专题02 四边形（5大考点）（期末真题汇编，内蒙古专用）八年级数学下学期

**基本信息** 聚焦四边形专题，覆盖平行四边形、三角形中位线、矩形、菱形、正方形5大高频考点，精选内蒙古多地八年级下期末真题，注重基础巩固与综合应用能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|38题|平行四边形性质判定（题1）、三角形中位线（题9）、矩形折叠（题24）、菱形性质（题26）、正方形综合证明（题36）|基础题（如选择1）与综合题（如解答34）梯度分明，结合几何直观与推理能力，适配期末复习需求|

专题02 四边形 5大高频考点概览 考点01平行四边形的性质和判定 考点02与三角形中位线有关的求解问题 考点03矩形 考点04菱形 考点05正方形 1．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，，则的长是（　　）地 城 考点01 平行四边形的性质和判定 A．13 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，然后由，根据在中勾股定理可求得的长，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平行四边形中，，平分且交于点E，点F在边上，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质推出．由平行四边形的性质推出， ， ，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此，得到，由平行线的性质求出即可得到的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，． ． 平分， ， ． ． ． ． ． ， ， ． ． 故选∶D 3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（    ） A．平行四边形的两组对角分别相等 B．全等三角形的对应角相等 C．对顶角相等 D．如果，，那么 【答案】A 【分析】此题考查了逆命题，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，对顶角相等，不等式 性质等知识，分别写出各选项的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：选项A：原命题“平行四边形的两组对角分别相等”的逆命题为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”．根据平行四边形的判定定理，两组对角分别相等的四边形必为平行四边形，故逆命题为真． 选项B：原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”．对应角相等仅能推出三角形相似，无法保证全等，故逆命题为假． 选项C：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”．存在相等的角不是对顶角的情况（如平行线中的同位角），故逆命题为假． 选项D：原命题“如果，，那么”的逆命题为“如果，那么且”． 反例：，时，但b不大于0，故逆命题为假． 综上，只有选项A的逆命题为真命题． 故选：A． 4．（24-25八年级下·内蒙古兴安·期末）根据图中所给的条件，能判定四边形是平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理，解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ， 故， 根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形， 故选：C． 5．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，于点，于点，且，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③当点是的中点，且时，四边形是矩形．其中正确的是______． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 逐一分析判断，即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∴， 故①正确． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故②正确． ∵，点是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形．故③正确． 故答案为：①②③． 6．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质得，，，则，因为，所以，而E是的中点，则，可判断①正确；由，G是的中点，得，根据三角形中位线定理得，，所以，可判断②正确；因为，，所以，且，则，可根据证明，可判断③正确；由，，推导出，则平分，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ，，， ，， ， ， ， 是的中点， ，即， 故①正确； ，G是的中点， ， 、F分别是、的中点， ∵，， ， 故②正确； ∵，，G是的中点， ∴，， ∴，且， ， 在和中， ， ， 故③正确； ， ， ∵， ， ， 平分， 故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理、全等三角形的判定、等边对等角、平行线的性质等知识，推导出，，且，是解题的关键． 7．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，E、F、G、H分别为、、、的中点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质； （1）由平行四边形的性质得出，，再由中点的定义得出是的中位线，是的中位线，即可得到，，然后证出四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知， ∵，， ，， ∴平行四边形的周长是； 8．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点，且，则的长是（    ） A．5 B． C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理．熟练掌握平行四边形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 首先证明，再证出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 故选：C． 9．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）如图，是的中位线，的平分线交于点，若，则_______°． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，角平分线的定义，平行线的性质， 先根据三角形中位线的性质得，进而得出，再根据角平分线的定义得，即可得，则此题可解． 【详解】解：∵是的中位线， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 地 城 考点02 与三角形中位线有关的求解问题 10．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在中，，若、分别是、的中点，，连接，点是边的中点，连接，则______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而根据中位线的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵在中，，是的中点，， ∴， ∵分别为，的中点， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知线段，连接，，点E，F分别是边，的中点，连接，且，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，作出辅助线，构造出直角三角形是解决此题的关键．连接，取中点，连接，，根据三角形中位线定理求得，的值，证得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，取中点，连接，， ∵E，G分别是，中点， ∴，， 同理可得，， ∵， ∴， 在中，． 故选：C． 12．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，，连接，，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，并延长交于点，连接，如图所示，根据，得，，，，证明和全等得，，进而得，由勾股定理得，再证明是的中位线然后根据三角形的中位线定理即可得出的长． 【详解】解：连接，并延长交于点，连接，如图所示： 四边形是矩形，且，， ，，，， ，， ，， ，，，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得， 点是的中点，， 是的中位线， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查在矩形中求线段长，涉及矩形的性质、平行线的性质、中点定义、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关几何性质及判定，并灵活运用是解决问题的关键． 13．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为________．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用． 先利用中位线定理求出菱形的边的长，再利用菱形的性质求得，从而可得，再利用勾股定理求得的长． 【详解】解：∵O为的中点，M为的中点， ∴是的中位线，， ， 四边形是菱形， ， ， ∵， ∴， 由勾股定理可得， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）一副三角尺如图放置，等腰直角三角尺的斜边与含角的直角三角尺的长直角边重合，，点分别在边上运动，连接，分别作出和的中点E和F，测得的最小值是2，则最长的斜边的长为_______．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据三角形中位线定理求出，根据的最小值2，推出，再利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，   E为的中点，F为的中点， 为的中位线， ， 当取得最小值2时，，， 在中，， 由勾股定理得，， 在中，， ， 由勾股定理得，，即， 解得， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在四边形中，对角线，，，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为_______． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理、三角形中位线定理，取的中点M，连接，根据三角形中位线的判定与性质求出，结合，求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：取的中点M，连接， ∵点为的中点，点为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 16．（24-25八年级下·内蒙古兴安·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，E，F分别是边的中点，连接．若，，则菱形的面积为（    ）    A．48 B．24 C．18 D．12 【答案】D 【分析】根据中位线定理，得，根据菱形的性质，得，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 本题考查了三角形中位线定理，菱形的性质，熟练掌握中位线定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵E，F分别是边的中点，， ∴， ∴菱形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴菱形的面积为， 故选：D． 地 城 考点03 矩形 17．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，的值最小，是解决问题的关键．连接，可知当点落在上时，取得最小值．根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，即为所求． 【详解】解：如图，连接，可知当点落在上时，取得最小值． 根据折叠的性质， ， ， 是边的中点，， ， ∴ ，， ， ． 的最小值是， 故选：C． 18．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一点（不与A，B两点重合），过点P分别作，边的垂线，垂足分别为M，N，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，先证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和面积法求出的最小值，即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时，的面积, ∴， ∴的最小值为． 19．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，分别为，边上的高，连接，若， ，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线性质、勾股定理．解题关键是通过等腰三角形三线合一确定为中点，再利用直角三角形斜边中线性质得出与的数量关系，最后借助勾股定理算出的长度．本题围绕等腰三角形和直角三角形的性质展开．已知是等腰三角形、为高，需借助直角三角形斜边中线性质，建立与的联系，再结合勾股定理求解． 【详解】解：∵， ∴是的中点． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在 中，，． ， 故答案为：． 20．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 21．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）写出一条矩形特殊于平行四边形的性质_______． 【答案】对角线相等或四个角都是直角（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，根据矩形与平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵矩形的性质：①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分； 平行四边形的性质：①平行四边形对边平行且相等；②平行四边形对角相等，邻角互补；③平行四边形的对角线互相平分 ∴矩形特殊于平行四边形的性质对角线相等或四个角都是直角． 故答案为：对角线相等或四个角都是直角（答案不唯一）． 22．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在矩形纸片中，，点是边上一点，先将沿折叠，使得点落在点处，与交于点；再折叠矩形纸片，使得点与点重合，点落在点处，折痕为，则的面积是（    ） A．10 B．8 C．12 D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，，证明、、在同一直线上，得出，设，则，由勾股定理可得，证明，即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， 由折叠的性质可得：，， ， ∴、、在同一直线上， ， 设，则， 由勾股定理可得，即， 解得：，即， ， ， ， ， ， 则的面积是， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 23．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，点恰好落在延长线上的点处，若交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．是直角三角形 C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据平行四边形的性质，折叠的性质，数形结合分析逐一判定即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， ∴，，则， ∴， ∴，即， ∴点是的中点， ∴，故D选项正确，符合题意； ∴是等腰三角形， ∵， ∴是直角三角形，错误，故B选项不符合题意； 如图所示，连接， ∴四边形是矩形， ∵的数量关系不确定， ∴平分错误，故C选项不符合题意； ∵，但的位置关系不确定， ∴， ∴，故A选项不符合题意； 综上所述，只有D选项正确， 故选：D． 24．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用． （1）可利用矩形的性质和折叠的性质，通过角相等得到边相等； （2）可设未知数，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， ∵由此矩形折叠情况可知：点C与点A重合，折痕分别交于点， ， ， ． （2）∵四边形是矩形，， ， 由折叠得：，设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得：， ． 25．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由平行四边形的性质可得，，由得，即得，即可得四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）利用矩形和勾股定理可得，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． 地 城 考点04 菱形 26．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）在菱形中，，则菱形的周长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质和勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求菱形的周长． 【详解】解：菱形对角线互相垂直平分， ∴， ∴， ∴菱形的周长． 故选：C． 27．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，已知菱形的两条对角线分别为和，则这个菱形的高为_______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 先由菱形得到，，然后运用勾股定理求出，再由即可求解． 【详解】解：如图：由题意得 ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，两条笔直的公路相交于点两村的村民计划在点C处建一个小广场，若，小广场到公路的距离为，则小广场到公路的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质．连接，过点C作，垂足分别为点D，E，则，根据题意可得四边形是菱形，从而得到，再由角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作，垂足分别为点D，E，则， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 即小广场到公路的距离为． 故选：A 29．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同．折出的图形也不同．所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题． 问题解决： （1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为 ； ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明； 拓展延伸： （2）如图2，矩形纸片中，，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你求出线段的长． 【答案】（1）①全等；②见解析；（2）． 【分析】（1）①利用翻折变换的性质以及全等三角形的判定定理解决问题即可；②先证明四边形是平行四边形，由可证明四边形是菱形； （2）由矩形和折叠的性质证明，设，利用勾股定理构建方程求解即可； 【详解】（1）①解：由折叠的性质得，，垂直平分， ， ， 故答案为：全等 ②证明：， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解： ， ， 矩形， ，， ， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， 设，则， ， ， 解得， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质，是解题的关键． 地 城 考点05 正方形 30．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分， ，， ， 又， ， ∴， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 31．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，已知正方形的边长为，以为边在正方形内部作等边三角形，连接，交的延长线于点，则的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质， 勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 根据正方形的性质、等边三角形的性质推得是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，． 故选：B． 32．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在正方形外侧，作等边三角形，，相交于点F，则为______度． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． 连接，根据正方形和等边三角形性质得，，进而得，则，，证明和全等得，由此可得的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 故答案为：． 33．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为________． 【答案】/45度 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，根据正方形的性质，等边三角形的性质，得到，，等边对等角求出，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵正方形，等边三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 34．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在正方形中，点是对角线的中点，点为边上一点，连接，过点作交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，线段、、之间有怎样的数量关系，请说明理由； (3)如图3，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；熟练运用这些知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）方法一：如图1，连接，证明；方法二：如图，连接，过点作，过点作，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）延长交于，连接，证明，则，，根据垂直平分线的性质可得，进而根据勾股定理，即可得出结论；    （3）证明，则，，同理可得，根据，建立方程解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：方法一：如图1，连接， 四边形是正方形，是的中点， ，， ， 又， ， 在和中， ，            方法二：如图，连接，过点作，过点作， ， 四边形是正方形，是的中点， 平分，，   ， 四边形为正方形， ， 又， ， ，       （2） 如图，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，           是的中点， ， 又， ， 则，，              ， ， ， 即 （3）如图，延长交于，连接， 四边形是矩形， ，      ， 是的中点， ， 又， ， 则，，     ， ， ，    ， ， 解得. 35．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等方法是构造旋转全等，如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查． (1)【问题解决】如图①，，，小明同学从点分别向，作垂线，，请你按照小明同学的思路证明； (2)【问题探究】如图②，若，，，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点是正方形外一点，，对角线，交于点，连接，且，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据矩形的性质得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，过点作于，于，先判定，得到，，再判断，根据全等三角形的性质得到，求得，设，则，，求得，得到，在中，由含的直角三角形性质求解即可得到结论； （3）如图，延长到，使，连接，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 设，则，， ，解得， ， 在中，，，则， ； （3）解：延长到，使，连接，如图所示： 在四边形中，，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 四边形的面积的面积． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、含的直角三角形性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大，熟记相关几何性质及判定，根据问题正确地作出辅助线是解题的关键． 36．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是正方形，点E是边的中点，连接，过E作的垂线，交正方形外角的平分线于点F， 求证： (1)； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质； （1）根据正方形的性质得到，然后根据同角的余角相等证明即可； （2）取中点G，连接，然后根据证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， 又， ， ∴； （2）证明：如图，取中点G，连接， ∵E为中点， ∴，， ∵是正方形外角平分线， ， 在和中， ， ∴， ∴． 37．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用已知条件，可证出，即； （2）根据全等的性质得出，进而得出，即，可证，可得结论； （3）过C作，交延长线于G，先证四边形是正方形，由（2）结论可知，，设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可求出的长． 【详解】（1）证明：在正方形中， ，，， ． ； （2）证明：， ． ． 即． ， ． ，，， ． ． ∵， ； （3）解：如图，过C作，交延长线于G， 在直角梯形中，，， ∴， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， 四边形为正方形． ． ， 由（2）结论可知，， ∵为中点， ， 设，则， ． 在中，， ， 解得：． ． 38．（24-25八年级下·内蒙古兴安·期末）如图，在矩形中，，P是上一动点，M，N，E分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)四边形有可能是正方形吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 (3)不能，见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及正方形的判定定理和性质，勾股定理的逆定理，掌握正方形和菱形的性质是关键． （1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明． （2）当时，四边形是菱形，P是的中点，所以可求出的值． （3）四边形是矩形的话，必需为，用勾股定理的逆定理判断一下是不是直角三角形就行． 【详解】（1）证明：∵M、N、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）当时，四边形是菱形，理由如下： 是矩形， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵M、N、E分别是的中点， ∴ ， ， ∴， ∴四边形是菱形； （3）若四边形是正方形，则 设， ，． 或． 由（2）可知，当时，，四边形才有可能是正方形，与或时产生矛盾， 所以四边形不可能是正方形． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02四边形 ☆5大高频考点概览 考点01平行四边形的性质和判定 考点02与三角形中位线有关的求解问题 考点03矩形 考点04菱形 考点05正方形 目目 考点01 平行四边形的性质和判定 1,(24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点， AB⊥AC,若AB=8,AC=12,则BD的长是() D A.13 B.20 C.21 D.22 2.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=70°，BE平分LABC且交AD 于点E,点F在BC边上，AE=CF.则∠1的度数为() B A.55 B.45° C.40° D.35° 3.(24-25八年级下·内蒙古通辽·期末)下列命题中，逆命题是真命题的是() A.平行四边形的两组对角分别相等 B,全等三角形的对应角相等 C.对顶角相等 D.如果a>0,b>0,那么a+b>0 4,(24-25八年级下·内蒙古兴安期末)根据图中所给的条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的依据是 () 1/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 12 135° 459 12 C A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.一组对边平行且相等 D.对角线互相平分 5.(24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0， ∠ABD=∠CDB,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,且BE=DF,则下列结论：①BE DF;②四边形ABCD 是平行四边形；③当点E是AO的中点，且∠ABE=30时，四边形ABCD是矩形.其中正确的是 D B 6. (24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的中点，下列结论：①BE⊥AC;②EG=EF; ③△EFG兰△GBE;④EA平分LGEF.其中正确的个数是() F A.1 B.2 C.3 D.4 7.(24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O, E、F、G、H分别为OA、OB、OC、OD的中点，AB=3cm,BC=4cm, (I)求证：四边形EFGH为平行四边形； (2)求四边形EFGH的周长. 8,(24-25八年级下·内蒙古呼和浩特期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AD的中 点，且E0=5,则CD的长是() 2/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.5 B.7.5 C.10 D.15 9,(24-25八年级下·内蒙古包头·期末)如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F,若 ∠DFB=32°，则∠ABC=° D 目目 考点02 与三角形中位线有关的求解问题 10.(24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，若D、F分别是BC、AC 的中点，BC=8,连接AD,点E是边DC的中点，连接EF,则EF=一· 11,(24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末)如图，己知线段AB⊥CD,连接AD,BC,点E,F分别是边 AD,CB的中点，连接EF,且AB=16,CD=12,则EF的长为() A.8 B.6 C.10 D.27 12.(24-25八年级下·内蒙古通辽·期末)如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB,BC上的点，且 3/11 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE=2BE,BF=2CF,连接EC,FD,M,N分别是EC,FD的中点，连接MN,若AB=6,BC=9,则MN 的长为 D B 13.(24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末)如图，菱形ABCD中，O为BD的中点，M为BC的中点， AM⊥BC,OM=2,则AM的长为 A D B M 14.(24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末)一副三角尺如图放置，等腰直角三角尺的斜边与含30°角的直 角三角尺的长直角边重合，∠B=∠CAD=90°，LACD=30°，AB=BC,点M、N分别在边BC、CD上运动，连 接MN、AN,分别作出MN和AN的中点E和F,测得EF的最小值是2，则最长的斜边CD的长为 D B M 15.(24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,AC=8,BD=6,若 点E为AB的中点，点F为CD的中点，连接EF,则EF的长为 B 16.(24-25八年级下.内蒙古兴安·期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是边AB,OB 4/11 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的中点，连接EF.若EF=1,BD=6,则菱形ABCD的面积为() A.48 B.24 C.18 D.12 目目 考点03 矩形 17.(24-25八年级下·内蒙古通辽·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E是AB边的中点，F是 线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠到△EBF,连接BD,则BD的最小值是() D B C A.2 B.2W5-1 C.17-1 D.3 18.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点P是AB边 上的一点（不与A,B两点重合），过点P分别作AC,BC边的垂线，垂足分别为M,N,连接MN,则MN 的最小值是 19.(24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AN,BM分别为BC,AC边上的高， 连接MN,若AB=10,MN=V10，则AN的长为， A 20.（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末)矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行线交AD于 5/11 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E,交BC于F,连接DM和BM,己知DE=3,ME=8,则图中阴影部分的面积是() D B A.20 B.24 C.28 D.36 21,(24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末)写出一条矩形特殊于平行四边形的性质 22.（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=16,点E是边BC上 一点，先将△ABE沿AE折叠，使得点B落在点B处，EB与AD交于点F;再折叠矩形纸片ABCD,使得点C与 点B重合，点D落在点D'处，折痕为EG,则△FGE的面积是() D 3, A B C A.10 B.8 C.12 D.163 3 23.(24-25八年级下·内蒙古包头·期末)如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点D恰好落在DC延 长线上的点D'处，若AD'交BC于点E,则下列结论一定正确的是() E A.∠BAD=135° B,△CED'是直角三角形 C.AD平分∠BAC D.EB=ED 24.(24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末)如图，在矩形ABCD中，AD>AB,将此矩形折叠，使点C与点A重 合，折痕分别交BC,AD于点E、F,连接EF,点D的对应点为点D',若AB=4,BC=10. 6/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D' 4 B (I)求证：AE=AF; (2)求线段DF的长度. 25,(24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O,过点A作AE⊥BC 于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF. A D O B E C F (I)求证：四边形AEFD是矩形： (2)若BC=CD,BF=16,DF=8,求口ABCD的面积. 目目 考点04 菱形 26.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,则菱形的周长为() D A.40 B.30 C.20 D.10 27.(24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末)如图，己知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm,则这个菱形的高 DE为 D 28.(24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末)如图，两条笔直的公路L1、l2相交于点0，A、B两村的村民计 划在点C处建一个小广场，若OA=OB=BC=AC,小广场到公路l1的距离为3km,则小广场到公路l2的距 7/11 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 离为() A.3km B.4km C.5km D.6km 29.(24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末)数学课上老师让学生们折矩形纸片，由于折痕所在的直线不 同.折出的图形也不同.所以各个图形中所隐含的基本图形”也不同.我们可以通过发现基本图形，来研究 这些图形中的几何问题、 D B D B 图1 图2 问题解决： (1)如图1，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C与点A重合，点D落在点D1的位置，连接MC,AN, AC,线段AC交MN于点O,则： ①△CDM与△AD1M的关系为_； ②小丽说：“图1中的四边形AWCM是菱形”，请你帮她证明； 拓展延伸： (2)如图2，矩形纸片ABCD中，BC=2AB=6cm,BM=4cm,小明将矩形纸片ABCD沿直线AM折叠，点 B落在点B,的位置，MB1交AD于点N,请你求出线段ND的长. 目目 考点05 正方形 30.(24-25八年级下·内蒙古通辽·期末)正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE,折叠 该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B,折痕BF与AE交于点H,点F在AD上，若DE=5,则GE 的长为() 8/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. B. C. D.沿 31.（24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)如图，已知正方形ABCD的边长为4，以AD为边在正方形内部作等 边三角形△ADE,连接BE,DF⊥DE交BE的延长线于点F,则EF的长为() D A.月 B.4V2 C.4 D.5 32.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ABE,AC,DE相交于 点F,则∠BFE为 度 D B 33.(24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE,则∠BED 的度数为 A B D 34.(24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)如图，在正方形ABCD中，点0是对角线AC的中点，点E为边BC 上一点，连接OE,过点O作OF⊥OE交AB于F点. 9/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D 0 0 O E E E B F F 图1 图2 图3 (1)求证：0E=OF; (②)如图2，连接EF,线段AF、EF、CE之间有怎样的数量关系，请说明理由； (3)如图3，将“正方形ABCD改为“矩形ABCD”,其他条件不变，若AB=8,BC=6,BF=5,求BE的长. 35,(24-25八年级下·内蒙古通辽期末)问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补 的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等.方法是构造旋转全等，如 果问题中有“45°，60”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考 查 4 D B 图① 图② 图③ (I)【问题解决】如图①，∠AOB=∠CPD=90°，PD=PC,小明同学从P点分别向OA,OB作垂线PE,PF, 请你按照小明同学的思路证明△PED≌△PFC; (2)【问题探究】如图②，若∠A0B=120°，∠CPD=60°，PD=PC,0D=1,0C=2,求0P的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形ABCD外一点，∠CPD=90°，对角线AC,BD交于点O,连接OP,且 OP=2,求四边形0CPD的面积. 36,（24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，连接DE,过 E作DE的垂线，交正方形外角的平分线于点F, D 求证： (1)∠FEB=∠EDC: 10/11 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)EF DE 37.(24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线 上一点，且DF=BE,连接CF、CE, 4 G D F A D E B B 图1 图2 (I)求证：CF=CE; (2)在图1中，若G在AD上，且LGCE=45°，连接GE,求证：GE=BE+GD; (3)根据你所学的知识，运用(1)(2)解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形ABCD中，AD II BC(BC>AD),∠B=90°，AB=BC=6,E是AB的中点，且∠DCE=45°，直接 写出DE的长； 38,(24-25八年级下·内蒙古兴安期末)如图，在矩形ABCD中，AD=4,CD=10,P是AB上一动点，M, N,E分别是PD、PC、CD的中点. A B M D E C (1)求证：四边形PMEN是平行四边形. (2)当AP=5时，判断四边形PMEN的形状，并说明理由. (3)四边形PMEN有可能是正方形吗？请说明理由， 11/11