重点专题精练：一次函数-2026年中考数学专项

**基本信息** 聚焦一次函数核心素养，以题载法构建“概念-图像-应用-综合”四层逻辑体系，提炼待定系数法、数形结合等6类解题模型 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|2题|自变量取值范围、函数定义|从概念生成到简单应用，强化符号意识| |图像性质|4题|旋转距离分析、增减性判断|结合几何直观，构建“解析式-图像-性质”推导链| |几何综合|6题|坐标系建模、动点分段函数|以矩形、正方形为载体，培养推理意识与空间观念| |实际应用|3题|注水问题、收费模型|通过真实情境，发展数学建模与数据意识| |课题学习|1题|函数模型解几何题|融合跨知识模块，提升创新意识与综合应用能力|

重点专题精练：一次函数-2026年中考数学专项 一、单选题 1．（2026·江苏南京·一模）将一次函数的图像绕原点旋转一周，在这个过程中不会经过的点是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·二模）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西安康·模拟预测）一次函数的图象经过点，，，且，则的值可能为（　　　） A． B． C． D． 4．（2026·浙江台州·二模）化学有机物及其结构式见下表，若结构式中的（碳原子）的个数记为，（氢原子）的个数记为，则由结构式可知与满足的关系式是（     ） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式 A． B． C． D． 5．（2026·内蒙古通辽·二模）某工厂有一款自动蓄水池，其内部结构呈圆柱体形状，某次匀速注水时蓄水池内水位高度（米）与注水时间（小时）之间的关系如图所示，若该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为54立方米，则该蓄水池内部结构的半径约为（     ）（注：） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 6．（2026·甘肃白银·二模）如图1，动点从矩形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，的长为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广东揭阳·一模）某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度（单位：厘米）与观察时间（单位：天）的关系如图所示（是线段，直线平行于轴）．下列说法中错误的是（     ） A．从开始观察时起，50天后该植物停止长高 B．该植物最高为 C．线段的函数表达式为 D．第40天，该植物的高度为 8．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，以为边向上作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏南通·一模）如图，在中，．点D，E分别在边上，．连接，以为边作，连接．当周长最小时，的长为（    ） A． B． C．1 D． 二、填空题 11．（2026·安徽芜湖·二模）函数中自变量的取值范围是____． 12．（2026·内蒙古赤峰·二模）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小了_____． 13．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，请你写出一个符合条件的实数a的值______． 14．（2026·宁夏吴忠·一模）如图，在点，，，中，一次函数的图象不可能经过的点是________． 15．（2026·山东济南·二模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有，两种品牌的共享电动车，图象反映了收费（元）与骑行时间（分钟）的关系，其中品牌共享电动车的收费方式对应，品牌共享电动车的收费方式对应．当骑行时间为25分钟时，品牌共享电动车比品牌共享电动车收费少__________元． 16．（2026·江西吉安·二模）吉州窑烧制技艺是国家级非物质文化遗产，本觉寺岭龙窑遗址作为现存罕见的宋代长条龙窑，与古朴矗立的本觉寺塔相映成趣，共同见证千年窑火传承．某研学小组在遗址区开展实践活动，如图所示，以遗址中心广场为坐标原点建立平面直角坐标系，测得代表本觉寺塔的点在轴上，代表本觉寺岭龙窑遗址的点在轴上，两点所在观景路线的表达式为．若遗址第二象限内有一处研学打卡点，使得为等腰直角三角形，则打卡点的坐标为___________． 三、解答题 17．（2026·浙江台州·二模）在一次机器人马拉松比赛中，某台机器人以100米/分的固定速度持续奔跑，电量随时间均匀消耗，剩余电量y（单位：）是奔跑时间x（单位：分钟）的一次函数，其函数图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)已知该台机器人电量降至10%时会触发低电量保护，随即停止比赛，求该台机器人最多可奔跑多少米？ 18．（2026·浙江台州·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴和轴于，两点． (1)求点和点的坐标． (2)求直线关于轴对称的直线解析式． 19．（2026·山东济南·二模）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份A或B食品的核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共6份，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 20．（2026·河北石家庄·二模）如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C，，连接．点为线段上的一个动点，连接． (1)求直线的解析式； (2)若将的面积分为两部分，求点P的坐标； (3)点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），直接写出m的取值范围． 21．（2026·河北沧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，、与直线分别交于，两点，其中． (1)当直线经过点时： ①求直线的解析式； ②平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，且点在点的左侧．当时，求的值． (2)设直线、交于点，直接写出的值． 22．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）课题学习：用函数模型解几何题． (1)【方法体会】如图1，正方形和正方形中，点在上，，，是与的交点，那么的长是多少？ 下面让我们一起来用函数模型来解这个题目，要好好体会这种解法哟！ 解：以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图2，以为一个单位长度，则由题意可知点坐标为，点的坐标为，则直线的表达式为 ；请同学们根据点是与的交点，求出点的坐标为 ；进而求得的长为 ． (2)【解决问题】请仿照上述建立平面直角坐标系的方法解决下面的问题． 如图3，在中，，，，四边形为长方形．、是边、上的动点，、在边上，当长方形的长宽比为时，求的长度． (3)如图4，等腰中，，过点作，连接，为中点，连接、，若，，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《重点专题精练：一次函数-2026年中考数学专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D C B B D A B 1．B 【分析】先画出函数图象，然后得到原点到直线的距离最小，进而根据两点距离公式计算两点之间距离，最后问题可求解． 【详解】解：画出函数的图象，如下所示： 当时，则有，解得：；当时，则有， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 过点O作于点C， ∴， 由将一次函数的图像绕原点旋转一周，可知：只要满足旋转后直线经过的点到原点的距离大于或等于即可； ∴A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意． 2．C 【分析】先求出，再分情况讨论：当点在边上运动时和当点在边上运动时，求出函数解析式，结合排除法求解即可； 【详解】， ， ，， ， 分情况讨论： 当点在边上运动时，，则，排除B，D； 当点在边上运动时，，排除A， ∴只有C选项符合题意． 3．D 【分析】先根据已知不等式判断一次函数的增减性，得到的取值范围，再代入点的坐标求出的范围，最后结合选项得到答案． 【详解】解：， 与异号， 随增大而减小， 一次函数中， 把代入函数解析式得：， ， ， ， 的值可能为． 4．D 【分析】本题主要考查函数的概念，通过观察和的增加个数，从而可得到与满足的关系式． 【详解】根据题意，绘制如下表格： 碳原子个数 氢原子个数 根据表格，可知每增加1，增加2，则 ，所以与满足的关系式为， 故选． 5．C 【分析】本题考查一次函数的实际应用，能够正确分析图象和理解“每小时的注水量为54立方米”是解题的关键． 根据函数图象可求得每小时的注水高度为2米，再根据每小时的注水量为54立方米列关于半径r的方程求解即可． 【详解】解：由图可知，，则每小时的注水高度为2米， 设该蓄水池内部结构的半径为米， ， 解得，（不符题意，故舍去）， 则该蓄水池内部结构的半径约为3米． 6．B 【分析】当点在上运动时，该一次函数解析式为：，当点运动在时，随着的增加而减小，直到点在停止运动． 【详解】由图象和运动轨迹分析可得， ， 点在停止运动时， 所以, 当点P运动到中点时, , ． 7．B 【分析】根据直线平行于x轴可判断A；利用待定系数法求出当时，y与x的函数表达式可判断C；求出时的函数值即可判断B；求出时的函数值即可判断D． 【详解】解：A、∵直线平行于x轴， ∴50天后该植物的高度没有发生变化， ∴从开始观察时起，50天后该植物停止长高，原说法正确，不符合题意； C、设当时，y与x的函数表达式为， 则， ∴， ∴当时，y与x的函数表达式为，原说法正确，不符合题意； B、在中，当时，， ∴该植物最高为16厘米，原说法错误，符合题意； D、在中，当时，， ∴观察第40天，该植物的高度为14厘米，原说法正确，不符合题意； 8．D 【分析】直接根据两函数图象的交点写成不等式解集的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数的图象相交于点， ∴， 解得， ∴， 由函数图象可知，当时，函数的图象在直线的下方， 所以关于x的不等式的解集是． 9．A 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形性质，可得到、的坐标，同理可得、的坐标，进而得到、的横坐标，根据点的坐标变化可找到变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：对于， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， 的横坐标是， ， 的横坐标为， 的横坐标为． 10．B 【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据题意得各点坐标：，，，，设，则．根据当最小，周长最小，写出​，取点和，作关于轴的对称点，连接，求出直线的解析式，令，解得，即得． 【详解】解：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据题意得各点坐标：，，，，设，则． ∵是平行四边形， ∴，， ∵周长， ∴当最小，周长最小， ∵,， ∴​的最小值， 相当于在轴上找一点，到点和的距离和最小． 作关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 令，解得， 即． 11． 【分析】根据函数、二次根式、分式有意义的条件列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得，解得：． 12．0.04 【分析】本题考查函数的图象，能够从图象中得到关键信息是解题的关键． 根据图象中的信息即可求解． 【详解】解；从图象中可知，当时，，当时，，则摩擦系数减小了． 13． 1（答案不唯一） 【分析】先对函数去绝对值分段，联立一次函数得到两个一元一次方程，根据一元一次方程解的情况判断交点个数，当仅一个方程存在符合定义域的解时，满足只有一个交点的条件，即可得到符合要求的的值. 【详解】对函数去绝对值可得： 当时，；当时，. 联立一次函数与，得： ，整理得. 联立一次函数与，得： ，整理得. 若两个函数图象只有一个交点，则只需其中一个方程无解，另一个方程有符合定义域的解. 当，即时，方程无解，将代入得，解得，此时两个函数只有一个交点，满足条件. 故答案为（答案不唯一） 14．点 【分析】根据k与b的符号确定一次函数图象经过的象限，结合各点所在的象限进行判断． 【详解】解：在函数中，、， 则该一次函数图象经过第二、三、四象限， 由图可知，点M在第二象限，点N在第一象限，点P在第四象限，点Q在第三象限， 因此，其图象不可能经过点N． 15．1 【分析】利用待定系数法，根据图象上的关键点坐标分别求解出和的函数表达式，需要注意的是是分段函数； 求解出当骑行时间为25分钟时，对应的和，再求解价格差． 【详解】解：是分段函数，由图可知， 当时，， 当时，设， 将，代入中， 可得， 解得， 当时，设， 所以； 是正比例函数图象，设， 将代入中， 可得， 解得， 所以的解析式为； 当时，， ， ． 16．或或 【分析】先由的表达式为，得到，；再根据为等腰直角三角形，根据直角顶点不同分情况讨论，分别画出图形再根据一线三垂直模型求坐标即可． 【详解】解：∵的表达式为， ∴当时，，则，； 当时，，解得，则，； ∵为等腰直角三角形， ∴当为直角顶点时，此时，， 如图，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 同理，当为直角顶点时， 取中点， ∵，， ∴，，即是等腰直角三角形； 综上所述，使得为等腰直角三角形的打卡点的坐标为或或． 17．(1)． (2)该台机器人最多可奔跑8100米． 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，代入，，求解即可； （2）将代入函数解析式，求得奔跑时间，根据速度求得奔跑距离即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，代入，， 得，解得， 所以所求的函数关系式为； （2）解：将代入，解得， （米）．       答：该台机器人最多可奔跑8100米． 18．(1)， (2) 【分析】（1）分别令求解即可； （2）先求出点关于y轴的对称点坐标为，再根据待定系数法求解即可 【详解】（1）解：令，则，解得， 令，则， 所以，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：点关于y轴的对称点坐标为， 设直线关于轴对称的直线解析式为， 把和代入上式得，解得：， ∴． 19．(1)应选用A种食品3份，B种食品2份 (2)应选用A种食品2份，B种食品4份 【分析】（1）设应选用A种食品x份，B种食品y份，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （2）设应选用A种食品m份，则选用B种食品份，根据题意列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围，设每份午餐的能量为，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，结合一次函数的性质求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设应选用A种食品x份，B种食品y份， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3份，B种食品2份； （2）解：设应选用A种食品m份，则选用B种食品份， 根据题意得：， 解得：， 设每份午餐的能量为， 则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时． 答：应选用A种食品2份，B种食品4份． 20．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先将点代入，得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，再分两种情况讨论求解即可； （3）先求出，根据关于轴对称的点的性质得到，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点．利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，再根据点在线段之间（不含线段端点），即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得， ，即． 将点，代入得， ， 解得：，． 直线的解析式为； （2）解：在中，令，则， ，． ， ． 点P是线段AC上的动点， ． ①当时，，解得． 点在直线上， ，符合题意， ． ②当时：解得． 点在直线上， ，符合题意， ． 综上，点P的坐标为或； （3）解：由（1）知直线的解析式为． 令，则，解得：， ． 是关于轴的对称点， ． 如图，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点． 设直线的解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为； 设直线的解析式为，则有， ，． 直线的解析式为， 联立可得：，解得，． 点， 当在内部时（不含边界），点在线段之间（不含线段端点）， ． ． 21．(1)①；② (2) 【分析】（1）①先将点代入的解析式求出的值，再将代入的解析式即可； ②先求出与直线、交点、的横坐标，再根据点在点的左侧和列方程求解； （2）先求出、、、、的坐标，再分别计算和的面积，最后求比值． 【详解】（1）解：①将代入： ，解得， 则的解析式； ②由第①问得，， 直线与交点，则， 解得： 直线与交点，则， 解得：， 又在左侧且， 即，且， 代入得， 解得． （2）解：与轴交点，与轴交点， ， 直线与交点：， ， 直线与交点：， ， ， 由直线、交于点联立得：，解得， 代入：， ， 点到轴（即）的水平距离为 ， 点到直线（即）的水平距离为， ，， ． 22．(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题是三角形综合题，主要考查待定系数法求一次函数，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线等内容．建立合适的平面直角坐标系，设出关键点坐标，是本题解题关键． （1）根据给出的点坐标，设出直线表达式，利用待定系数法，求出直线表达式，求出点坐标，在中，利用勾股定理求线段长即可； （2）仿造（1），建立平面直角坐标系，依次求出直线，的表达式，设出点坐标，表达出点坐标或，代入直线表达式，求出的值，可求出线段的长； （3）延长交于点，连接，证明是的垂直平分线，得是的中点，，然后证明是的中位线，得， ，所以四边形是平行四边形，得，设，则，利用勾股定理求出的值，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：如图2，设直线的表达式为， 点坐标为，点的坐标为， ， 解得， ， 点是与的交点， 点的横坐标为2，此时， ， ， 在中，，， 由勾股定理可得，， 故答案为：，，． （2）解：如图3，以点为坐标原点，所在的直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 中，，，， 由勾股定理可得， ， 过点作轴于点， 的面积， ， ， 在中，，，， 由勾股定理可得，， ， 设直线的表达式为， ， 解得， 直线的表达式为， ， 设直线的表达式为， ， ， 直线的表达式为：， 设点的横坐标为，则， 则， 长方形的长宽比为， 或， 或， 或， 或， 解得或， 或， 的长度为或． （3）解：如图4，延长交于点，连接， ，为中点， ， ， 是的垂直平分线， 是的中点，， 为中点， 是△的中位线， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 设，则， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， （负值已经舍去）， ． 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $