专题09 七年级下册应用题15大题型专训（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 聚焦七年级下册代数应用，以15大题型系统覆盖整式运算、二元一次方程组及不等式组的实际应用，构建从运算到建模的递进逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式运算应用|10题|结合几何图形考查面积计算|从整式乘法到乘法公式，体现“用数学眼光观察现实世界”| |二元一次方程组应用|40题|涵盖行程、利润等8类实际问题|通过等量关系建模，培养“数学思维思考现实世界”| |不等式组应用|25题|涉及经济决策、阶梯收费等场景|强化不等关系分析，发展“数学语言表达现实世界”|

专题09 七年级下册应用题15大题型专训 题型1 整式乘法应用题 题型9 二元一次方程组应用之几何问题 题型2 乘法公式与几何图形应用题 题型10 二元一次方程组应用之古代问题 题型3 列方程组、不等式组 题型11 不等式组的经济问题 题型4 二元一次方程组应用之方案问题 题型12 不等式组的分配问题 题型5 二元一次方程组应用之行程问题 题型13 不等式组的方案选择问题 题型6 二元一次方程组应用之分配问题 题型14 不等式组的阶梯收费问题 题型7 二元一次方程组应用之销售利润问题 题型15 不等式组的几何问题 题型8 二元一次方程组应用之和差倍分问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 整式乘法应用题（共5小题） 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，某中学校园内有一块长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为200元，求修建文化广场所需要的费用． 2．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，初一某班级的同学们在一块长为米，宽为米的长方形花圃里种植花朵，在阴影部分的区域内种植郁金香，在中间边长为米的正方形区域内种植芍药． (1)求种植郁金香区域的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示）； (2)当时，种植郁金香区域的面积为多少平方米？ 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 4．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，某校在一块长8米，宽4米的长方形花圃中设计了一块区域（阴影部分）用于种植郁金香，其他长度数据如图所示． (1)求种植郁金香区域的面积（用含a，b的代数式表示，需化简）； (2)若，则种植郁金香区域的面积为 平方米． 5．（2025·江苏南京·模拟预测）【综合与实践】南京文化纪念品的包装优化南京作为历史文化名城，有众多特色文化纪念品．某纪念品生产厂家在20周年厂庆前，为其经典的“南京云锦”主题纪念品设计了长方体包装盒．但在实际生产与使用中发现，装入纪念品后包装盒边角空余空间较多，造成了包装材料的浪费，于是决定开展节省材料的探究活动． 任务1：平面图形的探究 南京的传统建筑中常常能看到矩形的窗户等元素．对于面积固定的矩形，我们来探究其周长的变化规律．已知秦淮河畔某古建筑修复时用到的一种矩形装饰砖面积为36平方分米，通过列举不同长和宽的情况，得到以下表格： 长（分米） 36 18 12 9 6 宽（分米） 1 2 3 4 5 周长（分米） 74 40 30 26 24 根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，________时周长最小． 为了证明上述猜测，小宁同学假设矩形面积为，设两邻边长分别为和（s，t均为非负数），则，经化简可得．请表示出周长并补全后续的证明过程． 任务2：立体图形的包装改进 厂家之前设计的长方体包装盒尺寸为：长10厘米、宽8厘米、高6厘米，该包装盒用于包装以南京明城墙为原型的小型纪念品．现打算在保持底面积不变的前提下，将包装盒形状改为底面半径为4厘米的圆柱体，高保持不变，从节省材料（即表面积最小）的角度来看，你觉得这样的改进合理吗？请判断并说明理由．（取，结果精确到平方厘米） 题型二 乘法公式与几何图形应用题（共5小题） 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，氿滨广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有两个边长为米的小正方形空地，规划部计划将阴影部分进行绿化． (1)请用含有、的式子表示氿滨广场长方形地块的面积为________平方米．（结果写成最简形式）； (2)求用含有、的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (3)若，，求出绿化的总面积． 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）以“形”释“数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．现有若干块如图所示的正方形或长方形纸片． (1)①借助图1写出一个我们学过的乘法公式：________； ②借助图2直接写出长方形的面积：________； (2)若图2中长方形的面积为50，其中阴影部分的面积为30，求的值； (3)若共有A型纸片10张，B型纸片10张，C型纸片20张，现在用2张A型纸片，x张B型纸片，y张C型纸片按图3所示方法拼成一个大的长方形，则的最大值为________． 8．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图的图形，用四个相同的小长方形拼成图的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请参照图1表示的关系式写出图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示：； 图2表示：________________________； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，求的值； ②请直接写出下列问题答案：若，则________；若，则________． 9．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【课本回顾】 (1)用不同的代数式表示图1中草坪（阴影部分）的面积． ①可以得到等式：______； ②若，，则______； 【自主探究】 (2)小林在写作业时遇到了这样的一个数学题目，“若满足，求的值”，请你利用（1）中得到的等式解决这个问题． 【拓展应用】 (3)图2是某小区的休闲规划用地示意图：在正方形空地中开发一个长方形区域种花，种花区域的面积为220，，，分别以、为边开发正方形区域，种植草坪，开发长方形区域为儿童活动区，求整个休闲区的面积． 10．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 题型三 列方程组、不等式组（共5小题） 11．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）《孙子算经•卷中》有一题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：如果每3人乘坐一辆车，就有2辆车空着；如果每2人乘坐一辆车，就有9人步行．问有多少人？多少辆车？设有x人，有y辆车，根据题意，列出方程组得（　　） A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·江苏南通·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：斗谷子能出斗米，即出米率为．今有米在容量为斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·江苏南通·期中）国家规定：存款利息税=利息，银行一年定期储蓄的年利率为．小辰爸爸有一笔一年定期存款，如果到期后全部取出，扣除利息税后不少于元．若设这笔一年定期存款是元，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）一次知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对x道题，可列出的不等式为 __________________． 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 题型四 二元一次方程组应用之方案问题（共5小题） 16．（25-26七年级下·山东泰安·期中）2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 17．（24-25七年级下·江苏南通·期中）因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，现决定向租赁公司同时租用甲，乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台时） 挖掘量（单位：/台时） 甲型挖掘机 100元 乙型挖掘机 120元 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，求甲、乙两种挖掘机各需多少台？ (2)如果每小时支付的租金不超过870元，又恰好完成每小时的挖掘量，求有几种不同的租用方案？ 18．（25-26八年级上·河南郑州·期末）2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ (2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 19．（25-26七年级上·安徽六安·期末）某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 20．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆A型和2辆B型汽车需要万元，2辆A型和3辆B型汽车需要万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车，请你帮助该公司设计部门，写出有哪几种购买方案． (3)若销售A、B两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和1.2万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 题型五 二元一次方程组应用之行程问题（共5小题） 21．（2026·江苏常州·一模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 22．（25-26七年级下·全国·期末）骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 23．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 24．（24-25七年级下·江苏南通·期中）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； (3)当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 25．（2025·江苏泰州·二模）问题：某校组织学生乘汽车去自然保护区野营， ，学校距自然保护区有多远？ 条件：①去野营时以60的速度走平路，以30的速度爬坡，共用了6.5h； ②回学校时以40的速度下坡，以50的速度走平路，共用了6h； ③行程中共分平路和坡路两种路型，其中平路长与坡路长之比为． 在上述三个条件中选择两个 （仅填写序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 题型六 二元一次方程组应用之分配问题（共5小题） 26．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 27．（25-26七年级下·河南周口·期末）某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 28．（25-26八年级上·广东深圳·期中）某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． (1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 29．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 30．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 题型七 二元一次方程组应用之销售利润问题（共5小题） 31．（2026·江苏宿迁·一模）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱．某汽车销售店上周销售A型新能源汽车4辆，销售B型新能源汽车2辆，销售金额为万元；本周销售A型新能源汽车3辆，销售B型新能源汽车4辆，销售金额为万元，并且这两周该汽车销售店销售这两款型号新能源汽车的销售单价不变，请问这两周这两款新能源汽车的销售单价各是多少？ 32．（25-26七年级下·江苏南通·期中）某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖．每套普通版的成本比每套手绘版的成本低元，套普通版的成本与套手绘版的成本共元． (1)求每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； (2)现决定将每套普通版、手绘版明信片套装的销售单价分别定为元和元．如果销售两种套装的收入共为元，那么总利润最高是多少元？ 33．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 34．（24-25七年级下·山东聊城·期中）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件? (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 35．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）用二元一次方程（组）解决问题：为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和消毒液的单价； (2)由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的口罩m个．若需购买医用口罩和口罩共1000个，剩余的钱恰好可以买n瓶消毒液，若，则 ． 题型八 二元一次方程组应用之和差倍分问题（共5小题） 36．（25-26八年级上·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 37．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某校准备成立校足球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的足球，已知3个甲种型号足球的价格与2个乙种型号足球的价格之和为900元；如果购买5个甲种型号足球和4个乙种型号足球，一共需花费1600元． (1)求每个甲种型号足球和每个乙种型号足球的价格分别是多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种型号的足球共28个，其中甲种型号足球的个数不少于乙种型号足球的个数，并且学校购买甲、乙两种型号足球的预算资金不超过5000元，求该学校共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案最便宜？ 38．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套 (1)求书籍和实验器材各有多少套？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来 39．（24-25八年级上·重庆·期末）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知: 2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案． 40．（24-25七年级下·山东烟台·期中）小丽购买学习用品的收据如表所示，因收据污损导致部分数据无法识别．根据下表，解决问题： 商品名 单价（元） 数量 金额（元） 签字笔 3 2 6 自动铅笔 1.5 记号笔 4 软皮笔记本 2 9 圆规 3.5 1 合计 8 28 (1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？ (2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，软皮笔记本和自动铅笔都至少购买一件，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？ 题型九 二元一次方程组应用之几何问题（共5小题） 41．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 42．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 43．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 44．（2024·江苏南京·一模）阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 45．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，利用图①可得：．基于此，请解答下列问题： 【知识生成】 （1）如图②，用4个完全相同的长方形（它的长为，宽为）围成一个正方形，用两种不同的方式表示图中阴影部分的面积．由此，可得到等式：______； 【类比应用】 （2）已知长方形的周长为6，面积为1，设该长方形的长为，宽为，求的值． 【知识迁移】 （3）如图③所示，某校计划在一块面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池（其中，），并将长方形和长方形两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为，求和的长． 题型十 二元一次方程组应用之古代问题（共5小题） 46．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长?（一尺等于十寸），设木头长尺，绳子长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 47．（2025·江苏扬州·三模）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 48．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则______． 2 3 49．（2024·江苏无锡·二模）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为___________． 50．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 题型十一 不等式组的经济问题（共5小题） 51．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）某学校为丰富学生大课间的体育活动，决定采购篮球、足球、排球三种球类．已知体育用品商店每个排球的售价为50元，三种球类的售价关系如下表所示： ①篮球、足球、排球各一个的总售价为230元； ②2个篮球的售价比一个足球的售价多60元； ③5个篮球的售价与4个足球的售价相同． (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求一个篮球和一个足球的售价分别是多少元； (2)若该学校准备购买20个排球，篮球和足球共50个，总费用不超过5550元，那么该学校最多可以购买多少个足球？ 52．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的礼品更是受到了大家的青睐，某商场销售甲，乙两种以马为主题的礼品，已知1份甲礼品和2份乙礼品价格为130元，2份甲礼品和3份乙礼品价格为210元． (1)求甲，乙两种类型的礼品单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种类型的礼品共100份作为给员工的奖励，若总费用不超过3600元，那么最多可以采购多少份乙种礼品？ 53．（24-25七年级下·江苏南通·期末）某校“棋乐无穷”社团前两次购买的两种材质的象棋采购如下表（象棋的售价一直不变）； 塑料象棋 玻璃象棋 总价（元） 第一次（盒） 1 3 26 第二次（盒） 3 2 29 (1)若该社团计划再采购这两种材质的象棋各5盒，则需要多少元？ (2)若该社团准备购买这两种材质的象棋共50盒，且要求塑料象棋的数量不多于玻璃象棋数量的3倍，玻璃象棋至少要购进多少盒？ 54．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）端午节之前，小明准备买粽子过节，若在当地某超市购买2盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需支付380元，而在某团购群购买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需支付520元．对比发现，甲品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的八折，乙品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的七五折． (1)甲、乙两种品牌粽子每盒的超市价分别是多少元？ (2)小明打算在团购群购买这两种品牌的粽子，其中乙品牌粽子比甲品牌粽子多3盒，总花费不超过1200元，问小明最多能买多少盒甲品牌粽子？ 55．（25-26七年级下·江苏常州·期末）随着2025年12月17日第二十七届冰雪大世界的开园，哈市中央大街某商店购进了甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品3件，共需130元；若购进甲种纪念品4件、乙种纪念品5件， 共需230元； (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价各是每多少元？ (2)如果该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 题型十二 不等式组的分配问题（共5小题） 56．（24-25七年级下·江苏·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 57．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 58．（25-26七年级下·江苏徐州·期末） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 59．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 60．综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 题型十三 不等式组的方案选择问题（共5小题） 61．（24-25七年级下·江苏南京·期末）“疫情无情，人间有爱”．为扎实做好复工复课工作，教育局准备租借甲、乙两种型号的车为全市各中小学配送防疫物资．已知2辆甲型车和1辆乙型车载满物资一次可运走10吨；用1辆甲型车和2辆乙型车载满物资一次可运走11吨． (1)1辆甲型车和1辆乙型车都载满物资一次可分别运送多少吨？ (2)教育局现有防疫物资37吨需要配送，计划同时租用甲、乙两种型号车共10辆（都要有），一次运完．若设甲型车租了m辆，请你帮教育局设计租车方案； (3)在题（2）的条件下，若1辆甲型车需租金100元/次，1辆乙型车需租金120元/次．设租车总费用为Q元，请用含m的代数式表示Q，并确定哪一种租车方案的费用最少，最少租车费用是多少？ 62．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）某品牌羽毛球拍售价120元/副，羽毛球售价5元/只．王教练计划购买一批羽毛球拍和羽毛球，实体店和网店有不同的促销活动，具体信息如下： 店铺 球拍优惠信息 赠品 配送方式 实体店 球拍打9折 每购买一副球拍赠送一只羽毛球 免费送货上门 网店 若购买球拍不超过10副，不打折；若购买球拍超过10副，则超过部分打8折． 每购买一副球拍赠送两只羽毛球 包邮送货上门 (1)若王教练想要购买20副球拍和40只羽毛球，请你帮王教练分别计算实体店、网店两家店铺优惠后的实际付款金额，判断在哪家店购买更优惠； (2)若王教练计划购买副球拍和只羽毛球，请用含的代数式分别表示在实体店、网店购买时，优惠后的实际付款金额； (3)若王教练有5000元预算，希望尽可能多地购买羽毛球拍，请问最多可购买多少副球拍?购买球拍后剩余的钱还可以购买多少只羽毛球? 63．（25-26七年级上·江苏·期中）盐城市某中学组织学生参观科技馆，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元． (1)求参观的学生人数和原计划租用45座客车的辆数； (2)若租两种客车，怎样租用最省钱？最低租金是多少元？ 64．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）2025年6月14日是江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）扬州VS泰州赛，扬州作为主场，为运动员们提供了营养早餐．其中400克早餐食品中，蛋白质总含量为，包括一份粮谷类食品，一份牛奶和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量约为50克，蛋白质含量占；粮谷类食品和牛奶的部分营养成分如表所示）． 每100克粮谷类食品营养成分表 能量 2132千焦 脂肪 克 蛋白质 克 碳水化合物 克 钠 320毫克 每100克牛奶营养成分表 能量 256千焦 脂肪 克 蛋白质 克 碳水化合物 克 钙 116毫克 (1)设该份早餐中粮谷类食品为150克，牛奶为200克，请写出粮谷类食品中所含的蛋白质为 克，牛奶中所含的蛋白质为 克； (2)请求出该营养早餐中，粮谷类食品和牛奶的质量分别为多少克？ (3)为了更好的备战，我市举办了为期一周的赛前集训，主办方提供了A，B两套午餐： 套餐 主食（克） 肉类（克） 水果（克） 其它（克） A 210 95 120 125 B 220 70 140 90 为了膳食平衡，要求运动员在一周内A，B两种套餐均要选择．如果在一周里，午餐主食摄入总量不超过1500克，那么运动员在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出所有的方案．（说明：一周按7天计算） 65．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）“欢乐夏日”游泳馆即将开业了，游泳馆夏季的收费标准如下图所示，小明今年暑假准备去“欢乐夏日”游泳馆游泳，设小明计划今年夏季游泳次数为（为正整数） (1)如果小明办理会员，那么小明今年夏季游泳的总费用为______元（用含的代数式表示）；如果小明不办理会员，那么小明今年夏季游泳的总费用为______元（用含的代数式表示）； (2)小明今年夏季计划游泳十次，他选择哪种收费方式收费更少？ (3)你是小明，根据计划，会选择哪种收费方式？ 题型十四 不等式组的阶梯收费问题（共5小题） 66．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果今年8月份小王家计划水费不超过80元，则小王家这个月用水最多为多少吨？ 67．（24-25七年级下·福建泉州·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 用户每月用水量 自来水单价（元/吨） 污水处理费用（元/吨） 17吨及以下 a 0.80 超过17吨但不超过30吨的部分 4.20 0.80 超过30吨的部分 b 0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费．） 已知该市某居民家2022年3月份用水15吨，缴交水费45元；6月份用水40吨，缴交水费184元． (1)求a、b的值； (2)实行“阶梯式水价”收费之后，该居民家用水多少吨时，其当月的平均水费每吨不超过3.64元？ (3)若该居民家2022年10月份、11月份共用水60吨，10月份和11月份一共缴交水费250元（水费每个月缴交一次）．已知10月份用水量大于11月份用水量，求该居民家10月份、11月份各用水多少吨？ 68．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）根据以下素材，探索并完成任务． 水费、用水量是多少? 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段引导市民节约用水． 素材2 每户每月用水量不超过15立方米时，水费按a元/立方米收费； 每户每月用水量超过15立方米时，未超过的部分按a元/立方米收费，超过的部分按b元/立方米收费． 素材3 某用户今年4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量/立方米 水费/元 4 16 50 5 20 70 问题解决 任务1 确定用水单价 求a、b的值． 任务2 确定用水量 某用户预算6月份缴水费不超过80元，那么该用户这个月的用水量最多是多少立方米? 69．（24-25七年级上·吉林白山·期末）为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示： 档次 月用电量（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 1档 0.49 2档 0.54 3档 0.79 例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费（元）． (1)若圆圆家某月用电量为千瓦时，请用含的代数式表示，当时，应缴电费为__________元，当时，应缴电费为__________元； (2)若圆圆家9月共缴电费元，求该月圆圆家的用电量． (3)圆圆家10月用电的平均费用最高为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月最大用电量． 70．为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表： 居民用水阶梯水价表单位：元/立方米 分档 户每月分档用水量x（立方米） 水价 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 (1)小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为______元； (2)小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为______立方米； (3)随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？ 题型十五 不等式组的几何问题（共5小题） 71．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 72．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 73．（25-26七年级下·重庆·期中）在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 74．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 75．（25-26八年级上·广东汕头·期末）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题09 七年级下册应用题15大题型专训 题型1 整式乘法应用题 题型9 二元一次方程组应用之几何问题 题型2 乘法公式与几何图形应用题 题型10 二元一次方程组应用之古代问题 题型3 列方程组、不等式组 题型11 不等式组的经济问题 题型4 二元一次方程组应用之方案问题 题型12 不等式组的分配问题 题型5 二元一次方程组应用之行程问题 题型13 不等式组的方案选择问题 题型6 二元一次方程组应用之分配问题 题型14 不等式组的阶梯收费问题 题型7 二元一次方程组应用之销售利润问题 题型15 不等式组的几何问题 题型8 二元一次方程组应用之和差倍分问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 整式乘法应用题（共5小题） 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，某中学校园内有一块长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为200元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1) (2)修建文化广场所需要的费用为11600元． 【分析】 （1）用大长方形的面积减去两个空白图形的面积即可； （2）将，代入（1）中的代数式，再×200即可． 【详解】（1） 解： ． （2） 解：当，时， （平方米）， 则所需费用为：（元）， 答：修建文化广场所需要的费用为11600元． 2．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，初一某班级的同学们在一块长为米，宽为米的长方形花圃里种植花朵，在阴影部分的区域内种植郁金香，在中间边长为米的正方形区域内种植芍药． (1)求种植郁金香区域的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示）； (2)当时，种植郁金香区域的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)61（平方米） 【详解】（1）解：由题意得，郁金香种植面积长方形面积正方形面积， 即郁金香种植面积． （2）解：当时，（平方米）． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为平方米 (2)此时种植区的总面积S为130平方米 【分析】（1）把两个阴影长方形拼成一个长为米，宽为米的长方形，根据长方形面积公式列式，再进行多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）把，代入即可求解． 【详解】（1）解： ∴阴影部分的面积为平方米； （2）解：当，时， （平方米）． 答：此时种植区的总面积S为130平方米． 4．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，某校在一块长8米，宽4米的长方形花圃中设计了一块区域（阴影部分）用于种植郁金香，其他长度数据如图所示． (1)求种植郁金香区域的面积（用含a，b的代数式表示，需化简）； (2)若，则种植郁金香区域的面积为 平方米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式化简求值的应用，熟练掌握去括号法则和合并同类项是解题的关键． （1）通过长方形的面积减去两个三角形的面积即可求出阴影部分的面积，并化简； （2）把代入化简后的式子即可． 【详解】（1）解： ， （2）， ， 则种植郁金香区域的面积为平方米， 故答案为：． 5．（2025·江苏南京·模拟预测）【综合与实践】南京文化纪念品的包装优化南京作为历史文化名城，有众多特色文化纪念品．某纪念品生产厂家在20周年厂庆前，为其经典的“南京云锦”主题纪念品设计了长方体包装盒．但在实际生产与使用中发现，装入纪念品后包装盒边角空余空间较多，造成了包装材料的浪费，于是决定开展节省材料的探究活动． 任务1：平面图形的探究 南京的传统建筑中常常能看到矩形的窗户等元素．对于面积固定的矩形，我们来探究其周长的变化规律．已知秦淮河畔某古建筑修复时用到的一种矩形装饰砖面积为36平方分米，通过列举不同长和宽的情况，得到以下表格： 长（分米） 36 18 12 9 6 宽（分米） 1 2 3 4 5 周长（分米） 74 40 30 26 24 根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，________时周长最小． 为了证明上述猜测，小宁同学假设矩形面积为，设两邻边长分别为和（s，t均为非负数），则，经化简可得．请表示出周长并补全后续的证明过程． 任务2：立体图形的包装改进 厂家之前设计的长方体包装盒尺寸为：长10厘米、宽8厘米、高6厘米，该包装盒用于包装以南京明城墙为原型的小型纪念品．现打算在保持底面积不变的前提下，将包装盒形状改为底面半径为4厘米的圆柱体，高保持不变，从节省材料（即表面积最小）的角度来看，你觉得这样的改进合理吗？请判断并说明理由．（取，结果精确到平方厘米） 【答案】任务1：长和宽相等；，证明见解析；任务2：这样的改进合理，理由见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，圆柱和长方体的表面积计算，正确理解题意是解题的关键． 任务1：根据矩形周长计算公式可得矩形的周长为，则当时，矩形的周长有最小值，即矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小； 任务2：分别计算长方体和圆柱的表面积，比较即可得到结论． 【详解】解：任务1：∵矩形两邻边长分别为和， ∴矩形的周长为， ∵， ∴矩形的周长为， ∵n为定值， ∴当有最小值时，矩形的周长有最小值， ∴当时，矩形的周长有最小值， ∴矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小； （2）合理，理由如下： 长方体的表面积为平方厘米， 圆柱的表面积为平方厘米， ∵， ∴这样的改进合理． 题型二 乘法公式与几何图形应用题（共5小题） 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，氿滨广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有两个边长为米的小正方形空地，规划部计划将阴影部分进行绿化． (1)请用含有、的式子表示氿滨广场长方形地块的面积为________平方米．（结果写成最简形式）； (2)求用含有、的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (3)若，，求出绿化的总面积． 【答案】(1) (2)平方米 (3)绿化的总面积为3300平方米 【分析】（1）根据长方形面积长宽计算即可； （2）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积计算即可； （3）把，，代入（2）所求结果中计算求解即可． 【详解】（1）解：∵氿滨广场有一块长为米，宽为米的长方形地块， ∴长方形地块的面积为：； （2）解：根据题意，绿化总面积 ； （3）解：当，时， ， 绿化的总面积为3300平方米． 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）以“形”释“数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．现有若干块如图所示的正方形或长方形纸片． (1)①借助图1写出一个我们学过的乘法公式：________； ②借助图2直接写出长方形的面积：________； (2)若图2中长方形的面积为50，其中阴影部分的面积为30，求的值； (3)若共有A型纸片10张，B型纸片10张，C型纸片20张，现在用2张A型纸片，x张B型纸片，y张C型纸片按图3所示方法拼成一个大的长方形，则的最大值为________． 【答案】(1)①；② (2)的值为7 (3)28 【分析】（1）①根据图1用两种方法表示大正方形面积即可；②由①同理即可求解； （2）根据题意可得长方形总面积，阴影面积，得，空白面积，则，进而即可求解； （3）由大长方形面积的两种表示，得，，将变形为，列举的取值，进行求解即可． 【详解】（1）解：①由图可得，图1的大正方形边长为， ∴其面积为， 同时可拆分为1个A型纸片、1个B型纸片、2个C型纸片， ∴乘法公式为：； ②长方形的长为，宽为， ∴其面积为， 同时可拆分为2个A型纸片、2个B型纸片、5个C型纸片， ∴； （2）解：∵长方形总面积为50， ∴， ∵阴影部分面积为30，对应个A型纸片和个B型纸片， ∴， ∴， ∴空白部分面积为，对应个C型纸片， ∴， ∴， ∴； （3）解：由图可得，拼成的大长方形面积为， 大长方形长为、宽为， ∴ ， ∴（B型纸片），且；（C型纸片），且， ∴ ， ∴当时，n的值为1至9（当时，，舍去）， ∵要使最大， ∴，， ∴； 当时，n的值为1至5， ∵要使最大， ∴，， ∴； 当时，n的值为1至3， ∵要使最大， ∴，， ∴； 当时，n的值为1至2， ∵要使最大， ∴，， ∴； 当时，n的值为1至2， ∵要使最大， ∴，， ∴； 当m的值为6至10时，， ∵要使最大， ∴，， ∴； ∴的最大值为． 【点睛】本题核心是数形结合的面积法，通过两种方法计算图形面积建立代数等式，小问3需将合理变形，结合约束条件列举求最值，关键是几何与代数的转化思想． 8．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图的图形，用四个相同的小长方形拼成图的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请参照图1表示的关系式写出图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示：； 图2表示：________________________； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，求的值； ②请直接写出下列问题答案：若，则________；若，则________． 【答案】(1) (2)①② 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∴ ∴； ∵，， ∴． 9．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【课本回顾】 (1)用不同的代数式表示图1中草坪（阴影部分）的面积． ①可以得到等式：______； ②若，，则______； 【自主探究】 (2)小林在写作业时遇到了这样的一个数学题目，“若满足，求的值”，请你利用（1）中得到的等式解决这个问题． 【拓展应用】 (3)图2是某小区的休闲规划用地示意图：在正方形空地中开发一个长方形区域种花，种花区域的面积为220，，，分别以、为边开发正方形区域，种植草坪，开发长方形区域为儿童活动区，求整个休闲区的面积． 【答案】(1)（1）①；②17； (2)50 (3)961 【分析】（1）①整个阴影的面积可以看成是拼接后边长为的正方形的面积即为，同时，也可以看成最大正方形的面积减去空白图形的面积即为，根据面积相等性质求解即可； ②根据公式变形求解即可； （2）设，则，，根据公式变形求解即可． （3）设，则，，整个休闲区的面积为，且，求解即可． 【详解】（1）①解：整个阴影部分的面积可以看成是拼接后边长为的正方形的面积即为，同时，也可以看成最大正方形的面积减去空白图形的面积即为，根据题意，得； ②解：，，， 则； （2）解：设，则，， 故， 故，即． （3）解：设，则， 因为正方形空地， ， ， ，， ， 整个休闲区的面积为， 且， 故整个休闲区的面积为． 10．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)长为米 【分析】本题考查完全平方公式的实际应用，利用完全平方式的变形求值是解题关键． （1）阴影面积为两个小正方形，也可以看作大正方形减去两个矩形，由此得到等式； （2）利用（1）的结论进行计算即可； （3）将看作，看作，则，，利用（1）的结论进行计算即可． （4）设，，由题意可得，，利用完全平方公式计算得． 【详解】（1）解：观察图②可知，阴影部分为两个小正方形，面积和为，也可以用大正方形减去两个矩形得到，即， ∴运算为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又∵，， ∴； （3）解：设，，则， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论得：， ∴， ∴； （4）解：设，， ∵于点， ∴（平方米），（平方米），（平方米），平方米， ∵种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ∴， ∴，即米， 答：长为米． 题型三 列方程组、不等式组（共5小题） 11．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）《孙子算经•卷中》有一题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：如果每3人乘坐一辆车，就有2辆车空着；如果每2人乘坐一辆车，就有9人步行．问有多少人？多少辆车？设有x人，有y辆车，根据题意，列出方程组得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据如果每3人乘坐一辆车，就有2辆车空着；如果每2人乘坐一辆车，就有9人步行；列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设有x人，有y辆车， 由题意得：． 12．（25-26七年级下·江苏南通·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：斗谷子能出斗米，即出米率为．今有米在容量为斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意可得． 13．（24-25七年级下·江苏南通·期中）国家规定：存款利息税=利息，银行一年定期储蓄的年利率为．小辰爸爸有一笔一年定期存款，如果到期后全部取出，扣除利息税后不少于元．若设这笔一年定期存款是元，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得， 整理得． 14．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）一次知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对x道题，可列出的不等式为 __________________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式的知识，解答本题的关键是找到不等关系． 设答对的题数为x道，则答错或不答的题数为道，根据总分答对题数答错或不答题数，结合总得分不少于88分，即可得出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道， 根据题意可得：． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 题型四 二元一次方程组应用之方案问题（共5小题） 16．（25-26七年级下·山东泰安·期中）2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元. (2)方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 【分析】（1）设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元，根据辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据两款汽车总花费为400万，列出二元一次方程，求出二元一次方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元． （2）解：设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴或或， 答：共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 17．（24-25七年级下·江苏南通·期中）因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，现决定向租赁公司同时租用甲，乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台时） 挖掘量（单位：/台时） 甲型挖掘机 100元 乙型挖掘机 120元 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，求甲、乙两种挖掘机各需多少台？ (2)如果每小时支付的租金不超过870元，又恰好完成每小时的挖掘量，求有几种不同的租用方案？ 【答案】(1)甲、乙两种挖掘机各需5台，3台 (2)两种租用方案，第一种甲、乙两种挖掘机各需1台，6台；第二种甲、乙两种挖掘机各需5台，3台 【分析】（1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台，根据题意建立二元一次方程组即可求解； （2）设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机，根据题意列出二元一次方程，求出其正整数解，然后分别计算支付租金，选择符合要求的租金方案． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台． 依题意得：， 解得 ． 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台； （2）解：设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机． 依题意得：， 化简得：． ∴， ∴方程的解为或． 当，时，支付租金：元元，符合要求； 当，时，支付租金：元元，符合要求． 答：两种租用方案，第一种甲、乙两种挖掘机各需1台，6台；第二种甲、乙两种挖掘机各需5台，3台． 【点睛】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意，列出相应方程并正确求解是解题关键． 18．（25-26八年级上·河南郑州·期末）2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ (2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件，1辆大货车一次满载运输400件 (2)够用，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，弄清量与量之间的关系是解答本题的关键． （1）设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车辆，大货车辆，列出方程，然后根据、均为整数进行列举，再计算费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品， 依题意得：， 解得：， 答：1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品． （2）解：该组委会计划支出4000元用于租车，够用，理由如下： 设租用小货车辆，大货车辆， 依题意得： 又，均为正整数， 当，；当，； 或 共有2种租车方案， 方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为； 方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为； ；； 该组委会计划支出4000元用于租车，够用． 19．（25-26七年级上·安徽六安·期末）某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】(1)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个 (2)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． (1)设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个，根据“总价单价数量”，再结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买钥匙扣个、玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于的二元一次方程，结合“均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个， 由题意得： 解得：， 答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个； （2）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 由题意得：， ， 是正整数，且，， 或 或 ， 共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个； 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个； 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 20．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆A型和2辆B型汽车需要万元，2辆A型和3辆B型汽车需要万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车，请你帮助该公司设计部门，写出有哪几种购买方案． (3)若销售A、B两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和1.2万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)A型汽车进价为万元，B型汽车进价为万元 (2)有2种购买方案，分别是第一种方案：A型汽车购买5辆，B型汽车购买2辆；第二种方案：A型汽车购买1辆，B型汽车购买5辆 (3)第一种方案获利最大，最大利润为7.4万元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． （1）设A型汽车进价为x万元，B型汽车进价为y万元，由此列式求解即可； （2）设A型汽车购买了a辆，B型汽车购买了b辆，由此列式，并根据题意，代入合适的值计算并比较即可求解； （3）根据各种方案的情况，分别计算出各自的利润进行比较即可． 【详解】（1）解：设A型汽车进价为x万元，B型汽车进价为y万元，依题意得 ∴，解得，； ∴A型汽车进价为万元，B型汽车进价为万元； （2）解：设A型汽车购买了a辆，B型汽车购买了b辆，依题意得 整理得． ，b为正整数， ∴是3的倍数． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时， ； 当时，； 综上所述，符合题意的有2种购买方案，分别是第一种方案：A型汽车购买5辆，B型汽车购买2辆；第二种方案：A型汽车购买1辆，B型汽车购买5辆． （3）解：由（2）可得，共有有2种购买方案，第一种方案：A型汽车购买5辆，B型汽车购买2辆；第二种方案：A型汽车购买1辆，B型汽车购买5辆． ∴第一种方案的利润为：（万元）， 第二种方案的利润为：（万元）， ∴第一种方案的利润最大，最大利润为万元． 题型五 二元一次方程组应用之行程问题（共5小题） 21．（2026·江苏常州·一模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 【答案】(1)，乙的速度是 (2)4分钟或7分钟 【分析】（1）设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、三种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ∵经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等 ∴， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， 甲到达A点所用时间为， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则， 解得； ③当，，， 令，则， 解得：； 综上所述，甲出发4分钟或7分钟后，两人与点的距离相等． 22．（25-26七年级下·全国·期末）骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【答案】(1)甲每小时行20km   乙每小时行16km (2)或或 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 23．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 (2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 24．（24-25七年级下·江苏南通·期中）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； (3)当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【答案】(1) (2) (3)万公里 【分析】本题主要二元一次方程组的应用： （1）根据“汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，”即可得到答案； （2）根据用汽车行驶x万公里之后前轮的磨损程度加上继续行驶了y万公里后前轮的磨损程度为1，即可求解； （3）根据用汽车行驶x万公里之后后轮的磨损程度加上继续行驶了y万公里后后轮的磨损程度为1，再结合（2）中的方程，得到方程组即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为； 故答案为： （2）解：根据题意得：， （3）解：根据题意得： ，解得：， 答：当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是万公里． 25．（2025·江苏泰州·二模）问题：某校组织学生乘汽车去自然保护区野营， ，学校距自然保护区有多远？ 条件：①去野营时以60的速度走平路，以30的速度爬坡，共用了6.5h； ②回学校时以40的速度下坡，以50的速度走平路，共用了6h； ③行程中共分平路和坡路两种路型，其中平路长与坡路长之比为． 在上述三个条件中选择两个 （仅填写序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】①②；270 【分析】先选择条件①②，然后设平路长x，坡路长y，列出方程组求解即可． 【详解】解：选择①②； 设平路长x，坡路长y，由题意得： ， ∴， ∴， 答：学校距离自然保护区270． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，列出方程组是解题的关键． 题型六 二元一次方程组应用之分配问题（共5小题） 26．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 【答案】可以制作乙种纸盒80个 【分析】设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个， 甲种无盖长方体纸盒需要1张正方形硬纸片和4张长方形硬纸片， 乙种无盖长方体纸盒需要2张正方形硬纸片和3张长方形硬纸片， 根据题意，得， 解得， ∴可以制作乙种纸盒80个． 27．（25-26七年级下·河南周口·期末）某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 【答案】(1) (2)零件个，零件个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用． 根据甲、乙两种材料的总用量建立等量关系得到二元一次方程组，解方程组得到零件的个数． 【详解】（1）解：∵设生产零件个，零件个， ∴根据甲材料总用量：生产个零件需甲材料，生产个零件需甲材料，总共有， 乙材料总用量：生产个零件需乙材料，生产个零件需乙材料，总共有， 可列方程组为：； （2）解：解方程组得：， ∴零件个，零件个． 28．（25-26八年级上·广东深圳·期中）某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． (1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 【答案】(1)1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨 (2)共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨，根据“用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘”列出二元一次方程组，解方程即可得解； （2）根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨， 由题意可得：， 解得：， ∴1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨； （2）解：由题意可得：， ∴， ∵、均为正整数， ∴或或， 故共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车． 29．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)， (2)加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； (3)最多可加工铁盒19个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2张，即可求解； （2）设加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，根据题意列出方程组求解即可； （3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片张， 正方形铁片张； 故答案为：，； （2）解：设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个，由题意得 ， 解得 故加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； （3）解：设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片）， 9张做正方形铁片可做（片）， 剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片， 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片） ∴可做铁盒（个） 答：最多可加工铁盒19个． 30．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】(1)；； (2)甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 【详解】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． 题型七 二元一次方程组应用之销售利润问题（共5小题） 31．（2026·江苏宿迁·一模）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱．某汽车销售店上周销售A型新能源汽车4辆，销售B型新能源汽车2辆，销售金额为万元；本周销售A型新能源汽车3辆，销售B型新能源汽车4辆，销售金额为万元，并且这两周该汽车销售店销售这两款型号新能源汽车的销售单价不变，请问这两周这两款新能源汽车的销售单价各是多少？ 【答案】A型新能源汽车的销售单价为万元，B型新能源汽车的销售单价为万元． 【详解】解：设A型新能源汽车的销售单价为x万元，B型新能源汽车的销售单价为y万元． 上周销售A型新能源汽车4辆，B型新能源汽车2辆，销售金额为万元， 可得方程：， 本周销售A型新能源汽车3辆，B型新能源汽车4辆，销售金额为万元， 可得方程：， 将第一个方程两边同时除以2，得到，变形为， 把代入第二个方程中， 解得，， 把代入， 解得，． 答：A型新能源汽车的销售单价为万元，B型新能源汽车的销售单价为万元． 32．（25-26七年级下·江苏南通·期中）某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖．每套普通版的成本比每套手绘版的成本低元，套普通版的成本与套手绘版的成本共元． (1)求每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； (2)现决定将每套普通版、手绘版明信片套装的销售单价分别定为元和元．如果销售两种套装的收入共为元，那么总利润最高是多少元？ 【答案】(1)每套普通版明信片的成本价分别为元和每套手绘版明信片的成本价为元； (2)总利润最高是元． 【分析】（1）设每套普通版和每套手绘版明信片的成本价分别为元和元，根据题意列方程组求解即可； （2）设销售普通版和手绘版明信片分别为套和套，列方程，写出所有整数解，比较总利润即可． 【详解】（1）解：设每套普通版和每套手绘版明信片的成本价分别为元和元， 根据题意，得， 解得， ∴每套普通版明信片的成本价分别为元和每套手绘版明信片的成本价为元． （2）解：设销售普通版和手绘版明信片分别为套和套，总利润为元， 根据题意，得， ∵，都是正整数， ∴或或， 当时，总利润是， 当时，总利润是， 当时，总利润是， ∵， ∴总利润最高是元． 33．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 (2)不能实现利润恰好为1200元的目标，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解决问题的关键． （1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元． 依题意，得， 解得， 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元； （2）解：不能实现利润恰好为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， ， 解得， ∵根据题意，，都为正整数， ∴不合题意，舍去， 不能实现利润恰好为1200元的目标． 34．（24-25七年级下·山东聊城·期中）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件? (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】(1)该超市购进甲商品150件，乙商品90件 (2)以五折售出的乙商品有70件 【分析】（1）设购进甲，乙商品分别为m，n件，根据题意列方程求解即可； （2）设以五折售出的乙商品有y件，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲，乙商品分别为m，n件， 依题意可知：， 解得：， 答：该超市第一次购进甲种商品件、乙种商品件； （2）解：设以五折售出的乙商品有y件， 根据题意得：， 解得：， 故以五折售出的乙商品有70件． 35．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）用二元一次方程（组）解决问题：为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和消毒液的单价； (2)由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的口罩m个．若需购买医用口罩和口罩共1000个，剩余的钱恰好可以买n瓶消毒液，若，则 ． 【答案】(1)医用口罩：1.5元/个，消毒液：20元/瓶 (2)120或160 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶，根据“某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）由题意可得，整理可得，在结合，均为正整数，且即可得解． 【详解】（1）解：设医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶， 由题意可得：， 解得：， ∴医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶； （2）解：由题意可得：， 整理可得：， ∵，均为正整数，且， ∴为的倍数， ∴或． 题型八 二元一次方程组应用之和差倍分问题（共5小题） 36．（25-26八年级上·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 【答案】(1)用的木材做桌面，的木材做桌腿 (2)300张 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意中的配套关系：桌腿的数量是桌面数量的4倍是解题的关键． （1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，根据配套关系列二元一次方程组解答． （2）在（1）问的分配方案下，桌面和桌腿恰好配套，木材得到最充分的利用，此时生产的方桌数量即为最多，然后根据的木材可做50个桌面求解即可． 【详解】（1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿， 根据题意，得， 解得 故用的木材做桌面，的木材做桌腿． （2）由（1）可知，当用的木材生产桌面时，生产的桌面和桌腿刚好配套，此时能生产的方桌数量最多。 最多能生产的方桌为（张）， 所以这些木材最多可做方桌300张． 37．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某校准备成立校足球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的足球，已知3个甲种型号足球的价格与2个乙种型号足球的价格之和为900元；如果购买5个甲种型号足球和4个乙种型号足球，一共需花费1600元． (1)求每个甲种型号足球和每个乙种型号足球的价格分别是多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种型号的足球共28个，其中甲种型号足球的个数不少于乙种型号足球的个数，并且学校购买甲、乙两种型号足球的预算资金不超过5000元，求该学校共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案最便宜？ 【答案】(1)每个甲种型号足球的价格是200元，每个乙种型号足球的价格是150元 (2)该学校共有3种购买方案 (3)购买甲种型号足球14个，购买乙种型号足球个，最便宜 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数四则运算的实际应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个甲种型号足球的价格是x元，每个乙种型号足球的价格是y元，根据“3个甲种型号足球的价格与2个乙种型号足球的价格之和为900元；如果购买5个甲种型号足球和4个乙种型号足球，一共需花费1600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种型号足球m个，则购买乙种型号足球个，根据甲种型号足球的个数不少于乙种型号足球的个数且学校购买甲、乙两种型号足球的预算资金不超过5000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出购买方案的个数． （3）根据（2）中方案列式计算比较即可． 【详解】（1）解：设每个甲种型号足球的价格是x元，每个乙种型号足球的价格是y元， 依题意，得：， 解得：． 答：每个甲种型号足球的价格是200元，每个乙种型号足球的价格是150元． （2）解：设购买甲种型号足球m个，则购买乙种型号足球个， 依题意，得：， 解得：． 又∵m为整数， ∴m的值为14，15，16， 答：该学校共有3种购买方案． （3）解：由（2）知： 当购买甲种型号足球14个时，购买乙种型号足球（个），则（元）； 当购买甲种型号足球15个时，购买乙种型号足球（个），则（元）； 当购买甲种型号足球16个时，，购买乙种型号足球（个），则（元）； ， 购买甲种型号足球14个，购买乙种型号足球个，最便宜． 38．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套 (1)求书籍和实验器材各有多少套？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来 【答案】(1)书籍和实验器材各有240套，120套； (2)有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设书籍有x套，实验器材有y套，根据书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套建立方程组，解方程组即可得； （2）设运输部门安排甲种型号的货车m辆，乙种型号的货车辆，根据两种型号的货车运输量建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：设书籍和实验器材各有x套，y套， 由题意得，， 解得， 答：书籍和实验器材各有240套，120套； （2）解：设运输部门安排甲种型号货车m辆，则运输部门安排乙种型号货车辆， 由题意得，， 解得， ∴有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆． 39．（24-25八年级上·重庆·期末）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知: 2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案． 【答案】(1)1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资 (2)共有3种租车方案，方案6：租用9辆小货车，1辆大货车；方案3：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解答本题的关键． （1）设1辆小货车一次可以满载运输件物资，1辆大货车一次可以满载运输件物资，根据“2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件”列关于，的二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车辆，大货车辆，根据租用的两种货车一次可以满载运输3100件物质，列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设1辆小货车一次可以满载运输件物资，1辆大货车一次可以满载运输件物资 由题意可得：， 解得：， 答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资． （2）解：设租用小货车辆，大货车辆， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用9辆小货车，1辆大货车； 方案2：租用5辆小货车，4辆大货车； 方案3：租用1辆小货车，7辆大货车． 40．（24-25七年级下·山东烟台·期中）小丽购买学习用品的收据如表所示，因收据污损导致部分数据无法识别．根据下表，解决问题： 商品名 单价（元） 数量 金额（元） 签字笔 3 2 6 自动铅笔 1.5 记号笔 4 软皮笔记本 2 9 圆规 3.5 1 合计 8 28 (1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？ (2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，软皮笔记本和自动铅笔都至少购买一件，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？ 【答案】(1)小丽购买了自动铅笔、记号笔分别为1只和2只 (2)有3种不同的购买方案：①自动笔7只，软皮笔记本1本；②自动笔4只，软皮笔记本2本；③自动笔1只，软皮笔记本3本 【分析】此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，根据题意结合表格中数据得出正确等量关系是解题关键． （1）设自动铅笔买了x支，记号笔y支，利用总的购买数量为8，进而得出等式，再利用总金额为28元得出等式组成方程组求出答案； （2）根据题意设小丽再次购买了自动铅笔a只和软皮笔记本b本，根据共花费15元得出等式 ，进而得出二元一次方程的解． 【详解】（1）（1）设小丽自动铅笔买了x支，记号笔y支， 因为由表格知：购买圆规花费金额为：（元），购买软皮笔记本花费的金额为：9元， 所以买自动笔和记号笔共花费的金额为：（元），可以列方程如下：          解得： 答：小丽购买了自动铅笔、记号笔分别为1只和2只； （2）解：设小丽再次购买了自动铅笔a只和软皮笔记本b本． 软皮本每本单价：（元）， ∴     化简：      则；； 答：有3种不同的购买方案：①自动笔7只，软皮笔记本1本；②自动笔4只，软皮笔记本2本；③自动笔1只，软皮笔记本3本． 题型九 二元一次方程组应用之几何问题（共5小题） 41．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，代入求值，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意，先表示出阴影部分长方形的长与宽，然后列代数式计算面积即可； （2）长方形纸板长为，宽为，即，解方程求出的值， 利用长方体体积公式计算出体积，代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，阴影部分长方形长为，宽为， 则阴影部分长方形的面积； （2）解：由题意， 解得， 长方体体积； 当时， （） 答：长方体纸盒的体积为． 42．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 【答案】(1) (2)长为，宽为 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和列代数式，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系． （）直接列出代数式即可； （）由大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，列出方程组，求出小长方形的长与宽即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， 大长方形的宽为：， 故答案为：； （2）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得 ， 解得， 所以每块小长方形墙砖的长为，宽为． 43．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】(1)15 (2)20 (3)64 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据图示数据列二元一次方程组，求出a，b的值，即可求解； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 每个小长方形的面积为：； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意，得， 解得， 则13个纸杯整齐叠放在一起的高度为：， 故答案为：20； （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴阴影部分的面积为：． 44．（2024·江苏南京·一模）阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】(1)每个小长方形的面积为60 (2)它的高度约是 (3)46 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度，单独一个纸杯的高度个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度．根据这两个等量关系可列出方程组； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为17，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴． 故每个小长方形的面积为60； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意，得，解得， 则． 即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是； （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴． 45．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，利用图①可得：．基于此，请解答下列问题： 【知识生成】 （1）如图②，用4个完全相同的长方形（它的长为，宽为）围成一个正方形，用两种不同的方式表示图中阴影部分的面积．由此，可得到等式：______； 【类比应用】 （2）已知长方形的周长为6，面积为1，设该长方形的长为，宽为，求的值． 【知识迁移】 （3）如图③所示，某校计划在一块面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池（其中，），并将长方形和长方形两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为，求和的长． 【答案】（1）；（2）；（3）和的长分别为 、． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题关键． （1）直接计算阴影部分的面积或由大正方形面积减去小正方形面积即可得出结论， （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）设，，根据长方形面积可得，根据长方形和长方形两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为，可得，再模仿（2）求出，联立方程即可求解． 【详解】（1）解：， （2）依题意得：，， ， ， ∵ ， （3）设，， 由题意可知： ，即， ∴， 又∵， ∴， 联立可得：， 解得， 答：和的长分别为 、． 题型十 二元一次方程组应用之古代问题（共5小题） 46．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长?（一尺等于十寸），设木头长尺，绳子长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设木头长尺，绳子长尺，由题意可得，， ∴可列方程组为． 47．（2025·江苏扬州·三模）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，属于古代问题，由题意，根据等量关系：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，列出方程组即可． 【详解】解：苦果有x个，甜果有y个， 则根据九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，得方程； 根据四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，得方程； 故得方程组：； 故选：D． 48．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则______． 2 3 【答案】 【分析】根据三阶幻方中每行每列每条对角线上的三个数之和相等的性质，建立关于x,y的方程组，求解得到x的值． 【详解】解：设三阶幻方中每行每列对角线的公共和为S， 由题意，右上到左下的对角线三个数之和为； 第一列三个数之和为， 第一行三个数之和为 因此可得方程组 整理得 得 . 解得 ． 49．（2024·江苏无锡·二模）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为___________． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意．设有x人，物品价格为y钱，根据每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱，列出方程组即可． 【详解】解：设有x人，物品价格为y钱， 根据题意得：， 故答案为：． 50．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【答案】绳长尺，井深尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．题中的等量关系有：将绳子折成四等份，井外余绳尺；将绳子折成五等份，井外余绳尺，据此列方程组并解方程组即可得解． 【详解】解：设绳长尺，井深尺，根据题意得： ，解得． 答：绳长尺，井深尺． 题型十一 不等式组的经济问题（共5小题） 51．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）某学校为丰富学生大课间的体育活动，决定采购篮球、足球、排球三种球类．已知体育用品商店每个排球的售价为50元，三种球类的售价关系如下表所示： ①篮球、足球、排球各一个的总售价为230元； ②2个篮球的售价比一个足球的售价多60元； ③5个篮球的售价与4个足球的售价相同． (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求一个篮球和一个足球的售价分别是多少元； (2)若该学校准备购买20个排球，篮球和足球共50个，总费用不超过5550元，那么该学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】(1)一个篮球的售价为80元，一个足球的售价为100元 (2)该学校最多可以购买27个足球 【分析】（1）设一个篮球的售价为元，一个足球的售价为元，根据所选两个条件列二元一次方程组，求解即可得到结果； （2）设该学校购买个足球，根据总费用的限制条件列一元一次不等式，结合数量为正整数的实际要求，即可得到最大购买数量． 【详解】（1）解：选择条件②和③进行计算， 设一个篮球的售价为元，一个足球的售价为元， 根据题意得， 解得， 答：一个篮球的售价为80元，一个足球的售价为100元； （2）解：设该学校购买个足球，则购买篮球个， ∵每个排球售价50元，且总费用不超过5550元， ∴ 解得， ∵是正整数， ∴的最大值为27， 答：该学校最多可以购买27个足球． 52．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的礼品更是受到了大家的青睐，某商场销售甲，乙两种以马为主题的礼品，已知1份甲礼品和2份乙礼品价格为130元，2份甲礼品和3份乙礼品价格为210元． (1)求甲，乙两种类型的礼品单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种类型的礼品共100份作为给员工的奖励，若总费用不超过3600元，那么最多可以采购多少份乙种礼品？ 【答案】(1)甲种礼品单价为30元，乙种礼品单价为50元 (2)最多可以采购30份乙种礼品 【分析】（1）设甲种礼品单价为x元，乙种礼品单价为y元，然后根据“1份甲礼品和2份乙礼品价格为130元，2份甲礼品和3份乙礼品价格为210元”，列出方程组，解之即可； （2）设采购a份乙种礼品，然后根据“总费用不超过3600元”，列出不等式，解之即可． 【详解】（1）解：设甲种礼品单价为x元，乙种礼品单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种礼品单价为30元，乙种礼品单价为50元． （2）解：设采购a份乙种礼品，则采购份甲种礼品， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以采购30份乙种礼品． 53．（24-25七年级下·江苏南通·期末）某校“棋乐无穷”社团前两次购买的两种材质的象棋采购如下表（象棋的售价一直不变）； 塑料象棋 玻璃象棋 总价（元） 第一次（盒） 1 3 26 第二次（盒） 3 2 29 (1)若该社团计划再采购这两种材质的象棋各5盒，则需要多少元？ (2)若该社团准备购买这两种材质的象棋共50盒，且要求塑料象棋的数量不多于玻璃象棋数量的3倍，玻璃象棋至少要购进多少盒？ 【答案】(1)采购这两种材质的象棋各5盒需要60元 (2)玻璃象棋至少要购进13盒． 【分析】（1）设一盒塑料象棋的售价是元，一盒玻璃象棋的售价是元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设玻璃象棋要购进盒，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一盒塑料象棋的售价是元，一盒玻璃象棋的售价是元， 依题意得，， 解得， （元， 所以采购这两种材质的象棋各5盒需要60元； （2）设玻璃象棋要购进盒， 解得， 因为为正整数， 最小取13 答∶玻璃象棋至少要购进13盒． 54．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）端午节之前，小明准备买粽子过节，若在当地某超市购买2盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需支付380元，而在某团购群购买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需支付520元．对比发现，甲品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的八折，乙品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的七五折． (1)甲、乙两种品牌粽子每盒的超市价分别是多少元？ (2)小明打算在团购群购买这两种品牌的粽子，其中乙品牌粽子比甲品牌粽子多3盒，总花费不超过1200元，问小明最多能买多少盒甲品牌粽子？ 【答案】(1)甲品牌粽子的超市价为每盒70元，乙品牌粽子的超市价为每盒80元． (2)小明最多可以买8盒甲品牌粽子 【分析】（1）设甲品牌粽子的超市价为每盒x元，乙品牌粽子的超市价为每盒y元，根据“在超市购买2盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需支付380元，在某团购群购买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需支付520元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设买甲品牌粽子a盒，则买乙品牌粽子盒，根据总价=单价×数量结合总花费不超过1200元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲品牌粽子的超市价为每盒x元，乙品牌粽子的超市价为每盒y元，依题意得： ， 解得：． 答：甲品牌粽子的超市价为每盒70元，乙品牌粽子的超市价为每盒80元． （2）解：设买甲品牌粽子a盒，则买乙品牌粽子盒， 依题意，得：， 解得：， ∴a的最大整数解为． 答：小明最多可以买8盒甲品牌粽子． 55．（25-26七年级下·江苏常州·期末）随着2025年12月17日第二十七届冰雪大世界的开园，哈市中央大街某商店购进了甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品3件，共需130元；若购进甲种纪念品4件、乙种纪念品5件， 共需230元； (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价各是每多少元？ (2)如果该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 【答案】(1)甲、乙两种纪念品每件的进价分别为20元和30元 (2)最多购进乙种纪念品70件 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为、元，列二元一次方程组计算即可； （2）设购进乙种纪念品m件，列一元一次不等式计算即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为、元， 由题意可得：， 解得：， 答： 甲、乙两种纪念品每件的进价分别为20元和30元； （2）解：设购进乙种纪念品m件， 由题意可得：， 解得：， 答： 最多购进乙种纪念品70件． 题型十二 不等式组的分配问题（共5小题） 56．（24-25七年级下·江苏·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 【详解】解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 57．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据“购买这批仪器需花62元，但经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．列方程组可得，再由，得到关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据题意得： ， 由得：， 解得：， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大取5， 答：A种仪器最多可买5件． 故选：D 58．（25-26七年级下·江苏徐州·期末） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 59．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 60．综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 【答案】(1)14；72； (2)小明的说法是正确的，理由见解析 (3)有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼 【分析】（1）根据两种系列中，大月饼与小月饼的个数列式计算即可； （2）根据共计领取月饼453个建立一元一次方程，解方程即可； （3）根据礼盒数量不少于80盒建立一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵若“长长久久”系列的月饼有盒，需要从制作车间领取大月饼个， ∴“八方来福”系列的月饼的盒数为（盒）， ∴需要从制作车间领取小月饼的个数为（个）． （2）解：小明的说法是正确的，理由如下： 设领货单中包装“长长久久”系列月饼盒，则“八方来福”系列的月饼盒， 由题意得：， 解得，这与领货单上的月饼50盒矛盾， 所以小明的说法是正确的． （3）解：设安排名月饼制作师制作大月饼，则安排名月饼制作师制作小月饼， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的取值为4或5， 当时，； 当时，； 综上，有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼． 题型十三 不等式组的方案选择问题（共5小题） 61．（24-25七年级下·江苏南京·期末）“疫情无情，人间有爱”．为扎实做好复工复课工作，教育局准备租借甲、乙两种型号的车为全市各中小学配送防疫物资．已知2辆甲型车和1辆乙型车载满物资一次可运走10吨；用1辆甲型车和2辆乙型车载满物资一次可运走11吨． (1)1辆甲型车和1辆乙型车都载满物资一次可分别运送多少吨？ (2)教育局现有防疫物资37吨需要配送，计划同时租用甲、乙两种型号车共10辆（都要有），一次运完．若设甲型车租了m辆，请你帮教育局设计租车方案； (3)在题（2）的条件下，若1辆甲型车需租金100元/次，1辆乙型车需租金120元/次．设租车总费用为Q元，请用含m的代数式表示Q，并确定哪一种租车方案的费用最少，最少租车费用是多少？ 【答案】(1)1辆甲型车满载物资时一次运3吨，1辆乙型车满载物资时一次运4吨 (2)方案一：租甲型车1辆，乙型车9辆；方案二：租甲型车2辆，乙型车8辆；方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆 (3)，方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆的费用最少，最少为1140元 【分析】（1）设1辆甲型车满载物资时一次运x吨，1辆乙型车满载物资时一次运y吨．根据2辆甲型车和1辆乙型车载满物资一次可运走10吨；用1辆甲型车和2辆乙型车载满物资一次可运走11吨建立方程组求解即可； （2）设租借甲型车m辆，则租借乙型车辆，根据运送的物资不低于37吨建立不等式求出m的取值范围即可得到答案； （3）分别求出租用甲型车和乙型车的费用，二者求和可表示出Q，再根据（2）所求代入对应的m的值求出三种方案的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设1辆甲型车满载物资时一次运x吨，1辆乙型车满载物资时一次运y吨． 根据题意，得 解得 答：1辆甲型车满载物资时一次运3吨，1辆乙型车满载物资时一次运4吨． （2）解：设租借甲型车m辆，则租借乙型车辆． 由题意得：， 解得 又∵同时租借甲乙两型号车（都要有）， ， ∵m为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案：方案一：租甲型车1辆，乙型车9辆；方案二：租甲型车2辆，乙型车8辆；方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆； （3）解：由题意得， 方案一的费用：（元） 方案二的费用：（元） 方案三的费用：（元）， ∵， ∴方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆的费用最少，最少为1140元． 62．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）某品牌羽毛球拍售价120元/副，羽毛球售价5元/只．王教练计划购买一批羽毛球拍和羽毛球，实体店和网店有不同的促销活动，具体信息如下： 店铺 球拍优惠信息 赠品 配送方式 实体店 球拍打9折 每购买一副球拍赠送一只羽毛球 免费送货上门 网店 若购买球拍不超过10副，不打折；若购买球拍超过10副，则超过部分打8折． 每购买一副球拍赠送两只羽毛球 包邮送货上门 (1)若王教练想要购买20副球拍和40只羽毛球，请你帮王教练分别计算实体店、网店两家店铺优惠后的实际付款金额，判断在哪家店购买更优惠； (2)若王教练计划购买副球拍和只羽毛球，请用含的代数式分别表示在实体店、网店购买时，优惠后的实际付款金额； (3)若王教练有5000元预算，希望尽可能多地购买羽毛球拍，请问最多可购买多少副球拍?购买球拍后剩余的钱还可以购买多少只羽毛球? 【答案】(1)实体店实际付款金额为2260元，网店实际付款金额为2160元，在网店购买更优惠 (2)实体店：元；网店：当时，元；当时，元 (3)最多可购买49副球拍，剩余钱还可以购买11只羽毛球 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，熟练掌握相关性质，准确列出式子为解题关键． （1）根据实体店以及网店的购买原则列式计算即可； （2）根据实体店以及网店的购买原则列式即可； （3）设最多购买x副球拍，根据元钱购买的球拍数量大于10副，则网店购买比较合适，利用网店的购买原则列出不等式即可求出购买球拍的数量，再算出剩余的钱即可求出最后结果． 【详解】（1）解：若在实体店购买则需付款：（元）， 若在网店购买则需付款：（元）， ， 答：实体店实际付款金额为2260元，网店实际付款金额为2160元，在网店购买更优惠； （2）解：在实体店购买则需付款：元， 在网店购买则需付款： 当时，需付款元； 当时，需付款元， 以为购买n副球拍赠送只羽毛球，则无需计算羽毛球费用， 实体店：元；网店：当时，元；当时，元 （3）解：设最多购买x副球拍， 元钱购买的球拍数量大于10副，则网店购买比较合适， ， 解得：， 取整数， 球拍的费用为元， 剩余金额为（元）， ， 最多可购买49副球拍，剩余钱还可以购买11只羽毛球． 63．（25-26七年级上·江苏·期中）盐城市某中学组织学生参观科技馆，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元． (1)求参观的学生人数和原计划租用45座客车的辆数； (2)若租两种客车，怎样租用最省钱？最低租金是多少元？ 【答案】(1)学生240人，原计划租5辆 (2)最省为租4辆45座和1辆60座，最低租金1180元 【分析】本题考查了一元一次方程与不等式的应用，涉及到了方案选择，解题关键是理解题意，列出一元一次方程与不等式求解． （1）根据总人数不变列出方程即可求解； （2）分别计算不同方案的总价，比较后即可求解． 【详解】（1）解：设原计划租 45 座客车 x 辆， ． 学生人数（人） 答：学生有 240 人，原计划租 45 座车 5 辆． （2）设租45座a辆，60座b辆， ，且（因两种车都要租用）， ∴， 当时，总费用为（元）， 当时，总费用为（元）， 当时，总费用为（元）， 当时，总费用为（元）， ∵1180元费用最低， ∴最省钱为租4辆45座和1辆60座，租金1180元． 64．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）2025年6月14日是江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）扬州VS泰州赛，扬州作为主场，为运动员们提供了营养早餐．其中400克早餐食品中，蛋白质总含量为，包括一份粮谷类食品，一份牛奶和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量约为50克，蛋白质含量占；粮谷类食品和牛奶的部分营养成分如表所示）． 每100克粮谷类食品营养成分表 能量 2132千焦 脂肪 克 蛋白质 克 碳水化合物 克 钠 320毫克 每100克牛奶营养成分表 能量 256千焦 脂肪 克 蛋白质 克 碳水化合物 克 钙 116毫克 (1)设该份早餐中粮谷类食品为150克，牛奶为200克，请写出粮谷类食品中所含的蛋白质为 克，牛奶中所含的蛋白质为 克； (2)请求出该营养早餐中，粮谷类食品和牛奶的质量分别为多少克？ (3)为了更好的备战，我市举办了为期一周的赛前集训，主办方提供了A，B两套午餐： 套餐 主食（克） 肉类（克） 水果（克） 其它（克） A 210 95 120 125 B 220 70 140 90 为了膳食平衡，要求运动员在一周内A，B两种套餐均要选择．如果在一周里，午餐主食摄入总量不超过1500克，那么运动员在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出所有的方案．（说明：一周按7天计算） 【答案】(1)，6 (2)该营养早餐中，粮谷类食品的质量为250克，牛奶的质量为100克 (3)共有3种选择方案，方案1：选择套餐4天，B套餐3天；方案2：选择套餐5天，B套餐2天；方案3：选择套餐6天，B套餐1天． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据每100克粮谷类及牛奶中蛋白质的含量，结合该份早餐中粮谷类食品及牛奶的质量，即可求出粮谷类食品及牛奶中所含的蛋白质的质量； （2）设该营养早餐中，粮谷类食品的质量为x克，则牛奶的质量为克，根据“400克早餐食品中，蛋白质总含量为”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设运动员在一周里可以选择A套餐y天，则选择B套餐天，根据“在一周里，午餐主食摄入总量不超过1500克”，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，结合y，均为正整数，即可得出各选择方案． 【详解】（1）解：根据题意得：粮谷类食品中所含的蛋白质为（克）； 牛奶中所含的蛋白质为（克）． 故答案为：，6； （2）解：设该营养早餐中，粮谷类食品的质量为x克，则牛奶的质量为克， 根据题意得：， 解得：， ∴（克）． 答：该营养早餐中，粮谷类食品的质量为250克，牛奶的质量为100克； （3）解：设运动员在一周里可以选择A套餐y天，则选择B套餐天， 根据题意得：， 解得：， 又∵y，均为正整数， ∴y可以为4，5，6， ∴共有3种选择方案， 方案1：选择套餐4天，B套餐3天； 方案2：选择套餐5天，B套餐2天； 方案3：选择套餐6天，B套餐1天． 65．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）“欢乐夏日”游泳馆即将开业了，游泳馆夏季的收费标准如下图所示，小明今年暑假准备去“欢乐夏日”游泳馆游泳，设小明计划今年夏季游泳次数为（为正整数） (1)如果小明办理会员，那么小明今年夏季游泳的总费用为______元（用含的代数式表示）；如果小明不办理会员，那么小明今年夏季游泳的总费用为______元（用含的代数式表示）； (2)小明今年夏季计划游泳十次，他选择哪种收费方式收费更少？ (3)你是小明，根据计划，会选择哪种收费方式？ 【答案】(1)， (2)办理会员收费更少 (3)游泳次数少于次时，选择不办理会员收费更少；当游泳次数等于次时，两种方式收费相同，可任意选择；当游泳次数大于次时，选项办理会员收费更少 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）求出时，两种方式收费的费用，比较即可求解； （）分三种情况解答，求出的取值范围及值即可求解； 本题考查了列代数式，代数式求值，一元一次不等式和方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，小明办理会员，那么小明今年夏季游泳的总费用为元；如果小明不办理会员，那么小明今年夏季游泳的总费用为元， 故答案为：，； （2）解：当时， 办理会员收费：元； 不办理会员收费：元， ∵， ∴办理会员收费更少； （3）解：当时， 解得； 当， 解得； 当， 解得； 即游泳次数少于次时，选择不办理会员收费更少；当游泳次数等于次时，两种方式收费相同，可任意选择；当游泳次数大于次时，选项办理会员收费更少． 题型十四 不等式组的阶梯收费问题（共5小题） 66．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果今年8月份小王家计划水费不超过80元，则小王家这个月用水最多为多少吨？ 【答案】(1) (2)小王家这个月用水最多为吨 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，理解题意正确列出方程和不等式是关键． （1）当用水15吨时，水费为元，根据水费为，则列式可求得a的值；当用水26吨时，由所求a的值，可计算出基本水费与超过部分水费，等于元减去污水处理费，由此列式计算求得b的值； （2）设小王家这个月用水为吨，根据（1）所求a与b的值，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：当用水15吨时，水费为元，则， 则（元）； 当用水26吨时，17吨水的费用为（元），（元）， 所以， 得：； （2）解：设小王家这个月用水为吨， ，则， 根据题意： ， 答：小王家这个月用水最多为吨． 67．（24-25七年级下·福建泉州·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 用户每月用水量 自来水单价（元/吨） 污水处理费用（元/吨） 17吨及以下 a 0.80 超过17吨但不超过30吨的部分 4.20 0.80 超过30吨的部分 b 0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费．） 已知该市某居民家2022年3月份用水15吨，缴交水费45元；6月份用水40吨，缴交水费184元． (1)求a、b的值； (2)实行“阶梯式水价”收费之后，该居民家用水多少吨时，其当月的平均水费每吨不超过3.64元？ (3)若该居民家2022年10月份、11月份共用水60吨，10月份和11月份一共缴交水费250元（水费每个月缴交一次）．已知10月份用水量大于11月份用水量，求该居民家10月份、11月份各用水多少吨？ 【答案】(1)， (2)该居民家用水不超过25吨时，其当月得平均水费每吨不超过3.64元 (3)该居民家10月份用水40吨，则11月份用水20吨 【分析】（1）根据“该市某居民家2022年3月份用水15吨，缴交水费45元；6月份用水40吨，缴交水费184元”可列出关于的二元一次方程组，解出后得到答案； （2）先确定30吨用水时平均水费价格，再确定居民具体适用价格方案，列出关于的一元一次不等式，解出解集即可得到答案； （3）分两种不同情况设未知数列出方程，解出符合题意的答案即可． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 答：， （2）解：当月用水量为30吨时平均水费为 该居民家当月用水量不超过30吨 设该居民家用水x吨，根据题意，得： 解得： 答：该居民家用水不超过25吨时，其当月得平均水费每吨不超过3.64元． （3）解：设该居民家10月份用水n吨，则11月份用水吨． ①当，即时， 解得：（不符合题意，舍去） ②当，即时， 解得：，符合题意， 答：该居民家10月份用水40吨，则11月份用水20吨． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是确定正确的计费方式． 68．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）根据以下素材，探索并完成任务． 水费、用水量是多少? 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段引导市民节约用水． 素材2 每户每月用水量不超过15立方米时，水费按a元/立方米收费； 每户每月用水量超过15立方米时，未超过的部分按a元/立方米收费，超过的部分按b元/立方米收费． 素材3 某用户今年4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量/立方米 水费/元 4 16 50 5 20 70 问题解决 任务1 确定用水单价 求a、b的值． 任务2 确定用水量 某用户预算6月份缴水费不超过80元，那么该用户这个月的用水量最多是多少立方米? 【答案】任务1：；任务2：6月份用水量最多为22立方米 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式是解答的关键． 任务1：根据题意和表格数据列方程组求解即可； 任务2：设6月份用水量x立方米，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意，得， 解得； 任务2：设6月份用水量x立方米， ∵当时，， ∴当时，缴水费不超过80元； 当时，由解得， ∴当时，缴水费不超过80元， 故6月份用水量最多为22立方米． 69．（24-25七年级上·吉林白山·期末）为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示： 档次 月用电量（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 1档 0.49 2档 0.54 3档 0.79 例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费（元）． (1)若圆圆家某月用电量为千瓦时，请用含的代数式表示，当时，应缴电费为__________元，当时，应缴电费为__________元； (2)若圆圆家9月共缴电费元，求该月圆圆家的用电量． (3)圆圆家10月用电的平均费用最高为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月最大用电量． 【答案】(1)， (2)该月圆圆家的用电量为千瓦时 (3)10月最大用电量为250千瓦 【分析】（1）本题考查了代数式的列法，解题的关键是当时，应缴电费的计算； （2）本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出方程式； （3）本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出不等式并求解． 【详解】（1）根据题意，当时，应缴电费（元）； 当时，应缴电费（元）， 故答案为：，； （2）根据（1）的结论，当时，应缴电费（元）， 当时，应缴电费（元）， ∵， ∴圆圆家9月用电量的范围为， ∴， ∴， ∴该月圆圆家的用电量为千瓦时； （3）根据（2）的结论，当时，平均电价（元/千瓦时）， ∵， ∴圆圆家10月用电量的范围为， ∴，即， ∴， ∴10月最大用电量为250千瓦． 【点睛】本题考查了代数式、一元一次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、一元一次不等式的性质，从而完成求解． 70．为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表： 居民用水阶梯水价表单位：元/立方米 分档 户每月分档用水量x（立方米） 水价 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 (1)小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为______元； (2)小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为______立方米； (3)随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？ 【答案】(1)70 (2)5 (3)28立方米 【分析】（1）利用表格数据直接求解即可； （2）利用表格数据得出小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米，进而求解即可； （3）利用表中数据得出水费不超过180元时包括第三阶段水价费用，进而得出不等关系求解即可． 【详解】（1）由表格中数据可得：时，水价为：5元/立方米， 故小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为：（元）； 故答案为：70； （2）∵， ∴小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米， 设小明家6月份使用水量为x立方米， ∴，解得：， 故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为：（立方米）， 故答案为：5； （3）设小明家能用水a立方米，根据题意可得： ， 解得：， 答：小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水28立方米． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，能够根据表中数据得出不等关系是解题的关键． 题型十五 不等式组的几何问题（共5小题） 71．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)， (4)t的取值范围为或或 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，根据已知条件得出是等腰直角三角形，列式解方程即可； （3）分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别列式即可； （4）分点P在上，点P在上，点P在上三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式，再分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点P运动到点B的时间为． （2）解：∵，D为的中点， ∴， ∵以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点P以的速度沿运动，， ∴，则， 解得：． （3）解：∵，点P到达点B后再以的速度沿向终点C运动． ∴点P运动到点D的时间为，点P运动到点C的时间为， ∴当点P在上运动时，， 当点P在上运动时，． （4）解：当点P在上时，即， 根据题意，得， ∵， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴， 综上所述，t的取值范围为或或． 72．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 73．（25-26七年级下·重庆·期中）在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 【答案】(1)当时，线段的长度为2 (2)的值为或 (3)的取值范围是： 【分析】（1）先求出运动的路程，再根据点的位置解答即可； （2）分两种情况：当点P在时，当点P在上时，根据面积关系列方程即可求解； （3）根据三角形的面积求出的值，分为点P在时，点P在上，两种情况根据列不等式组解答即可． 【详解】（1）解：当时，． ． 答：当时，线段的长度为2． （2）解：， ． 的边的高． ∵， ∴ ∴． ． ①当点在边上，即时． ． ． ， ． 解这个方程，得．        ②当点在边上，即时． ． ． ． 解这个方程，得． 综上所述，的值为或． （3）解：是的高． ． ，，， ． ①当点在边上，即时，． ，且． ，解得． ， ．          ②当点在边上，即时． ． ，且． ． 解不等式，得． ， ．        综上所述，的取值范围是：． 74．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) (4)当或时， 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）根据题意列式即可； （3）分或或三种情况讨论，根据题意列式即可； （4）分或或三种情况讨论，列出不等式，计算即可求解． 【详解】（1）解：在上运动的时间为． （2）解：当点在运动时，， 点是的中点， ， 当在的左侧时，即，． （3）解：当在的右侧时，即，； 当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴． （4）解：当时， 根据题意，得，解得, ∴； 当时， 根据题意，得，解得 ∴； 当时， 根据题意，得，解得， ∴； 综上所述，当或时，． 75．（25-26八年级上·广东汕头·期末）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，理解题意是解决本题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】（1）解：依题意可得：， ， ∴ ． ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，的整数n有且仅有4个 ∴这四个整数解为：22，23，24，25， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． $