精品解析：辽宁省朝阳市凌源市2024-2025学年高一下学期期末联合考试数学试卷

2024－2025学年度第二学期高一年级联合考试 数学 （考试时间：120分钟，考试满分：150分） 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．） 1. 已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆台 C. 圆锥 D. 棱柱 4. 某电器城为应对即将到来的空调销售旺季，批发了一批新型号空调，其中甲品牌60台，乙品牌45台，丙品牌30台，为了确保产品质量，质检员要在这批空调中采用分层抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行安全性能检验，若甲品牌空调抽取了12台，则（ ） A 18 B. 21 C. 24 D. 27 5. 已知角均为锐角，满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数满足，则单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 7. 设命题甲：是真命题；命题乙：函数在上单调递减是真命题，那么甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，由多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分．） 9. 下列使得复数对应的点在第三象限的的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 10 已知，则（ ） A. 的值为或 B. 当时，的值为 C. 当时，的值为 D. 当为第三象限角时，的值为 11. 函数为奇函数，函数（ ） A. 实数的值的值为2 B. 函数为上的单调递增函数 C. 不等式的解集为 D. 若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 化简：______． 13. 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的______心． 14. 在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 为加强科学教育，某校按照上级要求，开展了科学知识与科技创新比赛．该校将经过初选脱颖而出的10名学生平均分为甲、乙两组，进行加强测试，要求每组的5名学生每个人个人在单位时间内做竞赛题目若干，将每个同学做对题目的个数统计如下表： 甲组 5 5 6 9 10 乙组 5 6 7 8 9 （1）分别求出甲、乙两组同学在单位时间内做对题目个数的平均数及方差，并由此分析这两组的水平； （2）按照上级要求，学校将从甲、乙两组中做对题目超过7个的同学中随机抽取2名学生，若两人做对题目的个数之和不少于19个，则授予该校获得科学教育先进校称号．求该校获得科学教育先进校的概率． 16. 已知，函数． （1）求函数的解析式和单调增区间； （2）当时，求函数的最小值和最大值． 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）若，求的大小； （2）若的外接圆半径为2，试确定的关系式，并求的最大值． 18. 如图，在直三棱柱中，，，点是线段的中点，连接． （1）求证：平面 （2）设平面与平面交线为直线．求证： （3）若，求二面角的正弦值． 19. 若函数的定义域为，且存在实数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称函数具有“性质” （1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出实数值，若不具有“性质”，请说明理由； （2）已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的值域； （3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图象与直线有2025个公共点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期高一年级联合考试 数学 （考试时间：120分钟，考试满分：150分） 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．） 1. 已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得或，求出即可. 【详解】已知集合，集合．若，则或， 而方程无解，方程的解为， 经检验当时，满足集合中元素的互异性，且. 故选：D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过已知等式，将表示为分数形式，利用复数的除法运算法则，将分母实数化，求出. 【详解】 故选：C. 3. 将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆台 C. 圆锥 D. 棱柱 【答案】A 【解析】 【分析】由圆柱的定义可得答案. 【详解】将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是圆柱. 故选：A. 4. 某电器城为应对即将到来的空调销售旺季，批发了一批新型号空调，其中甲品牌60台，乙品牌45台，丙品牌30台，为了确保产品质量，质检员要在这批空调中采用分层抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行安全性能检验，若甲品牌空调抽取了12台，则（ ） A. 18 B. 21 C. 24 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】先求出样本容量与总体的比例，再求出各层的个数，从而求得样本容量． 【详解】由，得乙品牌抽取了台，丙品牌抽取了台， 所以 故选：D 5. 已知角均为锐角，满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的关系求出，再利用两角和的余弦公式可求得结果. 【详解】因为角均为锐角，所以， 因为， 所以，， 所以 . 故选：C 6. 若函数满足，则的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知，代入函数，结合，推出，所以，对绝对值函数单调性进行分段讨论求解. 【详解】由, 所以. 当时，，此时，指数随着x的增大而增大，因此在上单调递增； 当时，，此时，指数随着x的增大而减小，因此在上单调递减. 所以函数在上单调递增，在上单调递减（包含，左侧递减，右侧递增）. 故选：A. 7. 设命题甲：是真命题；命题乙：函数在上单调递减是真命题，那么甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出甲和乙的充要条件，再对比即可得解. 【详解】若是真命题，所以当且仅当， 即当且仅当， 若函数在上单调递减是真命题，则当且仅当，即当且仅当， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C. 8. 已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，结合且，将所求转换为求的最小值即可. 【详解】由题意得 ， 等号成立当且仅当，故的最小值为. 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，由多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分．） 9. 下列使得复数对应的点在第三象限的的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】AB 【解析】 【分析】由复数的几何意义求出实数的取值范围对比选项即可得解. 【详解】若复数对应的点在第三象限，则，解得， 对比选项可知，只有AB符合题意. 故选：AB. 10. 已知，则（ ） A. 值为或 B. 当时，的值为 C. 当时，的值为 D. 当为第三象限角时，值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用同角三角函数得基本关系：，，结合象限符号和的范围依次判断各选项的正误. 【详解】设，则. 代入，得：. 解得： 因为，与同号，故，两解均成立. 故A对. 当时，，故，即. 设，（），则， 此时，，故B错. 当时，，故. 所以，故C对. 当为第三象限角时，，，故. 所以 开方，故D对. 故选：ACD. 11. 函数为奇函数，函数（ ） A. 实数的值的值为2 B. 函数为上的单调递增函数 C. 不等式的解集为 D. 若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，对于B，利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性；对于C，利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可；对于D，分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】对于A，对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立，故A错误； 对于B，由（1），则，是定义域上的增函数，证明如下： 对任意的、且，则， 由可得， 故函数为上的增函数，故B正确； 对于C，因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 根据B项，可得，可得，即， 因为，则，解得，即原不等式的解集为，故C正确； 对于D，因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ， 令，当时，， 设，所以，， 于是当时，， 对，总，使得成立， 故函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的______心． 【答案】重 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，可得答案. 详解】由，则， 取的中点为，如下图： 可得，所以动点必定在的中线所在直线上， 即点的轨迹一定通过的重心. 故答案为：重. 14. 在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意作图，根据外接球的性质确定球心位置，利用余弦定理、正弦定理以及勾股定理，结合球的表面积公式，可得答案. 【详解】由题意，取的外接圆圆心为，取的中点为，空间中取点， 连接，其中，平面，如下图： 则点是三棱锥的外接圆圆心， 在中，由余弦定理可得， 即，所以， 因为平面，平面，所以， 又，则在平行四边形中，， 易得，则外接球表面积为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 为加强科学教育，某校按照上级要求，开展了科学知识与科技创新比赛．该校将经过初选脱颖而出的10名学生平均分为甲、乙两组，进行加强测试，要求每组的5名学生每个人个人在单位时间内做竞赛题目若干，将每个同学做对题目的个数统计如下表： 甲组 5 5 6 9 10 乙组 5 6 7 8 9 （1）分别求出甲、乙两组同学在单位时间内做对题目个数的平均数及方差，并由此分析这两组的水平； （2）按照上级要求，学校将从甲、乙两组中做对题目超过7个的同学中随机抽取2名学生，若两人做对题目的个数之和不少于19个，则授予该校获得科学教育先进校称号．求该校获得科学教育先进校的概率． 【答案】（1），，，，两组学生的总体水平相同，甲组中学生的技术水平差异比乙组大 （2） 【解析】 【分析】（1）代入平均数与方差公式求其值，比较可得两组学生的总体水平相同，甲组中学生的数学水平差异比乙组大； （2）由古典概型概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 依题中的数据可得： ，， ， ， ∵，， ∴两组学生总体水平相同，甲组中学生的技术水平差异比乙组大. 【小问2详解】 将从甲、乙两组中做对题目超过7个的同学共有四个，记四名同学为，他们对应的分数为， 样本空间为，共包含6个样本点， 若两人做对题目的个数之和不少于19个，则对应的样本点共2个，即为：， 故所求为. 16. 已知，函数． （1）求函数的解析式和单调增区间； （2）当时，求函数的最小值和最大值． 【答案】（1），单调递增区间为 （2）函数的最小值和最大值依次为 【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标运算、三角恒等变换化简得函数解析式，由整体代入法求单调递增区间； （2）先求得的范围，再借助于正弦函数的单调性得到的值域即得. 【小问1详解】 由题意 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 由题意， 所以， 所以的最小值和最大值依次为和1. 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）若，求的大小； （2）若外接圆半径为2，试确定的关系式，并求的最大值． 【答案】（1） （2），最大值为 【解析】 【分析】（1）根据余弦的和角公式可得，即可代入求解， （2）根据诱导公式可得，即可利用正弦定理边角互化，结合二倍角公式以及二次函数的性质即可求解最值. 【小问1详解】 由可得， 即，进而得到， 当可得， 由于，故. 【小问2详解】 由可知为钝角，进而为锐角， 故，因此， 则， 由正弦定理得 ， 故当时，此时取最大值. 18. 如图，在直三棱柱中，，，点是线段的中点，连接． （1）求证：平面 （2）设平面与平面的交线为直线．求证： （3）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形以及直三棱柱的性质，利用线面垂直的性质与判定，可得答案； （2）根据线面平行的性质与判定，可得答案； （3）由题意将三棱柱补形为四棱柱，根据线面垂直的性质以及二面角平面角的定义，利用勾股定理以及锐角三角函数，可得答案. 【小问1详解】 由为的中点，，则，易知， 在三棱柱中，易知，， 则，故， 在三棱柱中，由，则， 由平面，平面，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面. 【小问2详解】 在三棱柱中，， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以. 【小问3详解】 由题意，将三棱柱补形成四棱柱，如下图： 其中底面为正方形，为的中点， 由（1）可知平面，且，则平面， 在四棱柱中，易知，则平面， 因为平面，所以， 由（1）可知平面，且平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在四棱锥中，平面， 因为平面，所以， 易知，， 所以，则二面角的正弦值为. 19. 若函数的定义域为，且存在实数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称函数具有“性质” （1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出实数的值，若不具有“性质”，请说明理由； （2）已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的值域； （3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图象与直线有2025个公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1）具有； （2）答案见解析 （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义，即可求得答案； （2）函数具有“性质”可得，即可求出时，，讨论a的范围，即可求得答案. （3）由题意可推出函数的性质，继而可得周期，结合时，，可作出其图象，数形结合，即可求得答案. 【小问1详解】 函数具有“性质”； 设，则， 故，则， 则，即， 解得， 故函数具有“性质”，； 【小问2详解】 函数具有“性质”，则， 当时，，结合当时，， 可得时，， 当时，； 当时，； 【小问3详解】 函数既具有“性质”，又具有“性质”， 即，且，即函数为偶函数且关于直线对称， 则，故的周期为2； 结合当时，，可得函数图象如图： 直线过点，当时，函数的图象与直线有无数个公共点，不合题意； 当时，要使函数的图象与直线有2025个公共点， 则直线和的在内的每个周期内图象都有2个交点，y轴左侧无交点， 第2025个公共点位于第1013个周期内的区间上的图象上， 当直线过点时，； 当直线过点时，； 则符合题意的k需满足， 同理，结合图象的对称性可得当时，需满足， 即实数的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $