重点专题精练：统计与概率-2026年中考数学专项

**基本信息** 以真实情境为载体，系统整合概率计算与统计分析方法，通过分层题型构建“概念理解-方法应用-综合探究”的逻辑链条，培养数据意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率计算|6题（含几何概率）|树状图/列表法、古典概型公式、面积比法|从基础事件列举到复杂情境概率，逐步提升抽象建模能力| |统计量分析|5题（含方差/中位数）|方差简化计算、统计量比较技巧|围绕数据集中趋势与波动程度，构建“计算-判断-应用”推理链| |抽样与数据应用|4题（含统计图）|抽样代表性评估、图表信息提取|结合实际问题，强化数据解释与决策能力，体现应用意识|

重点专题精练：统计与概率-2026年中考数学专项 一、单选题 1．（2026·山东泰安·二模）3600年前，中华大地的古人们就已经用甲骨文传递信息并制作最早的天气预报．以下是同学们用收集的甲骨文里的气象文字制作成的书签，书签正面印有甲骨文里的气象文字，除正面外其他完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张书签恰好是“雨”和“雪”的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（河南郑州市九校联考2026年中考二模考试数学试题）在化学实验中，酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．小明在实验中看到实验台上有四瓶没有标签的无色溶液，他只知道它们分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小明随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江台州·二模）某女子排球队场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为和的两名队员，换上身高为和的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ） A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差不变 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差变小 4．（2026·河南周口·模拟预测）下列说法中，正确的是（    ） A．为检测市场上正在销售的酸奶质量，应该采用全面调查的方式 B．小明身高不到本班同学身高的平均数，但有可能本班比小明高的同学不到半数 C．神舟二十二号飞船发射前，应对其重要部件进行抽样调查 D．某同学连续10次抛质量均匀的硬币，2次正面向上，因此正面向上的概率是 5．（2026·河南周口·模拟预测）如图，电路图上有三个开关S、、和两个小灯泡、，则任意闭合其中两个开关，小灯泡不发光的概率是（） A． B． C． D．无法确定 6．（2026·江西上饶·模拟预测）2026马年中央广播电视总台春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，传递奋进向上的文化内涵．为了解本校全体学生对“骐骥”文化寓意的了解程度，校学生会计划开展抽样调查，下列抽样方案中最具代表性与广泛性的是（    ） A．分别从各年级各班中按的比例随机抽取学生 B．从七、八、九年级各抽取成绩前50名的学生 C．在校园随机抽取课间休息的60名学生 D．在学校公众号发布问卷，收集自愿提交的有效答卷 7．（2026·江苏扬州·二模）甲、乙两名同学5次数学成绩如图，他们成绩的方差和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 8．（2026·甘肃白银·二模）《孤独星球》曾公布亚洲十大最佳旅游地，甘肃荣登榜首．甘肃拥有着除海洋外所有的地貌，不仅承载着深厚的历史底蕴，更拥有着令人陶醉的山水风光，从孤寂空旷的大漠戈壁到连绵不绝的黄金沙丘，每一处都散发着独特的魅力，这也是甘肃能够跻身亚洲最佳旅行地前列的原因．下面的统计图反映了2018—2025年甘肃省国庆假期旅游人数的情况，根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（   ） A．2025年甘肃省国庆假期旅游人数最高 B．2022年甘肃省国庆假期旅游人数最低 C．2023—2025年甘肃省国庆假期旅游人数持续增加 D．从2023年开始甘肃省国庆假期旅游人数突破2000万 9．（2023·山东济南·一模）编号为到的个小球分放在两个盒子和中，号小球在盒子中，把这个小球从盒子中移至盒子中，这时盒子中小球号码数的平均数增加了，中小球号码数的平均数也增加了，则原来在盒子中的小球个数为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·甘肃白银·二模）如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2026·浙江台州·二模）如图为花式九球的标准球组排列（号球共颗，按菱形摆放），其中1号和号球位置固定，剩余颗球位置随机摆放，则号球与号和号都相邻的概率是_________． 12．（2026·广西钦州·二模）如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，， ．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是_____________． 13．（2026·北京平谷·一模）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力、运动能力、素质项目中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下表所示： 运动能力I 人数 运动能力Ⅱ 人数 素质项目Ⅱ 人数 篮球 19 健身长拳 29 立定跳远 21 足球 12 游泳 4 实心球 m 排球 2 表中的____；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和立定跳远的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、立定跳远组合最多有____人． 14．（2026·四川广元·二模）某文具店举行抽奖活动，盒子中装有5支完全相同的中性笔，笔杆上分别刻有数字：．顾客随机抽取一支，记笔上的数字为a，求使得：以x为自变量的正比例函数经过第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数解的概率是_______． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）在一次国际数学奥林匹克竞赛中，中国代表队发挥出色，获得团体总分第一名，也是本届比赛唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式来计算，由该公式可知中国队团体总分为______． 16．（25-26八年级上·广东深圳·期末）定义两种新运算：为的中位数；为的算术平均数． 例如：①因为，所以；②． 则函数与的交点坐标为_____________． 三、解答题 17．（25-26九年级下·吉林松原·期中）深空探测是人类探索宇宙的重要窗口，中国航天事业不断突破，从“天问”探火到“天宫”遨游（图1），彰显了大国科技实力．如图2，一圆环被4条线段等分成4个区域，现有火星探测模型和空间站模型各一个，将这两个模型随机放在任意两个不同区域内． (1)火星探测模型放在区域①的概率是______； (2)求火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率（请用树状图或列表法表示）． 18．（2026·河南周口·三模）甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． A．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：， ： B．甲学校学生成绩在这一组的是： 80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 87 88 89 89 C．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表： 平均数／分 中位数／分 众数／分 优秀率 83.3 84 78 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲学校抽取的学生的成绩的中位数是____________分； (2)根据上述信息，你认为哪所学校综合素质展示的水平更高，并说明理由；（至少从两个不同的角度说明） (3)若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选人志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到___________分的学生才可以入选． 19．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）某学校为了更好地推动人工智能教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，在每个年级中选出15名同学参加比赛，并对他们的成绩（单位：分）进行收集和分析，具体如下． 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：75，76，78，78，84，85，86，87，87，87，88，90，90，91，93． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 86 a 41.9 八年级 85 b 87 30.1 根据表中的信息，解答下列问题． (1)请补全条形统计图． (2)填空：________，________． (3)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请说明理由． 20．（25-26九年级下·福建福州·期中）综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《重点专题精练：统计与概率-2026年中考数学专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B B A A D D A 1．C 【分析】先根据题意画出树状图，根据树状图可知所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：令“风”为A，“云”为B，“雨”为C，“雪”为D， 画树状图如下： 等可能出现的情况共12种，抽到“雨”和“雪”书签的可能有2种， 所以抽到“雨”和“雪”书签的概率是． 2．C 【分析】先确定能使酚酞变红的溶液数量，再列举出所有等可能的选瓶情况，找出符合条件的情况数，利用概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，四瓶溶液中，能使酚酞变红的碱溶液共瓶，不能使酚酞变红的酸溶液共瓶． 将两瓶变红溶液记为，两瓶不变红溶液记为． ∵从瓶中随机选瓶，所有等可能的情况为，共种． 其中只有一瓶变红色的情况共种． ∴所求概率． 3．C 【分析】先通过总身高和判断平均数的变化，再根据方差的定义计算判断方差的变化即可． 【详解】解：∵换下队员的身高和为，换上队员的身高和为， ∴总身高和不变，队员人数不变，因此平均数不变． 计算原数据的平均数得， 原数据的方差为： ； 换人后数据为172，176，178，178，180，184，平均数仍为， 方差为： ； ， 综上所述，平均数不变，方差变小． 4．B 【详解】解：对于选项A，检测酸奶质量具有破坏性，应当采用抽样调查，不能使用全面调查，故A错误； 对于选项B，平均数是所有数据的平均值，易受极端值影响，题目描述的情况存在，例如：全班共10人，小明身高，2名同学身高，其余7名同学身高，计算得平均身高为，小明身高低于平均数，且比小明高的同学仅有2人，不足全班半数，故B正确； 对于选项C，神舟飞船发射对部件精度要求极高，重要部件必须进行全面检查，应采用全面调查，故C错误； 对于选项D，均匀硬币正面向上的概率是固定值，故D错误． 5．B 【分析】列举出任意闭合两个开关的所有可能情况，找出小灯泡不发光的情况数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：共有3个开关、、，任意闭合其中两个， 所有可能的情况有：闭合和，闭合和，闭合和，共3种， 闭合和时，发光；闭合和时，发光；闭合和时，干路开关断开，电路断路，灯泡均不发光， 小灯泡不发光的情况只有1种， 小灯泡不发光的概率． 6．A 【分析】抽样调查的样本需要具有代表性与广泛性，能反映总体的特征，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．选项从各年级各班按比例随机抽取学生，覆盖了全校不同年级不同班级的学生，抽样随机，样本最具代表性与广泛性； B．选项只抽取成绩靠前的学生，样本局限于特定群体，不具有代表性； C．选项只抽取课间休息的学生，样本范围窄，不具有广泛性； D．选项收集自愿提交的答卷，样本偏向主动参与的人群，不具有代表性． 7．A 【分析】结合统计图可知，甲的成绩波动比较大，根据波动大的方差就大即可得到答案． 【详解】解：由统计图可知，甲选手的成绩波动较大，说明其成绩不稳定；乙选手的成绩的波动较小，说明其成绩比较稳定， ∴． 8．D 【分析】根据条形统计图的意义解答即可 【详解】解：选项A：所有年份中2025年的旅游人数2973万最高，结论正确； 选项B：所有年份中2022年的旅游人数909万最低，结论正确； 选项C：2023年2480万年2621万年2973万，人数持续增加，结论正确； 选项D：2019年甘肃省国庆假期旅游人数已经达到2150万，早已经突破2000万，因此该结论错误 9．D 【分析】设原来盒子中有个小球，小球号码的平均数为，则盒子中有个小球，小球号码的平均数为，根据小球上号码的数值，盒子、中平均数的变化列方程组求解． 【详解】解：设原来盒子中有个小球，小球数码的平均数为，则盒子中有个小球，小球数码的平均数为， 根据题意可得：， 由②得：， 由③得：， ， 整理得：， 解得：． 10．A 【分析】如图 2，设，过点作于，连接，根据垂径定理得到，再利用几何概率的求法得到，则，接着利用勾股定理，在中有，在中有，所以，则，于是可表示出，然后根据几何概率的求法计算区域的面积与整个面积的比即可； 【详解】解：如图 2，设， 过点作于，连接，则， ， ， 整理得， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， 在中，， 在中，， ． 11． 【分析】本题主要考查了随机事件的概率，通过图形判断能同时和号和号都相邻的位置有个，总共有个位置，号和号是固定位置，即可算出号球与号和号都相邻的概率． 【详解】解：总共有个位置，号和号是固定位置，还剩余个位置，通过图形判断能同时和号和号都相邻的位置有个，所以号球与号和号都相邻的概率为． 故答案为． 12． 【分析】本题考查平行四边形的性质与几何概率的综合应用，解题核心是利用平行四边形的性质，结合线段比例关系，求出与平行四边形的面积比，即为所求概率． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， 和同高， ， ， 点落在内的概率是． 13． 12 17 【分析】先根据总人数相等计算的值，再结合已知限定条件，根据求最大值的要求推理求解 【详解】解：由题意，该班男生总人数为运动能力I各项目的人数之和， 即， 因为素质项目II人数之和等于总人数，因此 已知选择排球的2位同学均选择健身长拳和立定跳远组合， 选择游泳的4位同学的运动能力I和素质项目II组合各不相同， 所有可能的不同组合共4种， 为（篮球，立定跳远），（篮球，实心球），（足球，立定跳远），（足球，实心球）， 因此4位游泳同学中，有2人选择立定跳远，2人选择运动能力I的篮球， 要使目标组合人数最多，应将剩余立定跳远名额尽可能分配给目标组合， 立定跳远总人数为21，已被排球占用2个名额，被游泳占用2个名额， 因此剩余立定跳远名额为， 运动能力I的篮球总人数为19，其中2人选择游泳， 因此最多有名篮球考生选择健身长拳， 健身长拳总人数为29，已被排球占用2个名额，剩余名额为， 足球总人数12，其中2人选择游泳，剩余10名足球考生均可选择健身长拳，，刚好满足健身长拳的名额限制， 因此选择篮球、健身长拳、立定跳远组合最多有17人． 14． 【分析】先根据正比例函数经过第一、三象限求出a的取值范围，再根据一元二次方程有实数解求出a的取值范围，找出同时满足两个条件的a值，最后利用概率公式求解． 【详解】解： 正比例函数经过第一、三象限， ， ， 一元二次方程有实数解， 且， ， ， 且， 笔上的数字为， 符合条件的a值只有， 所求概率为． 15．231 【分析】本题考查方差公式，根据题意得中国队6名队员的成绩分别为：两个42分，一个40分，两个36分，一个35分，再进行计算即可． 方差公式中明确给出了中国队6名队员的成绩分布，直接求和即可得到团体总分． 【详解】解：根据题意，中国队6名队员的成绩分别为：两个42分，一个40分，两个36分，一个35分， ∴团体总分为：． 故答案为231． 16． 【分析】本题考查了算术平均数，中位数，一次函数的其他应用．首先计算的算术平均数，得到 ，然后根据 的取值范围确定 的中位数表达式，并分别在不同情况下设求解方程，最终在内得到解 ，代入求出值，即可作答． 【详解】解：设，，， 则为的中位数， 依题意， 求两两相等的点：当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，； 依题意，， 则， ∴， 解得（舍去）； 当时，； 依题意，， 则， ∴， 解得（舍去）； 当时，； 依题意，， 则， ∴， 解得（舍去）； 当时，； 依题意，， 则， 解得， 依题意，把代入，得， 则函数与的交点为， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】（1）直接概率公式作答即可； （2）画出树状图，列举出所有等可能的情况，并找出符合题意的情况数，进而根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵一圆环被4条线段等分成4个区域， ∴火星探测模型放在区域①的概率是 （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况数，其中火星探测模型和空间站模型放在相邻的两个区域有8种，则火星探测模型和空间站模型放在相邻的两个区域的概率是． 18．(1)81.25 (2)乙学校，理由见解析 (3)88 【分析】（1）先根据样本容量50确定中位数是第25、26位数据的平均数，再通过频数分布直方图定位这两个数据所在组，最后结合该组数据算出中位数； （2）通过对比两校的中位数、优秀率，说明乙校在整体成绩的中间水平、或高分段占比上均优于甲校，得出乙校水平更高的结论； （3）先计算入选比例，再转化为样本中需选取的前15名，最后按从高到低排序找到第15名的成绩，即为预估的最低入选分数． 【详解】（1）解：甲校抽取了名学生，中位数是第25、26个数据的平均数， 由频数分布直方图可知，按从小到大排列第25、26个数据都在这一组内， 根据信息B，甲学校学生成绩从小到大排列后位于第25位，26位分别为81、81.5， ∴甲学校学生成绩的中位数为（分）； （2）解：乙学校综合素质展示的水平更高，理由如下： ①乙校中位数为84分，高于甲校的中位数81.25分，说明乙校有一半以上的学生成绩高于84分，整体水平更优； ②甲校抽取的名学生中，优秀人数为20人，故甲校优秀率约为， 乙校的优秀率为 ，高于甲校的 ，说明乙校高分段学生更多； （3）解：由题意，每所学校名学生中前名入选，占比为， 抽取的名学生中，需选取前名， 将甲学校学生成绩按从大到小排列，第15名的成绩为88分， ∴预估甲学校分数至少达到88分的学生才可以入选． 19．(1)见解析 (2)86，87 (3)八年级，理由见解析 【分析】（1）统计出八年级和的人数，即可补全统计图； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）根据众数、中位数和方差结合平均数进行分析即可. 【详解】（1）解：八年级的有4人，的有2人， 补全统计图如下： （2）解：七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 15个数据中86出现的次数最多，为3次， 所以； 八年级：75，76，78，78，84，85，86，87，87，87，88，90，90，91，93． 已按照从小到大排列，中间第8个数是87， 所以； （3）解：七年级和八年级的平均数相同，都是85分，但众数和中位数相比，八年级要高，并且七年级成绩的方差要大于八年级成绩的方差，所以八年级的成绩要更加稳定， 综上，八年级的学生人工智能技术的总体水平较好. 20．(1) (2) (3) (4)准确性较高，原因见解析 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式； （2）利用题干所给偏差计算公式求出对应的值； （3）通过比较偏差确定最优函数表达式； （4）结合实际情况作答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式是， ，，时，， 则， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ； （3）解：由题意可知： 对于，， 的值为， 的值为， 其中对应的值最小为， 即的偏差最小， 为最优函数表达式； （4）解：准确性较高． 因为随着h降低，液体对容器底部压强变小，会使得水流速度变慢，满足题中出现的方程， 因此数据准确性较高． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $