第二十一章 特殊四边形的性质和判定 培优滚动练 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 特殊平行四边形的性质和判定 培优滚动练 人教版八年级下册 1.如图, 四边形ABCD是矩形, 点E在BC的延 长线上, DE∥AC.△DBE是等腰三角形吗？试说明理由. 解：是. 理由如下： ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC, AC＝BD. 又∵AC∥DE,∴四边形ACED是平行四边形. ∴AC＝DE.∴BD＝DE. ∴△DBE是等腰三角形. 2.如图, 将矩形ABCD沿AC对折, 使 △ABC落在△AEC的位置, 且CE与AD相交于点F. (1)求证：EF＝DF； (2)若AB＝ , BC＝3, 求折叠后的 重叠部分(阴影部分)的面积. (1)证明：∵四边形ABCD为矩形, ∴AB＝CD, ∠B＝∠D＝90°. 由折叠可知, AE＝AB,∠E＝∠B＝90°, ∴AE＝CD, ∠E＝∠D. 又∵∠AFE＝∠CFD, ∴△AEF≌△CDF(AAS). ∴EF＝DF. (2)解：∵四边形ABCD为矩形, ∴AD＝BC＝3, CD＝AB＝ . 由(1)得△AEF≌△CDF, ∴FC＝FA. 设FA＝x, 则FC＝x, FD＝3－x. 在Rt△CDF中, CF2＝CD2＋DF2, 即x2＝( )2＋(3－x)2, 解得x＝2. ∴折叠后的重叠部分的面积为 AF·CD＝ ×2× ＝ . 3. 如图, 在▱ABCD中, 对角线AC, BD相 交于点O, 且OA＝OD, ∠OAD＝50°, 求∠OAB的度数. 解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA＝OC＝ AC, OB＝OD＝ BD. ∵OA＝OD, ∴AC＝BD. ∴▱ABCD是矩形. ∴∠DAB＝90°. ∵∠OAD＝50°, ∴∠OAB＝∠DAB－∠OAD＝40°. 4. 如图, 在四边形ACBD中, DB∥AC, E是AC的中点, DB＝AE, 连接AB, BE, DE. (1)求证：四边形DBCE是平行四边形. (2)若要使四边形ADBE是矩形, 则 △ABC应满足什么条件？说明你的理由. (1)证明：∵E是AC的中点, ∴AE＝EC. ∵DB＝AE, ∴EC＝BD. 又∵DB∥AC, ∴四边形DBCE是平行四边形. (2)解：当△ABC满足AB＝BC时, 四边形ADBE是矩形. 理由如下： ∵DB＝AE, DB∥AC, ∴四边形ADBE是平行四边形. ∵AB＝BC, E为AC中点, ∴∠AEB＝90°. ∴平行四边形ADBE是矩形, 即△ABC满足AB＝BC时, 四边形ADBE是矩形. 5. 如图, 在菱形ABCD中, ∠A＝60°, 连接 对角线BD, E, F分别是边AB, BC的中点, 分别连接DE, DF, EF. 求证：△DEF是等边三角形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB＝AD＝CB＝CD, ∠C＝∠A＝60°. ∴△ABD和△CBD都是等边三角形. ∴∠ADB＝∠CDB＝60°. ∵E, F分别是AB, BC的中点, ∴DE⊥AB, DF⊥BC, ∠BDE＝ ∠ADB＝30°, ∠BDF＝ ∠BDC＝30°. ∴DE＝DF, ∠EDF＝∠BDE＋∠BDF＝60°. ∴△DEF是等边三角形. 6.如图, 在菱形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, E是 CD的中点, 连接OE, AE, 过点C作CF∥BD交OE的延长 线于点F, 连接DF. (1)求证：四边形OCFD是矩形； (2)若DF＝2, CF＝3, 求AE的长. (1)证明：∵CF∥BD, ∴∠ODE＝∠FCE. ∵E是CD的中点, ∴DE＝CE. 又∵∠DEO＝∠CEF, ∴△ODE≌△FCE(ASA).∴OE＝FE. ∴四边形OCFD是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD. ∴∠COD＝90°.∴四边形OCFD是矩形. (2)解：由(1)得四边形OCFD是矩形, ∴OC＝DF, OE＝CE＝EF. 如图, 过点E作EG⊥AC于点G, ∴OG＝CG.∴EG＝ CF＝ ×3＝ . ∵四边形ABCD为菱形, DF＝2, ∴OA＝OC＝DF＝2.∴OG＝1. ∴AG＝OA＋OG＝3. 在Rt△AEG中, AE＝ ＝ ＝ . ∴AE的长为 . 7. 如图, 两张等宽的纸条交叉叠放在一起, 重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 解：四边形ABCD是菱形. 理由如下： 如图, 过点A作AF⊥BC于点F, AE⊥CD于点E. ∴∠AFB＝∠AED＝90°. ∵AB∥CD, AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴∠ABF＝∠ADE. 在△ABF和△ADE中, ∴△ABF≌△ADE(AAS). ∴AB＝AD.∴▱ABCD是菱形. 8.如图, 在四边形ABCD中, AB∥CD, AB＝AD, 对角线AC, BD相交于点O, AC平分∠BAD, 过点C作CE⊥AB交AB 的延长线于点E, 连接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB＝5, BD＝6, 求OE的长. (1)证明：∵AB∥CD, ∴∠CAB＝∠DCA. ∵AC平分∠BAD, ∴∠CAB＝∠DAC. ∴∠DCA＝∠DAC.∴CD＝AD. ∵AB＝AD, ∴AB＝CD. 又∵AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB＝AD, ∴四边形ABCD是菱形. (2)解：∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, OA＝ AC, OB＝ BD＝3. 在Rt△AOB中, ∠AOB＝90°, ∴OA＝ ＝ ＝4. ∵CE⊥AB, ∴∠AEC＝90°. ∵O是AC的中点, ∴OE＝ AC＝OA＝4. 9. 如图, E是正方形ABCD的对角线BD 上一点, 且BE＝BC, 过点E且与BD垂直的直线交CD于点F, 连接BF.求证：CF＝EF＝DE. 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠C＝∠ADC＝90°, DB平分∠ADC. ∴∠EDF＝ ∠ADC＝45°. 依题意, 得EF⊥BD. ∴∠DEF＝90°. ∴∠DFE＝180°－∠EDF－∠DEF＝45°. ∴∠EDF＝∠DFE.∴EF＝DE. ∵BF＝BF, BC＝BE. ∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL). ∴CF＝EF. ∴CF＝EF＝DE. 10. 如图, 在正方形ABCD中, E, F分别是 边BC, CD上的点, BE＝CF, 连接AF, DE交于点G.求证： AF＝DE且AF⊥DE. 证明：∵四边形ABCD是正方形, ∴BC＝CD＝AD, ∠C＝∠ADF＝90°. ∴∠DAF＋∠AFD＝90°. ∵BE＝CF, ∴BC－BE＝CD－CF, 即CE＝DF. ∴△CDE≌△DAF(SAS). ∴AF＝DE, ∠CDE＝∠DAF. ∴∠CDE＋∠AFD＝90°. ∴∠DGF＝90°, ∴AF⊥DE. 11. 如图, E, F, P, Q分别是正方形ABCD的四条边上的点, 且AF＝BP＝CQ＝DE.求证： (1)EF＝FP＝PQ＝QE； (2)四边形EFPQ是正方形. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AB＝AD, ∠A＝∠D＝90°. ∵AP＝AB－BP, DF＝AD－AF, BP＝AF, ∴AP＝DF. 在△APF和△DFE中, ∴△APF≌△DFE(SAS). ∴PF＝FE. 同理可证PF＝PQ＝QE, ∴EF＝FP＝PQ＝QE. (2)∵EF＝FP＝PQ＝QE, ∴四边形EFPQ是菱形. 由(1)得△APF≌△DFE, ∴∠AFP＝∠DEF. ∵∠DEF＋∠DFE＝90°, ∴∠AFP＋∠DFE＝∠90°. ∴∠PFE＝90°. ∴四边形EFPQ是正方形. 12. 如图, E, F, G, H分别是正方形ABCD 各边的中点. 求证： (1)四边形EFGH是菱形； (2)四边形EFGH是正方形. 证明：(1)如图, 连接AC, BD. ∵E, F, G, H分别是正方形ABCD各边的中点, ∴EF＝HG＝ BD, EH＝FG＝ AC. ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC＝BD. ∴EF＝HG＝EH＝FG.∴四边形EFGH是菱形. (2)∵四边形ABCD为正方形, E, F, G, H分别是正方形ABCD各边的中点, ∴AE＝AF, BE＝BH, ∠BAD＝∠ABC＝90°. ∴△AEF, △EBH是等腰直角三角形. ∴∠AEF＝∠BEH＝45°. ∴∠FEH＝180°－∠AEF－∠BEH＝90°. 由(1)得四边形EFGH是菱形, ∴四边形EFGH是正方形. 13. 如图, 正方形ABCD的对角线相交于 点O, O又是正方形A1B1C1O的一个顶点, 而且这两个正 方形的边长相等, 正方形A1B1C1O绕点O转动. 求证： (1)△AOE≌△BOF； (2)四边形BEOF的面积为 正方形ABCD面积的 . 证明：(1)∵四边形ABCD为正方形, ∴∠OAE＝∠OBF＝45°, OA＝OB, BO⊥AC, 即∠AOE＋∠EOB＝90°. ∵四边形A1B1C1O为正方形, ∴∠A1OC1＝90°, 即∠BOF＋∠EOB＝90°. ∴∠AOE＝∠BOF. 在△AOE和△BOF中, ∴△AOE≌△BOF(ASA). (2)由(1)得△AOE≌△BOF, ∴S△AOE＝S△BOF. ∴S四边形BEOF＝S△BOF＋S△BOE＝S△AOE＋S△BOE ＝S△AOB＝ S正方形ABCD, 即四边形BEOF的面积为正方形ABCD面积的 . 14.如图, 在正方形ABCD中, 点E, F分别在BC和CD上, 且满 足△AEF是等边三角形, 连接AC交EF于点G. (1)求证：CE＝CF； (2)若等边△AEF的边长为2, 求AC的长. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形, ∴AB＝AD, ∠B＝∠D＝90°, BC＝CD. ∵△AEF是等边三角形, ∴AE＝AF. ∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL).∴BE＝DF. ∴BC－BE＝CD－DF, 即CE＝CF. (2)解：∵△AEF是等边三角形, ∴AE＝AF＝EF＝2. 由(1)得CE＝CF,∴AC垂直平分EF.∴EG＝FG＝1. ∴AG＝ ＝ ＝ . ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠BCD＝90°. ∴CG＝ EF＝1.∴AC＝AG＋CG＝ ＋1. 15.如图, 在Rt△ABC中, ∠CAB＝90°, AD是边BC上的中 线, E是AD的中点, 过点A作BC的平行线交BE的延长线 于点F, 连接CF. (1)试判断四边形ADCF的形状, 并说明理由. (2)若四边形ADCF是正方形, BF与AE有什么数量关系？ 请说明理由. 解：(1)四边形ADCF是菱形. 理由如下： ∵AF∥BC, ∴∠FAE＝∠BDE. ∵E是AD的中点, ∴AE＝DE. 在△AEF和△DEB中, ∴△AEF≌△DEB(ASA).∴AF＝BD. ∵AD为Rt△ABC斜边上的中线, ∴AD＝BD＝CD. ∴AF＝AD＝CD. 又∵AF∥CD, ∴四边形ADCF是菱形. (2)BF＝2 AE.理由如下： 由(1)得△AEF≌△DEB, ∴FE＝BE, AE＝DE.∴BF＝2EF. ∵四边形ADCF是正方形, ∴AF＝AD, ∠FAD＝90°. 设AE＝DE＝m, 则AF＝AD＝2m. 在Rt△AEF中, EF＝ ＝ m, ∴BF＝2EF＝2 m. ∴BF＝2 AE. 16. 如图, 已知菱形ABCD 的对角线交于点O, E, F是对角线BD所在直线上的两点, 且∠AED＝45°, DF＝BE, 连接AE, CE, AF, CF, 得四边形AECF.求证：四 边形AECF是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴BO＝DO, AC⊥BD,AO＝CO. ∵BE＝DF, ∴BE＋OB＝DF＋DO. ∴FO＝EO. ∴EF与AC互相垂直平分. ∴四边形AECF是菱形. ∴∠AEF＝∠CEF. ∵∠AED＝45°, ∴∠AEC＝90°. ∴四边形AECF是正方形. 17.如图, ▱ABCD的对角线AC, BD交于点O, 分别以点B, C为 圆心, 以 AC, BD长为半径画弧, 两弧交于点P, 连接BP, CP. (1)试判断四边形BPCO的形状, 并说明理由. (2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时, 四边形 BPCO是正方形？ 解：(1)四边形BPCO为平行四边形. 理由如下： ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴OC＝ AC, OB＝ BD. 依题意, 得BP＝ AC, CP＝ BD, ∴OB＝CP, BP＝OC. ∴四边形BPCO为平行四边形. (2)当AC⊥BD, 且AC＝BD时, 四边形BPCO为正方形. ∵AC⊥BD, ∴∠BOC＝90°. 由(1)得四边形BPCO是平行四边形, ∴四边形BPCO是矩形. ∵AC＝BD, ∴OB＝OC. ∴四边形BPCO是正方形. 18.如图, 四边形ABCD为正方形, E为线段AC上一点, 连接 DE, 过点E作EF⊥DE, 交射线BC于点F, 以DE, EF为邻 边作矩形DEFG, 连接CG. (1)求证：矩形DEFG是正方形； (1)证明：如图, 过点E作EP⊥CD于点P, EQ⊥BC于点Q. ∴∠EPD＝∠EPC＝∠EQC＝90°. ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠DCA＝∠BCA＝45°. ∴EQ＝EP, ∠PEC＝∠QEC＝45°. ∠QEF＋∠FEC＝45°. ∵四边形DEFG为矩形, ∴∠DEF＝90°. ∠PED＋∠FEC＝∠FED－∠PEC＝45°. ∴∠QEF＝∠PED. 在△EQF和△EPD中, ∴△EQF≌△EPD(ASA). ∴EF＝ED, ∴矩形DEFG是正方形. (2)若AB＝2, CE＝ , 则CG的长度为 . $