专题05 成对数据的统计分析（期末真题汇编，安徽专用）高二数学下学期

**基本信息** 安徽多地高二期末统计分析专题汇编，覆盖相关性、回归模型、独立性检验三大考点，以实际情境（如旅游收益、种子发芽）设计解答题，注重基础辨析与应用能力结合。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|15|相关系数判断、回归方程求解、散点图分析|结合散点图比较相关系数，考查直观想象| |多选|7|残差平方和、决定系数、独立性检验|对比两组数据的相关强度与拟合效果，提升辨析能力| |填空|2|回归方程参数计算|利用样本中心点求回归系数，强化基础运算| |解答|13|相关系数计算、回归模型预测、列联表分析|旅游经费与收益、赤霉素含量与种子优质数量等实际情境，体现数学应用|

专题05 成对数据的统计分析 3大高频考点概览 考点01成对数据的统计相关性 考点02 一元线性回归模型及其应用 考点03 列联表与独立性检验 地 城 考点01 成对数据的统计相关性 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)关于样本相关系数，下列说法正确的是（ ） A．样本相关系数 B．当样本相关系数时，称成对数据成正相关 C．两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近-1 D．两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近1 【答案】A 【详解】根据相关系数，可知A正确； 时，数据成负相关，时，数据成正相关，故B错误； 越接近1，线性相关性越强，越接近0，相关性越弱，故C错误； 对于D，两个随机变量线性相关越强，相关系数也可能接近，故D错误. 故选：A. 2．(24-25高二下·安徽宿州第二中学·期末)对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可. 【详解】由散点图可知，相关系数所在散点图呈负相关，所在散点图呈正相关， 所以都为正数，都为负数. 所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近1， 而所在散点图比较分散，线性相关性比较弱，相关系数的绝对值越远离1. 综上可得：. 故选：A. 3．(24-25高二上·安徽阜阳阜南实验中学·期末)对于，两变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数（如下），则线性相关性最强的是（    ） A．－0.82 B．0.78 C．－0.69 D．0.87 【答案】D 【分析】根据相关系数与变量间相关性的关系，即可得答案. 【详解】由相关系数的绝对值越大，变量间的线性相关性越强知：各选项中的绝对值最大. 故选：D 4．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)下面属于相关关系的是 A．气温和冷饮销量之间的关系 B．速度一定时，位移和时间的关系 C．亩产量为常数时，土地面积与产量之间的关系 D．正方体的体积和棱长的关系 【答案】A 【分析】根据相关关系的定义逐一对四个选项进行判断. 【详解】选项A:气温和冷饮销量之间的关系是正相关关系； 选项B:速度一定时，位移与时间成正比例关系，是确定关系； 选项C: 亩产量为常数时，土地面积与产量成正比例关系，是确定关系； 选项D:因为正方体的体积等于棱长的立方，所以正方体的体积与棱长是确定关系，故本题选A. 二、多选题 5．(24-25高二下·安徽合肥第七中学·期末)下列说法中错误的有（    ） A．相关系数越小，表明两个变量相关性越弱 B．决定系数越接近1，表明模型的拟合效果越好 C．若随机变量服从两点分布，其中，则， D．随机变量，若，则 【答案】AC 【分析】根据相关系数的概念即可判断A；根据决定系数的概念判断B；根据两点分布的均值与方差公式及均值与方差的性质即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D． 【详解】对于A：值越小，表明两个变量相关性越弱，故A错误； 对于B，决定系数越接近1，表明模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C，若，则，，， 所以，，故C错误； 对于D，随机变量，若，则，故D正确； 故选：AC． 6．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第-组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为，，，第二组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为，，，则（    ） A．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 B．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 C．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 D．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 【答案】BC 【分析】根据题意 ，由相关系数、残差平方和、决定系数的意义，依次分析选项，即可求解. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A中，由，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强，所以A错误； 对于B中，若，可得，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强，所以B正确； 对于C中，若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好，所以C正确； 对于D中，若，则第一组成对数据的经验回归模型拟合效果比第二组的好， 所以D错误. 故选：BC. 三、解答题 7．(24-25高二下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试．从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩作为样本，得到样本数据，其中和分别表示第个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得 ． (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩和错题订正整理情况得分的相关程度； (2)已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数．利用频率估计概率，从该地区所有高中学生中随机抽取4个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到考试成绩低于的个数为X，求随机变量X的分布列． 附：相关系数． 【答案】(1)相关系数，考试成绩和错题订正整理情况得分高度相关 (2)答案见解析 【分析】（1）根据相关系数的计算公式即可代入求解； （2）根据二项分布概率公式求解概率，即可得分布列． 【详解】（1） ， 接近考试成绩和错题订正整理情况得分高度相关． （2）考试成绩低于样本平均数的概率记为， 则 x 0 1 2 3 4 p 地 城 考点02 一元线性回归方程及其应用 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽阜阳多校联考·期末)为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）.若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（   ） x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．x与y的样本是负相关 C．当时，y的预估值为2.2 D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r必会改变 【答案】A 【分析】由表格数据求出样本中心点求解判断A；由的正负判断B；由回归方程计算判断C；由相关系数公式判断D. 【详解】，则样本中心点为， 对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得与的样本是正相关，B错误； 对于C，当时，的预估值为，C错误； 对于D，由相关系数公式知，去掉样本中心点后，与的样本相关系数不会改变，D错误． 故选：A 2．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（   ） A．残差图带状区域越宽 B．残差和越小 C．决定系数越大 D．相关系数r越大 【答案】C 【分析】根据各个变量的意义作出判断，得到答案. 【详解】A选项，残差图带状区域越宽，说明误差大，模型的拟合效果越差，A错误； B选项，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，B错误； C选项，决定系数越大，模型的拟合效果越好，C正确； D选项，相关系数越大，说明两个变量线性相关性越强，与模型的拟合效果无关，D错误. 故选：C 3．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)下列说法正确的是（   ） A．二项展开式中所有系数之和为 B．样本相关系数r越大，两个变量的线性相关程度越强，反之，线性相关程度越弱 C．以模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性回归方程，则c，k的值分别是和0.3 D．展开式中，常数项是第9项 【答案】C 【分析】令，计算可判断A；由相关系数的性质可判断B；对所给式两边取自然对数，计算可判断C；利用二项式展开式的通项公式计算可判断D. 【详解】对于A，令，可得二项展开式中所有系数之和为，故A错误； 对于B，样本相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强，反之，线性相关程度越弱，故B错误； 对于C，对，两边取对数得， 设，则，又线性回归方程，则， 则，，故C正确； 对于D，的展开式的通项公式为， 令，解得，所以常数项是第10项，故D错误. 故选：C. 4．(24-25高二下·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·月考)为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）．若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（   ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．与的样本是负相关 C．当时，的预估值为2.2 D．去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 【答案】D 【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A；由的正负即可判断B；.根据回归方程代入计算即可判断C，由相关系数公式即可判断D. 【详解】，所以样本点的中心坐标为， 将它代入得，解得，故A错误； 因为，所以与的样本是正相关，故B错误； 当时，的预估值为，故C错误； 由相关系数公式可知，去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变，故D正确． 故选：D． 5．(24-25高二下·安徽·期末)由样本点得到关于的线性回归方程为，若，则（    ） A．-5 B．-3 C． D．2 【答案】B 【分析】将代入线性回归方程，求出. 【详解】由题意得在上，即. 故选；B 6．(24-25高二下·安徽亳州·期末)随着天气转暖旅游人数逐步增加，各景区投入不同数额的经费（万元）对环境进行治理，得到旅游景区收益的增加值（万元），对应数据如下表所示： 投入经费（单位：万元） 1 2 3 4 5 6 7 收益增加值（单位：万元） 2 3 2 5 7 7 9 若与的回归直线方程为，则（   ） A．-0.2 B．0.2 C．-0.4 D．0.4 【答案】B 【分析】先算出，代入回归直线方程为，可得. 【详解】， 所以. 故选：B 7．(24-25高二下·安徽芜湖·期末)下图是根据x，y的观测数据得到的散点图，则变量x，y能用一元线性回归模型来刻画的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单调递减，结合散点图即可得出线性相关性判断. 【详解】因一元线性回归模型刻画的是递减的线性模型， 图中的A项显然满足，B项是相关性很弱，C项是非线性相关，D项是递增的线性模型. 故选：A 8．(24-25高二下·安徽亳州第二完全中学·月考)已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（    ） A．9.6 B．10 C．10.6 D．9.4 【答案】A 【分析】先根据，求出，再根据去掉的两组数据发现样本中心点没变，求出新的回归直线方程，将代入即可求得. 【详解】由和，得． 所以去掉数据与后得到的新数据的平均数，， 由题意可设去掉两组数据后的经验回归方程为， 代入，求得， 故去掉与这两组数据后求得的经验回归方程为． 将代入经验回归方程，得． 故选：A. 9．(23-24高二下·安徽亳州·期末)某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费（千万元），得到各旅游景区收益的增加值（万元），对应数据如下表所示： 投入的治理经费（单位：千万元） 1 2 3 4 5 6 7 收益的增加值（单位：万元） 2 3 2 5 7 7 9 若与的回归直线方程为，则相应于点的残差是（    ） A． B．0.358 C． D．8.642 【答案】B 【分析】先算出，代入回归直线方程为，可得，进而得到回归直线方程，当时，求出，算出残差即可. 【详解】， 所以， 当时，，因此残差为． 故选：B． 二、多选题 10．(24-25高二下·安徽滁州·期末)若某中学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系．根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．与具有负线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心 C．若该中学某女生身高增加1cm，则其体重可能增加0.75kg D．若该中学某女生身高为160cm，则可断定其体重必为44.29kg 【答案】BC 【分析】根据回归直线方程一一判断即可. 【详解】因为回归直线方程为，所以与具有正线性相关关系，故A错误； 又回归直线必过样本点的中心，故B正确； 因为回归直线方程中，所以若该中学某女生身高增加1cm，则其体重可能增加0.75kg，故C正确； 当时，，所以若该中学某女生身高为160cm，则其体重约为44.29kg，故D错误. 故选：BC. 11．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第-组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为，，，第二组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为，，，则（    ） A．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 B．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 C．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 D．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 【答案】BC 【分析】根据题意 ，由相关系数、残差平方和、决定系数的意义，依次分析选项，即可求解. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A中，由，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强，所以A错误； 对于B中，若，可得，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强，所以B正确； 对于C中，若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好，所以C正确； 对于D中，若，则第一组成对数据的经验回归模型拟合效果比第二组的好， 所以D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)根据成对样本数据建立变量关于的成对数据如下表所示： 1 2 3 4 5 4 7 9 10 若由该数据得到的线性回归方程为，则的值为_____. 【答案】5 【分析】根据均值点过回归方程，求出代入计算即可. 【详解】根据题意， 所以，解得. 故答案为：5. 13．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”的理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：度）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： x/℃ 17 14 9 0 y/度 30 32 38 a 由表中数据得线性回归方程：，则a的值为__________. 【答案】60 【分析】由中心点在回归直线上求解． 【详解】由已知中心为，即， 所以，， 故答案为：60. 四、解答题 14．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为2021年到2025年，某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额x（单位：亿元）对年盈利额y（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了如下函数模型：，其中λ，t均为常数，e为自然对数的底数．令，经计算得如下数据：，，问 (1)建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； (2)若希望2025年盈利额y为1000亿元，请预测2025年的研发资金投入额x约为多少亿元？（结果精确到0.01） 附：回归直线中： 参考数据：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法可得，根据最小二乘法可得参数，即可求得答案； （2）结合（1）的结果代入计算，即可求得答案. 【详解】（1）由于，令， 则，即， 则，， 故v关于x的回归方程为，即 则y关于x的回归方程为； （2）若希望2025年盈利额y为1000亿元，即， 则，即， 即，解得（亿元）， 预测2025年的研发资金投入额x约为34.56亿元 15．(24-25高二下·安徽六安第一中学·期末)2025年春晚舞台上，机器人扭秧歌表演成为一大亮点．现统计出机器人Unitree 在某地区2024年2月至6月的销售量，数据如下表： 月份 2 3 4 5 6 销售量 45 55 70 110 用最小二乘法得到Unitree的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销售量的方差． (1)求的值（结果精确到0.1）； (2)（i）求的值； （ii）现从这5个月份中随机抽取3个月份，设抽取到销售量大于60的月份个数为，求的分布列和方差． 附：回归系数，相关系数， 【答案】(1) (2)（i）；（ii）分布列见解析， 【分析】（1）根据参考公式代入数据求解即可； （2）（i）根据线性回归方程过样本中心点求出，即可得解 （ii）求出分布列，根据期望、方差定义计算得解. 【详解】（1）由表得，． 由，得． ， ， ． （2）（i）回归直线过样本中心点，且， ． 即，解得． （ii） 所以   . 16．(24-25高二上·安徽阜阳多校联考·期末)每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， (1)根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ (2)根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 样本相关系数为． 参考数据：． 令． 【答案】(1)应选模型②； (2)，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米. 【分析】（1）根据已知求得，结合已知及相关系数公式求相关系数，即可得结论； （2）应用最小二乘法求回归方程，再将代入预测第6天种子的胚芽长度. 【详解】（1）由题设，，所以， 所以，故应选模型②； （2）令，则求出线性回归方程， 所以，， 所以， 所以， 又，则，故， 所以回归方程为，故，有厘米， 所以，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米. 17．(24-25高二下·安徽合肥一六八中学·期末)某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得： (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； (2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； (3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)答案见解析 【分析】(1) 利用相关系数公式直接代入数据求解即可； (2) 利用公式，先求一次项系数，再利用经过样本中心点，可求出，从而可得回归直线方程； (3)利用一次项系数可解释会员平均每周锻炼时长增加2个小时，预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际效果相当，说明具有参考价价. 【详解】（1）由表可知：                             所以= , 因为与的相关系数接近1, 所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系. （2）由题可知： =                ， 所以 （3）由(2)可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时， 预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近， 因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值； 造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少， 或者造成体重减少的原因还受其他因素影响， 比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等. 18．(24-25高二下·安徽合肥第七中学·期末)放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中，. (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率； (2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 【答案】(1)适宜，， (2)（i）0.778；（ii） 【分析】（1）根据散点图可判断适宜作为该机场飞往地航班放行准点率关于年份数的经验回归方程类型，再根据所给数据求出关于的线性回归方程，即求出，，从而得到关于的回归方程，再代入计算可得； （2）（i）根据全概率公式计算可得；（ii）根据条件概率公式计算可得. 【详解】（1）由散点图判断适宜作为该机场飞往地航班放行准点率关于年份数的经验回归方程类型. 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 该机场飞往地航班放行准点率关于的线性回归方程为， 因此关于年份数的回归方程为， 所以当时，该机场飞往地航班放行准点率y的预报值为 ， 所以2023年该机场飞往地航班放行准点率的预报值为. （2）设“该航班飞往地”，“该航班飞往地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”， 则，，， ，，. （i）由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （ii）该航班飞往地的概率为 ， 即若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地的概率约为. 19．(24-25高二上·安徽阜阳阜南实验中学·期末)赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量x（单位：mg/g）直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量y（单位：粒），得到的数据如下表： 赤霉素含量x（单位：mg/g） 10 20 30 40 50 后天生长的优质数量y（单位：粒） 2 3 7 8 10 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60mg/g的种子后天生长的优质数量. 参考数据：，，，. 参考公式：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 【答案】(1) (2)615粒 【分析】（1）根据最小二乘法可求出结果； （2）将，代入，求出后可得结果. 【详解】（1）∵，， ∴， 又，， ∴， 故y关于x的线性回归方程为. （2）将，代入，得到， 估计1000粒赤霉素含量为60mg/g的种子后天生长的优质数量为粒. 20．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)为打造“四态融合、产村一体”，望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民收入，某乡政府统计了景区农家乐在年年中任选年的接待游客人数（单位：万人）的数据，结果如下表： 年份 年份代号 接待游客人数（单位：万人） (1)求相关系数的值，并说明年份与接待游客人数之间线性关系的强弱；（值精确到） (2)求关于的线性回归方程.（系数用分数表示） 附：线性回归方程的斜率及截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数，一般地，当的绝对值大于时，认为两个变量之间有较强的线性相关程度. 参考数据：，，，，. 【答案】(1)，年份与接待游客人数之间有较强的线性相关程度 (2) 【分析】（1）计算出、的值，将参考数据代入相关系数公式，可得出的值，结合题意判断即可； （2）将相关数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出关于的线性回归方程. 【详解】（1）由题中数据可得，， ， ， 又，， . 由于，故年份与接待游客人数之间有较强的线性相关程度. （2）由已知及（1）可得，， ， 关于的线性回归方程为. 地 城 考点03 列联表与独立性检验 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某大学通过随机询问100名学生能否做到“光盘”行动，得到如下列联表(单位：人)： 性别 “光盘”行动 做不到 能做到 女 46 9 男 31 14 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 x₀ 2.706 3.841 6.635 7.879 经计算 则下列结论正确的是（   ） A．依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关” B．依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关” C．依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关” D．依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关” 【答案】B 【分析】依据独立性检验相关概念解题即可. 【详解】由题意得， 所以依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关”. 故选：B． 2．(24-25高二下·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期末)以下四个命题中，其中真命题为（    ） A．在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好； B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的越大； C．若数据，，…，的方差为1，则，，…，的方差为； D．对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大． 【答案】A 【分析】对于A，B，由相关指数的意义判断即可；对于C，利用方差的性质判断即可；对于D，由的定义判断即可 【详解】根据相关指数的意义，可知A是真命题； 根据相关系数的意义，因是相关系的绝值越大，可知B是假命题； 若数据，，…，的方差为1，那么，，…，的方差为，所以C是假命题； 对分类变量与的随机变量的观测值来说，应该是越大，判断“与有关系”的把握程度越大，所以D是假命题． 故选：A． 二、多选题 3．(24-25高二下·安徽六安第一中学·期末)下列结论正确的是（    ） A．对于两个分类随机变量X，Y，利用进行独立性检验时，的值越小，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于0 D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 【答案】ABD 【分析】根据的意义判断A，利用回归分析的相关定义和性质判断BCD即可得到结果. 【详解】选项A，在独立性检验中，的值越小说明两个变量独立性越强的把握越大，故选项A正确； 选项B，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄， 表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B正确； 选项C， 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C错误. 选项D，因为决定系数越大，表示残差平方和越小，数据就越集中，即模型的拟合效果越好，故选项D正确 故选：ABD 4．(24-25高二下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用2×2列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关计算得，由小概率临界值表知，现给出四个结论，其中错误的是（   ） A．根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 【答案】ABC 【分析】依据卡方值结合小概率值的独立性检验思想即可得解. 【详解】由题，所以根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟有关”， 即有的把握认为“患肺癌与吸烟有关”，故选项D正确，其余都是错误的． 故选：ABC． 5．(24-25高二下·安徽芜湖·期末)下列的叙述正确的有（   ） A．关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 B．关于一元线性回归，若决定系数越大，模型的拟合效果越差 C．关于独立性检验，随机变量的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大 D．关于独立性检验，若的观测值满足，依据小概率值的独立性检验，认为“两个分类变量无关”（参考数据：） 【答案】ACD 【分析】根据一元线性回归的相关系数和决定系数的定义即可判断AB，根据独立性检验中随机变量的值的意义即可判断CD. 【详解】对于A，相关系数很接近1，则随机变量y与x的相关程度很强，故A正确； 对于B，关于一元线性回归，决定系数越大，则模型的拟合效果越好，故B错误； 对于C，关于独立性检验，随机变量的值越大，可判断“两个分类变量有关系”的把握性越大，故C正确； 对于D，因的观测值满足，则零假设成立， 即在犯错概率不超过的情形下，可认为“两个分类变量无关”，故D正确. 故选：ACD. 三、解答题 6．(24-25高二上·安徽阜阳多校联考·期末)某组织对男、女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查组随机调查了200名青年，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 喜爱古典音乐情况 合计 喜爱 不喜爱 女 90 20 110 男 60 30 90 合计 150 50 200 (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关？ (2)现从样本喜爱古典音乐的青年中利用分层（按性别分层）随机抽样的方法抽取5名青年进行合影留念，并从这被抽取的5名青年中随机邀请3名青年参加某古典艺术歌曲音乐会，记被邀请参加某古典艺术歌曲音乐会的女青年人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 ，其中. 【答案】(1)不能认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关 (2)分布列见解析；数学期望为. 【分析】（1）利用数表中数据求出，再与临界值比对得解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）零假设：喜爱古典音乐与青年的性别无关， 由数表中数据经计算得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据拒绝零假设， 即不能认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关. （2）抽取的5人中，喜爱古典音乐的男青年有人，喜爱古典音乐的女青年有人， 故的所有可能值为， ， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. 7．(24-25高二下·安徽宣城·期末)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 单位：只 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 30 10 40 未服用 20 20 40 总计 50 30 80 (1)依据的独立性检验，能否认为药物有效？ (2)为进一步研究该药物对预防此疾病的效果，现从服用该药物的10只动物（其中未患病3只，患病7只）中随机抽取2只，用随机变量表示未患病的动物只数，求随机变量的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为该疾病与服用药物有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）依据列联表计算出，再进行独立性检验即可. （2）利用组合数的性质求出对应概率，进而列出分布列，结合期望公式求解数学期望即可. 【详解】（1）零假设为：该疾病与服用药物无关. 则. 根据小概率值独立性检验，我们推断不成立， 即认为该疾病与服用药物有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）由题意知，随机变量的所有可能取值为， 则，，. 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 由数学期望公式得. 8．(24-25高二下·安徽合肥庐江县·期末)DeepSeek，全称“杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司”，2024年末DeepSeekR1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，造成公司运营的技术成本不同，某调研公司对DeepSeek和OpenAI两家公司的客户使用的技术成本进行调研，随机抽取200个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高，低廉三个类别进行数据统计如表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为高成本运营，低廉称为低成本运营. 高昂 较高 低廉 总计 DeepSeek 26 14 60 100 OpenAI 42 28 30 100 (1)请填写如下列联表，根据小概率的独立性检验，分析两家公司的运营成本是否存在差异； 高成本运营 低成本运营 DeepSeek OpenAI (2)已知DeepSeek公司的客户中有5个“星级客户”受邀为代表参加线下体验活动，每个客户参加活动的概率均为，求恰有3个客户参加线下体验活动的概率. 附： k 【答案】(1)列联表见解析，存在差异 (2) 【分析】（1）根据独立性检验的性质即可求解； （2）根据二项分布的概率公式求解. 【详解】（1）根据题意可得列联表： 高成本运营 低成本运营 DeepSeek 40 60 OpenAI 70 30 设零假设；两家公司的运营成本没有差异，得， 因为，所以根据小概率的独立性检验，有充分的理由说明两家公司的运营成本存在差异. （2）记能参加线下活动的“星级客户”的人数为X，则， 恰有3人能参加线下活动的概率，即 9．(24-25高二下·安徽六安第一中学·期末)为了解消费者对新能源汽车续航里程和充电设施的满意率，随机调查了200名新能源汽车车主，得到如下数据： 对续航里程满意 对续航里程不满意 对充电设施满意 80 30 对充电设施不满意 40 50 (1)任意调查一名新能源汽车车主，设事件“该车主对续航里程满意”为A，事件“该车主对充电设施满意”为B，求和； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关？ 附： α 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)，； (2)可以 【分析】(1)利用频率估计概率，利用频数借助古典概型求条件概率即可； (2)利用独立性检验规则进行求解判断即可. 【详解】（1）依题意，，; （2）消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率相互独立 由已知数据得， 而，则依据小概率值的独立性检验，可以认为不成立， 即认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关，且此推断犯错误的概率不会超过0.01. 10．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)某校高三选择物理的男生有700人，女生300人，某兴趣小组对高三刚结束的物理测试成绩进行随机调查，将所有选考物理的考生按是否同时选考化学分为A、B两类，并从中随机抽取100名考生的成绩. (1)若抽取的男生女生各50人，其中男生平均分72分，女生70分，请估计该校所有选择物理的学生的平均分； (2)兴趣小组将抽取的100名考生成绩整理数据如下表（单位：人） 物理成绩学生分类 A类男生 2 8 20 10 B类男生 5 10 13 2 A类女生 6 3 0 1 B类女生 7 6 7 0 ①估计样本中A类男生物理成绩的中位数； ②把成绩在称为“合格”，成绩在称为“不合格”，填写列联表，依据的独立性检验，能否认为该校考生的本次物理成绩合格与否和性别有关. 性别 成绩 合计 合格 不合格 男生 70 女生 30 合计 80 20 100 附：，其中，. 【答案】(1)； (2)①；②认为该校考生的本次物理成绩合格与否和性别有关. 【分析】（1）根据数据按分层抽样计算平均数公式求出男生和女生的平均数即可； （2）①根据频数分布列表，列式求出频率和为即可求解； ②根据表中数据可补充列联表，利用卡方的计算公式求出，结合表中的数据即可得出结论. 【详解】（1）抽取的男生女生各50人，其中男生平均分72分，女生70分， 估计该校所有选择物理的学生的平均分为； （2）①设A类男生物理成绩的中位数为， 则， ； ②由表中数据可知，列联表如下： 性别 成绩 合计 及格 不及格 男生 63 7 70 女生 17 13 30 合计 80 20 100 零假设为：该校考生的物理成绩与考生性别无关， 根据表格中数据计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该校考生的物理成绩与性别有关，此推断犯错误的概率不大于． 11．(24-25高二下·安徽亳州·期末)为了研究臭氧效应，先选取40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，将试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量为 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 试验组的小白鼠体重的增加量为 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 (1)求40只小白鼠体重的增加量的中位数，并分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 试验组 (2)根据（1）中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)；列联表如下： 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 (2)依据小概率值的独立性检验，能认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 【分析】（1）根据中位数的定义求m，再根据题给数据，完成列联表； （2）根据给定公式计算出，再与题给条件进行比较，即可得出结论. 【详解】（1）由题意知：这40只小鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排序后，第20位和第21位数据的平均值，第20位为23.2，第21位为23.6. 所以这组数据的中位数：. 填写列联表如下： 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 （2）根据（1）中的列联表数据，结合给定公式， 可得, 根据小概率值的独立性检验：， 则. 所以依据小概率值的独立性检验，即能认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常体重的增加量有差异. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 成对数据的统计分析 3大高频考点概览 考点01成对数据的统计相关性 考点02 一元线性回归模型及其应用 考点03 列联表与独立性检验 地 城 考点01 成对数据的统计相关性 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)关于样本相关系数，下列说法正确的是（ ） A．样本相关系数 B．当样本相关系数时，称成对数据成正相关 C．两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近-1 D．两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近1 2．(24-25高二下·安徽宿州第二中学·期末)对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·安徽阜阳阜南实验中学·期末)对于，两变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数（如下），则线性相关性最强的是（    ） A．－0.82 B．0.78 C．－0.69 D．0.87 4．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)下面属于相关关系的是 A．气温和冷饮销量之间的关系 B．速度一定时，位移和时间的关系 C．亩产量为常数时，土地面积与产量之间的关系 D．正方体的体积和棱长的关系 二、多选题 5．(24-25高二下·安徽合肥第七中学·期末)下列说法中错误的有（    ） A．相关系数越小，表明两个变量相关性越弱 B．决定系数越接近1，表明模型的拟合效果越好 C．若随机变量服从两点分布，其中，则， D．随机变量，若，则 6．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第-组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为，，，第二组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为，，，则（    ） A．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 B．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 C．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 D．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 三、解答题 7．(24-25高二下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试．从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩作为样本，得到样本数据，其中和分别表示第个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得 ． (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩和错题订正整理情况得分的相关程度； (2)已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数．利用频率估计概率，从该地区所有高中学生中随机抽取4个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到考试成绩低于的个数为X，求随机变量X的分布列． 附：相关系数． x 0 1 2 3 4 p 地 城 考点02 一元线性回归方程及其应用 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽阜阳多校联考·期末)为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）.若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（   ） x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．x与y的样本是负相关 C．当时，y的预估值为2.2 D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r必会改变 2．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（   ） A．残差图带状区域越宽 B．残差和越小 C．决定系数越大 D．相关系数r越大 3．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)下列说法正确的是（   ） A．二项展开式中所有系数之和为 B．样本相关系数r越大，两个变量的线性相关程度越强，反之，线性相关程度越弱 C．以模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性回归方程，则c，k的值分别是和0.3 D．展开式中，常数项是第9项 4．(24-25高二下·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·月考)为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）．若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（   ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．与的样本是负相关 C．当时，的预估值为2.2 D．去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 5．(24-25高二下·安徽·期末)由样本点得到关于的线性回归方程为，若，则（    ） A．-5 B．-3 C． D．2 6．(24-25高二下·安徽亳州·期末)随着天气转暖旅游人数逐步增加，各景区投入不同数额的经费（万元）对环境进行治理，得到旅游景区收益的增加值（万元），对应数据如下表所示： 投入经费（单位：万元） 1 2 3 4 5 6 7 收益增加值（单位：万元） 2 3 2 5 7 7 9 若与的回归直线方程为，则（   ） A．-0.2 B．0.2 C．-0.4 D．0.4 7．(24-25高二下·安徽芜湖·期末)下图是根据x，y的观测数据得到的散点图，则变量x，y能用一元线性回归模型来刻画的是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二下·安徽亳州第二完全中学·月考)已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（    ） A．9.6 B．10 C．10.6 D．9.4 9．(23-24高二下·安徽亳州·期末)某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费（千万元），得到各旅游景区收益的增加值（万元），对应数据如下表所示： 投入的治理经费（单位：千万元） 1 2 3 4 5 6 7 收益的增加值（单位：万元） 2 3 2 5 7 7 9 若与的回归直线方程为，则相应于点的残差是（    ） A． B．0.358 C． D．8.642 二、多选题 10．(24-25高二下·安徽滁州·期末)若某中学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系．根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．与具有负线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心 C．若该中学某女生身高增加1cm，则其体重可能增加0.75kg D．若该中学某女生身高为160cm，则可断定其体重必为44.29kg 11．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第-组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为，，，第二组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为，，，则（    ） A．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 B．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 C．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 D．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 三、填空题 12．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)根据成对样本数据建立变量关于的成对数据如下表所示： 1 2 3 4 5 4 7 9 10 若由该数据得到的线性回归方程为，则的值为_____. 13．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”的理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：度）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： x/℃ 17 14 9 0 y/度 30 32 38 a 由表中数据得线性回归方程：，则a的值为__________. 四、解答题 14．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为2021年到2025年，某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额x（单位：亿元）对年盈利额y（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了如下函数模型：，其中λ，t均为常数，e为自然对数的底数．令，经计算得如下数据：，，问 (1)建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； (2)若希望2025年盈利额y为1000亿元，请预测2025年的研发资金投入额x约为多少亿元？（结果精确到0.01） 附：回归直线中： 参考数据：． 15．(24-25高二下·安徽六安第一中学·期末)2025年春晚舞台上，机器人扭秧歌表演成为一大亮点．现统计出机器人Unitree 在某地区2024年2月至6月的销售量，数据如下表： 月份 2 3 4 5 6 销售量 45 55 70 110 用最小二乘法得到Unitree的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销售量的方差． (1)求的值（结果精确到0.1）； (2)（i）求的值； （ii）现从这5个月份中随机抽取3个月份，设抽取到销售量大于60的月份个数为，求的分布列和方差． 附：回归系数，相关系数， 16．(24-25高二上·安徽阜阳多校联考·期末)每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， (1)根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ (2)根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 样本相关系数为． 参考数据：． 令． 17．(24-25高二下·安徽合肥一六八中学·期末)某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得： (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； (2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； (3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 18．(24-25高二下·安徽合肥第七中学·期末)放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中，. (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率； (2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 19．(24-25高二上·安徽阜阳阜南实验中学·期末)赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量x（单位：mg/g）直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量y（单位：粒），得到的数据如下表： 赤霉素含量x（单位：mg/g） 10 20 30 40 50 后天生长的优质数量y（单位：粒） 2 3 7 8 10 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60mg/g的种子后天生长的优质数量. 参考数据：，，，. 参考公式：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 20．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)为打造“四态融合、产村一体”，望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民收入，某乡政府统计了景区农家乐在年年中任选年的接待游客人数（单位：万人）的数据，结果如下表： 年份 年份代号 接待游客人数（单位：万人） (1)求相关系数的值，并说明年份与接待游客人数之间线性关系的强弱；（值精确到） (2)求关于的线性回归方程.（系数用分数表示） 附：线性回归方程的斜率及截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数，一般地，当的绝对值大于时，认为两个变量之间有较强的线性相关程度. 参考数据：，，，，. 地 城 考点03 列联表与独立性检验 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某大学通过随机询问100名学生能否做到“光盘”行动，得到如下列联表(单位：人)： 性别 “光盘”行动 做不到 能做到 女 46 9 男 31 14 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 x₀ 2.706 3.841 6.635 7.879 经计算 则下列结论正确的是（   ） A．依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关” B．依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关” C．依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关” D．依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关” 2．(24-25高二下·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期末)以下四个命题中，其中真命题为（    ） A．在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好； B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的越大； C．若数据，，…，的方差为1，则，，…，的方差为； D．对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大． 二、多选题 3．(24-25高二下·安徽六安第一中学·期末)下列结论正确的是（    ） A．对于两个分类随机变量X，Y，利用进行独立性检验时，的值越小，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于0 D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 4．(24-25高二下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用2×2列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关计算得，由小概率临界值表知，现给出四个结论，其中错误的是（   ） A．根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 5．(24-25高二下·安徽芜湖·期末)下列的叙述正确的有（   ） A．关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 B．关于一元线性回归，若决定系数越大，模型的拟合效果越差 C．关于独立性检验，随机变量的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大 D．关于独立性检验，若的观测值满足，依据小概率值的独立性检验，认为“两个分类变量无关”（参考数据：） 三、解答题 6．(24-25高二上·安徽阜阳多校联考·期末)某组织对男、女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查组随机调查了200名青年，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 喜爱古典音乐情况 合计 喜爱 不喜爱 女 90 20 110 男 60 30 90 合计 150 50 200 (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关？ (2)现从样本喜爱古典音乐的青年中利用分层（按性别分层）随机抽样的方法抽取5名青年进行合影留念，并从这被抽取的5名青年中随机邀请3名青年参加某古典艺术歌曲音乐会，记被邀请参加某古典艺术歌曲音乐会的女青年人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 ，其中. 1 2 3 7．(24-25高二下·安徽宣城·期末)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 单位：只 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 30 10 40 未服用 20 20 40 总计 50 30 80 (1)依据的独立性检验，能否认为药物有效？ (2)为进一步研究该药物对预防此疾病的效果，现从服用该药物的10只动物（其中未患病3只，患病7只）中随机抽取2只，用随机变量表示未患病的动物只数，求随机变量的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 0 1 2 8．(24-25高二下·安徽合肥庐江县·期末)DeepSeek，全称“杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司”，2024年末DeepSeekR1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，造成公司运营的技术成本不同，某调研公司对DeepSeek和OpenAI两家公司的客户使用的技术成本进行调研，随机抽取200个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高，低廉三个类别进行数据统计如表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为高成本运营，低廉称为低成本运营. 高昂 较高 低廉 总计 DeepSeek 26 14 60 100 OpenAI 42 28 30 100 (1)请填写如下列联表，根据小概率的独立性检验，分析两家公司的运营成本是否存在差异； 高成本运营 低成本运营 DeepSeek OpenAI (2)已知DeepSeek公司的客户中有5个“星级客户”受邀为代表参加线下体验活动，每个客户参加活动的概率均为，求恰有3个客户参加线下体验活动的概率. 附： k 高成本运营 低成本运营 DeepSeek 40 60 OpenAI 70 30 9．(24-25高二下·安徽六安第一中学·期末)为了解消费者对新能源汽车续航里程和充电设施的满意率，随机调查了200名新能源汽车车主，得到如下数据： 对续航里程满意 对续航里程不满意 对充电设施满意 80 30 对充电设施不满意 40 50 (1)任意调查一名新能源汽车车主，设事件“该车主对续航里程满意”为A，事件“该车主对充电设施满意”为B，求和； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关？ 附： α 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 10．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)某校高三选择物理的男生有700人，女生300人，某兴趣小组对高三刚结束的物理测试成绩进行随机调查，将所有选考物理的考生按是否同时选考化学分为A、B两类，并从中随机抽取100名考生的成绩. (1)若抽取的男生女生各50人，其中男生平均分72分，女生70分，请估计该校所有选择物理的学生的平均分； (2)兴趣小组将抽取的100名考生成绩整理数据如下表（单位：人） 物理成绩学生分类 A类男生 2 8 20 10 B类男生 5 10 13 2 A类女生 6 3 0 1 B类女生 7 6 7 0 ①估计样本中A类男生物理成绩的中位数； ②把成绩在称为“合格”，成绩在称为“不合格”，填写列联表，依据的独立性检验，能否认为该校考生的本次物理成绩合格与否和性别有关. 性别 成绩 合计 合格 不合格 男生 70 女生 30 合计 80 20 100 附：，其中，. 性别 成绩 合计 及格 不及格 男生 63 7 70 女生 17 13 30 合计 80 20 100 11．(24-25高二下·安徽亳州·期末)为了研究臭氧效应，先选取40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，将试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量为 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 试验组的小白鼠体重的增加量为 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 (1)求40只小白鼠体重的增加量的中位数，并分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 试验组 (2)根据（1）中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $