江苏省扬州市2025-2026学年下学期七年级数学期末仿真模拟练习卷（范围：7-12章）

**基本信息** 立足苏科版七年级下册全册，以0.65难度梯度覆盖基础与创新，融合《孙子算经》文化素材、锡箔纸科技情境及生活应用问题，适配期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|图形性质、整式运算、命题判断|第6题“多人共车”问题传承古代数学文化，考查模型意识| |填空题|10/20|科学记数法、反证法、不等式解集|第10题锡箔纸厚度（0.000025）体现科技前沿，培养数感| |解答题|8/64|图形变换、方程（组）、实际应用、规律探究|第26题洗衣液销售问题强化应用意识，第28题运动旋转规律探究发展创新思维与推理能力|

2026年江苏省扬州市七年级下学期期末仿真模拟练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚 2．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。 3.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，用2B铅笔作图画出必要的线条与图形（包括辅助线），请将解答过程书写在试卷中对应的位置上 4．测试范围：新教材苏科版七年级下学期全册 5．难度系数：0.65。 第一卷 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列算式中，适合用平方差公式计算的是（    ）． A．B． C． D． 4．下列语句中，属于真命题的是（   ） A．同位角相等 B．垂线段最短 C．相等的两个角是对顶角 D．两个锐角的和是钝角 5．已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 6．古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题，其大意是：“每车坐5人，2车空出来，其余车均坐满；每车坐3人，多出10人无车坐．问人数和车数各多少？”设共有个人，辆车，则可列出的方程组为（    ）． A． B． C． D． 7．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在处，并测得，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．两个边长为的大正方形与两个边长为的小正方形按如图所示放置，如果，阴影部分的面积是60，那么（        ） A．44 B．46 C．50 D．53 第二卷 二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分） 9．计算：______． 10．极薄规格的锡箔纸厚度可达0.000025毫米，通常用于高灵敏度电子元件，数据0.000025用科学记数法表示为______． 11．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设________． 12．已知的展开式中不含项，则常数的值为______． 13．关于的不等式的解集是，则的取值范围是______． 14．如图，将向左平移得到，，相交于点G．如果的周长是，那么与的周长之和是___． 15．已知关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是_______． 16．班级要用40元钱买、两种彩笔，两种彩笔必须都买，已知型彩笔每个6元，型彩笔每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有________种． 17．观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为__________． 18．如图，在中，，是直角三角形，，，且边与重合，将绕点以每秒顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______秒时，． 三、解答题（本题共8小题，合计64分.计算题要写出完整步骤！） 19．计算： (1)； (2)； 20．解方程 (1) (2) 21．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点，，均在格点上. (1)将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出； (2)画出关于点对称的； (3)绕某点旋转可以得到，画出旋转中心的位置. 22．对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 23．已知关于x，y的方程组（实数m是常数）． (1)若，求实数m的值； (2)若，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，化简：． 24．【知识生成】已知通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图可以得到代数恒等式是______，基于此，请解决以下问题： 【直接应用】若，求的值； 【类比应用】若，求的值． 25．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 26．某超市销售A、B两种品牌的洗衣液，已知A品牌洗衣液每瓶进价为25元，售价为35元；B品牌洗衣液每瓶进价为15元，售价为20元． (1)若超市购进A、B两种品牌洗衣液共100瓶，花费2100元，求购进A、B两种品牌洗衣液各多少瓶? (2)在（1）的条件下，全部售出后可获得多少利润? (3)若超市计划购进A、B两种品牌洗衣液共100瓶，且总利润不低于850元，求至少购进A品牌洗衣液多少瓶? 27．对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 28．【基础感知】 如图1，点P为线段上一动点，，点P从点A出发向点B运动，到达点B后，再转向点A运动，…如此反复．在点P的运动过程中，点P运动1个单位长度后到达点，即；再运动2个单位长度后到达点，此时；再运动3个单位长度后到达点，…以此类推． （1）求______，______， 【迁移应用】 如图2，点O是直线上一点，线段从射线的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转，…如此反复．在线段的旋转过程中，从开始旋转角度至，从继续旋转角度至，从旋转角度至，…以此类推． 例如：当时，线段，，，，的位置如图3所示，其中线段第4次旋转到后弹回，即，而恰好与重合． （2）若，线段，，的位置如图4所示，求的度数； （3）若，且线段所在的射线平分，在图5中画出线段，，，，并求出的值； （4）若，且，直接写出所有的取值 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年江苏省扬州市七年级下学期期末仿真模拟练 习卷 参考答案及评分细则 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中只有一个选 项符合题意) 题 1 2 6 号 3 P 答 0 B D 案 B 二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分） 9.-x3y210.2.5×10- 11.∠B≤∠C 12._1 4 13.a>1 14.12 15.3<m≤4 16.3 17.-1 18.5或35 三、解答题（本题共10小题，合计96分.计算题要写出完整步骤：） 19.【详解】1)解：2列+g-314°+历+（到 =2+1+3-3=3.(4分) (2)解：(-a3a2+(2a4)'÷a =(-a）a2+4a）÷a3 =-a3+4a =3a.(8分) 20.【详解】(1)解：①×2，得2x-2y=4③ ②+③，得5x=12, 解得-号 把x=2代入①，得2 y=2, 解得y子 12 X= 原方程组的解为： 2；(4分) y= 5 (2)解：原方程组化简，得 x-6y=3③ 3x-11y=16④ ④-③×3，得7y=7, 解得y=1. 把y=1代入③，x-6=3 解得x=9, x=9 .原方程组的解为： (8分) y=1 21.【详解】(1)解：如图，△A4B,C即为所求： (2分) (2)解：如图，△4，B,C2即为所求， B (5分) (C2) (3)解：如图所示，点P即为所求 B B为 (8分) (C2) 22.【详解】(1)解：：m=2,n=2025, a⑧b=(a}+(b2a, 28--2+[--1 5 故答案为：子：(4分) (2):1⑧4=8,2®2=19 (1）”+(4）=1+4°=8,4"+4”=19， 4"=7, .4"=12 “42-m=4”×4”÷4m=7×7÷12 49 12·(8分) 2x+y=4m① 23.【详解】(1)解： x+2y=2m+1② 3 ①+②得3x+3y=6m+1, x+y=1, ∴.3x+3y=6m+1=3, 解得m=3(3分) (2)解： 2x+y=4m① x+2y=2m+1② 0-②得x-y=2m-1, :-1≤x-y≤5， .-1≤2m-1≤5， 解得0≤m≤3；(6分) (3)解：在(2)的条件下0≤m≤3， .m+2>0,m-3<0, .m+2+m-3=m+2+3-m=5.(10分) 24.【详解】根据正方形面积可知，S=(a+b)2, 又面积还可以表示为：S=a2+b2+ab+ab=a2+b2+2ab, 所以根据面积相等，得(a+b)2=a2+2ab+b2.(3分) 【直接应用】“x+y=3,x2+y2=5, 由(x+y)=x2+2y+y2得32=5+2xy, y=2.(6分) 【类比应用】设x=2023-m,y=2024-m, 则由2023-m)(2024-m=6,得xy=6, 则(2023-m)+(2024-m)2=x2+y2, 又(x-y)2=x2-2xy+y2，x-y=(2023-m)-(2024-m)=-1, x2+y2=(x-y)2+2xy=(-1)2+2×6, .x2+y2=13.(10分) 25.【详解】(1)解：：x-y=3, x=y+3, :x>2, .y+3>2, y>-1, 又y<1, .-1<y<1①， 同理可得2<x<4…②， 由①+②得：2-1<x+y<4+1, x+y的取值范围是1<x+y<5, 故答案为：1<x+y<5;(4分) (2)解：a-b=4, .a=b+4, a>1, .b+4>1, .b>-3, 又：b<2, .-3<b<2…①， 同理可得1<a<6…②， 由不等式性质，②乘2得2<2a<12…③，①乘3得-9<3b<6…④， ③+④，得2-9<2a+3b<12+6, 2a+3b的取值范围是-7<2a+3b<18.(10分) 26.【详解】(1)解：设购进A品牌洗衣液x瓶，购进B品牌洗衣液y瓶， x+y=100 根据题意，可得 25x+15y=2100 解得 x=60 y=401 答：购进A品牌洗衣液60瓶，B品牌洗衣液40瓶；(3分) (2)(35-25)×60+(20-15)×40=800(元)， 答：全部售出后可获得利润800元；(6分) (3)设购进A品牌洗衣液m瓶，则购进B品牌洗衣液(100-m)瓶， 根据题意，可得(35-25)×m+(20-15)×100-m)≥850， 解得m≥70， 答：至少购进A品牌洗衣液70瓶.(10分) x+y=0 27.【详解】(1)解：① x=0 2x-y=0'解得：二0此时-川≠1： ②x+y=1 x=1 2x-y=2' 解得： y=0'此时-川=1： 1 x= ③ x-y=-1 3r+5y=7’解得： 此时x-y=1; y= 4 ④x+y=-1 解得： x=-2 x+2y=01 y=1,此时-川≠1： 故答案为：②③：(3分) (2)解： x-3y=a① 2x-4y=4a②' 由②-①×2得：2y=2a, 解得：y=a, 把y=a代入①得：x-3a=a, 解得：x=4a, “关于x,y的方程组 [x-3y=a是美好"方程组， 2x-4y=4a x-y川=1， ·4a-a=1, 1 解得：a=±行（7分) 6 (3)解：：关于x,y的方程组 2amx+(b-l刂y=m都是"美好”方程组， x+2y=4 .x-y=1, 联立得： x-y=1 x+2y=4' 2 x=2 x=- 解得： 3 y=1 或 y= 3 =i代入2amx+(b-y=m得： x=2 把 4am+b-1=m, .4a-1m+b-1=0, :m为任意有理数， 4a-1=0,b-1=0,解得：a=二，b=1, 1 :.ab= 2 x=- 把 3代入2amx+b-Jy=m得子 V=3 m+6-=m, 4. 3 传0-m+6-小=0 :m为任意有理数， 4a-1=0,b-1=0,解得：a=3,b=1, 4 3 3 ab=4 3 综上所述，b得值为或 .(12分) 4 28.【详解】解：(1)由点P的运动规律可知PP=3, AP=AP +PP=6, 此时点P到达点B,则点P返回向点A运动， .BP=4, PP=BP-PP=4-3=1. 故答案为：6；1.(2分) (2):00从0M开始旋转角度α至02，从O9继续旋转角度2α至OQ2,从OQ2继续旋转 角度3a至0Q, .00旋转了a+2a+3=6a=6×35°=210°， ∴O0旋转到了ON的位置后，从ON回弹了， ∠N093=210°-180°=30°， 由题意得∠M092=a+2a=3a=3×35°=105°， .∠Q0g3=180°-∠M0Q2-∠N003=180°-105°-30°=45°.(5分) (3)如图，0g，,O22,O2,02即为所求. e, M 当a≤18°时，∠N004=a+2a+3a+4a≤180°， OQ,未从ON回弹，不可能平分∠QOQ,不符合题意，舍去： 18°<a<30°，此时∠M003=u+2a+3a=6a<180°， .OQ未从ON回弹， 由题意得，∠Q,003=2a+3a=5a,∠N00,=180°-∠M003=180°-6a, ∠N004=4a-∠N00,=4a-(180°-6a=10a-180°， ∠0,00：=∠N004-∠N003=(10a-180）-(180°-6a=16a-360°， ·004平分∠000， ∠Q,093=2∠Q,00.,即5a=2(16a-360）, 80° .a= 3·(8分) (4)①u≤18°时，则a+2a+3a+4a=10a≤180°， O9,和OQ都未到达ON,从ON回弹， Q 2 94 M O 由题意得∠920Q3=3a,∠Q00,=4a, ∠Q004=∠Q,023+∠Q004=20°，即3a+4a=20°， 20° .a= 7 ； ②18°<a≤45 时，则a+2a+3a=6a<180°，a+2a+3a+4a=10a>180°， ·O2,未回弹，O9已回弹， M 由题意得，∠N0Q,=180°-∠M0Q,=180°-6a,∠W002=180°-3a, LN00,=4a-∠N003=4a-180°-6a）=10a-180°， .∠N003-∠N00,=180°-6a）-(10a-180)=360°-16a20, :∠NOQ3≥∠NOQ4,即OQ,回弹后在0W和OQ之间或与O2重合， ∠0,00.2∠0,003=3a>54°， 与∠Q,0Q,=20°矛盾，不符合题意，舍去； ③45°<360°时， 2 13 9 92 Q o, M N 同理②，∠N00,-∠N00,=(180°-3a）-10a-180)=360°-13a≥0， ∠N003-∠N00,=(180°-6a)-(10a-180)=360°-16a<0 ∠NOQ2≥∠NOQ,,∠N0Q3<∠NOQ4, ∴09回弹后在O22和0Q3之间或与092重合， :0Q,与0Q重合时，与∠Q,004-20°矛盾，不符合题意，舍去， :∠Q094=∠N002-∠N004=20°， (180°-3a)-(10a-180)=20°， a= 340 13 @360 <a≤30°时， 13 Q 0, M N 同理③可得OQ未回弹，且O9,回弹后在OQ2和02之间， :∠0,004=∠N004-∠N092=20°， (10a-180）-(180°-3a=20°， as3800 13 ⑤30°<a<36°时， Q Q M N 由题意得，∠M09,=a+2a+3a=6a>180°， 10 OQ,和OQ都已从ON回弹， .∠N003=6a-180°，∠N004=4a+∠W0Q,=4a+6a-180°=10a-180°， ∠N0Q2=180°-3a, .∠N09,-∠N002=(10a-180）-(180°-3a）=13a-360°>0， ∠N004=4a+∠N0Q3=4a+6a-180°=10a-180°<180° .O9,回弹后在O92和0M之间， ∠Q,0Q4=∠N0Q4-∠N092=20°， (10a-180）-(180°-3a=20°， a=3800 13 :30°<0<36°， “不符合题意，舍去： 综上所述，a的值为20°或340或380 7 .(12分) 13 13 11 2026年江苏省扬州市七年级下学期期末仿真模拟练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚 2．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。 3.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，用2B铅笔作图画出必要的线条与图形（包括辅助线），请将解答过程书写在试卷中对应的位置上 4．测试范围：新教材苏科版七年级下学期全册 5．难度系数：0.65。 第一卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形、中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 【详解】解：A选项：该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式的计算，正确掌握合并同类项法则，幂的乘方计算法则，同底数幂的乘除法计算法则是解题的关键．根据合并同类项法则，幂的乘方计算法则，同底数幂的乘除法计算法则分别计算并判断． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意；； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．下列算式中，适合用平方差公式计算的是（    ）． A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 平方差公式适用于形式为的算式，即两个二项式中一项相同，另一项互为相反数，需逐一检查各选项是否符合此形式． 【详解】解：∵ 平方差公式要求两式分别为和的形式， 选项A：，不符合公式； 选项B：，符合的形式（其中）； 选项C：，无相同或相反项，不符合； 选项D：，无相同或相反项，不符合； 故选：B． 4．下列语句中，属于真命题的是（   ） A．同位角相等 B．垂线段最短 C．相等的两个角是对顶角 D．两个锐角的和是钝角 【答案】B 【分析】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题． 根据平行线的性质对A选项进行判断；根据垂线段最短的对B选项进行判断；根据对顶角的定义对C选项进行判断；根据角之间的数量关系对D选项进行判断． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故该选项是假命题； B、垂线段最短，故该选项是真命题； C、相等的角不一定是对顶角，故该选项是假命题； D、两个锐角的和不一定是钝角，故该选项是假命题． 故选：B． 5．已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】将已知解代入原方程即可计算得到m的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴将，代入方程得： ． 6．古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题，其大意是：“每车坐5人，2车空出来，其余车均坐满；每车坐3人，多出10人无车坐．问人数和车数各多少？”设共有个人，辆车，则可列出的方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设共有人，辆车， 由题意可得，， 故选：A． 7．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在处，并测得，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质， 首先求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：D． 8．两个边长为的大正方形与两个边长为的小正方形按如图所示放置，如果，阴影部分的面积是60，那么（        ） A．44 B．46 C．50 D．53 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关键． 由图可得阴影部分面积为个直角三角形面积的和，用含、的式子表示出阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∴， ， ∴， 解得：． 故选：A ． 第二卷 二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分） 9．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，掌握这两个运算法则是关键；先计算积的乘方，再计算幂的乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．极薄规格的锡箔纸厚度可达0.000025毫米，通常用于高灵敏度电子元件，数据0.000025用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据0.000025用科学记数法表示为， 故答案为：． 11．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设________． 【答案】/ 【分析】根据反证法的定义，反证法需先假设命题的结论不成立，因此只需写出原结论的否定形式即可． 【详解】解：原命题的结论为，的否定为，因此用反证法证明该命题时，应假设． 12．已知的展开式中不含项，则常数的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘积不含某项求字母的值的问题． 先根据多项式的乘法展开原式，再根据不含项计算即可． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项， ∴， 即， 故答案为：． 13．关于的不等式的解集是，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的解集．关键是通过观察不等式的解集，由不等式性质2，判断x的系数的符号．由不等式的基本性质2：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．可判断的符号，再求a的取值范围． 【详解】解：由不等式，解集为， 可知，不等号方向没有改变， 由不等式性质2，得， 解得， 故答案为：． 14．如图，将向左平移得到，，相交于点G．如果的周长是，那么与的周长之和是___． 【答案】12 【分析】根据平移的性质可得，然后判断出与的周长之和，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵将向左平移得到， ∴，，，， ∵的周长是， ∴与的周长之和 ． 15．已知关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查解不等式组及不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定的范围，是解决本题的关键． 首先计算出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解确定的范围即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， ∵整数解共有3个， ∴整数解为：1，2，3， ， 故答案为：． 16．班级要用40元钱买、两种彩笔，两种彩笔必须都买，已知型彩笔每个6元，型彩笔每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有________种． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设购买A型彩笔x个，购买B型彩笔y个，根据购买费用为40元建立关于x、y的方程，再求出方程的正整数个数即可得到答案． 【详解】解：设购买A型彩笔x个，购买B型彩笔y个， 由题意得，， ∴， ∴ ∵两种彩笔必须都买， ∴x、y都为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴一共有3种购买方案， 故答案为：3． 17．观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探索，代数式求值，根据已知等式得出规律，结合已知等式得到 ，在实数范围内求得，代入代数式计算即可． 【详解】解： ，， ． ． ． ． ∴． 当时， ． 18．如图，在中，，是直角三角形，，，且边与重合，将绕点以每秒顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______秒时，． 【答案】5或35/35或5 【分析】本题考查平行线的性质，能根据题意画出示意图及熟知平行线的性质是解题的关键．分两种情况画出示意图，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：当在上方时，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，第5或35秒时，边与边平行． 故答案为：5或35． 三、解答题（本题共10小题，合计96分.计算题要写出完整步骤！） 19．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，涉及负整数指数幂和零指数幂运算、单项式乘除法等知识点，正确计算是解题的关键． （1）分别计算负整数指数幂、零指数幂，立方根，再进行加减计算． （2）先根据幂的乘方、积的乘方、单项式乘除法法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）先化简，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：，得③ ，得， 解得． 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为：； （2）解：原方程组化简，得 ，得， 解得． 把代入③， 解得， ∴原方程组的解为： 21．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点，，均在格点上. (1)将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出； (2)画出关于点对称的； (3)绕某点旋转可以得到，画出旋转中心的位置. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． （1）利用网格特点和平移的性质画出点A，B，C的对应点分别是点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点分别是点即可． （3）连接相交于点，则点即为所作． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图所示，点即为所求． 22．对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义的有理数运算、幂得乘方、同底数幂的乘除法运算． （1）先得到新定义运算的式子，再计算即可； （2）先根据幂的乘方得到，，再逆用幂的乘、除法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴，， ∴， ∴ ∴． 23．已知关于x，y的方程组（实数m是常数）． (1)若，求实数m的值； (2)若，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，化简：． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】此题考查了二元一次方程组的解；解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先将方程组中的两个方程相加，得，再将代入，得到关于的方程，解方程即可求出实数的值； （2）先将方程组中的两个方程相减，得，再解不等式组，即可求出的取值范围； （3）先根据绝对值的定义去掉绝对值的符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： 得， ∵， ∴， 解得； （2）解： 得， ∵， ∴， 解得； （3）解：在（2）的条件下， ∴，， ∴． 24．【知识生成】已知通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图可以得到代数恒等式是______，基于此，请解决以下问题： 【直接应用】若，求的值； 【类比应用】若，求的值． 【答案】【知识生成】   【直接应用】2   【类比应用】13 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键． 【知识生成】：根据图形面积的两种表示方法，即可求解； 【直接应用】：根据完全平方式，先将，两边同时平方再展开，即可求解； 【类比应用】：设，，则，再通过，即可求解． 【知识生成】解：根据正方形面积可知，， 又面积还可以表示为：， 所以根据面积相等，得． 【直接应用】∵， ∴由得， ∴． 【类比应用】设，， 则由，得， 则， 又，， ∴， ∴． 25．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； （）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再根据不等式性质求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； 本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由①②得：， ∴的取值范围是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由不等式性质，②乘得③， ①乘得④， ③④，得， ∴的取值范围是． 26．某超市销售A、B两种品牌的洗衣液，已知A品牌洗衣液每瓶进价为25元，售价为35元；B品牌洗衣液每瓶进价为15元，售价为20元． (1)若超市购进A、B两种品牌洗衣液共100瓶，花费2100元，求购进A、B两种品牌洗衣液各多少瓶? (2)在（1）的条件下，全部售出后可获得多少利润? (3)若超市计划购进A、B两种品牌洗衣液共100瓶，且总利润不低于850元，求至少购进A品牌洗衣液多少瓶? 【答案】(1)购进A品牌洗衣液60瓶，B品牌洗衣液40瓶 (2)800元 (3)至少购进A品牌洗衣液70瓶 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、有理数运算的应用等知识，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设购进A品牌洗衣液瓶，购进B品牌洗衣液瓶，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）根据“利润=单瓶销售利润数量”，将两种品牌洗衣液的销售利润求和即可； （3）设购进A品牌洗衣液瓶，则购进B品牌洗衣液瓶，根据题意列出一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设购进A品牌洗衣液瓶，购进B品牌洗衣液瓶， 根据题意，可得， 解得 ， 答：购进A品牌洗衣液60瓶，B品牌洗衣液40瓶； （2）（元）， 答：全部售出后可获得利润800元； （3）设购进A品牌洗衣液瓶，则购进B品牌洗衣液瓶， 根据题意，可得 ， 解得 ， 答：至少购进A品牌洗衣液70瓶． 27．对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组， ∴， 联立得：， 解得：或， 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 综上所述，得值为或． 28．【基础感知】 如图1，点P为线段上一动点，，点P从点A出发向点B运动，到达点B后，再转向点A运动，…如此反复．在点P的运动过程中，点P运动1个单位长度后到达点，即；再运动2个单位长度后到达点，此时；再运动3个单位长度后到达点，…以此类推． （1）求______，______， 【迁移应用】 如图2，点O是直线上一点，线段从射线的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转，…如此反复．在线段的旋转过程中，从开始旋转角度至，从继续旋转角度至，从旋转角度至，…以此类推． 例如：当时，线段，，，，的位置如图3所示，其中线段第4次旋转到后弹回，即，而恰好与重合． （2）若，线段，，的位置如图4所示，求的度数； （3）若，且线段所在的射线平分，在图5中画出线段，，，，并求出的值； （4）若，且，直接写出所有的取值． 【答案】（1）6，1；（2）；（3）图见解析，；（4）或或 【分析】本题主要考查了线段的计算，角度的计算和角度的旋转变化，熟练掌握角度的计算是解题的关键． （1）根据点P的运动规律即可求解； （2）根据的旋转规律即可求解； （3）当时，由可判断不符合题意，当时，表示出和，根据平分即可求解； （4）根据的旋转规律分 ， ，，，，即可求解． 【详解】解：（1）由点P的运动规律可知， ∴， ∴此时点P到达点B，则点P返回向点A运动， ∴， ∴． 故答案为：6；1． （2）∵从开始旋转角度至，从继续旋转角度至，从继续旋转角度至， ∴旋转了， ∴旋转到了的位置后，从回弹了， ∴， 由题意得， ∴． （3）如图，，，，即为所求． 当时，， ∴未从回弹，不可能平分，不符合题意，舍去； ∴，此时， ∴未从回弹， 由题意得，， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴． （4）时，则， ∴和都未到达，从回弹， 由题意得，， ∴，即， ∴； 时，则，， ∴未回弹，已回弹， 由题意得，， ， ∴， ∴， ∴，即回弹后在和之间或与重合， ∴， ∴与矛盾，不符合题意，舍去； 时， 同理，， ∴，， ∴回弹后在和之间或与重合， ∵与重合时，与矛盾，不符合题意，舍去， ∵， ∴， ∴； 时， 同理可得未回弹，且回弹后在和之间， ∵， ∴， ∴； 时， 由题意得，， ∴和都已从回弹， ∴，， ， ∴， ∴回弹后在和之间， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意，舍去； 综上所述，的值为或或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $