专题05 压轴题综合（期末真题汇编，内蒙古专用）八年级数学下学期

**基本信息** 专题05压轴题综合汇编内蒙古八年级下期末真题，聚焦几何综合、函数应用、统计分析，梯度设计突出核心素养与解题能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|4题|平行四边形性质、函数图像应用、中点模型|结合图形多结论判断，考查几何直观与推理| |解答题|15题|正方形折叠、一次函数平移与对称、数据统计分析、方案选择|几何综合题融合旋转全等与中点模型（如第5题对角互补），统计题关联人工智能、农业试验等现实情境，函数题考查平移与对称转化思想|

专题05 压轴题综合 一、单选题 1．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质得，，，则，因为，所以，而E是的中点，则，可判断①正确；由，G是的中点，得，根据三角形中位线定理得，，所以，可判断②正确；因为，，所以，且，则，可根据证明，可判断③正确；由，，推导出，则平分，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ，，， ，， ， ， ， 是的中点， ，即， 故①正确； ，G是的中点， ， 、F分别是、的中点， ∵，， ， 故②正确； ∵，，G是的中点， ∴，， ∴，且， ， 在和中， ， ， 故③正确； ， ， ∵， ， ， 平分， 故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理、全等三角形的判定、等边对等角、平行线的性质等知识，推导出，，且，是解题的关键． 2．（24-25八年级下·内蒙古兴安·期末）A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据图象获得信息后，利用待定系数法，路程，速度，时间的关系等处理信息解答即可． 本题考查了一次函数的图象，待定系数法，根据解析式计算，熟练掌握一次函数的性质，待定系数法是解题的关键． 【详解】解：根据可得，时间过了甲的路程为0，即乙比甲提前出发， 故①正确； 甲个小时行驶了， 故甲的速度为， 故②正确； 设甲的解析式为， 根据题意，得， 解得， 所以， 设乙的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故乙的解析式为， 当时，，， 故， 时，甲、乙两人相距， 故③错误； 当甲运动前，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得； 当甲运动后，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得； 故或时，乙比甲多行驶． 故④正确， 故选：C． 3．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知线段，连接，，点E，F分别是边，的中点，连接，且，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，作出辅助线，构造出直角三角形是解决此题的关键．连接，取中点，连接，，根据三角形中位线定理求得，的值，证得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，取中点，连接，， ∵E，G分别是，中点， ∴，， 同理可得，， ∵， ∴， 在中，． 故选：C． 4．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分， ，， ， 又， ， ∴， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、解答题 5．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等方法是构造旋转全等，如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查． (1)【问题解决】如图①，，，小明同学从点分别向，作垂线，，请你按照小明同学的思路证明； (2)【问题探究】如图②，若，，，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点是正方形外一点，，对角线，交于点，连接，且，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据矩形的性质得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，过点作于，于，先判定，得到，，再判断，根据全等三角形的性质得到，求得，设，则，，求得，得到，在中，由含的直角三角形性质求解即可得到结论； （3）如图，延长到，使，连接，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 设，则，， ，解得， ， 在中，，，则， ； （3）解：延长到，使，连接，如图所示： 在四边形中，，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 四边形的面积的面积． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、含的直角三角形性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大，熟记相关几何性质及判定，根据问题正确地作出辅助线是解题的关键． 6．（24-25八年级下·内蒙古兴安·期末）如图，在矩形中，，P是上一动点，M，N，E分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)四边形有可能是正方形吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 (3)不能，见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及正方形的判定定理和性质，勾股定理的逆定理，掌握正方形和菱形的性质是关键． （1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明． （2）当时，四边形是菱形，P是的中点，所以可求出的值． （3）四边形是矩形的话，必需为，用勾股定理的逆定理判断一下是不是直角三角形就行． 【详解】（1）证明：∵M、N、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）当时，四边形是菱形，理由如下： 是矩形， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵M、N、E分别是的中点， ∴ ， ， ∴， ∴四边形是菱形； （3）若四边形是正方形，则 设， ，． 或． 由（2）可知，当时，，四边形才有可能是正方形，与或时产生矛盾， 所以四边形不可能是正方形． 7．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在正方形中，点是对角线的中点，点为边上一点，连接，过点作交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，线段、、之间有怎样的数量关系，请说明理由； (3)如图3，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；熟练运用这些知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）方法一：如图1，连接，证明；方法二：如图，连接，过点作，过点作，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）延长交于，连接，证明，则，，根据垂直平分线的性质可得，进而根据勾股定理，即可得出结论；    （3）证明，则，，同理可得，根据，建立方程解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：方法一：如图1，连接， 四边形是正方形，是的中点， ，， ， 又， ， 在和中， ，            方法二：如图，连接，过点作，过点作， ， 四边形是正方形，是的中点， 平分，，   ， 四边形为正方形， ， 又， ， ，       （2） 如图，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，           是的中点， ， 又， ， 则，，              ， ， ， 即 （3）如图，延长交于，连接， 四边形是矩形， ，      ， 是的中点， ， 又， ， 则，，     ， ， ，    ， ， 解得. 8．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 85.5 b 96.6 乙 86 a 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】(1)86.5，85，20 (2)乙款人工智能软件更受用户欢迎，见解析 (3)估计该次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的总用户数为510名 【分析】本题考查了数据的统计分析概念，如中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况．熟练掌握中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义来计算和，根据组数据个数计算； （2）通过比较两款软件的平均数、中位数、众数等统计量来判断哪款更受欢迎； （3）先计算出样本中对两款软件非常满意的比例，再用这个比例乘以总体人数来估计总用户数． 【详解】（1）解：：乙款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，， 所以乙款得分的中位数为：， 甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以甲款得分的众数为：， 组人数， 所以，故， 故答案为：，，． （2）乙款人工智能软件更受用户欢迎． 理由如下：(本题理由不唯一，合理即可参照给分） ∵甲款和乙款的平均数相同，乙款的方差小于甲款的方差， ∴乙款人工智能软件比较稳定， ∴乙款人工智能软件更受用户欢迎. （3）∵（名）． ∴估计该次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为510名． 9．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算． （1）先利用逆定理判定三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形，再套用公式①求解即可； （2）直接套用公式②求解即可； （3）连接，利用勾股定理求出，当假设在中，，，时，利用公式①或公式②，求出的面积，再利用即可求解． 【详解】（1）解：∵；；；， ∴根据勾股定理的逆定理可知：三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形， ∴当假设在这个三角形中，，时， 则， ∴根据公式①，得该三角形的面积 ； （2）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴当假设，，时， 根据公式②，得该三角形的面积 ； （3）解：方法一：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时，根据公式②，得该三角形的面积 ， ∴． 方法二：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时， 则 ，根据公式①，得该三角形的面积 = = = =， ∴． 10．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）某中学在本校七、八年级学生中开展了“国防安全”知识竞赛，并将最终成绩分为A，B，C，D，E五个等级，其相应等级得分分别为5分，4分，3分，2分，1分．校团委在七、八年级学生答卷中随机各抽取50人的成绩进行分析，并将抽取出来的成绩整理绘制成了如下统计图． 根据以上信息回答下列问题： (1)分别求出抽取出来的七年级和八年级学生的平均得分； (2)若该校需选择一个年级代表学校参加校际间的知识竞赛，选哪个年级获得的成绩可能会更高？（要求：先从平均数、中位数、众数的角度进行分析，再得出结论） (3)若该校七、八年级学生分别是1000人和1200人，请估计该校约有多少学生获得A等？ 【答案】(1)七年级平均数，八年级平均数 (2)八年级，见解析 (3)632名 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据条形统计图及扇形统计图中数据，利用平均数计算公式即可求解； （2）先分别求出平均数、中位数及众数，再具体分析； （3）用总体乘以样本中所占的比例，进行求解即可． 【详解】（1）解：七年级样本数据的平均数（分）； 八年级样本数据的平均数（分）； （2）解：根据题意可得， 七年级样本数据的中位数=，八年级样本数据的中位数=； 七年级样本数据的众数4，八年级样本数据的众数5； ∴由平均数可知，八年级的成绩比七年级的高；由中位数可知，两个年级的成绩一样；由众数可知，八年级的成绩比七年级的高； ∴选八年级去参赛获得的成绩可能会更高． （3）解：该校七、八年级获得A等级的学生为：（人）， 答：该校七、八年级约有632名学生获得A等． 11．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）【问题情境】数学课上老师出示了这样一道题：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数解析式． 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为； 小谢认为平移前后直线中的“k”值不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数解析式． 在分享交流中，老师肯定了他们的做法．小雯很感兴趣，又继续进行了以下探究： 【解决问题】 （1）小雯用小谢的方法尝试解决老师给出的问题：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为 ，利用待定系数法求得过点的直线的函数解析式为 （2）小雯提出了一个新的问题，请同学们用以上方法解答，将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数解析式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线； 【拓展应用】 （3）如果直线与直线关于y轴对称，求这条直线的函数解析式． 【答案】（1）；（2），下，6；（3） 【分析】本题考查了坐标与图形变换-平移，轴对称，待定系数法求解析式，解题的关键是得到平移后经过的一个具体点． （1）由平移的性质可求点坐标，设平移后的直线解析式为，利用待定系数法可求解； （2）平移后的直线的解析式的不变，设出相应的直线解析式，可求向左平移 3 个单位后的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得，也就求得了所求的直线解析式； （3）根据上述方式在直线上找两点，求出其关于y轴对称的坐标，再根据待定系数法直线解析式即可． 【详解】解：（1）点向上平移 3 个单位后的点的坐标为， 设平移后的直线解析式为， 代入得，则， 所以过点的直线的解析式为； 故答案为：； （2）可设平移后的直线解析式为， ∵原直线经过点， ∴点向左平移 3 个单位后点， 代入新直线解析式得：， ， ∴平移后直线的解析式为：， 由（1）可知，另外直接将直线向下平移 6 个单位也能得到直线； 故答案为：，下，6； （3）当时，，直线与轴的交点坐标为， 当时，，解得，直线与轴的交点坐标为， 点关于轴的对应点的坐标分别为， 把分别代入得， 解得， ∴直线的表达式为． 12．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，大大提高了工作效率、某科技公司推出甲、乙两款人工智能学习辅导软件，相关人员在某学校开展对甲、乙两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分调查．测试成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25 份得分数据，并整理绘制成如下尚不完整的统计图表． 平均数 中位数 众数 甲软件测试得分 9 b 10 乙软件测试得分 8.96 9 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)将甲软件测试得分统计图补充完整； (2) ， ， ； (3)根据以上信息，你愿意选择哪种人工智能学习软件？并说明理由． (4)本次调查中，若有1200名学生对甲款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名学生对乙款人工智能学习辅导软件进行了评分，请你估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为A等级的学生总人数． 【答案】(1)见解析 (2)，9，9 (3)甲，甲平均数和众数都比乙软件大 (4)800人 【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的某项数目，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数、众数的概念及扇形统计图是解题的关键． （1）根据题意，先求得等级人数，然后画统计图即可； （2）把甲软件分数从小到大排列一遍，即可求得中位数，由乙软件测试得分统计图，可求得等级占比，从扇形统计图比例，可知等级占比最多，从而得到乙软件的众数； （3）甲、乙中位数相同，但是甲的平均数和众数都大于乙对应的平均数和众数，据此可得结论； （4）依次求得对甲款、乙款人工智能学习辅导软件评分为A等级占比，然后再求得A等级人数，最后求得答案． 【详解】（1）解：相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25份得分数据， ∴甲软件测试得分中，等级人数有：， 甲软件测试得分统计图如下图为所求： （2）解：甲软件测试分数如下：7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，那么中位数为：9， ， 由乙软件测试得分统计图，等级占比：， ， 等级占比最多， 乙软件众数为：9， ． 故答案为：，，； （3）解：会选择甲种人工智能学习软件，理由如下； 甲、乙两种人工智能学习软件的中位数相同，但是甲种人工智能软件的平均数和众数都要大于乙种人工智能软件对应的平均数和众数， ∴会选择甲种人工智能学习软件； （4）解：对甲款人工智能学习辅导软件评分为A等级占比为：， 对甲款人工智能学习辅导软件评分为A等级人数为：（人），      对乙款人工智能学习辅导软件评分为A等级的人占比为， 对乙款人工智能学习辅导软件评分为A等级人数为：（人），       评分为A等级的总人数为：（人）． 答：估计甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为A等级的学生总人数800人． 13．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）综合与探究 如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求点C的坐标及直线的解析式； (2)若D是y轴上一点，且的面积是面积的，求点D的坐标； (3)如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点，若的长为3．求点的坐标； 【答案】(1) (2)D点的坐标为或 (3)E点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）将点的坐标代入直线的解析式即可得出的值，即得点坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）根据的面积是面积的求出的长即可求解； （3）设点的坐标为，根据点、点、点在同一直线上，写出点、点的坐标，利用，列方程求解即可． 【详解】（1）点在直线上， ， 解得， ； 将，代入直线，得： ， 解得， 直线的解析式为：； （2）由题意，得 ， ∴， ∴D点的坐标为或； （3）根据题意设点坐标为， 点、、三点在同一直线上，且点在直线上，点在上， ，， 又， ， 解得或， 点的坐标为或 14．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用已知条件，可证出，即； （2）根据全等的性质得出，进而得出，即，可证，可得结论； （3）过C作，交延长线于G，先证四边形是正方形，由（2）结论可知，，设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可求出的长． 【详解】（1）证明：在正方形中， ，，， ． ； （2）证明：， ． ． 即． ， ． ，，， ． ． ∵， ； （3）解：如图，过C作，交延长线于G， 在直角梯形中，，， ∴， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， 四边形为正方形． ． ， 由（2）结论可知，， ∵为中点， ， 设，则， ． 在中，， ， 解得：． ． 15．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）某玩具工厂生产哪吒主题文创用品乾坤圈和混天绫，乾坤圈每个定价20元，混天绫每个定价6元．暑假期间开展促销活动，并向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个乾坤圈就赠送一个混天绫； 方案二：乾坤圈和混天绫都按定价的付款． 某哪吒主题文创用品店计划购进 80 个乾坤圈和x个混天绫（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出关于x的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该文创用品店选择以上哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【答案】(1)， (2)①该店选择方案二更省钱②先按方案一购买80个乾坤圈，再按方案二购买120个混天绫，该方案所需费用为2176元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答； ②设选择方案一购买a个乾坤圈，则选择方案二购买个乾坤圈，个混天绫，列出函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ． （2）解：①当时，，． ∵， ∴该厨具店选择方案二更省钱． ②设选择方案一购买a个乾坤圈，则选择方案二购买个乾坤圈，个混天绫， 则， ∵， ∴y随a的增大而减小． 由题意，得， ∴当时，y取最小值，为． 此时． 答：先按方案一购买80个乾坤圈，再按方案二购买120个混天绫，该方案所需费用为2176元． 16．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同．折出的图形也不同．所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题． 问题解决： （1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为 ； ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明； 拓展延伸： （2）如图2，矩形纸片中，，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你求出线段的长． 【答案】（1）①全等；②见解析；（2）． 【分析】（1）①利用翻折变换的性质以及全等三角形的判定定理解决问题即可；②先证明四边形是平行四边形，由可证明四边形是菱形； （2）由矩形和折叠的性质证明，设，利用勾股定理构建方程求解即可； 【详解】（1）①解：由折叠的性质得，，垂直平分， ， ， 故答案为：全等 ②证明：， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解： ， ， 矩形， ，， ， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， 设，则， ， ， 解得， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质，是解题的关键． 17．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）“手中有粮，心里不慌”．为优选品种，提高农作物产量，内蒙古自治区农业科学院选择了两块试验田（基本条件大致相同）用于分析、两种水稻种子的产量，从两块试验田中各随机抽取了10株水稻，并对其单穗质量x（单位：克）进行整理分析，过程如下： 【数据收集】 A型种子： B型种子： 【整理数据】 种子型号 单穂质量x（克） A 1 3 a 3 B 1 2 6 1 【分析数据】 种子型号 平均数（克） 众数（克） 中位数（克） 方差 A 213 m 214 112 B 213 220 n 79.2 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_______，_______，_______； (2)据估计，此次调查中，单穗质量为213克的水稻在单穗质量排名（从高到低）中更靠前的是____型水稻； (3)综合以上信息，你认为农户应该选择哪种水稻种子进行种植？请说明理由．（至少从两个不同角度说明） 【答案】(1)3；215；216 (2)A (3)选择B型；A、B两种种子单穗质量的平均数相同，B型种子单穗质量的中位数大于A型种子单穗质量的中位数，B型种子单穂质量的方差小于A型种子单穂质量的方差，B型种子单穂质量较为稳定（答案不唯一） 【分析】本题考查频数分布表，中位数、众数、方差的意义，理解中位数、众数、方差的意义． （1）用10减去其它组的频数即可得出a的值，利用中位数、众数的意义求出m、n的值； （2）从中位数的角度得出结论； （3）根据方差的意义解答即可． 【详解】（1）解：， A种水稻种子的产量出现次数最多的是215，共出现2次，因此众数为， 将B种水稻种子的产量从小到大排列后，处在中间位置的两个数为215和217， 所以中位数； 故答案为：3，215，216； （2）解：A的中位数为214，B的中位数为216，所以此次调查中，单穗质量为213克的水稻在单穗质量排名（从高到低）中更靠前的是A型水稻； 故答案为：A； （3）解：应该选择B种水稻种子进行种植， 理由：因为A、B两种水稻种子的产量的平均数相同，但是B种水稻种子的产量的方差小于A的方差，说明B种子质量稳定， 所以应该选择B种水稻种子进行种植（答案不唯一）． 18．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 【答案】(1)y轴，或； (2)①见解析；② (3)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 【分析】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数图象的平移规律进行解答即可． 【详解】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数即的图象 【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数的平移，是解决问题在关键． 19．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)用三角板拼出如图所示的上述4个四边形，其中是邻等对补四边形的有_______．（填序号） (2)如图，在中，，，，，N为上一点．且四边形是邻等对补四边形，连接，求的长及的度数． 【答案】(1)②④ (2)， 【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，化为最简二次根式，新定义的理解是解题的关键． （1）根据三角板的特征和邻等对补四边形的定义逐个判断即可； （2）先根据直角三角形的性质和勾股定理求出，，如图，过点B作于点D，求解，再结合题意求出，证明，接下来根据勾股定理求出，以及． 【详解】（1）解：观察可知，图①和图③不存在对角互补，所以不符合题意；图②和图④存在对角互补且邻边相等，所以②和④是邻等对补四边形； 故答案为：②④； （2）解：如图，过点B作于点D， 在中，, ∴． 根据勾股定理，得． ∴  ， ∴， ∵， ∴， ∴． 由四边形是邻等对补四边形得， ∴ ∴在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，的度数为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 专题05压轴题综合 一、单选题 1.(24-25八年级下·内蒙古乌兰察布期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的中点，下列结论：①BE⊥AC;②EG=EF;③ △EFG兰△GBE;④EA平分∠GEF.其中正确的个数是() 分 B A.1 B.2 C.3 D.4 2.(24-25八年级下·内蒙古兴安期末)A,B两地相距80km,甲、乙两人沿同一条路从A地到B地.甲、 乙两人离开A地的距离s(单位：km)与时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲 提前出发1h;②甲行驶的速度为40km/h;③3h时，甲、乙两人相距80km;④0.75h或1.125h时，乙比 甲多行驶10km.其中正确的个数为(） 个s/km 80---- 甲 20---- 11.52 3所 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)如图，己知线段AB⊥CD,连接AD,BC,点E,F分别是 边AD,CB的中点，连接EF,且AB=16,CD=12,则EF的长为() A.8 B.6 C.10 26 D. 1/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25八年级下，内蒙古通辽期末)正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE,折 叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B,折痕BF与AE交于点H,点F在AD上，若DE=5 ,则GE的长为() B A.器 B.器 C.器 D. 二、解答题 5.(24-25八年级下·内蒙古通辽·期末)问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的 基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等.方法是构造旋转全等，如果问 题中有“45·，60。”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查. A D E D C B 图① 图② 图③ (I)【问题解决】如图①，∠AOB=∠CPD=90°，PD=PC,小明同学从P点分别向OA,OB作垂线 PE,PF,请你按照小明同学的思路证明△PED兰△PFC; (2)【问题探究】如图②，若∠A0B=120°，∠CPD=60°，PD=PC,0D=1,0C=2,求0P的 长 (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形ABCD外一点，∠CPD=90·,对角线AC,BD交于点O,连接 OP,且OP=2,求四边形0CPD的面积. 6.(24-25八年级下·内蒙古兴安期末)如图，在矩形ABCD中，AD=4,CD=10,P是AB上一动点， M,N,E分别是PD、PC、CD的中点. 2/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B M D E C (1)求证：四边形PMEN是平行四边形. (2)当AP=5时，判断四边形PMEN的形状，并说明理由. (3)四边形PMEN有可能是正方形吗？请说明理由， 7.(24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)如图，在正方形ABCD中，点0是对角线AC的中点，点E为 边BC上一点，连接OE,过点O作OF⊥OE交AB于F点. O B B 7 F 图1 图2 图3 (1)求证：0E=0F; (2)如图2，连接EF,线段AF、EF、CE之间有怎样的数量关系，请说明理由； (3)如图3，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,其他条件不变，若AB=8,BC=6,BF=5,求BE的 长 8.(24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙 两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示）， 共分为四组，A:60<x≤70，B:70<x≤80，C:80<x≤90，D:90<x≤100，下面给出了部 分信息， 甲款人工智能软件得分数据：64,70,75,76,78,78,85,85,85,85,86,89,90,90,94,95,98， 98,99,100. 乙款人工智能软件在C组内(80<x≤90)的所有得分数据：85,86,87,88,88,88,90,90. 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软 平均 中位 众 件 数 数 数 差 3/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 甲 86 85.5 6 96.6 乙 86 a 88 69.8 乙款人工智能软件得分扇形统计图 10% 30% m% B 0 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a=-,b=-,m=- (2)根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行 了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意(90<≤100)的总用户数， 9.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学 家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式S=Vp(p-a)(p-b)(p-c)①，并给出了证明. 其中a,b,c是三角形的三边长，p=专(a+b十c),S为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式.我国 南宋时期数学家秦九韶（约1202一约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 S=得62-(4号)月②.后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是 2 同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式. 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5,12,13；3,4,5；6,8,10；7,8,9，求其中非直角三角 形的面积；（利用公式①求解） (②)若一个三角形的三边长分别为y3,√4，√5，求该三角形的面积.（利用公式②求解） 4/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3,BC=4,CD=V65,AD=5V2,求该四边形ABCD的 面积. 10.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)某中学在本校七、八年级学生中开展了“国防安全”知识竞赛，并 将最终成绩分为A,B,C,D,E五个等级，其相应等级得分分别为5分，4分，3分，2分，1分.校团委 在七、八年级学生答卷中随机各抽取50人的成绩进行分析，并将抽取出来的成绩整理绘制成了如下统计图. 七年级学生成绩统计图 八年级学生成绩统计图 小人数 25 20 20 B A 26% 36% 15 10 10 20%/D B D E 等级 根据以上信息回答下列问题： (1)分别求出抽取出来的七年级和八年级学生的平均得分； (②)若该校需选择一个年级代表学校参加校际间的知识竞赛，选哪个年级获得的成绩可能会更高？（要求： 先从平均数、中位数、众数的角度进行分析，再得出结论) (3)若该校七、八年级学生分别是1000人和1200人，请估计该校约有多少学生获得A等？ 11.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)【问题情境】数学课上老师出示了这样一道题：在平面直角坐标 系中，将直线y=一2x向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数解析式. 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为y=一2x+3; 小谢认为平移前后直线y=kx+b中的k值不变，只要求出b的值即可.他的方法是：在原直线上任意找 一点，如点A(1,一-2)，先把点A按要求平移，得到相应的对应点A,再用待定系数法求过点A的直线的 函数解析式 在分享交流中，老师肯定了他们的做法.小雯很感兴趣，又继续进行了以下探究： 【解决问题】 (1)小雯用小谢的方法尝试解决老师给出的问题：将点A(1,一2)向上平移3个单位长度后的对应点A的 坐标为_，利用待定系数法求得过点A的直线的函数解析式为 (2)小雯提出了一个新的问题，请同学们用以上方法解答，将直线y=一2x向左平移3个单位长度，平 移后直线的函数解析式为_，利用上下平移的规律，将直线y=一2x向_（填“上”或“下”）平移_个单位长度 也能得到这条直线： 5/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【拓展应用】 (3)如果直线y=kx+b与直线y=-2x+1关于y轴对称，求这条直线的函数解析式. 12.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，大大提高了 工作效率、某科技公司推出甲、乙两款人工智能学习辅导软件，相关人员在某学校开展对甲、乙两款人工 智能学习辅导软件使用满意度评分调查.测试成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次 记为10分、9分、8分、7分.相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25份得分数据，并整理绘制 成如下尚不完整的统计图表. 甲软件测试得分统计图 乙软件测试得分统计图 个人数 0级 12 10 8% A级 10 81 C级 6 20% 4 B级 2 40% B D 等级 平均 中位 众 数 数 数 甲软件测试得 9 b 10 分 乙软件测试得 8.96 分 根据以上信息，解答下列问题： (①)将甲软件测试得分统计图补充完整： (2)a=-,b=-,C=- (3)根据以上信息，你愿意选择哪种人工智能学习软件？并说明理由， (4)本次调查中，若有1200名学生对甲款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名学生对乙款人工智 能学习辅导软件进行了评分，请你估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为A等级的学生 总人数， 13.(24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔期末)综合与探究 如图1，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A6,0),与y轴交于点B,与直线y=2x交于点 Ca,4. 6/10 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B 图1 图2 (I)求点C的坐标及直线AB的解析式： (2)若D是y轴上一点，且△OCD的面积是△AOC面积的号，求点D的坐标； (3)如图2，在x轴上有一点E,过点E作直线1Lx轴，交直线y=2x于点F,交直线y=kx+b于点G, 若GF的长为3.求点E的坐标： 14.(24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔期末)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长 线上一点，且DF=BE,连接CF、CE A G D A D E 图1 图2 (I)求证：CF=CE; (2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，连接GE,求证：GE=BE+GD: (3)根据你所学的知识，运用(1)(2)解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形ABCD中，AD‖BCBC>AD),∠B=90°，AB=BC=6,E是AB的中点，且 ∠DCE=45°，直接写出DE的长： 15.(24-25八年级下·内蒙古通辽·期末)某玩具工厂生产哪吒主题文创用品乾坤圈和混天绫，乾坤圈每个 定价20元，混天绫每个定价6元.暑假期间开展促销活动，并向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个乾坤圈就赠送一个混天绫； 方案二：乾坤圈和混天绫都按定价的80%付款. 某哪吒主题文创用品店计划购进80个乾坤圈和x个混天绫(x>80)·设选择方案一需付款y1元，选择 方案二需付款y2元 (1)分别写出y1y关于x的函数解析式. (2)当x=200时. 7/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①请通过计算说明该文创用品店选择以上哪种方案更省钱： ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的 商品不能再使用方案一优惠)，请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用 16.(24-25八年级下，内蒙古呼伦贝尔期末)数学课上老师让学生们折矩形纸片.由于折痕所在的直线不 同.折出的图形也不同.所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同.我们可以通过发现基本图形，来研究 这些图形中的几何问题 图1 图2 问题解决： (I)如图1，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C与点A重合，点D落在点D1的位置，连接 MC,AN,AC,线段AC交MN于点O,则： ①△CDM与△AD1M的关系为_： ②小丽说：“图1中的四边形ANCM是菱形”，请你帮她证明； 拓展延伸： (2)如图2，矩形纸片ABCD中，BC=2AB=6cm,BM=4cm,小明将矩形纸片ABCD沿直线AM折 叠，点B落在点B1的位置，MB1交AD于点N,请你求出线段ND的长. 17.(24-25八年级下·内蒙古乌兰察布期末)“手中有粮，心里不慌”.为优选品种，提高农作物产量，内 蒙古自治区农业科学院选择了两块试验田（基本条件大致相同）用于分析A、B两种水稻种子的产量，从两 块试验田中各随机抽取了10株水稻，并对其单穗质量x(单位：克)进行整理分析，过程如下： 【数据收集】 A型种子：194201206208213215215222227229 B型种子：195203204213215217218220220225 【整理数据】 单穗质量x(克) 种子型号 190<x≤200 200<x≤210 210<x≤220 220<x≤230 A 1 3 9 3 8/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 心 2 6 1 【分析数据】 种子型号 平均数（克） 众数（克》 中位数（克） 方差 A 213 m 214 112 213 220 n 79.2 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：a=」 ，m= (2)据估计，此次调查中，单穗质量为213克的水稻在单穗质量排名（从高到低）中更靠前的是型水稻： (3)综合以上信息，你认为农户应该选择哪种水稻种子进行种植？请说明理由.（至少从两个不同角度说明） 18.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)对于函数y=2x十m(m为常数)，小明用特殊到一般的方法， 探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题. =2x y=2x+7 3 2 -3-2-10 2 3 45 (1)当m=0时，函数为y=|2x;当m=7时，函数为y=2x+7，用描点法画出了这两个函数的图象， 如图所示。 观察函数图象可知：函数y=|2x的图象关于 对称： 对于函数y=2x+7,当x=时，y=3; (2)当m=-4时，函数为y=|2x-4| ①在图中画出函数y=|2x一4|的图象： ②对于函数y=2x-4|,当1<x<3时，y的取值范围是 (3)结合函数y=2x,y=|2x+7和y=|2x-4|的图象，可知函数y=|2x+m(m≠0)的图象可 由函数y=|2x的图象平移得到，它们具有类似的性质.若m>0,写出由函数y=|2x的图象得到函数 y=2x+m的图象的平移方式 19.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形. 9/10 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 ① ② ③ ④ (①)用三角板拼出如图所示的上述4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 (填序号) (2)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=8,BM=AB,N为AC上一点.且四边 形ABMN是邻等对补四边形，连接BN,求BN的长及∠ANB的度数. N M B 10/10