专题01二次根式期末复习讲义 (20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题01二次根式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握二次根式的定义，能够准确判断一个式子是否为二次根式，明确二次根式有意义的自变量取值范围。 2.熟记二次根式三大基本性质，理解双重非负性，并能利用性质进行简单化简与求值。 3.理解最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式，能精准识别同类二次根式。 4.熟练掌握二次根式的加减、乘除运算法则，理清二次根式混合运算的运算顺序。 1.取值分析能力：根据二次根式定义，求解含根式式子中字母的取值范围。 2.化简运算能力：熟练对二次根式进行变形、化简，精准完成加减乘除及混合运算。 3.逆向思维能力：利用二次根式双重非负性，解决求值、参数求解类题型。 4.综合应用能力：结合整式运算、因式分解知识，解决根式化简、比较大小、代数式求值问题。 1.基础题型：秒杀选择、填空题，熟练解决取值范围、根式判断、比较大小基础考题。 2.计算题型：规范书写解题步骤，零失误完成根式化简、四则混合计算题。 3.拔高题型：掌握双重非负性题型、含参数根式、根式化简求值高频压轴小题。 4.规避易错：区分最简二次根式与同类二次根式；规避符号错误、化简不彻底、运算顺序混乱等失分点。 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式中的值 题型03.求二次根式中的参数 题型04.二次根式有意义的条件 题型05.利用二次根式的性质化简 题型06.二次根式的乘法 题型07.二次根式的除法 题型08.二次根式的乘除混合运算 题型09.最简二次根式的判断 题型10.化为最简二次根式 题型11.由最简二次根式求参数 题型12.同类二次根式 题型13.二次根式的加减运算 题型14.二次根式的混合运算 题型15.分母有理化 题型16.由字母的值,化简求值 题型17.已知条件式.化简求值 题型18.二次根式的大小比较 题型19.二次根式的应用 题型20.复合二次根式的化简 知识点01:二次根式的相关概念 1. 定义 一般地，形如(a≥0) 的式子叫做二次根式，“” 称为二次根号。 必备条件：① 含有二次根号；② 被开方数 a 是非负数。 2. 二次根式有意义的条件 式子形式 取值范围 核心解读 单纯二次根式 a≥0 根号下不能为负数 根式作分母 a0 双重限制：根式非负 + 分母不为 0 多根式/分式混合式 列不等式组，同时满足所有条件 逐项检查，缺一不可 3. 双重非负性（本章核心考点） 对于(a≥0) ： 被开方数非负：a≥0 根式结果非负：≥0 常考题型：几个非负数（算术平方根、绝对值、平方）相加和为 0，则每一项分别为 0，据此求字母的值。 4. 最简二次根式 满足两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 被开方数不含分母（小数、分数）； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 5. 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 关键点：判断前必须先化简，再看被开方数是否一致。 知识点02:二次根式的基本性质（化简依据） 性质1解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质2解读：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，符号问题是高频易错点。 性质3:逆用可用于根式化简。 性质4:逆用常用于分母有理 易混点直击：()2 vs 对比表 知识点03:运算大全｜步骤清晰 （1）乘除运算：被开方数相乘除,根指数不变 法则：=（a≥0，b≥0）推广：mn=mn（a≥0,b≥0） 法则：（a≥0,b>0）；推广：m÷n=（a≥0,b>0） (2）加减运算：一化、二找、三合并 化：将所有二次根式化为最简二次根式 找：找出其中的同类二次根式 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变） （3）混合运算：遵循整式运算顺序 运算顺序：与实数、整式运算一致，先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内。 运算规律：整式的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）、乘法公式（平方差、完全平方公式）在二次根式运算中依然适用。 .知识点04:化简二次根式一般方法 知识点05:分母有理化 分母有理化：是指通过适当的变形，将分母中的根号化去，使分母变为有理数（或整式）的过程。 知识点06:高频易错点 1.忽略被开方数非负的条件，求解取值范围出错； 2.混淆 与 的用法，去掉根号时忘记加绝对值； 3.化简不彻底，结果不是最简二次根式； 4.二次根式加减时，直接把被开方数相加减，不先化简、不区分同类二次根式； 5.分母有理化时，漏乘分子，或符号处理失误 题型01.二次根式的识别 1．下列各式中为二次根式的是（     ） A． B． C． D．2025 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、的被开方数，无意义，不是二次根式，故选项不符合题意； B、根指数为3，属于三次根式，故选项不符合题意； C、根指数为2，且被开方数，是二次根式，故选项符合题意； D、2025是整数，不是二次根式，故选项不符合题意； 2．下列各式中，一定是二次根式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数必须非负逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：∵ 二次根式要求被开方数是非负数． 对于A：被开方数为，不符合； 对于B：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 对于C：∵，∴，恒成立，故一定是二次根式； 对于D：当时，，被开方数为负，不是二次根式． ∴ 只有C一定是二次根式． 故选：C． 3．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 题型02.求二次根式中的值 4．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将给定的x值代入二次根式，化简计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴． 5．已知，则________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型03.求二次根式中的参数 7．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】解题思路为先分解质因数化简二次根式，根据二次根式为整数的条件，即被开方数需为完全平方数，即可求出最小正整数n，用到二次根式的化简性质 【详解】解：先对进行变形化简： ∵ ∴ ∵ 是整数，是正整数 ∴ 必须是整数，即为完全平方数 ∴ 正整数的最小值为 8．已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是_____ 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征． 首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值． 【详解】解：， 是整数， ∴正整数的最小值是． 故答案为：． 9．已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2． 【详解】∵是整数，且， ∴是完全平方数， 设（m是正整数）， 则， ∵与同奇同偶， ∴，或， ∴，或， ∴， ∴n的最小正整数值是2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组． 10．对于任意的一个正整数n，总有（a、b都是正整数）． (1)上式中的正整数n如何用含有a、b的代数式表示？写出推导过程； (2)直接写出满足的所有正整数a、b组成的点的坐标． 【答案】(1)，过程见解析 (2) 【分析】（1）先去分母，再去括号，然后化简，最后两边同时开方即可； （2）根据（1）中的结论得出，再根据a、b均为正整数，求出所有符合条件的a和b的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ．   ∵n是正整数 ∴． （2）解：由（1）可得：， ∴， ∵a、b均为正整数， ∴或或， 即符合条件的坐标有． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，二次根式，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 题型04.二次根式有意义的条件 11．若二次根式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义，要求被开方数为非负数， ∴可得不等式， 解得． 12．若，则______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，列不等式组，确定的值，然后代入代数式中计算的值，最后计算． 【详解】解：∵， ∴ 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴， 将代入原式求： ∴． 13．若x、y均为实数，且，求的平方根（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、平方根的定义．先根据二次根式有意义的条件求出x的值，代入原方程中求出y的值，再代入求出其值，最后根据平方根的定义求出的平方根． 【详解】解：由题意知，要使和存在有意义，需满足： ， ∴， 将代入原方程：， 解得：， ∴， ∴的平方根为． 故选：A． 题型05.利用二次根式的性质化简 14．下列二次根式化简结果为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，正确； D．，故不正确． 15．若，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】由已知可得，即得，得到，再整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 16．已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用数轴判断和的正负，再进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴， ． 17．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 【答案】 【分析】由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简开方，计算． 【详解】解：由三边关系定理，得，即， ∴， ∴原式 ． 题型06.二次根式的乘法 18．计算：的结果为_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法、平方差公式等知识点，掌握二次根式的乘法法则成为解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：1． 19．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 20．计算：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式计算多项式乘积，再计算二次根式的乘法，最后计算减法得到最终结果． 【详解】解： ． 21．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型07.二次根式的除法 23．下列各式：①；②；③（a＞0，b≥0）；④，其中一定成立的是________（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】根据二次根式的性质及运算法则逐项分析即可． 【详解】①时原式成立，否则不成立，如：，故不一定； ②一定成立，因为成立时，一定满足； ③当时，，故一定成立； ④当成立时，，则，故一定成立； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查二次根式的性质以及乘除远算法则，熟练掌握基本性质计算法则是解题关键． 24．下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的除法运算． 根据二次根式的性质化简和二次根式的除法运算法则计算逐项判定，即可得出答案． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 25．计算：． 【答案】9 【分析】先分别计算负整数指数幂、立方根、二次根式的除法及绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解：原式 ． 26．计算：． 【答案】3 【详解】解： ． 题型08.二次根式的乘除混合运算 27．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 28．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的计算法则，以及二次根式的化简方法进行计算． 【详解】解：A、，所以A选项不符合题意； B、，所以B选项不符合题意； C、 与合并，所以C选项不符合题意； D、，所以D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的计算法则，以及二次根式的化简，掌握二次根式的计算法则是解决本题的关键． 29．计算 _____． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先计算二次根式的乘除运算，再化简二次根式，最后合并即可． 【详解】解： ． 30．已知，则_________________. 【答案】10 【分析】设，则，可得，然后根据平方差公式可得，然后代入计算即可解答． 【详解】设，则， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 故答案为10． 【点睛】本题主要考查了换元法、乘方、平方差公式等知识点，掌握换元法是解答本题的关键． 31．计算： 【答案】 【分析】分别计算式子中的乘方、负整数指数幂、二次根式除法和绝对值，再按照有理数的运算顺序进行加减运算． 【详解】解： ． 题型09.最简二次根式的判断 32．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式； 选项B：，被开方数含分母，∴不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式； 选项D：满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式． 33．在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可得出答案. 【详解】根据最简二次根式的定义逐个分析： A， 的被开方数含分母，不符合题意； B，，被开方数含能开得尽方的因数，不符合题意； C ， ，被开方数含能开得尽方的因式m2，不符合题意； D ， 的被开方数不含分母，且不存在能开得尽方的因式，满足最简二次根式的定义，符合题意． 34．下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 题型10.化为最简二次根式 35．下列二次根式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简． 根据二次根式的性质，对各选项进行化简判断即可． 【详解】解：A．，原化简不正确，不符合题意； B．， 原化简不正确，不符合题意； C．，原化简正确，符合题意； D． ，原化简不正确，不符合题意． 故选：C． 36．若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 37．化简：________． 【答案】 【分析】根据二次根式性质：被开方式非负得到，解得，根据化简即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用二次根式性质化简，涉及二次根式被开方式非负、及去绝对值运算等知识，熟练掌握二次根式是解决问题的关键． 38．的三边分别是a、b、c，且满足，则当c=___________时是直角三角形． 【答案】10或/或 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性得出，，再分情况根据勾股定理解答即可． 【详解】解∶∵， ∴，， 解得：，， ∴当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 故答案为： 10或． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的化简，即如果直角三角形的三边长分别为a，b，c，那么 ，注意分情况讨论，不要漏解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题型11.由最简二次根式求参数 39．已知与为最简二次根式且被开方数相同，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是掌握几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据被开方数相同和根指数为2即可建立方程求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴， 故选：A． 40．请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的概念，最简二次根式要求被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据概念结合a是正整数解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，且a为正整数， ∴不能含有能开得尽方的因数， 当时，， 是最简二次根式，符合要求，故答案为2（答案不唯一）． 41．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 题型12.同类二次根式 42．若最简二次根式能与合并为一项，则x的值为______． 【答案】3 【分析】化简后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，据此进行分析列式计算，即可作答． 【详解】解：∵最简二次根式能与合并为一项， ∴与是同类二次根式，可得， 解得． 43．将式子（为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．所有符合条件的的值的和为_____ 【答案】80 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，同类二次根式的概念，二次根式有意义的条件，解决本题的关键是对完全平方数以及同类二次根式的理解． 先化简，令，根据符合条件的n的值，再求解出a的值即可． 【详解】解：∵， 又∵式子（为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并． 则化简后是，其中为整数， 即可以转化为2乘以一个平方数， 令（为正整数），则， 又，解得， ∴满足条件的n的值为1，2，3，4， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴所有符合条件的的值的和为． 故答案为：80． 44．已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______. 【答案】/0.5 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，解二元一次方程组，负整数指数幂，熟知把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数相等，列出方程组并求解，得到和的值，再计算． 【详解】解：由与是同类二次根式，得到， 整理得， 由最简二次根式与是同类二次根式，得到， 整理得， ∴， 解方程组得， 因此， 故答案为：． 45．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式．直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 可设，，其中和都是正整数， 则， 又，∴， ∴只有满足条件的一组数，，， 此时，， 故只存在一组解，选项①正确； ②由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足条件的正整数对有和， 当时，，； 当时，，； 故存在两组解．故选项②正确； ③由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足的正整数对只有，， 但这不满足的条件， 故不存在满足条件的a，b，故该选项③正确； 故选：C． 题型13.二次根式的加减运算 46．_________． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，根据立方根、分母有理化、负整数指数幂、绝对值计算即可． 【详解】解： 47．，为不相等的两个实数，定义运算如下：，例如，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算、，相加即可． 【详解】解：， ∴， 48．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 49．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 题型14.二次根式的混合运算 50．若，为有理数，且，则的值为______． 【答案】625 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负）和幂的运算．解题的关键是利用二次根式的双重非负性，确定的值，再代入方程求，最后计算的次方． 【详解】解；由和得 且 ， 解得． 代入原方程，得， 所以． 则． 故答案为． 51．估计的值应在（   ）之间 A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】B 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算无理数的大小，即可确定原式的范围． 【详解】 ； ∵， 又∵， ∴， 即． ∴， 即． ∴原式的值在4和5之间． 52．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 53．计算：． 【答案】 【详解】解： 题型15.分母有理化 54．将代数式分母有理化，结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化．分子分母同乘以求解作答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 55．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行分母有理化化简，再对比化简后与的关系即可. 【详解】解：. 56．若的整数部分是，小数部分是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数，二次根式分母有理化，先估计的范围，求出，，再求． 【详解】解：， ， 的整数部分，小数部分， ， 故选：C． 57．阅读下面的材料，解答问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了．例如： ． (1)请你写出分母的有理化因式：______； (2)请仿照上面给出的方法化简． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）根据平方差公式作答即可； （2）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴分母的有理化因式是（答案不唯一）； （2）解：原式． 题型16.由字母的值,化简求值 58．若的整数部分为a，小数部分为b，则___________． 【答案】/ 【分析】本题考查无理数整数部分与小数部分的计算，先估算得到的取值范围，进而推得的取值范围，求出，的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：， ， 不等式各项同时减1，得， 的整数部分，小数部分 ， ∴． 59．已知，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：B． 60．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简原式，再代入计算结果即可． 【详解】解： ， 当时， ∴原式． 61．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解： ， 当时，原式． 题型17.已知条件式.化简求值 62．已知，求的值_______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算是解答的关键．先由已知条件判定出a、b的符号，再根据二次根式的性质化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，且， ∴ ， 故答案为：． 63．已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过已知条件求出的值，再计算，最后根据二次根式的性质开方得到结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 64．计算或化简求值 (1)计算： (2)化简求值：已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵，， ∴， ∴． 65．若为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定y的取值范围，再对原式变形，利用非负数的性质求出x和y的值，最后代入所求式子计算结果． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可得，即， ∵， ∴， 解得 把，代入得． 题型18.二次根式的大小比较 66．比较大小（填“＞”“＜”或“＝”）：______4． 【答案】 【分析】比较二次根式的大小时，可通过比较平方的大小判断原数大小，平方更大的原数更大，据此求解即可. 【详解】解： ，，且 ． 67．比较大小：________． 【答案】 【分析】利用平方法，将两个带根号的数分别平方，比较平方后的结果大小，进而确定原数的大小关系． 【详解】解：， ， ，且，， ． 68．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 69．已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是确定各数在哪两个整数之间．由可知，，再将甲、乙、丙进行比较即可． 【详解】解：， ，， ∴丙<乙<甲． 故选：D． 题型19.二次根式的应用 70．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下的面积为________________． 【答案】60 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，得出大正方形的边长，再求面积即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． 71．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积．若一个三角形的周长为16，其中两边长分别为5和6，则该三角形的面积为（   ） A．12 B． C． D．15 【答案】A 【分析】本题考查海伦-秦九韶公式的应用与二次根式的化简，先根据周长求出第三边长度，再计算半周长p，最后代入面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵三角形周长为，已知两边长为5和6， ∴第三边长为， ∴， ∴． 72．有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】(1) (2)木工乙的想法可行，理由见解析 【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可； （2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为， ∴，， ∴长方形木板的面积为； （2）解：木工乙的想法可行，理由如下： ∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， ∴裁出的长方形的长为， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行． 题型20.复合二次根式的化简 73．_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及运用完全平方公式进行计算，将根号内的被开方数配成完全平方形式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 74．化简，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，完全平方公式等知识，根据二次根式的混合运算和完全平方公式逐步化简即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 75．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴-2． 故选A． 【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键． 76．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： ． (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)、、、、 (2)，过程见解析 【分析】（1）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可； （2）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：、、、、． （2）解：原式 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握二次根式的定义，能够准确判断一个式子是否为二次根式，明确二次根式有意义的自变量取值范围。 2.熟记二次根式三大基本性质，理解双重非负性，并能利用性质进行简单化简与求值。 3.理解最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式，能精准识别同类二次根式。 4.熟练掌握二次根式的加减、乘除运算法则，理清二次根式混合运算的运算顺序。 1.取值分析能力：根据二次根式定义，求解含根式式子中字母的取值范围。 2.化简运算能力：熟练对二次根式进行变形、化简，精准完成加减乘除及混合运算。 3.逆向思维能力：利用二次根式双重非负性，解决求值、参数求解类题型。 4.综合应用能力：结合整式运算、因式分解知识，解决根式化简、比较大小、代数式求值问题。 1.基础题型：秒杀选择、填空题，熟练解决取值范围、根式判断、比较大小基础考题。 2.计算题型：规范书写解题步骤，零失误完成根式化简、四则混合计算题。 3.拔高题型：掌握双重非负性题型、含参数根式、根式化简求值高频压轴小题。 4.规避易错：区分最简二次根式与同类二次根式；规避符号错误、化简不彻底、运算顺序混乱等失分点。 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式中的值 题型03.求二次根式中的参数 题型04.二次根式有意义的条件 题型05.利用二次根式的性质化简 题型06.二次根式的乘法 题型07.二次根式的除法 题型08.二次根式的乘除混合运算 题型09.最简二次根式的判断 题型10.化为最简二次根式 题型11.由最简二次根式求参数 题型12.同类二次根式 题型13.二次根式的加减运算 题型14.二次根式的混合运算 题型15.分母有理化 题型16.由字母的值,化简求值 题型17.已知条件式.化简求值 题型18.二次根式的大小比较 题型19.二次根式的应用 题型20.复合二次根式的化简 知识点01:二次根式的相关概念 1. 定义 一般地，形如(a≥0) 的式子叫做二次根式，“” 称为二次根号。 必备条件：① 含有二次根号；② 被开方数 a 是非负数。 2. 二次根式有意义的条件 式子形式 取值范围 核心解读 单纯二次根式 a≥0 根号下不能为负数 根式作分母 a0 双重限制：根式非负 + 分母不为 0 多根式/分式混合式 列不等式组，同时满足所有条件 逐项检查，缺一不可 3. 双重非负性（本章核心考点） 对于(a≥0) ： 被开方数非负：a≥0 根式结果非负：≥0 常考题型：几个非负数（算术平方根、绝对值、平方）相加和为 0，则每一项分别为 0，据此求字母的值。 4. 最简二次根式 满足两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 被开方数不含分母（小数、分数）； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 5. 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 关键点：判断前必须先化简，再看被开方数是否一致。 知识点02:二次根式的基本性质（化简依据） 性质1解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质2解读：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，符号问题是高频易错点。 性质3:逆用可用于根式化简。 性质4:逆用常用于分母有理 易混点直击：()2 vs 对比表 知识点03:运算大全｜步骤清晰 （1）乘除运算：被开方数相乘除,根指数不变 法则：=（a≥0，b≥0）推广：mn=mn（a≥0,b≥0） 法则：（a≥0,b>0）；推广：m÷n=（a≥0,b>0） (2）加减运算：一化、二找、三合并 化：将所有二次根式化为最简二次根式 找：找出其中的同类二次根式 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变） （3）混合运算：遵循整式运算顺序 运算顺序：与实数、整式运算一致，先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内。 运算规律：整式的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）、乘法公式（平方差、完全平方公式）在二次根式运算中依然适用。 .知识点04:化简二次根式一般方法 知识点05:分母有理化 分母有理化：是指通过适当的变形，将分母中的根号化去，使分母变为有理数（或整式）的过程。 知识点06:高频易错点 1.忽略被开方数非负的条件，求解取值范围出错； 2.混淆 与 的用法，去掉根号时忘记加绝对值； 3.化简不彻底，结果不是最简二次根式； 4.二次根式加减时，直接把被开方数相加减，不先化简、不区分同类二次根式； 5.分母有理化时，漏乘分子，或符号处理失误 题型01.二次根式的识别 1．下列各式中为二次根式的是（     ） A． B． C． D．2025 2．下列各式中，一定是二次根式的是(   ) A． B． C． D． 3．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02.求二次根式中的值 4．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知，则________． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型03.求二次根式中的参数 7．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是_____ 9．已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．对于任意的一个正整数n，总有（a、b都是正整数）． (1)上式中的正整数n如何用含有a、b的代数式表示？写出推导过程； (2)直接写出满足的所有正整数a、b组成的点的坐标． 题型04.二次根式有意义的条件 11．若二次根式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 12．若，则______． 13．若x、y均为实数，且，求的平方根（   ）． A． B． C． D． 题型05.利用二次根式的性质化简 14．下列二次根式化简结果为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 15．若，则代数式的值为______． 16．已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 17．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 题型06.二次根式的乘法 18．计算：的结果为_______． 19．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 20．计算：． 21．计算：． 22．计算： (1)； (2)． 题型07.二次根式的除法 23．下列各式：①；②；③（a＞0，b≥0）；④，其中一定成立的是________（填序号）． 24．下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 25．计算：． 26．计算：． 题型08.二次根式的乘除混合运算 27．计算：______． 28．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 29．计算 _____． 30．已知，则_________________. 31．计算： 题型09.最简二次根式的判断 32．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 33．在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 34．下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 题型10.化为最简二次根式 35．下列二次根式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 36．若，把化简成最简二次根式为______． 37．化简：________． 38．的三边分别是a、b、c，且满足，则当c=___________时是直角三角形． 题型11.由最简二次根式求参数 39．已知与为最简二次根式且被开方数相同，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 40．请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 41．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 题型12.同类二次根式 42．若最简二次根式能与合并为一项，则x的值为______． 43．将式子（为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．所有符合条件的的值的和为_____ 44．已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______. 45．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 题型13.二次根式的加减运算 46．_________． 47．，为不相等的两个实数，定义运算如下：，例如，，则的值为（    ） A． B． C． D． 48．计算： (1)； (2)． 49．计算： (1) (2) (3) (4) 题型14.二次根式的混合运算 50．若，为有理数，且，则的值为______． 51．估计的值应在（   ）之间 A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 52．计算： (1)； (2)． 53．计算：． 题型15.分母有理化 54．将代数式分母有理化，结果是______． 55．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 56．若的整数部分是，小数部分是，则的值为（   ） A． B． C． D． 57．阅读下面的材料，解答问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了．例如： ． (1)请你写出分母的有理化因式：______； (2)请仿照上面给出的方法化简． 题型16.由字母的值,化简求值 58．若的整数部分为a，小数部分为b，则___________． 59．已知，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 60．先化简，再求值：，其中． 61．先化简，再求值：，其中． 题型17.已知条件式.化简求值 62．已知，求的值_______． 63．已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 64．计算或化简求值 (1)计算： (2)化简求值：已知，，求代数式的值． 65．若为实数，且，求的值． 题型18.二次根式的大小比较 66．比较大小（填“＞”“＜”或“＝”）：______4． 67．比较大小：________． 68．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 69．已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 题型19.二次根式的应用 70．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下的面积为________________． 71．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积．若一个三角形的周长为16，其中两边长分别为5和6，则该三角形的面积为（   ） A．12 B． C． D．15 72．有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 题型20.复合二次根式的化简 73．_____． 74．化简，结果是（   ） A． B． C． D． 75．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 76．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： ． (2)根据上述思路，试将予以化简． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $