19.2.1平行四边形的边、角的性质(教学课件) 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦平行四边形的判定与性质，通过小明制作平行四边形的情境提问导入，衔接已学定义，以问题为支架引导学生探究判定方法，构建知识脉络。 其亮点在于情境导入激发兴趣，动手探究（如木条钉制、平移线段）培养几何直观，逻辑证明（全等三角形应用）发展推理能力，实际问题（栽树、四边形形状判定）提升应用意识，帮助学生深化理解，教师可高效教学。

19.2.1 平行四边形的 边、角的性质 第十九章 四边形 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的定义和表示方法。​ 探索并证明平行四边形的性质定理，包括对边相等、对角相等、对角线互相平分，能运用这些性质定理解决简单的几何问题。​ 探究并掌握平行四边形的判定定理，如两组对边分别相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形等，能运用判定定理判定一个四边形是否为平行四边形。​ 通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力，提高学生的数学思维水平。​ 让学生在探索平行四边形性质和判定的过程中，体会数学知识之间的内在联系，感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和合作精神。​ 二、教学重难点​ （一）教学重点​ 平行四边形的定义、性质和判定定理。​ 运用平行四边形的性质和判定定理进行计算和证明。​ （二）教学难点​ 平行四边形性质和判定定理的证明过程，尤其是添加辅助线的方法和思路。​ 灵活运用平行四边形的性质和判定定理解决综合性问题。​ 三、教学方法​ 讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合​ 四、教学过程​ （一）导入新课（5 分钟）​ 展示生活中常见的平行四边形图片，如伸缩门、楼梯扶手、停车位等，引导学生观察这些图形的共同特征。​ 提问：同学们，你们能从这些图片中发现什么共同的几何图形吗？这些图形有什么特点呢？从而引出本节课的主题 —— 平行四边形。​ （二）讲授新课（30 分钟）​ 平行四边形的定义​ 给出平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。​ 介绍平行四边形的表示方法，如图，平行四边形 ABCD 记作 “□ABCD”，读作 “平行四边形 ABCD”。​ 让学生在练习本上画出一个平行四边形，并标注顶点字母，用符号表示出来。​ 平行四边形的性质​ 探究活动 1：让学生用直尺和量角器测量自己画出的平行四边形的边和角，猜想平行四边形的对边、对角有什么数量关系。​ 学生汇报测量结果和猜想，教师进行总结归纳：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等。​ 证明性质定理：​ 对于 “平行四边形的对边相等”，引导学生连接平行四边形的一条对角线 AC，将平行四边形分成两个三角形△ABC 和△CDA。​ 证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB∥CD，AD∥BC。所以∠BAC = ∠DCA，∠DAC = ∠BCA。又因为 AC = CA，所以△ABC≌△CDA（ASA）。所以 AB = CD，AD = BC。​ 对于 “平行四边形的对角相等”，由△ABC≌△CDA 可得∠B = ∠D，再利用平行四边形邻角互补，可推出∠BAD = ∠BCD。​ 总结平行四边形的性质定理 1：平行四边形的对边相等。性质定理 2：平行四边形的对角相等。​ 练习 1：在□ABCD 中，已知 AB = 5，BC = 3，求它的周长。​ 答案：因为平行四边形对边相等，所以周长为 2×(AB + BC)=2×(5 + 3)=16。 学习目标 理解并掌握平行四边形的判定方法1、2. 能灵活利用平行四边形的判定方法1、2解决问题. 新课导入 学习了平行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形.第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示. 小戴问：怎么确定这四边形就是平行四边形呢? 新课探究 壮壮手中有一些木条，她想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮她想出一些办法来吗？ 例1 将线段AB按图中所给的方向和距离平移成线段A'B' ，连接AA'，BB'.得到四边形ABB'A'，它一定是平行四边形吗?为什么? A B B' A' 证明：连接 AC. ∵ AB // DC， ∴ ∠BAC =∠DCA. 又 AB = CD，AC = CA， ∴ △ABC ≌ △CDA. ∴∠ACB = ∠CAD. ∴ AD // BC. 因此，四边形ABCD是平行四边形. A B C D 新知探究 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形. A B C D 四边形ABCD 如果AB∥ CD, AD∥ BC 平行四边形的定义是什么？有什么作用？ B D ▱ABCD A C 可以用平行四边形的定义来判定平行四边形，如： 探究1： 新知探究 平行四边形的判定定理（定义法）： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 符号语言: ∵ AD∥ BC，AB∥ CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 探究新知 平行四边形的定义： 观察图形，说出各四边形中的边的位置有何特征？ 两组对边 都不平行 一组对边平行，另 一组对边不平行 两组对边 分别平行 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 一组对边___________的四边形是平行四边形．　　 平行四边形判定定理 1 平行且相等 常用符号“____”表示“平行且相等”， // ＝ // ＝ “AB CD”读作“_________________”. AB平行且等于CD 新知探究 探究2： 一组对边平行的四边形满足什么条件也是平行四边形呢？ 将线段AB按如图中所给的方向和距离平移成线段AʹBʹ，连接AAʹ，BBʹ.得到的四边形 ABBʹAʹ，它一定是平行四边形吗？为什么？ A B A' B' 新知探究 连接 AC. ∵ AB∥CD，∴∠BAC =∠DCA. 在 △ABC和△CDA中， ∴ △ABC≌△CDA . ∴ ∠ACB = ∠CAD. ∴ AD∥BC. 因此，四边形 ABCD 是平行四边形. C D A B 例2 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，且AB = DC. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明： 证一证 探究新知 AB∥ CD， ∠A+∠D ＝180° ， ∠B+∠C＝180°， D C A B 平行四边形的对边平行，相邻的内角互为补角.除此以外，平行四边形中，边、角还有什么性质呢？ 平行四边形的 对边平行 ∠A+∠B＝180°， ∠C+∠D ＝180° 平行四边形的 邻角互补 AD∥ BC 1、AB=DC，AD=BC 猜想： 2、∠A=∠C，∠B=∠D 即 平行四边形的对边相等. 即 平行四边形的对角相等. 探究新知 D C A B 思考：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？ 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥ BC，AB ∥ CD ∴ ∠A+∠B=180° ∠A+∠D=180° ∴ ∠B=∠D 同理可得 ∠A=∠C 随堂练习 1.四边形ABCD中，已知AB∥CD，再添加一个条件___________，使四边形ABCD是平行四边形. AB=CD 2.如图，□ABCD 中，线段 EF、GH 分别在AB、CD 上运动，在运动过程中总是保持 EF = GH. （1）试猜想四边形 EFGH 的形状，并说明理由. 解：四边形EFGH为平行四边形. 由平行四边形的性质得：AB∥CD，即 EF∥GH，又∵EF = GH， ∴ 四边形 EFGH 为平行四边形. A B C D E F G H 新知探究 归纳 平行四边形的判定定理1： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. B D C A ∵AB=CD，AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形. 几何语言： 常用符号“____”表示“平行且相等”， // ＝ // ＝ “AB CD”读作“____________________”. AB平行且等于CD 新知探究 例3 1.如图,过点A画两条线段AB,AD,以点B为圆心、AD长为半径画弧,再以点D为圆心、AB长为半径画弧,两弧相交于点C,连接BC，DC.这样画出的四边形ABCD的两组对边分别相等,它是平行四边形吗?为什么？ A B D C 巩固练习 1、 已知：如图， ABCD中，BE 平分 ∠ABC 交 AD 于点 E. (1) 如果 AE＝2，求CD的长； (2) 如果 ∠AEB＝40°，求 ∠C 的度数. ∵ BE 平分 ∠ABC ∴ ∠ABE＝∠EBC 解：(1) (平行四边形的对边平行) ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥ BC ∴ ∠AEB=∠EBC (两直线平行内错角相等) ∴ ∠ABE=∠AEB ∴ AB=AE=2 又∵ CD=AB (平行四边形的对边相等) ∴ CD=2 由(1)得 解：(2) ∠ABE=∠AEB=40° ∴ ∠A =180°-(∠ABE+∠AEB) =100° 又∵ ∠C=∠A (平行四边形的对角相等) ∴ ∠C =100° 新知探究 分析： 已知两组对边分别相等，只要再证明任意一组对边平行，即可证明所画四边形为平行四边形. 证明： 连接AC. ∵ AB=DC， AD＝BC，又 ∵AC=CA， ∴ △ABC ≌ △CDA，∠CAB=∠ACD . ∴ AB∥DC . ∵ AB=DC， AB∥DC . 因此，四边形ABCD是平行四边形. B D C A 探究新知 2、已知：如图，过 △ABC 的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△ .求证：△ABC的顶点分别是 △ 三边的中点. 证明：∵ AB∥ B'C，BC∥ AB' 同理： 同理： ∴△ABC的顶点分别是△ 三边的中点. ∴ 四边形ABCB'是平行四边形 探究新知 3、已知：如图，过 △ABC 的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△ .求证：△ABC的顶点分别是 △ 三边的中点. 变式：学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？ A B C 4. 如图，在 ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过 A，C 两点分别作 AE⊥BD，CF⊥BD，E，F 为垂足. 求证：四边形 AFCE 是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，AD∥ BC，∴∠ADE=∠CBF， 又∠AED=∠CFB=90°，∴△AED≌△CFB， ∴AE=CF. 又∵ ∠AEF=∠CFE=90°， ∴ AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形. 新知探究 平行四边形的判定定理1： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 符号语言: ∵AD =BC，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 探究新知 探究： 的两条平行线线段. 如图， 直线l1∥直线l2， AB，CD 是夹在直线l1 ，l2之间 AB与CD相等吗？为什么？ 夹在两条平行线之间的平行线段相等. 推论 1： l1 l2 A C B D E F 若AE⊥l2，CF⊥l2，则 AE 与 CF 相等吗？ 那么一条直线上所有的点 由上述结论可知， 如果两条直线平行， 到另一平行直线的距离都相等. （任意一点） 因此， 可以用点到直线的距离 两条平行线之间的距离. 来定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离， 叫做这两条平行线之间的距离. 图中，线段 AE 和 CF 称为直线 l1 和直线 l2 之间的距离. 由 AE＝CF 可得出下列结论： 两条平行线之间的距离处处相等. 推论 2： 新知探究 例4 如图， 作两条直线l1， l2相交于点O，在直线l1上截取OA=OC，在直线l2上截取OB=OD，连接AB，BC，CD，DA. 这样画出来的四边形ABCD的对角线就互相平分.这样画出的四边形ABCD的对角线互相平分，它是平行四边形吗？为什么？ 分析：可证明一组对边平行且相等来说明所画四边形为平行四边形. O A B C D l2 l1 新知探究 证明： ∵ OA=OC，OB＝OD， 又 ∵∠AOD=∠COB，∴ △AOD ≌ △COB. ∴ AD=CB，∠DAO=∠BCO . ∵ ∠DAO=∠BCO ，∴ AD∥CB . ∵ AD∥CB ，且 AD=CB. ∴四边形ABCD是平行四边形. O A B C D l2 l1 归纳总结 l1 l2 夹在两条平行线之间的平行线段相等. A C B D 推论 1： ∵ l1 // l2，AB // CD ∴ AB=CD 几何语言 : 两条平行线之间的距离处处相等. 推论 2： l1 l2 A C E F ∵ l1 // l2，AE⊥l2 ，AF⊥l2 ∴ AE=CF 几何语言 : 课堂小结 一组对边___________的四边形是平行四边形．　　 平行四边形判定定理 1 平行且相等 常用符号“____”表示“平行且相等”， // ＝ // ＝ “AB CD”读作“_________________”. AB平行且等于CD 课堂小结 从边考虑 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理1） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理2) 从角考虑 从对角线考虑 平行四边形的判定方法 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展） 对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3） $