精品解析：山东德州市六校联考2025-2026学年第二学期第二次素养测试八年级数学试题

德州市2025－2026学年第二学期第二次素养测试八年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分） 1. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件是被开方数不为负数进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得； 解得， ∴函数中，自变量的取值范围是． 故选：D． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可． 【详解】解：A. ，原选项错误，不符合题意； B. 和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意； C. ，原选项正确，符合题意； D. ，原选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算． 3. 有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是一次函数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：①是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤不是一次函数． 故选：B 4. 下列长度的三条线段，不能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理知识是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理依次判断即可． 【详解】解：A、 ,因此不能组成直角三角形，故此选项符合题意； B、 ，因此能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、 ，因此能组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、 ，因此，，能组成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 5. 直线，下列说法不正确的是（ ） A. 点在l上 B. l与直线平行 C. y随x的增大而减小 D. l经过第二、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象的平移问题，求出当时，，即可判断A；根据直线l与直线的一次项系数相同即可判断B；根据即可判断C；根据即可判断D． 【详解】解：A、在中，当时，，则点在l上，原说法正确，不符合题意； B、∵直线l与直线的一次项系数相同，则l与直线平行，原说法正确，不符合题意； C、∵ ， ∴y随x的增大而减小，原说法正确，不符合题意； D、∵， ∴l经过第一、二、四象限，原说法错误，符合题意； 故选：D． 6. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选：C． 7. 顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线垂直的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定定理和三角形的中位线的定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此可知顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点得到矩形． 【详解】解：如图， 根据题意得，是的中点， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形． 故选：D． 8. 如图，菱形中，则菱形高长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BD=2BO=6，AC=2AO=8，再由勾股定理求得AB=5，利用菱形的面积公式和等面积法求解即可． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AC=2OA=8cm，BD=2OB=6cm， 在Rt△AOB中，由勾股定理得cm， ∵， ∴， 解得：DE=4.8cm， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形的面积公式、勾股定理，熟练掌握菱形的性质，会利用等面积法解决问题是解答的关键． 9. 如图，一次函数y1＝ax＋b与y2＝abx＋a在同一坐标系内的图象正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将a、b与0进行比较，然后分四种情况讨论其图象的位置． 【详解】解：分四种情况讨论： 若a＞0，b＞0， 则y1＝ax＋b经过一、二、三象限，y2＝abx＋a经过一、二、三象限，没有选项符合； 若a＞0，b＜0， 则y1＝ax＋b经过一、三、四象限，y2＝abx＋a经过一、二、四象限，A选项符合； 若a＜0，b＜0 则y1＝ax＋b经过二、三、四象限，y2＝abx＋a经过一、三、四象限，没有选项符合； 若a＜0，b＞0 则y1＝ax＋b经过一、二、四象限y2＝abx＋a经过二、三、四象限，没有选项符合； 故选A． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是正确掌握y=kx+b中系数k与b的意义，本题属于基础题型． 10. 如图，已知正方形的边长为2，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为4；③一定是等腰三角形；④；⑤EF的最小值为．其中正确结论的序号为（　　） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中，，求得；②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为4； ③根据P的任意性可以判断不一定是等腰三角形；④由②可知，四边形为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明；⑤当最小时，最小，的最小值等于． 【详解】解：①如图，∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴．故①正确； ②∵， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长，故②正确； ③∵点P是正方形的对角线上任意一点，， ∴当或或时，是等腰三角形， 除此之外，不是等腰三角形，故③错误； ④连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵正方形为轴对称图形， ∴， ∴，故④正确； ⑤由， ∴当最小时，最小， 则当时，即时，的最小值等于，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，在解答时要认真审题． 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 已知点和点在一次函数的图象上，则________．（填“ ＞ ”，“= ”或“＜”） 【答案】< 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴该一次函数的函数值随x的增大而增大， ∵−3<1， ∴， 故答案为：<． 【点睛】本题主要考查了一次函数函数值比较大小，解题的关键是熟知一次函数的增减性． 12. 如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_____． 【答案】15 【解析】 【详解】∵▱ ABCD的周长为36， ∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18． ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12， ∴OD=OB=BD=6． 又∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，DE=CD． ∴OE=BC． ∴△DOE的周长="OD+OE+DE=" OD +（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15． 故答案是：15． 13. 若函数是关于的正比例函数，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的正比例函数， ∴，， ∴， 故答案为：1． 14. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是化简绝对值，二次根式的性质，先判断，，再化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1 15. 如图，正方形中，，E是的中点，点P是对角线上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．由于点B与点D关于对称，所以如果连接，交于点P，那的值最小．在中，由勾股定理先计算出的长度，即为的最小值． 【详解】解：连接，交于点P，连接、． ∵四边形为正方形，， ∴，， ∴点B与点D关于对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴的长即为的最小值， ∵E是的中点， ∴， 在中，． 故答案为：． 三、解答题（本大题8小题，共90分，解答题要有必要的文字说明、证明过程或步骤） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再加减即可； （2）先利用完全平方公式进行展开，按顺序先进行二次根式的除法、乘法、二次根式的化简，然后再按运算顺序进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】船向岸边移动了 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出的长度，然后根据题意求出的长度，进而即可求出的长即得解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置， ∴， ∴， ∴船向岸边移动了， 答：船向岸边移动了． 18. 已知：一次函数． （1）若一次函数的图象过原点，求实数m的值； （2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，求不等式组的解集， 对于（1），由一次项系数非零及一元一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出实数m的值； 对于（2），由一次函数的图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出实数m的取值范围． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象过原点， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得:． 19. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 20. 下面是对函数和的图象和性质的研究，完成下列探索过程： （1）补全下表： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 ___ ____ ___ ___ 4 … … 0 1 2 3 4 … （2）根据上表，在平面直角坐标系中描出各点，分别画出函数与的图象； （3）根据函数图象填空： ①函数的最小值为____； ②当时，的值为______． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）①；②或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解题的关键． （1）分别把、、、代入函数解析式，求出的对应值即可； （2）根据表格中、对应值，画出函数图象即可； （3）①根据函数图象可直接得出结论； ②根据两函数的图象可直接得出结论． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，． 当时，； 当时，． 故答案为：； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示； 【小问3详解】 解：①由函数图象可知，函数的最小值为 ． 故答案为：； ②由函数图象可知，当时，的值为或． 故答案为：或． 21. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定、菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形． 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴． 22. 综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校学生小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每隔1小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 1 2 3 4 箭尺读数y（厘米） 6 12 18 24 30 【探索发现】 （1）请根据表格中的数据写出箭尺读数y与供水时间x之间的函数关系式_______，且这个函数的类型是______；（填“一次函数”或“正比例函数”） （2）应用上述发现的规律计算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 【答案】（1），一次函数 （2）①箭尺的读数为72厘米②当箭尺读数为96厘米时是 【解析】 【分析】（1）根据表格数据可判断箭尺读数y与供水时间x之间的函数关系是一次函数，待定系数法求解析式即可得解． （2）①当时，求出y，即可得解；②当时，求出x，再计算最终的时间即可得解． 【小问1详解】 解：由表格可知，供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加6厘米， 箭尺读数y与供水时间x之间的函数关系是一次函数， 设箭尺读数y与供水时间x之间的函数关系为， 把和代入得， 解得， 箭尺读数y与供水时间x之间的函数关系为，且这个函数的类型是一次函数； 【小问2详解】 解：①当时，厘米， 供水时间达到11小时时，箭尺的读数为72厘米； ②当时，， 解得， 经过15小时，箭尺读数为96厘米， 本次实验记录的开始时间是上午，， 当箭尺读数为96厘米时是． 23. 如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，， （1）求B点的坐标； （2）把矩形沿直线对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的周长； （3）若点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）利用30度的所对的直角边是斜边的一半，以及勾股定理求出的长，即可得解； （2）证明，推出四边形是菱形，设，则， 勾股定理求出的长，即可得解； （3）分点在轴和点在轴上，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴ 由勾股定理得：， ∴ 【小问2详解】 由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴四边形的周长； 【小问3详解】 解：由（1）可知：， ∵四边形是菱形， ∴为的中点， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ①在轴上时：设， 当为对角线时，设：， 则： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 当为边时，点在轴上，轴， ∴； ②在轴上时：设 当为对角线时，设：， 则： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； 当为边时，点在轴上，轴， ∴； 综上：或或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形性质，菱形的判定和性质，含30度的直角三角形．解题的关键是利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德州市2025－2026学年第二学期第二次素养测试八年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分） 1. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是一次函数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 下列长度的三条线段，不能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 5. 直线，下列说法不正确的是（ ） A. 点在l上 B. l与直线平行 C. y随x的增大而减小 D. l经过第二、三、四象限 6. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 7. 顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线垂直的四边形 8. 如图，菱形中，则菱形高长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数y1＝ax＋b与y2＝abx＋a在同一坐标系内的图象正确的是( ) A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形的边长为2，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为4；③一定是等腰三角形；④；⑤EF的最小值为．其中正确结论的序号为（　　） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 已知点和点在一次函数的图象上，则________．（填“ ＞ ”，“= ”或“＜”） 12. 如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_____． 13. 若函数是关于的正比例函数，则_______． 14. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则______． 15. 如图，正方形中，，E是的中点，点P是对角线上一动点，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题8小题，共90分，解答题要有必要的文字说明、证明过程或步骤） 16. 计算： （1）； （2） 17. 在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号） 18. 已知：一次函数． （1）若一次函数的图象过原点，求实数m的值； （2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围． 19. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 20. 下面是对函数和的图象和性质的研究，完成下列探索过程： （1）补全下表： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 ___ ____ ___ ___ 4 … … 0 1 2 3 4 … （2）根据上表，在平面直角坐标系中描出各点，分别画出函数与的图象； （3）根据函数图象填空： ①函数的最小值为____； ②当时，的值为______． 21. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 22. 综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校学生小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每隔1小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 1 2 3 4 箭尺读数y（厘米） 6 12 18 24 30 【探索发现】 （1）请根据表格中的数据写出箭尺读数y与供水时间x之间的函数关系式_______，且这个函数的类型是______；（填“一次函数”或“正比例函数”） （2）应用上述发现的规律计算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 23. 如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，， （1）求B点的坐标； （2）把矩形沿直线对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的周长； （3）若点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $