湖北黄冈市黄梅县育才高级中学2026届高三下学期模拟预测数学试题

**基本信息** 本卷聚焦高考核心模块，以函数、几何、概率统计为主体，通过双败淘汰制概率、椭圆柱体几何等创新情境，考查数学建模与逻辑推理能力，适配高三模拟训练需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|函数性质、数列、椭圆离心率等|基础概念辨析，如向量与三角形判断（第6题）| |多选题|3|统计直方图、等差等比数列综合|选项分层设计，如抛物线与椭圆交汇（第11题）| |填空题|3|分段函数、超几何分布、球与台交线|空间想象与计算结合，如正三棱台交线长（第14题）| |解答题|6|解三角形、椭圆面积、概率赛制、导数综合|情境创新，如双败淘汰制期望计算（第17题）、椭圆柱体体积与二面角（第18题）|

黄梅县育才高中2026年高考模拟预测卷 高三数学 一、单选题 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 3．在等差数列中，且．若该数列前n项和为5070，则n为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为：（    ）． A． B． C． D． 5．函数的图像大致为（    ） A．B．C．D． 6．已知非零向量与满足且，则△ABC为（   ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 7．过直线上一动点M，向圆引两条切线，A、B为切点，则圆的动点P到直线AB距离的最大值为（    ） A． B．6 C．8 D． 8．已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值为0.015 B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C．估计总体中成绩落在内的学生人数105 D．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 10．已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且，，则（    ） A． B．，使得 C．数列的前20项和为 D．数列的前n项和为 11．已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与椭圆的右焦点重合，则下列说法正确的有（    ） A．该抛物线的准线被椭圆所截得的线段长度为 B．若，则点的横坐标为 C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D．周长的最小值为 三、填空题 12．已知函数，且，则的值为__________. 13．袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________． 14．在正三棱台中，，且该三棱台的高是，若以为球心，4为半径作一个球，则该球与底面的交线长是_________． 四、解答题 15．在△ABC中，角，，对应边分别是.已知成等差数列，且. (1)求的值； (2)若△ABC的外接圆半径为，求△ABC的面积. 16．已知点是离心率为的椭圆C：（）上的一点． (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值，并求此时直线l的 方程． 17．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． (1)经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． （ⅰ）求甲获得第四名的概率； （ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望． (2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘 汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 18．将椭圆面沿着垂直于其所在平面的空间向量平移得到的封闭几何体叫做椭圆柱体.如图所示的椭圆柱体，点和分别为上、下椭圆面的对称中心，椭圆的长轴长，短轴长为，，均垂直于椭圆面，且，过下底面椭圆的右焦点的动直线交椭圆于，两点，是上一点，且满足平面. (1)求的值； (2)求点到平面距离的最大值； (3)若，求二面角的余弦值. 19．已知 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知有两个极值点，且满足，求的值； (3)在(2)的条件下，若在上恒成立，求的取值范围． 黄梅县育才高中2026年高考模拟预测卷 高三数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C C D D A D AB CD BCD 1．B 【详解】因为，所以. 2．D 【详解】投掷一枚硬币3次，满足,但不一定是对立事件， 如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”， 则，，满足，但不是对立事件. 若事件A与事件B是对立事件，则为必然事件，再由概率的加法公式得； 所以“”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件； 3．C 【详解】在等差数列中，， 则，因此， 由该数列的前n项和为5070，得，则， 所以.故选：C 4．C 【详解】连接，则由中垂线的性质：，又，所以△为等边三角形，由椭圆的对称性，为其上顶点，所以.故选：C． 5．D【详解】若函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为； 因为，所以； 所以为定义域上的偶函数，图像关于轴对称，可排除选项A，C； 当时, ,排除选项B．故选：D． 6．D 【详解】∵和分别是与和同向的单位向量， ∴表示在的角平分线上的向量. ∵，∴， ∴的角平分线与垂直，∴. 又，∴，∴△ABC为等边三角形. 7．A 【详解】由题意知，设点在直线上，则， 过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则， 所以点A、B在以OP为直径的圆上，且该圆的方程为：， 又圆O的方程为，这两个圆的方程相减，得公共弦AB的方程为， 即，因为，所以，所以， 当且即时该方程恒成立，所以直线AB恒过定点， 所以点M到直线AB距离的最大值即为点C、N之间的距离加上圆C的半径， 又，，所以，即点M到直线AB距离的最大值为.故选：A 8．D 【详解】当时，，合题意. 当时，即 ， 为的增函数，，即， 由题意，只需,记， 当在单调递减，在单调递增， 故，所以，综上，的取值范围为，故选：D 9．AB 【详解】对于A：由，解得，A正确； 对于B：因为直方图中最高矩形对应区间为，所以估计这40名学生数学考试成绩的众数为，B正确； 对于C：区间对应的频率为，， 所以估计总体中成绩落在的学生人数为，C错误； 对于D：前三组的频率和为，第四组的频率为， 因为，所以第百分位数落在区间内， 由，即估计这名学生数学考试成绩的第百分位数约为，D错误；故选：AB. 10．CD 【详解】由题意，，， 由得，由得.联立解得，，故，. A：根据以上分析得，错误；B：，,解得非正整数，错误； C：设前项和，， 两式相减得 故.当时，，C正确； D：数列的前n项和即数列的前n项和加数列的前n项和, 即，正确. 11．BCD【详解】椭圆中，， 则，右焦点.   抛物线焦点为，与 重合得，， 因此抛物线方程为，准线. 选项，将准线代入椭圆方程得，解得 ， 截得线段长度为，错误； 选项 ，由抛物线定义，解得，正确； 选项，中，，外接圆圆心在的垂直平分线上，设圆心为. 圆与准线相切，半径，圆面积，正确； 选项，周长，先计算定值. 由抛物线定义，为点到准线的距离，因此， 最小值为到准线距离，即.因此周长最小值为，正确. 12．/ 【详解】函数，当时，， 当时，，由，得，则，解得， 所以.故答案为： 13．/ 【详解】编号不大于4的小球共有4个，大于4的小球共个， 从10个球中取4个，表示取出的不大于4的球的个数，服从超几何分布， 参数为：总体数，符合条件的个体数，抽取数， 超几何分布的期望公式为，代入得： . 14．/ 【详解】设平面的中心分别为，连接， 设球与底面的交线上一个动点为，作图如下： 因为为正三棱台，故面，且// 在中，；在中，； 取中点为，则//，且，故四边形为平行四边形，故//，则面 ； 连接，又面，故； 在中，，则， 故点的轨迹是以为圆心，且为半径的圆弧上，如图所示，也即弧； 又底面为等边三角形，故， 又在以为圆心，且为半径的圆上，所以弧所对的圆心角为， 由弧长公式可知弧的长度为. 也即球与底面的交线长是.故答案为：. 15．(1)(2) 【详解】（1）因为成等差数列，所以. 因为，由正弦定理可得，将其代入，可得. 由余弦定理可得； （2）因为，且，所以. 设的外接圆半径为，则. 由正弦定理可得， 则.所以△ABC的面积. 16．(1) (2)4， 【详解】（1）由题意得，且，所以， 将代入椭圆方程得，结合，得，， 所以椭圆C的方程为； （2）设直线l的方程为，A、B两点的坐标分别为，， 由消去，整理得， 由可得，且，， ， 点P到直线的距离为， ， 当且仅当，即时(满足)取得等号， 即面积最大，且最大值为4，此时直线l的方程为． 17．(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)“双败淘汰制”对甲夺冠有利，理由见解析 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算甲获得第四名的概率；分别计算甲打第2、3、4轮的概率，进而利用期望公式计算求解； （2）分别计算单败淘汰制和双败淘汰制下甲夺冠的概率，通过比较概率大小得出结论． 【详解】（1）（ⅰ）记“甲获得第四名”为事件A，则． （ⅱ）记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X，则X的所有可能取值为2，3，4． 连败两局：． 可分为连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负， ， ，故X的分布列如下： X 2 3 4 P 数学期望． （2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率：， 在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为：， ， “双败淘汰制”对甲夺冠有利． 18．(1) (2) (3). 【分析】(1)建系设点，由平面推出，利用向量平行坐标成比例求出点坐标，直接算. (2)设点，列平面的法向量方程组，写出法向量；代入点到平面距离公式，将距离表达式化简后用不等式放缩，求出最大值. (3)由得出方向向量，分别求平面、平面的两个法向量，用向量夹角公式计算余弦，结合图形取锐角值. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设， 所以，. 由平面，得，∴. （2）设，则，. 设平面的法向量为， 则取. 又因为， 所以(当时取等号)， 即点到平面的距离的最大值为. （3）因为，所以直线的方向向量， 直线的方向向量. 设平面的法向量为，则 取 又，直线的方向向量， 设平面的法向量为，则 取 所以. 由图可知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导，由极值点的定义可知方程有两个不等正根，再根据整理得，利用韦达定理代入即可求解； （3）令，利用导函数求的单调性证明在上恒成立即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以． 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为， 所以， 因为有两个极值点， 所以有两个大于0的变号零点， 所以方程有两个不等正根， 所以，解得， 又因为， 即有， 整理得， 代入， 可得，解得， 又因为，所以可得， 经检验，符合题意． （3）由(2)可知且，从而， 因为在上恒成立， 令， 则有在上恒成立，易得， 因为，所以， 令，对称轴， ①当时，， 所以在单调递增，从而恒成立， 所以在也恒成立， 所以在单调递增，从而恒成立． ②当时，， 所以有两个不等实根（不妨设）， 所以，且当时，，从而， 所以在上单调递减， 所以，与“在上恒成立”矛盾， 综上，的取值范围是． 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数最值之间的比较，列出不等式关系求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； 4、若参变分离不易求解，考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $