江西省宜春市第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

宜春一中2024—2025学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 一､选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. D. 2 2．若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3.已知数列满足，若，则（  ） A．28 B．13 C．18 D．20 4．在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 5．在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A．3 B． C．-4 D．4 6.已知函数是奇函数，函数g是偶函数，且当x＞0时，＞0，g＞0，则当x＜0时， 以下说法正确的是（ ） A.+g＞0 B.—g＞0 C.g＞0 D.＞0 7.已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数在上可导，且f (1)=1，其导函数满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，则是等差数列 B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列 C．若数列为等比数列，且，，则 D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列 10. 已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数存在两个不同的零点 B．函数既存在极大值又存在极小值 C．当时，方程有且只有两个实根 D．若时，，则t的最小值为2 11. 已知数列的前项和为，且满足，，， 则下列说法正确的有（ ） A. 数列等比数列 B. 数列为等差数列 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．记为等差数列的前项和，若，则 . 13．若不等式有解，则实数m的取值范围为 . 14. 已知数列满足，，则 . 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15.在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 16.已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值. 17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，把按照下图排列规律的数，称为五边形数，记五边形数构成的数列为，数列的前项和为，满足.    (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 18．已知函数 . (1)求函数f(x)的单调区间. (2)当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值. 19.对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期. (1)判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由. (2)已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围； (3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由. 宜春一中2024—2025学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 1．D 2．C 3.C 4．A 5.B 6.B. 7.C 8．B 9.AB 10.ABC 【详解】对于A，由，得，∴，故A正确； 对于B，， 当时，，当时，， ∴在，上单调递减，在上单调递增， ∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确； 对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确． 11. ACD 12．45 13． 14.3 【详解】由可知： 当为偶数时，，当为奇数时，， 所以， 即 ，由此解得. 15.【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以...................................................................................................6' （2） 因为，所以................................13' 16.【答案】(1)； (2)递增区间为，递减区间为，极大值，极小值. 【详解】（1）函数，求导得， 则，解得，于是，， 所以所求切线方程为：，即............................6' （2）由（1）知，函数，定义域为，求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减........................................................10' 当时，取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 极大值，极小值..................................................................................15' 17.【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意可知，当时， 累加得 当时，满足上式. ........................................................................................................4' .当时，，且， 两式相减得，，即 数列是首项为1，公比为的等比数列，.............................................................7' （2） ② ①-②得 ， ...........................................15' 18．【答案】(1)见解析 (2) 【详解】 .........................................8' （2）当时，不等式可化为， 变形为 同构函数，求导得， 所以在上是增函数，而原不等式可化为， 根据单调性可得：， 再构造，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的b≥,所以的最小值为；.............................17' 19.【答案】(1)数列为周期数列，周期为2，(2)，(3)不存在，理由见解析 【详解】（1）因为，， 所以数列是周期数列，其最小正周期为2..............................................................................4' （2）因为无穷数列是周期为的周期数列，且，， 所以当为偶数时，； 当为奇数时，， 因为对一切正整数恒成立， 所以当为偶数时，，故只需即可； 当为奇数时，恒成立，故只需即可； 综上，对一切正整数恒成立，常数的取值范围为.......................................................9' （3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，所以，即， 所以，即， 所以，即， 所以数列是周期为的周期数列， 因为， 即，因为， 所以，， 所以数列的周期为， 所以，即，显然方程无解， 所以不存在非零常数，使得是周期数列.......................17' 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宜春一中2024—2025学年第二学期高二年级期中考试 数学参考答案 1．D 2．C 3.C 4．A 5.B 6.B. 7.C 8．B 9.AB 10.ABC 【详解】对于A，由，得，∴，故A正确； 对于B，， 当时，，当时，， ∴在，上单调递减，在上单调递增， ∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确； 对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确． 11. ACD 12．45 13． 14.3 【详解】由可知： 当为偶数时，，当为奇数时，， 所以， 即 ，由此解得. 15.【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以...................................................................................................6' （2） 因为，所以................................13' 16.【答案】(1)； (2)递增区间为，递减区间为，极大值，极小值. 【详解】（1）函数，求导得， 则，解得，于是，， 所以所求切线方程为：，即............................6' （2）由（1）知，函数，定义域为，求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减........................................................10' 当时，取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 极大值，极小值..................................................................................15' 17.【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意可知，当时， 累加得 当时，满足上式. ........................................................................................................4' .当时，，且， 两式相减得，，即 数列是首项为1，公比为的等比数列，.............................................................7' （2） ② ①-②得 ， ...........................................15' 18．【答案】(1)见解析 (2) 【详解】 .........................................8' （2）当时，不等式可化为， 变形为 同构函数，求导得， 所以在上是增函数，而原不等式可化为， 根据单调性可得：， 再构造，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的b≥,所以的最小值为；.............................17' 19.【答案】(1)数列为周期数列，周期为2，(2)，(3)不存在，理由见解析 【详解】（1）因为，， 所以数列是周期数列，其最小正周期为2..............................................................................4' （2）因为无穷数列是周期为的周期数列，且，， 所以当为偶数时，； 当为奇数时，， 因为对一切正整数恒成立， 所以当为偶数时，，故只需即可； 当为奇数时，恒成立，故只需即可； 综上，对一切正整数恒成立，常数的取值范围为.......................................................9' （3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，所以，即， 所以，即， 所以，即， 所以数列是周期为的周期数列， 因为， 即，因为， 所以，， 所以数列的周期为， 所以，即，显然方程无解， 所以不存在非零常数，使得是周期数列.......................17' 学科网（北京）股份有限公司 $$