）|以世界读书日、足球进校园、智能清洁机器人为情境，设计分层探究（如几何题从基础证明到动态数量关系猜想，代数题从单价计算到方案优化），融合跨章节知识（如坐标系与图形平移结合面积计算）|

命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 专题05解答压轴题 1.(24-25七年级下·内蒙古赤峰期末)己知直线MN、PQ,点A、B为分别在直线MN、PQ上 M M D D B B 图1 图2 (I)如图1，点C为平面内一点，连接AC、BC,若∠C=∠NAC+∠CBQ,求证：MNPQ; (2)如图2，点C,D为平面内两点，连接AC,CD,DB,若MNPQ,猜想∠NAC和∠ACD,∠CDB, ∠DBQ的数量关系，并证明. 2.(24-25七年级下·内蒙古赤峰期末)已知：在平面直角坐标系内有三个点AB,C,其中点A(a,b), 号a+号=5 点B(5,0)且a,b是方程组 2a-b=-5的解，点C在x轴负半轴上，AC与y轴交于点E AY E O B x 0 图(1) 图(2) (1)求点A的坐标； (2)如图(1)所示，若S△4Bc=35,求线段BC的长： (3)如图(2)所示，在(2)的条件下，点P从点E出发，以每秒2个单位长度的速度先沿线段E0运动到点 O,再继续以相同的速度沿x轴正半轴运动到点B停止，设运动时间为t秒，求当t为何值时，△BEP的面 积是△A0E面积的2倍。 3.(24-25七年级下·内蒙古乌兰察布期末)2025年4月23日是第30个世界读书日.学校为营造“爱读书、 多读书、读好书”的浓厚氛围，开展了“书香校园，阅读有我”的读书活动.在5月份，为了解七年级学生的 读书情况，随机调查了七年级40名学生的读书数量（单位：本），并进行了以下的整理与分析： 【数据收集】 25354615342233444434 45673675834734655578 1/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【数据整理】 本数x 0<x≤2 2<x≤4 4<x≤6 6<x≤8 组别 A B C D 频数 4 m 12 【数据分析】 绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图（如图）· 频数/人 20 18 D A 16 15% 10% 14 12 12 C B 10 45% 8 6 6 4 4 2 0 分 C D 组别 根据统计信息回答问题： (1)在统计表中，m= = 并补全条形统计图： (2)在扇形统计图中，C组对应扇形的圆心角的度数为 度； (3)若该校七年级学生人数为240人，请根据上述调查结果，估计该校七年级学生读书数量在4本以上的人 数 4.(24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔期末)某中学为了了解学生“大课间”活动情况，在七、八、九年级的 学生中，分别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查（每人只能选一项），调查结果的部 分数据如下表（图）所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级最喜欢排球的人数为10 人 七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表 排 篮 踢 跳 其 项目 球 球 毽 绳 他 人数（人） 7 P 14 6 2/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 八年级学生最喜欢的 九年级学生最喜欢的 运动项目人数统计图 运动项目人数统计图 个人数 14 12 其它 12 排球 10% 10 10 _% 8 踢键 6 5 篮球 30% 4 24% 2 跳绳 0 16% 排篮跳踢其运动项目 球球绳毽它 图① 图② 请根据以上统计表（图）解答下列问题： (1)本次调查共抽取了多少人？ (2)补全统计表和统计图： (3)该校共有学生1800人，其中七年级有600人，八年级有500人.请你根据抽样调查的数据结果，提出一 个能客观地反映总体在某些或某个运动项目的情况的问题，并予以解答 项目 排球 篮球 踢毽 跳绳 其他 人数（人） 8 14 15 6 5. (24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末)推理填空： 如图，∠ADE+∠BCF=180°，BE平分∠ABC,∠ABC=2∠E: D (1)AD与BC平行吗？请说明理由 (2)AB与EF的位置关系如何？为什么？ (3)若AF平分∠BAD,试说明：∠E+∠F=90° 注：本题第(1)(2)小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第(3)小题要写出解题过程. 解：(1)AD‖BC理由如下： 3/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠ADE+∠ADF=180·(平角的定义)， ∠ADE+∠BCF=180°（己知）， ∴∠ADF= AD‖BC.( (2)AB与EF的位置关系： :BE平分∠ABC(已知)， “∠ABE=专∠ABC(角平分线的定义). 又：∠ABC=2∠E(已知)， 即∠E=专∠ABC, ∠E= 6.(24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(a,0)、B(0,b)、 C(-2,0),满足ya-2b+b+3=0. B (I)求A、B的坐标 (②)在x轴上是否存在点M(不与C点重合)，使S△M4B=S△4Bc,若存在，求出点M的坐标.若不存在， 说明理由， 7.(24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔期末)李明同学两次到某超市购买A、B两种商品，购买数量及消费 金额如下表： 类别 购买A商品数量（件） 购买B商品数量（件） 消费金额（元） 次数 第一次 2 3 180 第二次 1 4 190 解答下列问题： 4/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (I)求A、B两种商品的单价： (2)李明同学听说超市全部商品打六折销售、计划去超市购买A、B两种商品共10件，且消费金额不超过200 元，求李明同学至少购买A商品多少件？ 8.(24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，第一次购买 50个A种品牌的足球和25个B种品牌的足球需要花费4500元；第二次购买10个A种品牌的足球和10个 B种品牌的足球需要花费1300元， ()求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元. (②)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场 对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出 售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，则这次学校至少购买A品 牌足球多少个？ (3)若学校购买A、B两种品牌的足球（两种都买），刚好用了1600元，请求出所有满足条件的购买方案， 9.(2425七年级下·内蒙古通辽·期末)为了解某校九年级学生的一分钟跳绳情况，随机抽取了部分学生进 行调查，并将跳绳个数分为5组：A.175~195,B.155~175,C.135~155,D.115~135,E.95~115 (每组含后一个边界值，不含前一个边界值)，绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据信息，解答下列 问题： 抽取部分学生跳绳成绩的频数分布直方图 人数 30 25 24 20 20 16 15 10 10 5 095115135155175195个数 抽取部分学生跳绳成绩的扇形统计图 A 24% B (I)计算扇形统计图中的m和E组所对圆心角的度数： (2)计算并补全频数分布直方图： (3)已知该校九年级共有学生450人，已知一分钟跳绳个数超过135个为良好，请估计该校九年级学生一分 5/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 钟跳绳的良好人数， 10.(24-25七年级下.内蒙古通辽期末)综合与实践： 【问题情境】 某学校大力开展社团活动，其中该校“百变魔方”社团准备去商店购买A,B两种魔方. 【素材展现】 素材1：某商店在无促销活动时，若购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元；购买3个A种魔方所需 款数和购买4个B种魔方所需款数相同. 素材2：该商店开展促销活动： 活动一：“疯狂打折”：A种魔方八折，B种魔方四折： 活动二：“买一送一”：购买一个A种魔方送一个B种魔方. (1)【解决问题】 (1)该商店在无促销活动时，求A,B这两种魔方的销售单价各是多少元？ (②)【拓展提升】 (2)结合同学们的需求，社团决定购买A,B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个），设购买A种 魔方个，按活动一和活动二购买所需费用分别为多少元？（均用含m的代数式表示) (3)【综合应用】 (3)请你帮小明算一算，在(2)的条件下，根据m的值说明选择哪种促销活动，购买魔方更实惠？ 11.(24-25七年级下·内蒙古通辽期末)我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系， 系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解.因此，在现代数学的高等代数学科将系数和 （a1x+by=C1 常数项排成一个表的形式，规定：关于x,y的二元一次方程组气a2x+b2y=c2 可以写成矩阵 (a1 b1 C1 a2b2c2的形式. I2x+3y=7 37 例如： 4x-5y=3可以写成矩阵(4 -53的形式. 2x+y=7 2y-3=x (1)填空： 将12x-3y=3 写成矩阵形式为 将{3x-4y-7=0写成矩阵形式为： (X=-1 2)若矩阵b a5 -13 所对应的方程组的解为y=一4，求a与b的值。 12.(24-25七年级下·内蒙古通辽·期末)【教材呈现】如图是人教版版七年级下册数学教材第16页的部分 内容.有了“两直线平行，同位角相等”，我们就能用推理的方法得出“两条平行线被第三条直线所截，内错 角相等”. 6/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 如图①，己知平行线α、b被直线所截，我们将∠1的对顶角记为∠3. (1)下面是“两直线平行，内错角相等”的推理过程，在括号内填写理由. allb, ·∠2=∠3 :∠1=∠3 ·∠1=∠2 图① 图② 图③ 【拓展应用】 (2)如图②，AB引‖CD,BCIIDE,若∠B=47°，则∠D= (3)如图③，已知ABI‖CD,∠1=∠2，试说明∠BEF=∠EFC 13.(24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末)某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A,B两种 型号的电风扇，下表是近两周的销售情况。（进价、售价均保持不变，利润=销售收入一进货成本〉 销售数量 销售时段 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价： (②)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采 购多少台？ 14.(24-25七年级下·内蒙古赤峰期末)定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则 ∫x>1 称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”、例如：方程的解为x=3,不等式组x<4的解 ,∫x>1 集为1<x<4,因为x=3在1<x<4的范围内，所以方程x一2=1是不等式组x<4的“关联方程”， 2x+6>1 ()请验证方程5x+1=2x是否是不等式组x二7<一4的关联方程". 7/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x-3>-2 ②)已知关于x的方程x+3m=5是不等式组2x-9<一3的“关联方程，求m的取值范围。 x-2(n+1)>-5n (3)已知关于x的方程x-2n=3是关于x的不等式组 x-3<n 的“关联方程”，请直接写出n 的取值范围. 15.(24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快 乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格，某初级中学为了解学生一周在家运动时长（单位：小 时)的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组 (A,0≤t<1,B.1≤t<2,C.2≤t<3,D.3≤t<4),其中每周运动时间不少于3小时为达 标，绘制了如下两幅不完整的统计图.根据以上信息，解答下列问题： 学生每周在家运动时间频数分布直方图学生每周在家运动时间扇形统计图 频数小 B 48 36 30 A 30% 36 24 126 D 012341小时 ()请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为度； (2)若该校有学生5000人，试估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数： (3)根据调查结果，请对该学校学生每周在家运动情况作出评价，并结合实际提出一条合理化的建议， 16.(24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末)智能清洁机器人因其高效、便捷的特性，正逐渐受到各大商 场的喜爱.某商场为节省人力成本，购进了A,B两种型号智能清洁机器人共15台，且购进的这批智能清洁 机器人1小时恰好能处理完整个商场.已知该商场的总面积是10500平方米，如图是关于该批智能清洁机器 人的信息： 智能之 清洁机器人 A机器人 B机器人 处理面积： 处理面积： 500平方米/小时 800平方米/小时 售价：2000元 售价：3000元 (I)分别求出该商场购进的A,B两种型号智能清洁机器人的数量；（列方程组解答） (2)该商场开了一家总面积为7000平方米的分店，计划再次购进A,B两种型号的智能清洁机器人共10台（两 种型号均购买供分店使用. ①要使购进的这批智能清洁机器人在1小时内能处理完新商场，有多少种采购方案？ 8/10 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 ②若商场此次购买预算不超过27100元，请在①的所有方案中确定最终方案。 17.(24-25七年级下·内蒙古通辽期末)己知直线AB‖CD,直线MN分别交AB、CD于点M、N.P是 AB、CD之间的一点，且位于直线MN左侧，连接PM、PN M D 图1 图2 【基础探究】 (1)①如图1，若∠AMP=18°，∠CNP=45°，则∠P的度数为度； ②在图1中探究∠AMP、∠CNP和∠P的数量关系，并说明理由. 【迁移应用】 直接运用(1)中的结论，解决下列问题： (2)如图2，若MP平分∠AMN,NQ平分∠CNP,NQ交MP的延长线于点Q,∠Q=50°，则∠PNM 的度数为度。 18.（24-25七年级下·内蒙古赤峰期末)如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利 用凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线ABCD,经过凹面镜的反射后，反射光线 BE,DF交于一点P. B 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，若∠ABP=60°和∠CDP=55°，则∠BPD= (②)如图3，已知ABICD,点M,N分别在AB,CD上，点P是AB,CD之间MN右侧任意一点，连接PM ,PN,若∠MPN=&,∠BMP=B,∠DNP=Y,请写出a,B,Y之间的数量关系，并说明理由： (3)如图4，在(2)的基础上MQ平分∠AMP,NQ平分∠CNP,若∠BMP=m°，∠DNP=n°，请直 接求∠P+∠Q的值.（不需要写解答过程） 19.(24-25七年级下-内蒙古赤峰期末)如图，已知点A(a,0),B(b,0),满足(3a+b)+Vb-3=0 ,将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD,并连接AC,BD. 9/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D 备用图 (I)请直接写出点A、B、C和D的坐标； (2)点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向平移运动，设运动时间为t秒，问当t值是多少 时，ODM的面积是12平方单位？ 10/10 专题05 解答压轴题 1．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知直线、，点A、B为分别在直线、上． (1)如图1，点C为平面内一点，连接、，若，求证：； (2)如图2，点C，D为平面内两点，连接，，，若，猜想和，，的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理． （1）过作，证明，从而得到； （2）过点C作，则，过点D作，则，根据平行线的性质得出，根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：过作，如图所示， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由是： 过点C作，则，过点D作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知：在平面直角坐标系内有三个点，其中点，点且是方程组的解，点在轴负半轴上，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)如图（1）所示，若，求线段的长； (3)如图（2）所示，在（2）的条件下，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度先沿线段运动到点O，再继续以相同的速度沿轴正半轴运动到点停止，设运动时间为秒，求当为何值时，的面积是面积的2倍． 【答案】(1) (2)10 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的面积，解二元一次方程组，一元一次方程的应用，三角形面积公式，正确进行分类讨论是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）过点A作轴于点H，利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）利用，求得，再分两种情况讨论，①当点P在线段上和②当点P在线段上时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：解方程组， ∴， 点的坐标是． （2）解：过点作轴于点，如图所示， ， ∴， ， ． （3）解：， ∴， ， ∴， 如图，连接， ， ， ． ①当点在线段上时，如图所示，， ， ， 解得； ②当点在线段上时，如图所示， ， ， 解得． 综上所述，当或时，的面积是面积的2倍． 3．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）2025年4月23日是第30个世界读书日．学校为营造“爱读书、多读书、读好书”的浓厚氛围，开展了“书香校园，阅读有我”的读书活动．在5月份，为了解七年级学生的读书情况，随机调查了七年级40名学生的读书数量（单位：本），并进行了以下的整理与分析： 【数据收集】 2  5  3  5  4  6  1  5  3  4  2  2  3  3  4  4  4  4  3  4 4  5  6  7  3  6  7  5  8  3  4  7  3  4  6  5  5  5  7  8 【数据整理】 本数x 组别 A B C D 频数 4 m 12 n 【数据分析】 绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图（如图）． 根据统计信息回答问题： (1)在统计表中，______，______，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，C组对应扇形的圆心角的度数为______度； (3)若该校七年级学生人数为240人，请根据上述调查结果，估计该校七年级学生读书数量在4本以上的人数． 【答案】(1)18，6， (2)108 (3)该校七年级学生读书在4本以上的人数为108人． 【分析】本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，频数分布等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，理解样本和总体的关系． （1）由随机调查的七年级40名学生读书数量的数据直接得出m的值； （2）根据读书数量在C组对应人数求出百分比再乘以即可得到对应的圆心角； （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可． 【详解】（1）解：由条形统计图可得：， ， （2）解：，， 故答案为：． （3）解：∵40人中共有名学生读书在4本以上， ∴（人） 答：该校七年级学生读书在4本以上的人数为108人． 4．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某中学为了了解学生“大课间”活动情况，在七、八、九年级的学生中，分别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查（每人只能选一项），调查结果的部分数据如下表（图）所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级最喜欢排球的人数为10人． 七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表 项目 排球 篮球 踢毽 跳绳 其他 人数（人） 7 8 14 6 请根据以上统计表（图）解答下列问题： (1)本次调查共抽取了多少人？ (2)补全统计表和统计图： (3)该校共有学生1800人，其中七年级有600人，八年级有500人．请你根据抽样调查的数据结果，提出一个能客观地反映总体在某些或某个运动项目的情况的问题，并予以解答． 【答案】(1)150人 (2)补图见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、统计表以及用样本估计总体的知识，此题综合性较强，难度适中． （1）从九年级最喜欢运动的项目统计图中得知，九年级最喜欢排球的人数占总数的百分数，又知九年级最喜欢排球的人数为10人，所以求出九年级最喜欢运动的人数，再由七、八、九年级的学生中，分别抽取相同数量的学生，得出本次调查共抽取的学生数； （2）先根据（1）得七年级最喜欢跳绳的人数，从而能求出八、九年级最喜欢跳绳的人数，然后求出最喜欢跳绳的学生数，补全统计表和统计图即可； （3）合理提出问题即可． 【详解】（1）解：从九年级最喜欢运动的项目统计图中得知，九年级最喜欢排球的人数占总数的百分比为：， 又知九年级最喜欢排球的人数为10人， ∴九年级最喜欢运动的人数有（人）， ∴本次调查抽取的学生数为：（人）． （2）解：根据（1）得七年级最喜欢跳绳的人数有人， 那么八年级最喜欢跳绳的人数有人， 最喜欢踢毽的学生有人， 九年级最喜欢排球的人数占全年级的百分比＝ 补全统计表和统计图如图所示； 七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表 项目 排球 篮球 踢毽 跳绳 其他 人数（人） 7 8 14 15 6 （3）解：问题为：该校共有学生1800人，其中七年级有600人，八年级有500人，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生最喜欢踢毽子？ （人）， 答：估计该校九年级学生中有210名学生最喜欢踢毽子． 5．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）推理填空： 如图，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由． （2）与的位置关系如何？为什么？ （3）若平分，试说明： 注：本题第（1）（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程． 解：（1）理由如下： ∵（平角的定义）， （已知）， ∴___________（                             ） ∴．（                             ） （2）与的位置关系：___________ ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． 又∵（已知）， 即， ∴___________（                             ） ∴______________________（                             ） 【答案】（1）；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行；（2）平行；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（3）证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据同角的补角相等得到，即可证明； （2）由角平分线和已知得到，，则，亦可证明平行； （3）由，得到，由角平分线的定义得到，则,那么，再由平行线的性质等量代换即可． 【详解】解：（1）理由如下： ∵（平角的定义）， （已知）， ∴（同角的补角相等） ∴．（同位角相等，两直线平行） （2）与的位置关系：平行， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． 又∵（已知）， 即， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） （3）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴，， ∴． 6．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、、，满足． (1)求、的坐标 (2)在轴上是否存在点（不与点重合），使，若存在，求出点的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1)、； (2)存在，． 【分析】本题考查了直角坐标系中点的特征，三角形的面积公式，非负数的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求得的值即可； （2）设点，则，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴点、； （2）解：存在，理由如下： 如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 7．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）李明同学两次到某超市购买、两种商品，购买数量及消费金额如下表： 类别 次数 购买商品数量（件） 购买商品数量（件） 消费金额（元） 第一次 2 3 180 第二次 1 4 190 解答下列问题： (1)求、两种商品的单价； (2)李明同学听说超市全部商品打六折销售、计划去超市购买、两种商品共10件，且消费金额不超过200元，求李明同学至少购买商品多少件？ 【答案】(1)、两种商品的单价分别为元、元； (2)李明同学至少购买商品件． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设、两种商品的单价分别为元、元，依题意得列出方程组，求解即可； （2）设李明同学至少购买商品件，则购买商品为件，依题意得列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设、两种商品的单价分别为元、元，依题意得： ， 解得：， 答：、两种商品的单价分别为元、元； （2）解：设李明同学至少购买商品件，则购买商品为件，依题意得： ， 解得：， ∵为整数， ∴李明同学至少购买商品件， 答：李明同学至少购买商品件． 8．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，第一次购买50个A种品牌的足球和25个B种品牌的足球需要花费4500元；第二次购买10个A种品牌的足球和10个B种品牌的足球需要花费1300元． (1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的，则这次学校至少购买A品牌足球多少个？ (3)若学校购买A、B两种品牌的足球（两种都买），刚好用了1600元，请求出所有满足条件的购买方案． 【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元 (2)25个 (3)有3种购买方案，①购买A种品牌足球24个，购买B种品牌足球5个；②购买A种品牌足球16个，购买B种品牌足球10个；③购买A种品牌足球8个，购买B种品牌足球15个． 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设购买一个A种品牌的足球需要x元，购买一个B种品牌的足球需要y元，根据两次购买的费用数量建立方程组求解； （2）设购买t个A种品牌足球，则购买个B种品牌足球，根据“总费用不超过第一次花费的”建立一元一次不等式求解； （3）设购买A种品牌的足球m个，购买B种品牌的足球n个，根据“刚好用了1600元”得到二元一次方程，再求正整数解即可． 【详解】（1）解：设购买一个A种品牌的足球需要x元，购买一个B种品牌的足球需要y元， 由题意，得：， 解得：． 答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元． （2）解：设购买t个A种品牌足球，则购买个B种品牌足球， 依题意，得：， 解得：． 答：这次学校至少购买A种品牌足球25个． （3）解：设购买A种品牌的足球m个，购买B种品牌的足球n个， 由题意得：， 解得：， 由条件可得方程的解为： 故有3种方案如下： ①购买A种品牌足球24个，购买B种品牌足球5个； ②购买A种品牌足球16个，购买B种品牌足球10个； ③购买A种品牌足球8个，购买B种品牌足球15个． 9．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）为了解某校九年级学生的一分钟跳绳情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将跳绳个数分为5组：A．175～195，B．155～175，C．135～155，D．115～135，E．95～115（每组含后一个边界值，不含前一个边界值），绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据信息，解答下列问题： 抽取部分学生跳绳成绩的频数分布直方图 抽取部分学生跳绳成绩的扇形统计图 (1)计算扇形统计图中的m和E组所对圆心角的度数； (2)计算并补全频数分布直方图； (3)已知该校九年级共有学生450人，已知一分钟跳绳个数超过135个为良好，请估计该校九年级学生一分钟跳绳的良好人数． 【答案】(1)，E组所对圆心角度数为 (2)见解析 (3)估计该校九年级学生一分钟跳绳良好的人数约为333人 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，样本估计总体等知识点，读懂统计图是解题的关键． （1）先由组人数除以占比得到抽取的人数，再由B组人数除以抽取的人数即可求解m，由乘以组的占比即可求解圆心角； （2）先求出组的人数，即可补全条形统计图； （3）九年级学生450人乘以占比即可． 【详解】（1）解：抽取的人数为：（人）， 则， ∴； 组所对圆心角度数为； （2）解：组人数为：（人）， 则补全条形统计图： 抽取部分学生跳绳成绩的频数直方图 （3）（人）， 答：估计该校九年级学生一分钟跳绳良好的人数约为333人． 10．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）综合与实践： 【问题情境】 某学校大力开展社团活动，其中该校“百变魔方”社团准备去商店购买，两种魔方． 【素材展现】 素材1：某商店在无促销活动时，若购买2个种魔方和6个种魔方共需130元；购买3个种魔方所需款数和购买4个种魔方所需款数相同． 素材2：该商店开展促销活动： 活动一：“疯狂打折”：种魔方八折，种魔方四折； 活动二：“买一送一”：购买一个种魔方送一个种魔方． (1)【解决问题】 （1）该商店在无促销活动时，求，这两种魔方的销售单价各是多少元？ (2)【拓展提升】 （2）结合同学们的需求，社团决定购买，两种魔方共100个（其中种魔方不超过50个）．设购买种魔方个，按活动一和活动二购买所需费用分别为多少元？（均用含的代数式表示） (3)【综合应用】 （3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，根据的值说明选择哪种促销活动，购买魔方更实惠？ 【答案】(1)种魔方的单价为20元，种魔方的单价为15元 (2)活动一：元；活动二：元 (3)当时，选择优惠活动一购买更实惠；当时，选择优惠活动一和活动二同样实惠；当时，选择优惠活动二购买更实惠 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组即可； （2）根据两种活动的优惠规则表示即可； （3）比较活动二的费用与活动一的费用，列出一元一次不等式，求解判断即可． 【详解】（1）解：设种魔方的单价为元，种魔方的单价为元， 依题意得， 解得． 答：种魔方的单价为20元，种魔方的单价为15元． （2）依题意得：活动一：； 活动二：． 综上，活动一：元；活动二：元 （3）①当时，解得：，又 ， 当时，选择优惠活动一购买更实惠． ②当时，解得：， 当时，选择优惠活动一和活动二同样实惠． ③当时，解得：，又 ， 当时，选择优惠活动二购买更实惠． 综上，当时，选择优惠活动一购买更实惠；当时，选择优惠活动一和活动二同样实惠；当时，选择优惠活动二购买更实惠． 11．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为___________；将写成矩阵形式为：___________； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求与的值． 【答案】(1)； (2)a，b的值分别是和1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据题意作答即可； （2）根据题意反向推出方程组为，将方程组的解代入计算即可． 【详解】（1）解：将写成矩阵形式为； 整理得：，即将写成矩阵形式为； 故答案为：；； （2）解：矩阵所对应的关于x，y的二元一次方程组为， 此方程组的解为 将代入方程组得： 由①得； 由②得； 所以a，b的值分别是和1 12．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）【教材呈现】如图是人教版版七年级下册数学教材第16页的部分内容．有了“两直线平行，同位角相等”，我们就能用推理的方法得出“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”． 如图①，已知平行线a、b被直线所截，我们将的对顶角记为． （1）下面是“两直线平行，内错角相等”的推理过程，在括号内填写理由． ∵， （___________）． （___________）， （___________）． 【拓展应用】 （2）如图②，，若，则___________ （3）如图③，已知，，试说明 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换；（2）47；（3）见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质，对顶角相等，等量代换补全推理过程即可； （2）根据平行线的性质结合等量代换解答即可； （3）延长交的延长线于点，根据平行线的性质得到，进而证明，即可得到． 【详解】（1）解：∵， （两直线平行，同位角相等）． （对顶角相等）， （等量代换）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换； （2）解：∵， ∴ ∴ 故答案为：47； （3）证明：延长交的延长线于点， ， ， ， ， ， ． 13．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况．（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ 【答案】(1)A、B两种电风扇的销售单价分别是200元和150元 (2)37台 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多于7500元，列不等式求解； 【详解】（1）解：设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为x元、y元．依题意得： ， 解得：， 答：A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为200元、150元； （2）解：采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴a最大是37， 答：A种型号的电风扇最多能采购37台． 14．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)请验证方程是否是不等式组的“关联方程”． (2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． (3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)方程是不等式组的关联方程 (2) (3) 【分析】本题考查求不等式组的解集，解一元一次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出方程的解和不等式组的解集，进行判断即可； （2）求出方程的解和不等式组的解集，根据新定义得到关于的不等式组，进行求解即可； （3）根据题意，得到不等式组有解，进而求出不等式组的解，求出方程的解，根据新定义得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵方程的解是，解，得：， ∴在的范围内， ∴方程是不等式组的“关联方程”， （2）由，解得， 由，解得， 根据题意，得， 解得：； （3）方程是关于x的不等式组的“关联方程”， ∴不等式组有解， 解，得：， ∵方程的解是， 不等式组的解集为， ∴根据题意，得， 解得：． 15．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某初级中学为了解学生一周在家运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（．，．，．，．），其中每周运动时间不少于小时为达标，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： (1)请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数为______度； (2)若该校有学生人，试估计该校学生一周在家运动时长不足小时的人数； (3)根据调查结果，请对该学校学生每周在家运动情况作出评价，并结合实际提出一条合理化的建议． 【答案】(1)见解析； (2)人 (3)该学校学生每周在家运动时间达标率仅为，达标率较低，建议学校增加体育作业量，提高学生在家运动时间（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图中的信息进行关联，能够利用样本估计总体． （1）根据组人数及所占比例求总人数，根据总人数及，，组人数求出组人数，补全图形，用组人数除以总人数再乘以度即可求出组所对应扇形的圆心角的度数； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）从达标率进行分析，并提出建议． 【详解】（1）解：在这次抽样调查中，共调查了名学生． 组的人数为（人）， 补全频数分布直方图如图所示． 在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数为； 故答案为：； （2）解：（人）， 答：估计该校学生一周在家运动时长不足小时的有人． （3）解：， 该学校学生每周在家运动时间达标率仅为，达标率较低，建议学校增加体育作业量，提高学生在家运动时间（答案不唯一，合理即可）． 16．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）智能清洁机器人因其高效、便捷的特性，正逐渐受到各大商场的喜爱某商场为节省人力成本，购进了，两种型号智能清洁机器人共台，且购进的这批智能清洁机器人小时恰好能处理完整个商场已知该商场的总面积是平方米，如图是关于该批智能清洁机器人的信息： (1)分别求出该商场购进的，两种型号智能清洁机器人的数量；列方程组解答 (2)该商场开了一家总面积为平方米的分店，计划再次购进，两种型号的智能清洁机器人共台两种型号均购买供分店使用． 要使购进的这批智能清洁机器人在小时内能处理完新商场，有多少种采购方案？ 若商场此次购买预算不超过元，请在的所有方案中确定最终方案． 【答案】(1)该商场购进台种型号的智能清洁机器人，台种型号的智能清洁机器人； (2)共有种采购方案，方案：采购台种型号的智能清洁机器人，台种型号的智能清洁机器人；方案：采购台种型号的智能清洁机器人，台种型号的智能清洁机器人；方案：采购台种型号的智能清洁机器人，台种型号的智能清洁机器人； 最终方案为：采购台种型号的智能清洁机器人，台种型号的智能清洁机器人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 设该商场购进台种型号的智能清洁机器人，台种型号的智能清洁机器人，根据“购进了，两种型号智能清洁机器人共台，且购进的这批智能清洁机器人小时恰好能处理完整个商场”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设采购台种型号的智能清洁机器人，则采购台种型号的智能清洁机器人，根据要使购进的这批智能清洁机器人在小时内能处理完新商场，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各采购方案； 根据商场此次购买预算不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合且为正整数，即可确定最终方案． 【详解】（1）解：设该商场购进台种型号的智能清洁机器人，台种型号的智能清洁机器人， 根据题意得：， 解得：， 答：该商场购进台种型号的智能清洁机器人，台种型号的智能清洁机器人； （2）解：设采购台种型号的智能清洁机器人，则采购台种型号的智能清洁机器人， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为，，， 共有种采购方案， 方案：采购台种型号的智能清洁机器人，台种型号的智能清洁机器人； 方案：采购台种型号的智能清洁机器人，台种型号的智能清洁机器人； 方案：采购台种型号的智能清洁机器人，台种型号的智能清洁机器人； 解：根据题意得：， 解得：， 又，且为正整数， ，此时(台)， 最终方案为：采购台种型号的智能清洁机器人，台种型号的智能清洁机器人． 17．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）已知直线， 直线分别交于点M、N．P是之间的一点，且位于直线左侧，连接． 【基础探究】 （1）①如图1，若， 则∠的度数为 度； ②在图1中探究和的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 直接运用(1)中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若平分，平分，交的延长线于点Q，，则的度数为 度． 【答案】（1）；②，理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义： （1）①如图所示，过点P作，则，根据平行线的性质可得，则；②同（1）①求解即可； （2）由（1）可得，设，则，由角平分线的定义可得，，再由平行线的性质可得，则． 【详解】解：（1）①如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可得， 设，则， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． (1)如图2，若和，则　　　； (2)如图3，已知，点M，N分别在，上，点P是，之间右侧任意一点，连接，，若，请写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在（2）的基础上平分，平分，若，，请直接求的值．（不需要写解答过程） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． （1）作辅助线构造平行线，从而得到，根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”求解即可； （2）作辅助线构造平行线，由平行线的性质可得，，由此可求解； （3）由角平分线的性质可得，，再根据（2）中的结论同理可得，由此可求． 【详解】（1）解：过点P作（点R在点P的左侧），如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点P作（点H在点P的左侧），如图， ∵， ∴， ∴，， ∴, ∵， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， 由（2）中的结论可知，， 同理可得， ∴． 19．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，已知点，满足，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请直接写出点A、B、C和D的坐标； (2)点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向平移运动，设运动时间为t秒，问当t值是多少时，的面积是12平方单位？ 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，一元一次方程的应用，点的坐标，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据，得出 ，故，，再结合线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，则，，即可作答． （2）先表达，再结合，，得出轴，即，根据的面积是12平方单位，列式，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∵线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段， ∴，， （2）即：，； 解：由题意得：，， 由（1）得，， ∴轴， 即， 则三角形的面积， ∵的面积是12平方单位， ∴， 解得， 即当秒时，的面积是12平方单位 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $