2026年中考数学二轮复习：一次函数

**基本信息** 聚焦一次函数核心素养，通过"概念理解-性质应用-综合建模"三阶训练，系统培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念性质|选择1-5、填空12|待定系数法、k/b符号判定|从函数定义到图像性质的递进| |图像应用|选择6-9、填空10-11|数形结合、交点问题转化|函数图像与方程不等式的关联| |综合建模|解答16-20|分段函数分析、动态问题分类|实际情境到数学模型的抽象过程|

2026年中考数学二轮复习：一次函数 一．选择题（共9小题） 1．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，﹣3），且y的值随x的增大而增大，若点B在该函数的图象上，则点B的坐标可能是（　　） A．（1，4） B．（﹣3，2） C．（﹣1，0） D．（4，1） 2．已知一次函数y＝kx+b，（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（m，n）和点B（p，q），其中m＜p且n＞q，下列说法中，正确的是（　　） A．若b＞0，则函数图象一定经过第三象限 B．若将函数图象向上平移1个单位长度后，与y轴交点的纵坐标大于2，则b＞2 C．若函数图象与x轴交于正半轴，则 D．若将函数图象向下平移|b|个单位长度后经过原点，则b＝k 3．已知直线l1：y＝kx和直线互相垂直，垂足为P，且直线l2过定点M（8，0），在此坐标系中有一个固定的点Q（﹣1，﹣12），下面关于PQ的长描述正确的是（　　） A．最大值为16 B．最小值为9 C．PQ的取值范围是 D．PQ的取值范围是8≤PQ≤16 4．若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数y1与y2的“对偶值”．那么函数y1＝x+2与y2＝﹣2x+1的“对偶值”为（　　） A．1 B．2 C．3 D．﹣1 5．一次函数y＝kx+b的图象经过点M（1，3），且该一次函数的图象经过第二象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（3，1） C．（3，13） D．（2，﹣1） 6．在一定范围内，固定质量的酒精的体积V（单位：L）可近似地看作温度t（单位：℃）的一次函数，其图象如图所示，则V与t之间的表达式为（　　） A．V＝0.00575t﹣5.25 B．V＝﹣0.00575t+5.25 C．V＝0.00575t+5.25 D．V＝﹣0.00575t﹣5.25 7．已知一次函数y＝abx与y＝bx+a（a，b为常数，且ab≠0），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 8．甲、乙两辆汽车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城行驶的路程y（千米）与甲车出发的时间x（小时）的对应关系如图所示，则下列四个结论： ①A城与B城相距360千米； ②乙出发1.5小时后追上甲； ③甲，乙两车相距50千米时，； ④当3≤x≤5.5时，甲、乙两车之间相距的路程不变． 其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1 二．填空题（共6小题） 10．对于实数a，b，定义一种运算F（a，b），当a≤b，则F（a，b）＝a，当a＞b，则F（a，b）＝b．对于函数y＝F（x+1，x2﹣2x+1），下列结论：①点（3，4）在函数图象上；②当函数值为0.25时，自变量x的值为0.5或1.5；③当x＞﹣1时，函数有最小值为0；④若直线y＝kx+b与函数图象有唯一的公共点，则；⑤若直线y＝k（x﹣2）+1与函数图象有三个公共点，则0＜k＜1或1＜k＜2或2＜k＜3．其中正确的结论是　 　 （填序号）． 11．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线l2：y＝nx+4交于点A（3，﹣1），则关于x，y的方程组的解为　 　 ． 12．小明发现：在一次函数y＝kx+b中，x每增加1，kx增加k，b不变，因此y也增加k．即横坐标差为1时，纵坐标差等于k．一次函数y＝kx+b经过点A（1，1），当自变量x增加2时，函数值y增加4，则该一次函数的解析式为　 　 ． 13．对于三个数a、b、c，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，如：min{﹣1，2，3}＝﹣1，若，则y的最大值是　 　 ． 14．如图，点A，B，C在一次函数b的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于点C，B，且OB＝2OA．点M是BC的中点，N为直线AB上的一个动点，连接MN．若∠BNM＝45°，则点N的坐标是　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了5分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为y1，y2米，小明与小丽之间的距离为s米，设小丽行走的时间为x分钟．y1，y2与x之间的函数图象如图所示． （1）分别求出线段OG，CD所在直线的函数表达式． （2）求小明、小丽第二次相遇时x的值． （3）当15≤x≤25时，若s＝400，求x的值． 17．新能源汽车行业已进入从“高速扩张”向“高质量发展”转型的关键阶段．李叔叔购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调查，有两种方案： 第一种方案（家用充电）：安装家用充电桩所需费用为1750元，电费每度0.5元； 第二种方案（公用充电）：仅有电费，电费每度1.2元． 设这辆新能源汽车的充电总量为x（度），第一种方案所需充电总费用（包含安装家用充电桩所需费用）为y1元，第二种方案所需充电总费用为y2元． （1）请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）请问该车充电总量为多少度时，选择方案一所需充电总费用较少？ 18．已知小明的家、文具店、文化广场、公园依次在同一条直线上，文具店离家0.8km，公园离家2km．小明从家出发，先匀速骑行了4min到文具店，在文具店停留了10min，之后匀速骑行了6min到公园，在公园停留5min后，再用20min匀速步行返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）①填表： 小明离开家的时间/min 1 4 12 25 小明离家的距离/km 0.8 ②填空：小明从公园返回家的速度为　 　 km/min； ③当0≤x≤20时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅱ）小明从家出发的同时，小明的爷爷从离家1.05km的文化广场步行回家，步行的速度是0.15km/min，在家停留2min后慢步40min去公园．求在这个过程中，小明和爷爷相遇时离家的距离（直接写出结果即可）． 19．2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．经过调查，购买2台A型机器人和1台B型机器人需2400元，购买1台A型机器人和3台B型机器人需3950元． （1）求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ （2）学校准备采购这两种机器人共50台，其中要求B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半，请你给出最节省费用的购买方案，最低费用是多少？ 20．已知小明的家、公园、便利店依次在同一条直线上，公园距离小明家540m，便利店距离小明家180m．小明从家出发，匀速步行了10min到公园，他在公园休息了3min，之后他匀速步行了6min到便利店，在便利店停留2min购买商品后，再匀速步行了3min返回家．如图中x（单位：min）表示小明离开家的时间，y（单位：m）表示小明离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）填表： 小明离开家的时间（单位：min） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 540 （Ⅱ）填空：①便利店到公园的距离为　 　 m； ②小明从便利店返回家的速度为　 　 m/min； ③当0≤x≤19时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅲ）若小明从家出发的同时，小明的妈妈也从家出发，小明的妈妈到达公园后，立即返回家中，恰好与小明同时到家．小明的妈妈全程保持同一速度匀速运动．对于同一个x的值，小明离家的距离为y1，小明的妈妈离家的距离为y2，当y1＜y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 2026年中考数学二轮复习：一次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，﹣3），且y的值随x的增大而增大，若点B在该函数的图象上，则点B的坐标可能是（　　） A．（1，4） B．（﹣3，2） C．（﹣1，0） D．（4，1） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的性质确定k＞0，再结合点A（1，﹣3）得到b＝﹣3﹣k，然后将各选项坐标代入解析式，验证k＞0是否成立，从而筛选出符合条件的选项． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b中y随x的增大而增大， ∴k＞0． ∵函数图象经过点A（1，﹣3）， ∴k+b＝﹣3， ∴b＝﹣3﹣k． 选项A：（1，4）， 将（1，4）代入y＝kx+b，得：k+b＝4， 又k+b＝﹣3，矛盾，故A错误，不符合题意； 选项B：（﹣3，2） 将（﹣3，2）代入y＝kx+b，得：﹣3k+b＝2， 将b＝﹣3﹣k代入，得：﹣3k+（﹣3﹣k）＝2， ﹣4k＝5， ，不符合k＞0，故B错误，不符合题意； 选项C：（﹣1，0） 将（﹣1，0）代入y＝kx+b，得：﹣k+b＝0， 将b＝﹣3﹣k代入，得：﹣k+（﹣3﹣k）＝0， ﹣2k＝3， ，不符合k＞0，故C错误，不符合题意； 选项D：（4，1） 将（4，1）代入y＝kx+b，得：4k+b＝1， 将b＝﹣3﹣k代入，得：4k+（﹣3﹣k）＝1， 3k＝4， ，符合k＞0，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 2．已知一次函数y＝kx+b，（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（m，n）和点B（p，q），其中m＜p且n＞q，下列说法中，正确的是（　　） A．若b＞0，则函数图象一定经过第三象限 B．若将函数图象向上平移1个单位长度后，与y轴交点的纵坐标大于2，则b＞2 C．若函数图象与x轴交于正半轴，则 D．若将函数图象向下平移|b|个单位长度后经过原点，则b＝k 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数图象与几何变换． 【专题】一次函数及其应用；推理能力． 【答案】C 【分析】根据函数的增减性可判断k＜0，则当b＞0时，图象过一二四象限；平移后与y轴交点的纵坐标为b+1，得到b＞1；函数图象与x轴的交点坐标为，可得；平移后的解析式为y″＝kx+b﹣|b|，过原点可得b﹣|b|＝0，进一步得到b≥0，而k＜0． 【解答】解：∵图象经过点A（m，n）和点B（p，q），其中m＜p且n＞q， ∴y随x的增大而减小， ∴k＜0， 当b＞0时，图象过一、二、四象限，不经过第三象限，故A错误； 若将函数图象向上平移1个单位长度后向上平移后得到y′＝kx+b+1，当x＝0时，y′＝b+1， ∴新函数的图象与y轴交点的纵坐标为b+1，则b+1＞2， 解得b＞1，故B错误； 当y＝0时，0＝kx+b，解得， ∵函数图象与x轴交于正半轴， ∴，即，故C正确； 将函数图象向下平移|b|个单位长度后得到y″＝kx+b﹣|b|， ∵新函数的图象经过原点， ∴b﹣|b|＝0，则b≥0， ∵k＜0， ∴k≠b，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 3．已知直线l1：y＝kx和直线互相垂直，垂足为P，且直线l2过定点M（8，0），在此坐标系中有一个固定的点Q（﹣1，﹣12），下面关于PQ的长描述正确的是（　　） A．最大值为16 B．最小值为9 C．PQ的取值范围是 D．PQ的取值范围是8≤PQ≤16 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质． 【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得P的轨迹是以OM为直径的圆，求出圆心和半径，结合勾股定理计算定点Q到圆心的距离，即可求出PQ的最值，得到结果． 【解答】解：∵直线l1：y＝kx和直线互相垂直，垂足为P，且直线l2过定点M（8，0）， ∴∠OPM＝90°，OM＝8， ∴点P在以OM为直径的圆上， 如图，取OM的中点C， ∵OM＝8， ∴圆心C为OM中点，坐标为（4，0），圆C的半径为4， ∵Q（﹣1，﹣12）， 由勾股定理得：， ∴PQ的最大值为13+4＝17，PQ的最小值为13﹣4＝9， 即PQ的取值范围是9≤PQ≤17． 所以选项B正确，选项A、C，D错误． 故选：B． 【点评】本题考查两直线相交或平行问题、一次函数的性质等知识，解题的关键是准确寻找点P的运动轨迹，属于中考常考题型． 4．若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数y1与y2的“对偶值”．那么函数y1＝x+2与y2＝﹣2x+1的“对偶值”为（　　） A．1 B．2 C．3 D．﹣1 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标；一次函数的性质． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】设P（m，m+2），Q（n，﹣2n+1），根据题意，得m＝﹣n，m+2＝﹣2n+1，求解即可． 【解答】解：设P（m，m+2），Q（n，﹣2n+1）， 根据题意，得m＝﹣n，m+2＝﹣2n+1， ∴﹣n+2＝﹣2n+1， 解得n＝﹣1， ∴﹣n+2＝﹣（﹣1）+2＝2+1＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 5．一次函数y＝kx+b的图象经过点M（1，3），且该一次函数的图象经过第二象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（3，1） C．（3，13） D．（2，﹣1） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】先根据一次函数过点M得到k与b的关系，再结合一次函数过第二象限得到k的取值范围，依次将各选项点坐标代入，验证是否满足条件即可得到答案． 【解答】解：由条件可知k+b＝3，可得b＝3﹣k， ∵一次函数图象经过第二象限， 当k＞0时，需要b＞0才能经过第二象限，即3﹣k＞0，得0＜k＜3， 当k≤0时，无论b取何值，一次函数都经过第二象限， 因此符合条件的k满足k＜3， 对各选项依次验证： A、代入（﹣1，﹣1）得﹣k+b＝﹣1，联立k+b＝3，解得k＝2＜3，符合条件，可能，不符合题意； B、代入（3，1）得3k+b＝1，联立k+b＝3，解得k＝﹣1＜3，符合条件，可能，不符合题意； C、代入（3，13）得3k+b＝13，联立k+b＝3，解得k＝5＞3，不符合条件，不可能，符合题意； D、代入 （2，﹣1）得2k+b＝﹣1，联立k+b＝3，解得k＝﹣4＜3，符合条件，可能，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 6．在一定范围内，固定质量的酒精的体积V（单位：L）可近似地看作温度t（单位：℃）的一次函数，其图象如图所示，则V与t之间的表达式为（　　） A．V＝0.00575t﹣5.25 B．V＝﹣0.00575t+5.25 C．V＝0.00575t+5.25 D．V＝﹣0.00575t﹣5.25 【考点】一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据待定系数法求解即可． 【解答】解：设V与t的函数解析式为V＝kt+b（k≠0）， 由图可知（0，5.25）和（40，5.48）在函数图象上， 代入，得， 解得， 故V＝0.00575t+5.25， 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 7．已知一次函数y＝abx与y＝bx+a（a，b为常数，且ab≠0），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【考点】正比例函数的性质；一次函数的图象；正比例函数的图象． 【专题】函数及其图象；几何直观． 【答案】A 【分析】根据正比例函数及一次函数的图象与系数的关系，对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 根据A选项中的函数图象可知， 正比例函数解析式中的ab＜0，一次函数解析式中的a＞0，b＜0． 故A选项符合题意． 根据B选项中的函数图象可知， 正比例函数解析式中的ab＞0，一次函数解析式中的a＞0，b＜0． 故B选项不符合题意． 根据C选项中的函数图象可知， 正比例函数解析式中的ab＜0，一次函数解析式中的a＞0，b＞0． 故C选项不符合题意． 根据D选项中的函数图象可知， 正比例函数解析式中的ab＞0，一次函数解析式中的a＜0，b＞0． 故D选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了正比例函数的性质、一次函数的图象及正比例函数的图象，熟知正比例函数及一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 8．甲、乙两辆汽车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城行驶的路程y（千米）与甲车出发的时间x（小时）的对应关系如图所示，则下列四个结论： ①A城与B城相距360千米； ②乙出发1.5小时后追上甲； ③甲，乙两车相距50千米时，； ④当3≤x≤5.5时，甲、乙两车之间相距的路程不变． 其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【答案】D 【分析】根据图表信息，即可求出相应结果． 【解答】解：①根据图象可得A，B两城相距为360km，故正确； ②乙车出发1.5小时后，乙车的速度为：360÷（5.5﹣1）＝80（km/h），距离A城360÷（5.5﹣1）×1.5＝120km，此时甲距离A城120km，故正确； ③当0＜x＜2时，甲车的速度为：120÷2＝60（km/h）， 50÷60（h）， 1+（60﹣50）÷（80﹣60）（h）， 故甲，乙两车相距50千米时，，故正确； ④当3≤x≤5.5时，甲车的速度为：（360﹣120）÷（6﹣3）＝80（km/h），80＝80，则当3≤x≤5.5时，甲、乙两车之间相距的路程不变，故正确． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象解决实际问题相关知识，理解数据的实际意义，并能灵活运用是解决问题的关键． 9．已知一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象；一次函数的性质． 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观． 【答案】A 【分析】根据图象可得，两直线交点的横坐标为﹣1，即可得到当y1＜y2时，x的取值范围． 【解答】解：由图象可得，当y1＜y2时，x的取值范围为x＜﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，理解题意是解决本题的关键． 二．填空题（共6小题） 10．对于实数a，b，定义一种运算F（a，b），当a≤b，则F（a，b）＝a，当a＞b，则F（a，b）＝b．对于函数y＝F（x+1，x2﹣2x+1），下列结论：①点（3，4）在函数图象上；②当函数值为0.25时，自变量x的值为0.5或1.5；③当x＞﹣1时，函数有最小值为0；④若直线y＝kx+b与函数图象有唯一的公共点，则；⑤若直线y＝k（x﹣2）+1与函数图象有三个公共点，则0＜k＜1或1＜k＜2或2＜k＜3．其中正确的结论是　①③⑤　 （填序号）． 【考点】一次函数综合题． 【专题】代数综合题；运算能力；推理能力． 【答案】①③⑤． 【分析】分情况求得y关于x的函数，再画出图象，再根据二次函数与一次函数综合，与函数新定义概念逐项分析判断，即可解题． 【解答】解：对于函数y＝F（x+1，x2﹣2x+1）， 当x+1≤x2﹣2x+1时，y＝x+1， 整理得x2﹣3x≥0， 解得x≥3或x≤0； 当x+1＞x2﹣2x+1时，y＝x2﹣2x+1， 整理得x2﹣3x＜0， 解得0＜x＜3； 综上，， 函数y的图象如下图， ①当x＝3时，y＝x+1＝4，点（3，4）在函数y＝x+1图象上，故①正确； ②由图象知，当函数值为0.25时，自变量x的值有三个， 当x+1＝0.25时， 解得x＝﹣0.75， 当x2﹣2x+1＝0.25时， 解得x＝1.5或x＝0.5， ∴当函数值为0.25时，自变量x的值有三个，分别为﹣（+0.75）＝﹣0.75或0.5或1.5，故②错误； ③由图象知，当x＞﹣1时，函数有最小值为y＝x2﹣2x+1（0＜x＜3）的最小值， 最小值为，故③正确； ④观察图象，直线y＝kx+b与函数图象有唯一的公共点的情况存在很多种，比如当k＝0，b＝﹣3时，故④错误； ⑤对于直线y＝k（x﹣2）+1，当x＝2时，y＝1， 则直线y＝k（x﹣2）+1一定过点（2，1），且点（2，1）在函数y的图象上， 若直线y＝k（x﹣2）+1与函数图象有三个公共点，则它与y＝x+1有一个公共点，与y＝x2﹣2x+1有两个公共点， 结合函数图象，当直线y＝k（x﹣2）+1经过点（0，1）时，恰好有两个公共点， 此时k（0﹣2）+1＝1， 解得k＝0， 此后直线y＝k（x﹣2）+1绕点（2，1）逆时针旋转，开始有三个公共点， 当直线y＝x+1与直线y＝k（x﹣2）+1平行时，直线y＝k（x﹣2）+1与函数图象只有两个公共点， 此时k＝1， 则当0＜k＜1时有三个公共点， 此后直线y＝k（x﹣2）+1绕点（2，1）继续逆时针旋转，又开始有三个公共点， 当直线y＝k（x﹣2）+1经过点（3，4）时，直线y＝k（x﹣2）+1与函数图象只有两个公共点， ∴4＝k（3﹣2）+1， 解得k＝3， 则当2＜k＜3时有三个公共点， 此后直线y＝k（x﹣2）+1绕点（2，1）继续逆时针旋转，又开始有三个公共点， 当直线y＝x2﹣2x+1与y＝k（x﹣2）+1有一个公共点时，直线y＝k（x﹣2）+1与函数图象只有两个公共点， 此时联立k（x﹣2）+1＝x2﹣2x+1， 整理得x2﹣（k+2）x+2k＝0， 令Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2＝0， 得k＝2， 则当1＜k＜2时有三个公共点， 此后直线y＝k（x﹣2）+1绕点（2，1）继续逆时针旋转直至又过点（0，1）时，都少于三个公共点， ∴在2＜k＜3或1＜k＜2或0＜k＜1时，直线y＝k（x﹣2）+1与函数图象有三个公共点，故⑤正确； 综上，正确的结论有①③⑤． 【点评】本题是一次函数综合题，考查函数新定义，二次函数与一次函数综合，二次函数性质，一次函数性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 11．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线l2：y＝nx+4交于点A（3，﹣1），则关于x，y的方程组的解为　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】根据两个一次函数组成的方程组的解就是两函数图象的交点可得答案． 【解答】解：∵直线与直线l2：y＝nx+4交于点A（3，﹣1）， ∴关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 12．小明发现：在一次函数y＝kx+b中，x每增加1，kx增加k，b不变，因此y也增加k．即横坐标差为1时，纵坐标差等于k．一次函数y＝kx+b经过点A（1，1），当自变量x增加2时，函数值y增加4，则该一次函数的解析式为y＝2x﹣1　 ． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】y＝2x﹣1． 【分析】根据函数自变量和函数值的变化得出函数图象经过点（3，5），然后再利用待定系数法求函数解析式即可． 【解答】解：由题意得，当自变量x增加2时，函数值y增加4， ∵图象过A（1，1）， ∴y＝kx+b也过点（3，5）， ∴， ∴， ∴该一次函数的解析式为y＝2x﹣1， 故答案为：y＝2x﹣1． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质和待定系数法，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 13．对于三个数a、b、c，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，如：min{﹣1，2，3}＝﹣1，若，则y的最大值是　2　 ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】2． 【分析】设y1＝﹣x+3，y2＝2x，，首先分别联立求出三个函数的交点，然后结合图象求解即可． 【解答】解：如图所示， 设，y1＝﹣x+3，y2＝2x， 当y1＝y3时，， 解得，此时 ∴， 当y1＝y2时，﹣x+3＝2x， 解得x＝1，此时y＝2， ∴B（1，2）， 当y2＝y3时，， 解得，此时， ∴， ∴由图象可得，当x≤1时，y＝y2＝2x，且y≤2； 当x＞1时，y＝y1＝﹣x+3，且y＜2， ∴y的最大值为2． 故答案为：2． 【点评】此题考查了一次函数的交点问题，一次函数的图象和性质，正确地作出图象是解题的关键． 14．如图，点A，B，C在一次函数b的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是　　 ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】根据阴影部分是三个直角三角形，三个直角三角形的面积相加即是阴影部分的面积． 【解答】解：点A，B，C在一次函数b的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2， 如图，AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，CH⊥y轴于H，BF⊥CH于F，直线AC交y轴于点G，则BF＝EH， 把xA＝﹣1，xB＝1，xC＝2代入，得， ∴AD＝1，BE＝1，CF＝2﹣1＝1， ∵S阴影＝S△ADG+S△BEG+S△BFC，即， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数上点的坐标特点，正确进行计算是解题关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于点C，B，且OB＝2OA．点M是BC的中点，N为直线AB上的一个动点，连接MN．若∠BNM＝45°，则点N的坐标是　或　 ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；一次函数的性质． 【专题】一次函数及其应用；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】或． 【分析】求出点B和点C的坐标，进而可求出点A的坐标，则可求出直线AB的解析式，再分两种情况：点N在点B下方和点N在点B上方，过点M作MH⊥MN交直线AB于H，可证明△NHM是等腰直角三角形，通过一线三垂直模型构造全等三角形讨论求解即可． 【解答】解：由题意，∵y＝﹣x+6， ∴当x＝0时，y＝6；当y＝0时，x＝6， ∴B（0，6），C（6，0）， ∴OB＝OC＝6， ∵OB＝2OA， ∴OA＝3． ∴A（﹣3，0）． 设直线AB为y＝kx+b（k≠0）， ∴， ∴， ∴直线AB为y＝2x+6； 如图，当点N在点B的下方时，过点M作MH⊥MN交直线AB于点H，过点M作MD⊥AC，过点N作NF⊥MD，垂足为F，过点H作HE⊥MD交直线MD于点E， ∴∠NMH＝∠HEM＝∠NFM＝90°， ∴∠NMF+∠HME＝90°＝∠NMF+∠MNF， ∴∠HME＝∠MNF． ∵∠BNM＝45°， ∴△NHM是等腰直角三角形， ∴MN＝MH， ∴△NMF≌△MHE（AAS）， ∴HE＝MF，NF＝EM． ∵点M是BC的中点，B（0，6），C（6，0）， ∴M（3，3）． 设N（n，2n+6），则MF＝3﹣（2n+6）＝﹣3﹣2n＝HE，NF＝3﹣n＝EM， ∴H（6+2n，6﹣n）， ∴6﹣n＝2（6+2n）+6， ∴， ∴点N的坐标为； 当点N在点B的上方时，过点M作MH⊥MN交直线AB于点H，过点M作MD⊥AC于点D，过点N作MD交直线MD于点F，过点H作HE⊥MD于点E， 同理可证明△NMF≌△MHE（AAS）， ∴HE＝MF，NF＝EM， ∵点M是BC的中点，B（0，6），C（6，0）， ∴M（3，3）． 设N（n，2n+6）． ∴MF＝2n+6﹣3＝2n+3＝EH，NF＝3﹣n＝EM， ∴H（﹣2n，n）， ∴n＝2（﹣2n）+6， ∴， ∴点N坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 三．解答题（共5小题） 16．图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了5分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为y1，y2米，小明与小丽之间的距离为s米，设小丽行走的时间为x分钟．y1，y2与x之间的函数图象如图所示． （1）分别求出线段OG，CD所在直线的函数表达式． （2）求小明、小丽第二次相遇时x的值． （3）当15≤x≤25时，若s＝400，求x的值． 【考点】一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）线段OG，CD所在直线的函数表达式分别为yOG＝100x、yCD＝300x﹣4500； （2）小明、小丽第二次相遇时x的值为22.5； （3）x的值为20.5或24.5． 【分析】（1）根据图象即题干信息，可得出线段OG所在直线为正比例函数表达式，结合点G的坐标，可求出其函数表达式；根据题意，可得出线段CD对应的速度，即为一次函数中的k值，结合点C的坐标，可求出线段CD所在直线的函数表达式； （2）根据题意，小明、小丽第二次相遇即为点F时的状态，结合（1）中的函数表达式，可求出点F的横坐标，得其所对应的x值； （3）根据题意，可得出当15≤x≤25时，恰在线段CD所在范围内，故|yOG﹣yCD|＝400，解出对应的x值即可． 【解答】解：（1）观察图象，可得线段OG所在直线为正比例函数表达式，令其表达式为yOG＝kOGx， ∵点G（30，3000）， 将点G（30，3000）代入yOG＝kOGx， 得3000＝30kOG， 解得kOG＝100， 故线段OG所在直线的函数表达式为yOG＝100x， 根据题意，可观察出AB段的速度为， 故CD段的速度也为300m/min， 根据题意可知，点C（15，0）， 故令线段CD所在直线的函数表达式为yCD＝300x+bCD， 将C（15，0）代入yCD＝300x+bCD， 解得bCD＝﹣4500， 故线段CD所在直线的函数表达式为yCD＝300x﹣4500； （2）小明、小丽第二次相遇时即为图中点F所对应的x值， 故yOG＝yCD， 得100x＝300x﹣4500， 解得x＝22.5， 故小明、小丽第二次相遇时x的值为22.5． （3）当yCD＝3000时，得3000＝300x﹣4500， 得此时x＝25， 故当15≤x≤25时，恰在线段CD所在范围内， 若s＝400，即|yOG﹣yCD|＝400， ∴|100x﹣（300x﹣4500）|＝400， 解得x＝20.5或x＝24.5， 故当15≤x≤25时，若s＝400，x的值为20.5或24.5． 【点评】本题考查一次函数与行程问题，准确理解题意以及掌握一次函数与行程问题的联系是解题的关键． 17．新能源汽车行业已进入从“高速扩张”向“高质量发展”转型的关键阶段．李叔叔购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调查，有两种方案： 第一种方案（家用充电）：安装家用充电桩所需费用为1750元，电费每度0.5元； 第二种方案（公用充电）：仅有电费，电费每度1.2元． 设这辆新能源汽车的充电总量为x（度），第一种方案所需充电总费用（包含安装家用充电桩所需费用）为y1元，第二种方案所需充电总费用为y2元． （1）请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）请问该车充电总量为多少度时，选择方案一所需充电总费用较少？ 【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）y1＝0.5x+1750，y2＝1.2x； （2）该车充电总量大于2500度时，选择方案一所需充电总费用较少． 【分析】（1）根据两种方案的计费方法表示即可； （2）根据题意列出不等式求解． 【解答】解：（1）第一种方案（家用充电）：安装家用充电桩所需费用为1750元，电费每度0.5元； 第二种方案（公用充电）：仅有电费，电费每度1.2元．则： y1与x之间的函数关系式为y1＝0.5x+1750； y2与x之间的函数关系式为y2＝1.2x （2）当y1＜y2时，则0.5x+1750＜1.2x 解得x＞2500， ∴该车充电总量大于2500度时，选择方案一所需充电总费用较少． 【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 18．已知小明的家、文具店、文化广场、公园依次在同一条直线上，文具店离家0.8km，公园离家2km．小明从家出发，先匀速骑行了4min到文具店，在文具店停留了10min，之后匀速骑行了6min到公园，在公园停留5min后，再用20min匀速步行返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）①填表： 小明离开家的时间/min 1 4 12 25 小明离家的距离/km 0.8 ②填空：小明从公园返回家的速度为　0.1　 km/min； ③当0≤x≤20时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅱ）小明从家出发的同时，小明的爷爷从离家1.05km的文化广场步行回家，步行的速度是0.15km/min，在家停留2min后慢步40min去公园．求在这个过程中，小明和爷爷相遇时离家的距离（直接写出结果即可）． 【考点】一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【答案】（1）①0.2；0.8；2； ②0.1； ③y； （2）小明和爷爷相遇时离家的距离为0.6km或1.2km． 【分析】（1）①先求出小明去公园的速度，再结合图形即可得出答案； ②根据图象获得信息，列式计算即可； ③分3段写出函数表达式 （2）分别写出各段时间内爷爷和小明离家的距离与时间之间的函数关系式，再讨论即可． 【解答】解：（1）①小明去公园的速度为0.8÷4＝0.2（千米）， 当小明离开家1min时，小明离家的距离为0.2×1＝0.2（千米）， 结合图象可得，当小明离开家12min时，小明离家的距离为0.8千米，当小明离开家25min时，小明离家的距离为2千米． 故答案为：0.2；0.8；2； ②2÷20＝0.1（km/min）． 故答案为：0.1． ③当0≤x＜4时，y＝0.2x， 当4≤x＜14时，y＝0.8， 当14≤x≤20时，y＝0.8+0.2（x﹣14）＝0.2x﹣2， ∴y． （2）当20＜x≤25时，小明离家的距离y＝2， 当25＜x≤45时，小明离家的距离y＝﹣0.1x+4.5， 当0≤x＜7时，爷爷离家的距离y爷＝1.05﹣0.15x， 当7≤x＜9时，爷爷离家的距离y爷＝0， 当9≤x≤49时，爷爷离家的距离y爷＝0.05（x﹣9）＝0.05x﹣0.45， 当0≤x＜4时，0.2x＝1.05﹣0.15x， 解得：x＝3， 则小明和爷爷相遇时离家的距离为0.2×3＝0.6（km）， 当4≤x＜7时，0.8＝1.05﹣0.15x， 解得：x（舍）， 当7≤x＜9时，不可能相遇， 当9≤x＜14时，0.8＝0.05x﹣0.45， 解得：x＝7（舍）， 当14≤x＜20时，0.2x﹣2＝0.05x﹣0.45， 解得：x＝10（舍）， 当20＜x≤25时，2＝0.05x﹣0.45， 解得：x＝49（舍）， 当25＜x≤45时，﹣0.1x+4.5＝0.05x﹣0.45， 解得：x＝33， 则小明和爷爷相遇时离家的距离为﹣0.1×33+4.5＝1.2（km）， 综上所述：小明和爷爷相遇时离家的距离为0.6km或1.2km． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 19．2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．经过调查，购买2台A型机器人和1台B型机器人需2400元，购买1台A型机器人和3台B型机器人需3950元． （1）求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ （2）学校准备采购这两种机器人共50台，其中要求B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半，请你给出最节省费用的购买方案，最低费用是多少？ 【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）A 型机器人单价 650 元，B 型机器人单价 1100 元； （2）购买 A 型 33 台、B 型 17 台时费用最省，最低费用为 40150 元． 【分析】（1）依据题意，设 A 型机器人单价为x元，B 型机器人单价为y元，则，从而计算可以得解； （2）依据题意，设购买 A 型机器人m台，则 B 型机器人（50﹣m）台．则总费用W＝650m+1100（50﹣m）＝﹣450m+55000，结合B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半，从而可得0＜m，m为整数，进而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设 A 型机器人单价为x元，B 型机器人单价为y元， ， ∴． 答：A 型机器人单价 650 元，B 型机器人单价 1100 元； （2）由题意，设购买 A 型机器人m台，则 B 型机器人（50﹣m）台． ∴总费用W＝650m+1100（50﹣m）＝﹣450m+55000， ∵B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半， ∴50﹣mm＞0， ∴0＜m． ∵m为正整数，且W＝﹣450m+55000中，﹣450＜0， ∴当m越大，总费用越低，则m取最大整数33．此时：A 型：33 台，B 型：50﹣33＝17台，最低费用：W＝﹣450×33+55000＝40150． 答：购买 A 型 33 台、B 型 17 台时费用最省，最低费用为 40150 元． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 20．已知小明的家、公园、便利店依次在同一条直线上，公园距离小明家540m，便利店距离小明家180m．小明从家出发，匀速步行了10min到公园，他在公园休息了3min，之后他匀速步行了6min到便利店，在便利店停留2min购买商品后，再匀速步行了3min返回家．如图中x（单位：min）表示小明离开家的时间，y（单位：m）表示小明离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）填表： 小明离开家的时间（单位：min） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 540 （Ⅱ）填空：①便利店到公园的距离为　360　 m； ②小明从便利店返回家的速度为　60　 m/min； ③当0≤x≤19时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅲ）若小明从家出发的同时，小明的妈妈也从家出发，小明的妈妈到达公园后，立即返回家中，恰好与小明同时到家．小明的妈妈全程保持同一速度匀速运动．对于同一个x的值，小明离家的距离为y1，小明的妈妈离家的距离为y2，当y1＜y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【考点】一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】（Ⅰ）54，540，180； （Ⅱ）①360； ②60； ③当0≤x≤10时，y＝54x；当10＜x＜13时，y＝540；当13≤x≤19时，y＝﹣60x+1320； （Ⅲ）16＜x＜20． 【分析】（Ⅰ）根据题意，正确填表即可； （Ⅱ）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （Ⅲ）求出相关解析式，列出等式求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）小明从家到公园的速度为540÷10＝54（m/min）， ∴当x＝1时，y＝54×1＝54（m）； 当x＝13时，小明在公园休息，距离不变，y＝540（m）； 当x＝20时，小明在便利店停留，距离为180m； ∴填写表格如下， 小明离开家的时间（单位：min） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 54 540 540 180 （Ⅱ）①便利店到公园的距离为540﹣180＝360m； ②小明从便利店返回家的速度为180÷（24﹣21）＝60m/min； ③当10＜x＜13时，y＝540； 当0≤x≤10时，y＝54x； 当13≤x≤19时，y＝540﹣60（x﹣13）＝﹣60x+1320； （Ⅲ）妈妈的分段函数： 回家12＜x≤24，y2＝540﹣45（x﹣12）＝﹣45x+1080； 去公园0≤x≤12，y2＝45x； 小明的分段函数： 当0≤x≤10时，y1＝54x； 当10＜x＜13时，y1＝540； 当19＜x≤21时，y1＝180； 当13≤x≤19时，y1＝﹣60x+1320； 当21＜x≤24时，y1＝180﹣60（x﹣21）＝﹣60x+1440； 1、0≤x≤10：54x＜45x，即9x＜0，无解； 2、10＜x≤12：540＜45x，得x＞12，无解； 3、12＜x≤13：540＜1080﹣45x，得x＜12，无解； 4、13＜x≤19：﹣60x+1320＜1080﹣45x，得16＜x≤19； 5、19＜x≤21：180＜1080﹣45x，得19＜x＜20； 6、21＜x≤24：﹣60x+1440＜1080﹣45x，得x＞24，无解； 综上，x的取值范围为16＜x＜20． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 学科网（北京）股份有限公司 $