19.2.1平行四边形的边、角的性质(教学课件)数学新教材沪科版八年级下册

19.2.1 平行四边形的 边、角的性质 第十九章 四边形 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解平行四边形的定义,掌握平行四边形的性质定理1(边的性质)及性质定理2(角的性质),会运用平行四边形的两个性质进行有关的证明和计算. 经历探索平行四边形性质的过程,发展学生的探究意识和提高学生合情推理的能力. 培养严谨的思维和勇于探索的思想意识,感受几何知识的内涵与实际应用价值. 探究新知 平行四边形的定义： 观察图形，说出各四边形中的边的位置有何特征？ 两组对边 都不平行 一组对边平行，另 一组对边不平行 两组对边 分别平行 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 探究新知 1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 认识平行四边形 D C A B 2、表示方法： 平行四边形用符号“ ”表示， 平行四边形ABCD， 记作 ABCD， 读作“平行四边形ABCD”. 3、平行四边形中 相邻的角称为邻角. 相对的角称为对角， 相对的边称为对边， 4、平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的 线段 AC、BD 就是平行四边形的两条对角线 对角线． 几何语言 : ∵ AB∥ CD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 反过来 ∴ AB∥ CD， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 AD∥ BC AD∥ BC AB∥ CD AD∥ BC 判定 性质 平行四边形的定义既是平行四边形的一种判定方法，又是它的一个性质. 知识拓展： 探究新知 AB∥ CD， ∠A+∠D ＝180° ， ∠B+∠C＝180°， D C A B 平行四边形的对边平行，相邻的内角互为补角.除此以外，平行四边形中，边、角还有什么性质呢？ 平行四边形的 对边平行 ∠A+∠B＝180°， ∠C+∠D ＝180° 平行四边形的 邻角互补 AD∥ BC 1、AB=DC，AD=BC 猜想： 2、∠A=∠C，∠B=∠D 即 平行四边形的对边相等. 即 平行四边形的对角相等. 验证猜想 有关四边形的问题 (ASA) 常常可转化为 已知：如图，四边形ABCD中，AB∥ DC，AD∥ BC. 求证：(1) AB＝DC，AD＝BC； 连接AC ∵ AB∥ DC，AD∥ BC ∴ ∠BAC＝∠DCA， D C A B 证明 (1)： ∠BCA＝∠DAC 在△ABC和△CDA中 ∴ △ABC ≌△CDA ∵ (公共边) ∠BCA＝∠DAC AC＝CA ∠BAC＝∠DCA (2) ∠DAB＝∠DCA，∠B＝∠D. ∴ AB＝DC， AD＝BC (2) ∴ ∠B＝∠D ∠DCB ∵ ∠DAB＝ ∠BAC+ ∠DAC ＝ ∠DCA+ ∠BCA 由(1)知： △ABC≌△CDA ∴ ∠DAB＝∠DCA 方法技巧： 三角形的问题来处理. 探究新知 D C A B 思考：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？ 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥ BC，AB ∥ CD ∴ ∠A+∠B=180° ∠A+∠D=180° ∴ ∠B=∠D 同理可得 ∠A=∠C 探究新知 D C A B 平行四边形的性质 边的性质： 平行四边形的对边平行 平行四边形的对角相等， 角的性质： 几何语言 : ∴ AB∥ CD， ∵ 四边形ABCD是平行四边形 AD∥ BC (平行四边形的对边平行) AB=CD， AD=BC (平行四边形的对边相等) ∴ ∠A=∠C， ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∠B=∠D (平行四边形的对角相等) (平行四边形的邻角互补) 且相等. ∠D+∠A ＝180° ∠B+∠C＝180° ∠A+∠B＝180°, ∠C+∠D ＝180°, 邻角互补. 几何语言 : 巩固练习 1、如图，在 □ ABCD中. (1) 若 ∠A+∠C= 200°，则 ∠A= ，∠B= . 100° 80° (2) 若 ∠A-∠B=80°，则 ∠A＝ ； ∠C＝ . 130° 130° (3) ∠A 与 ∠B 的度数之比为 5：4，∠A= ， ∠B= ， ∠C= ,∠D= . 100° 80° 100° 80° A D B C (4) 若 AB=3cm，BC=5cm，则它的周长= ______. 16cm (5) 平行四边形 ABCD 的周长为 40 cm，两邻边 AB，BC 之比为 2：3，则 AB= ，BC= . 12cm 8cm 平行四边形的周长=邻边之和×2 巩固练习 2、 已知：如图， ABCD中，BE 平分 ∠ABC 交 AD 于点 E. (1) 如果 AE＝2，求CD的长； (2) 如果 ∠AEB＝40°，求 ∠C 的度数. ∵ BE 平分 ∠ABC ∴ ∠ABE＝∠EBC 解：(1) (平行四边形的对边平行) ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥ BC ∴ ∠AEB=∠EBC (两直线平行内错角相等) ∴ ∠ABE=∠AEB ∴ AB=AE=2 又∵ CD=AB (平行四边形的对边相等) ∴ CD=2 由(1)得 解：(2) ∠ABE=∠AEB=40° ∴ ∠A =180°-(∠ABE+∠AEB) =100° 又∵ ∠C=∠A (平行四边形的对角相等) ∴ ∠C =100° 探究新知 3、已知：如图，过 △ABC 的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△ .求证：△ABC的顶点分别是 △ 三边的中点. 证明：∵ AB∥ B'C，BC∥ AB' 同理： 同理： ∴△ABC的顶点分别是△ 三边的中点. ∴ 四边形ABCB'是平行四边形 探究新知 3、已知：如图，过 △ABC 的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△ .求证：△ABC的顶点分别是 △ 三边的中点. 变式：学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？ A B C 探究新知 在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长？ 探究新知 探究： 的两条平行线线段. 如图， 直线l1∥直线l2， AB，CD 是夹在直线l1 ，l2之间 AB与CD相等吗？为什么？ 夹在两条平行线之间的平行线段相等. 推论 1： l1 l2 A C B D E F 若AE⊥l2，CF⊥l2，则 AE 与 CF 相等吗？ 那么一条直线上所有的点 由上述结论可知， 如果两条直线平行， 到另一平行直线的距离都相等. （任意一点） 因此， 可以用点到直线的距离 两条平行线之间的距离. 来定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离， 叫做这两条平行线之间的距离. 图中，线段 AE 和 CF 称为直线 l1 和直线 l2 之间的距离. 由 AE＝CF 可得出下列结论： 两条平行线之间的距离处处相等. 推论 2： 归纳总结 l1 l2 夹在两条平行线之间的平行线段相等. A C B D 推论 1： ∵ l1 // l2，AB // CD ∴ AB=CD 几何语言 : 两条平行线之间的距离处处相等. 推论 2： l1 l2 A C E F ∵ l1 // l2，AE⊥l2 ，AF⊥l2 ∴ AE=CF 几何语言 : 巩固练习 (1) 点 B 与点 D 的距离是指线段 的长； (2) 点 D 到直线 b 的距离是指线段 的长； (3) 两平行线 a、b 间的距离是指线段 或 的长； BD DC AB DC A B C D a b 1、如图，a∥b，AB⊥直线 a 于点A，CD⊥直线 b 与点 C，则： 探究新知 1、已知直线 a∥ b∥ c，a 与 b 的距离为 5cm，b 与 c 的距离为 2 cm，则 a 与 c 的距离是________ 3cm或7cm A.变大 B.变小 C.不变 B.变大变小要看点P向左还是向右移动. 2、如图，直线AB∥ CD，P是AB上的动点，当点 P 的位置发生变化时，三角形PCD的面积将（ ）. A B D C P C P 探究新知 3、(1) 在□ ABCD中，∠A=150°，AB=8cm，BC=10cm,则 S□ ABCD= . 40cm2 (2) 在(1)的条件下，若点P是□ ABCD上AD上任意一点，那么 △PBC 的面积是 . 20cm2 △PBC与□ ABCD是同底等高. A B C D E A B C D P s1 s2 s3 探究新知 B C A D 4、已知：如图，□ABCD 中，AB＝4，AD＝5，∠B＝45°.求直线 AD 和直线 BC 之间的距离，直线 AB 和直线 DC 之间的距离. 45° F E 4 5 变式 ：在□ ABCD 中，AB=20，AD=16，AB 和 CD 之间的距离为 8，则 AD 与 BC 之间的距离为 . A B D C F E 20 16 8 面积法 感谢聆听! $