辽宁朝阳市2025-2026学年高一下学期期末自编模拟数学试题

**基本信息** 高一期末数学模拟卷覆盖复数、三角函数、向量、立体几何等核心知识，解答题融入直角走廊等实际情境，凸显数学应用与分层能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数几何意义、三角函数定义、向量数量积|基础概念辨析，如第3题单位向量数量积运算| |多选题|3/18|复数性质、三角函数图像性质、立体几何位置关系|情境化设计，如第10题音乐合成函数周期与最值分析| |填空题|3/15|三角恒等变换、向量模长、函数图像变换|综合应用，如第14题函数图像伸缩与最值讨论| |解答题|5/77|三角函数单调性、向量运算、解三角形、立体几何表面积与外接球、实际问题建模|分层递进，如第17题解三角形三问；实际应用，如第19题直角走廊平板车通过问题建模|

20252026学年度下学期高一期末模拟题 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把 答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字 笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题 卷、草稿纸上作答无效 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， i-1 1.复数+2在复平面内对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 sina-cosc=(） 2.己知p(-l,2)是角a终边上一点，则sina+cosa 1 1 A.-3 B.-3 C.3 D.3 3.已知单位向量8,6满足a-32 ,则2a-36() A.4V2 B.4 c.25 D.3 4,在面四边形cD中，810，B=1C=0-5,D-而，将该四边形绕4奶 高一数学第1页（共5页） 所在直线旋转一周，所得几何体的体积为() 32 215 A.3π B.9V10元 D.93π 5.已知在梯形ABCD中，AB∥CD,∠DAB=90°，AB=2CD=4,AD=23,点E在 BC AE.DE 边上运动（包含端点），则 的取值范围为() D.e 6.已知0>0，函数 )上单调递减，则⊙的取值范围是() e D 7.设9-c0s5- 1-cos48° 3 sin5,b=2 2tanl3° C= 1-tan13°，则有() A.b<c<a B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b 8已知锐角三角形ABC中角么B,C的对边分别为a,bc,且b=V反B= 4,不等式 -c2+2ma≤1 对于任意满足条件的此三角形恒成立，则实数”的最大值为() 3 2 √2 A.不存在 B.4 c.4 D.3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设复数z在复平面内对应的点为Z,i为虚数单位，则下列说法正确的是() A.2= 高一数学第2页（共5页) B.若点2坐标为-13)，且：是关于的实系数方程+m+g=0的一个根，则 p+9=12 c.若-1，则2=山或2=封 D.若1≤-2刘≤5，则点乙的集合所构成的图形的面积为” 10.在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形已知某合成波形对应的函数为 下列关于该函数说法正确的是() A.f(四的最小正周期为2元 B./(x 的最大值为V5 「元π C.f(x)的图象关于直线6秘 D.f(x)在区间l2'2上单调递增 11.如图所示，在正方体 BCD-ABCD中，M,N分别为棱CDCC 的中点，则下 列结论正确的是() D M B A.直线MM与BN 是平行直线 N与 B.直线 是异面直线 C.直线MW与4 所成的角为60° D.M N B A 四点共面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 1 12.己知 ,且0<a<元，则m2a-} 高一数学第3页（共5页） 13.已知向量a6的夹角为石，回=3，a1(a-),则2a-- 14.已知函数 n(er+po>0p号引前象知图新不，点4a-28a2)在 (冈的图象上，且4=5，若将)图象上每个点的横坐标变为原来 m(m>0)倍， 得西数88()在02)上恰有一个最大值，一个最小值，则m的取值范图是 B(a,2) A(0,-2) 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤。 15. 已知函数/()=3sin2x-1 ①)求函数)的单调递减区间： @风数小引.首月，来黄系大位是在，清来我是 值时x的值 16.已知=2.=l,(2a-36)(2a+6)=9.61(6+a)】 (1)求实数‘的值： (四求a+5和5+ 夹角的余弦值。 高一数学第4页（共5页） cosA=cosC 17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2b-c. (1)求角A: (2)若a=1,且△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围： 6)老=V万，丽.C=3,∠A的平分线交边8C BC于点T,求AT的长 18.如图，在直三棱柱 BC-ABC中，底面△ABC 是直角三角形， ∠ACB=90° 4C=BC=2,侧 A4=3 .该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面 ABC ABC上，上底面在直三棱柱的上底面 上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相 切 A B B (1)求该圆柱的表面积： (2)求该直三棱柱的外接球O的体积： MN =d (3)点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记 R为外接 球的半径，求（公- 的最大值. 19.如图1所示，一直角走廊的宽度分别为m和 (m>0,n>0) 2 m B D 图1 图2 图3 高一数学第5页（共5页） (1)若一根铁棒水平通过直角走廊上P点与两墙分别交于A,B点（图2），其中点P,O分别 为直角走廊内侧、外侧直角拐点，且m=2,n=3. ①)设04=aoa=b,求a,b 之间满足的等量关系； (ii)求OA+OB的最小值； (2)若直角走廊的宽度均设计为t=2(图3)，现有一车宽DE为1，长EF为（车高忽略）， 转动灵活的矩形平板车CDEF,求该平板车能通过此直角走廊时I的最大值. 高一数学第6页（共5页） 2025~2026学年度下学期高一期末模拟题 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】设，则， 复数在复平面内对应的点为，位于第二象限． 2．已知是角终边上一点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】由已知得：． 3．已知单位向量，满足，则（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】D 【详解】由，得， 即，，所以， 所以． 4．在平面四边形中，，，，将该四边形绕所在直线旋转一周，所得几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析四边形特征得出旋转得到的几何体为一个圆台加上一个圆锥组成，再由体积公式计算可得结果. 【详解】过点分别作，垂足分别为，如下图所示： 在中，因为，，所以， 又在中，，因此，所以； 易知四边形为矩形，所以，可得； 将该四边形绕所在直线旋转一周，所得几何体为一个圆台和一个圆锥组成， 圆台的上、下底面半径为，高为，圆锥底面半径为，高为； 因此圆台体积为， 圆锥体积为， 所以所得几何体的体积为. 5．已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案 【详解】以A为原点，、所在的直线分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则，，， ，所以， 设，故， 因为，所以， 则，， 所以， 因为，其对称轴为，取得最小值， 当，取得最大值，所以 6．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可求出的取值范围，根据函数的单调性可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以，解得， 由可得， 又因为，所以可得，即， 又因为，所以，故，所以的取值范围是. 7．设，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， ，因为在上单调递增， 所以，又因为，所以 即，综上. 8．已知锐角三角形中角的对边分别为，且，不等式对于任意满足条件的此三角形恒成立，则实数的最大值为（    ） A．不存在 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可转化为，根据正弦定理结合三角恒等变换整理得，再利用函数的单调性及的范围求得的范围即可求得实数的最大值. 【详解】， 在中，由正弦定理得 由题意，得 由，解得. ∵在上都是单调递减函数， ∴在上单调递减 故，即实数的最大值为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设复数在复平面内对应的点为为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A． B．若点坐标为，且是关于的实系数方程的一个根，则 C．若，则或 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【分析】根据复数的乘法运算及模长公式可判断选项；由点的坐标为，可得，代入方程，解方程即可判断选项；根据模长公式，模长为1，举出反例即可判断选项；根据复数的几何意义可判断对应的图形为圆环，求出圆环面积即可判断选项. 【详解】解：设复数，则在复平面内对应点为， 选项，因为，， 所以与不一定相等，错误； 选项，由点坐标为，则，所以， 化简整理得，则，解得，， 所以，正确； 选项，当时，，错误； 选项，由，， 根据复数的几何意义可知，表示圆心为内半径长为，外半径长为的圆环， 所以圆环面积，正确. 10．在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形对应的函数为，下列关于该函数说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】AB 【分析】化简函数，结合三角函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数， 对于A，函数的最小正周期为，所以A正确； 对于B，函数的最大值为，所以B正确； 对于C，令，可得， 其中不是的解，所以不是的对称轴，所以C错误； 对于D，由，可得， 当时，即时，函数单调递增； 当时，即时，函数单调递减，所以D错误. 11．如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．，，，四点共面 【答案】BCD 【分析】对于A，取的中点为，连接，易得，结合，相交即可判断；对于B，由异面直线的概念即可判断；对于C，易知，则为直线与所成的角，再求角即可判断；对于D，连接，易知，再由平面确定定理即可判断． 【详解】解：对于A，取的中点为，连接，如下图所示： 由正方体性质可知，若直线与是平行直线， 则可得，，三点共线，显然这与，相交于点矛盾，故A错误； 对于B，易知平面，平面，直线，平面， 可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，连接，，如下图： 可得，故为直线与所成的角，而， 可得直线与所成的角为，故C正确； 对于D，连接，易知，可知，，，四点共面，故D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，且，则______. 【答案】 【详解】由，，可得， 则，， 则. 13．已知向量，的夹角为，，，则___________． 【答案】 【分析】利用垂直关系的向量表示求出，根据向量数量积的定义求得，结合数量积的运算律求解即可. 【详解】由，得，即，所以. 又，所以，即. 所以. 14．已知函数的图象如图所示，点在的图象上，且，若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则m的取值范围是___________. 【答案】 【分析】结合型函数图象的几何意义，求解出，由图象变换得到表达式，根据函数图象在恰有一个最大值，一个最小值求解出的范围. 【详解】因为，点在的图象上， 所以，即， 因为，所以，即， 由，可得，所以， 而在轴左侧，所以，即，因此， 由图象可知，，则， 因为且，所以， 设将图象上每个点的横坐标变为原来的倍后得到的函数为， 所以，， 当时，， 当时，，故， 而的最大值为，最小值为， 所以，即， 因此的取值范围为 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15．已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时x的值. 【答案】(1)，； (2)时，函数取最大值，时，函数取最小值 【分析】（1）先根据正弦函数递减区间列出的范围，解出的单调递减区间. （2）通过代入平移得到解析式，由的取值范围求出整体角的范围，结合正弦函数在该区间的最值，求出的最大值与最小值. 【详解】（1）由题意得， 由正弦函数的单调性分析，得到，， 解得，， 因此函数的单调递减区间为，； （2）由（1）知，， 所以 ， 当时，， 当时，即时，函数取最大值， 当时，即时，函数取， 当时，即时，函数取. 所以当时，即时，函数取最小值. 16．已知，，，. (1)求实数的值； (2)求和夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助数量积公式计算可得，再利用向量垂直性质计算即可得； （2）借助模长与数量积的关系计算可得、，再利用平面向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1），解得， 由，则，解得； （2）由，则，， ，则，， 故. 17．在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，，的平分线交边于点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和的正弦公式求解； （2）根据为锐角三角形，，由得到，再利用正弦定理结合三角恒等变换得到求解； （3）由得到，再利用余弦定理得到，然后根据为角平分线，由求解. 【详解】（1）由，可得， 化简得， ， ，又， 所以，即； （2）因为为锐角三角形，， 所以，即，解得 由正弦定理可知，即， 所以， 由，可得，则， 则，则的周长的取值范围为； （3）由得，即， 由，即，解得， 所以，解得， 可知，即， 由，可得， 所以，得， 解得. 18．如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切． (1)求该圆柱的表面积； (2)求该直三棱柱的外接球O的体积； (3)点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记，R为外接球的半径，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的内切圆半径及圆柱表面积公式即可求解； （2）由球的体积公式即可求解； （3）将的最大值，转化为求圆柱表面上的点到球心的距离的最大值的平方，结合图形及勾股定理即可求解． 【详解】（1）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，， 所以， 的内切圆半径， 圆柱的高， 所以圆柱的表面积 ． （2）直三棱柱的外接球球心位于上下底面外心连线的中点， 设外接圆的圆心为， 底面直角三角形外心是斜边的中点，则， ，所以， 外接球半径， 体积． （3）设底面的内心为， 由球的几何性质，的取值范围为， 代入得， 即的最大值，等价于求圆柱表面上的点到球心的距离的最大值的平方， 设点在底面的投影为，到底面的竖直距离为， ， 当取最大值（即在圆柱上底面或下底面的圆周上）时，竖直分量最大；同时水平分量的最大值出现在底面内切圆圆周上， 因此的最大值必在圆柱上下底面的内切圆圆周上取得， 在中，内切圆半径，外接圆半径为， 内心到外心的距离为， ， ， 故． 19．如图1所示，一直角走廊的宽度分别为和. (1)若一根铁棒水平通过直角走廊上点与两墙分别交于点（图2），其中点分别为直角走廊内侧､外侧直角拐点，且. （i）设，求之间满足的等量关系； （ii）求的最小值； (2)若直角走廊的宽度均设计为（图3），现有一车宽为，长为（车高忽略），转动灵活的矩形平板车，求该平板车能通过此直角走廊时的最大值. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）过点分别作垂直于为垂足，即可得，根据相似三角形的性质计算可得；（ii）利用基本不等式结合（i）的结论即可求解； （2）延长分别交于点，设，根据锐角三角形推导出，通过令，得到新函数，利用新函数的单调性即可求解. 【详解】（1）如图，过点分别作垂直于为垂足， （i）因为，所以，所以， 因为， 所以，即. （ii）由得，于是， 由基本不等式，当时取等号， 所以.即的最小值为. （2）如图，延长分别交于点， 设，则， 因为在直角三角形中，，所以， 同理，在中，， 所以， 因为，得， 设，令， 因为，所以，所以， 所以，且， 令， 因为函数在上单调递增， 所以当，即时， . 高一数学 第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $