精品解析：2025年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题

2025年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题 注意事项： 1．答题前，考生将自己的考生号、姓名填写在试卷，答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条利码的“考生号，姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号，第Ⅱ卷的黑色签字笔在答题卡上作答，在试题卷上作答答案无效． 3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收目． 参考公式： 样本数据，，⋯的标准差：．其中为样本平均数 柱体体积公式，其中为底面面积，为高，台体体积公式． 其中，分别为上、下底面面积、为高． 锥体体积公式：，其中为底面面积为高． 球的表面积公式：，球的体积公式：，其中为球的半径 第Ⅰ卷选择题（57分） 一、选择题：本题共19小题，每题3分，共57分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，（，），若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 5. 已知向量与的夹角的余弦值为，，．则（ ） A. B. C. D. 6. 一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是第一象限角，，则（ ） A. B. C. D. 8. 对数函数经过点（ ） A. B. C. D. 9. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. ． 10. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 11. 男女运动员的比例是，从中抽取容量为28的样本，则抽取男运动员的人数为（ ） A. 22 B. 18 C. 16 D. 12 12. 已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件． 13. 已知，．则（ ） A. B. C. D. 14. 已知，则不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知向量和，则，，则（ ） A. B. C. D. 16. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 17. 已知两个球半径之比为1∶2，则表面积之比为（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶5 18. 已知，，，则下列说法错误的是（ ） A. 与相交 B. 与平行 C. 与异面 D. 与垂直 19. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（43分）（考生请在答题卡上作答） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共26分． 20. 函数，则__________． 21. 天气预报测出端午节当天会下雨，已知甲地下雨概率为0.7，乙地下雨的概率为0.5．且两地下雨互不影响，则甲乙两地都下雨的概率为__________． 22. 某学校为检测数学成绩，共有500人，且所有人的分数都落在的分数段，则分数落在的人数为__________． 23. 已知，，点P满足，求点到直线距离为__________ 三、解答题：本题共了小题，共27分．解答题应写文字说明，证明过程与演算步骤． 24. 如图，三棱柱中，底面是正三角形，平面．求： （1）若，求三棱柱体积． （2）若是中点，求证：平面． 25. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并加以证明． （2）若 在上恒成立，求的取值范围． 26. 在中，，，三个内角所对的边分别为，，．已知，，求: （1）若，求． （2）若为角平分线，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题 注意事项： 1．答题前，考生将自己的考生号、姓名填写在试卷，答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条利码的“考生号，姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号，第Ⅱ卷的黑色签字笔在答题卡上作答，在试题卷上作答答案无效． 3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收目． 参考公式： 样本数据，，⋯的标准差：．其中为样本平均数 柱体体积公式，其中为底面面积，为高，台体体积公式． 其中，分别为上、下底面面积、为高． 锥体体积公式：，其中为底面面积为高． 球的表面积公式：，球的体积公式：，其中为球的半径 第Ⅰ卷选择题（57分） 一、选择题：本题共19小题，每题3分，共57分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】要使函数有意义，需使，解得， 则函数的定义域为. 3. 已知，，（，），若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，. 4. 已知，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的符号确定角所在的象限. 【详解】由三角函数的定义可知，为第一、二象限角或终边在轴正半轴上；由为第一、四象限角或终边在轴的正半轴上， 两个条件同时成立，则为第一象限角. 故选：A. 5. 已知向量与的夹角的余弦值为，，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，， 所以. 6. 一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型求解即可. 【详解】由题意，基本事件共3种：抽中红球、抽中黄球、抽中蓝球， 其中“抽中红球”包含的基本事件数为1， 所以抽中红球的概率. 7. 已知是第一象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系，即可得答案. 【详解】因为是第一象限角，所以. 8. 对数函数经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于函数，令，则， 即函数经过点. 9. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. ． 【答案】D 【解析】 【详解】该不等式对应的方程的两个根分别为， 则不等式解得. 10. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题直接使用零点存在性定理求解即可. 【详解】解：∵ ∴ ，，， ， ∴ 根据零点存在性定理：的零点所在的区间是：. 故选：B. 【点睛】本题考查零点存在性定理，是基础题. 11. 男女运动员的比例是，从中抽取容量为28的样本，则抽取男运动员的人数为（ ） A. 22 B. 18 C. 16 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用男运动员的占比乘以样本容量即可求得抽取的男运动员人数. 【详解】，故抽取男运动员的人数为人. 12. 已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件． 【答案】A 【解析】 【分析】通过分别判断条件间的充分性与必要性，结合等腰三角形和等边三角形的定义，确定两个条件间的逻辑关系. 【详解】若三角形的三个内角都相等，则该三角形为等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形， 故”三角形的三个内角都相等”可推出”三角形是等腰三角形”，充分性成立. 等腰三角形只需至少两个内角相等，不一定三个内角都相等， 故”三角形是等腰三角形”不能推出”三角形的三个内角都相等”，必要性不成立. 因此，”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的充分不必要条件. 13. 已知，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，．则. 14. 已知，则不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得，故B错误； 选项C：若，满足，但，故C错误； 选项D：若，满足，但，故D错误. 15. 已知向量和，则，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法运算求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以. 16. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数的值域及函数图像的平移变换规律，结合特殊点坐标进行判断. 【详解】 由正弦函数的性质可知  ， 所以  ， 即函数   的值域为 ， 这意味着函数的图像应全部位于  轴上方（包含与  轴相切的情况），且最大值为 ， 观察四个选项： A 选项：图像过原点，且有负值，不符； B 选项：图像有负值，不符； D 选项：图像过原点，且有负值，不符； C 选项：图像全部在  轴上方，最大值为 ，且当  时 ，符合函数   的特征. 17. 已知两个球半径之比为1∶2，则表面积之比为（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶5 【答案】C 【解析】 【详解】设两个球的半径分别为，则 . 所以这两个球的表面积比为. 18. 已知，，，则下列说法错误的是（ ） A. 与相交 B. 与平行 C. 与异面 D. 与垂直 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以与无公共点， 又因为，，所以与无公共点， 故与不相交，可能平行或异面（异面时两直线也可能垂直）， 19. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体线线关系即可求解. 【详解】如图，连接 在正方体中，因为 所以四边形为平行四边形，所以 又在正方形中，，所以 则异面直线与所成角的大小为. 故选：D 第Ⅱ卷 非选择题（43分）（考生请在答题卡上作答） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共26分． 20. 函数，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以. 21. 天气预报测出端午节当天会下雨，已知甲地下雨概率为0.7，乙地下雨的概率为0.5．且两地下雨互不影响，则甲乙两地都下雨的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据事件的独立性，利用独立事件的概率乘法公式计算两地同时下雨的概率. 【详解】设”甲地下雨”为事件，”乙地下雨”为事件，则，. 由两地下雨互不影响，可知事件与相互独立. 因此，甲乙两地都下雨的概率为. 22. 某学校为检测数学成绩，共有500人，且所有人的分数都落在的分数段，则分数落在的人数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过计算频率来求得正确答案. 【详解】分数落在的频率为， 对应人数为 . 23. 已知，，点P满足，求点到直线距离为__________ 【答案】1 【解析】 【分析】由，得到，将问题转化为求点A到直线距离求解. 【详解】因为点P满足， 所以，即，则， 所以点到直线距离，即为点A到直线距离, 则, 故答案为：1 三、解答题：本题共了小题，共27分．解答题应写文字说明，证明过程与演算步骤． 24. 如图，三棱柱中，底面是正三角形，平面．求： （1）若，求三棱柱体积． （2）若是中点，求证：平面． 【答案】（1） （2） 根据线面垂直的判定定理，只需证明垂直于平面内的两条相交直线. 因为是正三角形，是中点，由正三角形三线合一得； 又平面，平面，因此. 由于，且 平面，因此平面. 【解析】 【分析】（1）由 平面得高为，正三角形面积公式求底面积，代入柱体体积公式即得； （2）正三角形中；由底面得；两条相交直线确定平面，故平面​. 【小问1详解】 已知平面，因此三棱柱的高， 底面是边长为的正三角形，其面积， 三棱柱体积公式为 ，代入得. 【小问2详解】 略. 25. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并加以证明． （2）若 在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 是奇函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称. 对任意，有，满足奇函数定义，因此是奇函数. （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性定义判断即可； （2） 求导得在上单调递增，利用奇函数将不等式化为 ，得 恒成立，再根据基本不等式求的取值范围. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 对求导得 恒成立，因此是上的单调增函数. 原不等式 ，结合是奇函数，即， 不等式可化为 ，由是增函数，不等式等价于 在上恒成立. 由基本不等式，，当且仅当时取等号，即的最小值为. 因此，即的取值范围是. 26. 在中，，，三个内角所对的边分别为，，．已知，，求: （1）若，求． （2）若为角平分线，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据余弦定理代入求解. (2)根据面积等于面积加上面积，用三角函数表示出来后即可求解. 【小问1详解】 根据余弦定理，， 因为，，所以，解得. 【小问2详解】 设，由题意得， ，，， 因为，所以， ， ， 因为 ，所以. 又因为，所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $