精品解析：2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题

2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学试题 （考试时间：90分钟；满分：100分） 一、单选题：本题共19小题，每小题3分，共57分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则角的终边位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A. B. 1 C. D. 7. 学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 30 8. 在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知为的边的中点.若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. （ ） A. B. C. D. 13. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 14. 在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（ ） A. 0.12 B. 0.88 C. 0.28 D. 0.42 15. 设3x＝4y＝36，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 16. 如果，那么下面不等式一定成立的是（   ） A. B. C. D. 17. 把函数的图像上的所有的点向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原的一半，最后把所有的点的纵坐标伸长到原来的4倍，所得图像的表达式（ ） A. B. C. D. 18. 已知向量，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 19. 某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图），现测得药物15分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为12毫克.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于6毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ） A. 15分钟 B. 分钟 C. 18分钟 D. 分钟 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 20. 已知球的表面积为，则它的体积为__________. 21. 函数的最大值是_________ . 22. 已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 23. 幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是________. 三、解答题：本题共3题，共27分. 24. 如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点． （1）求三棱锥的体积 （2）求证：∥平面； 25. 在中，. （1）求B； （2）若的周长为，求边上中线的长. 26. 已知函数，. （1）若是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）； （2）对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学试题 （考试时间：90分钟；满分：100分） 一、单选题：本题共19小题，每小题3分，共57分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，即可求解. 【详解】集合，, 所以 故选：B 2. 从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算. 【详解】有三件正品（用，，表示）和一件次品（用表示）的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品， 由古典概型得， 故选：D. 3. 已知，，则角的终边位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】由，， 根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 可得角的终边位于第四象限. 4. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由命题否定的定义即可得解. 【详解】命题“”的否定为. 故选：B. 5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性的定义，对各个选项中的函数逐一做出判断，从而得出结论． 【详解】对于A，，当，，在上单调递减，所以在定义域内不是增函数，故A错误； 对于B，，设，是一个偶函数，故B错误； 对于C，，如图，由函数的图像可以看出既是奇函数又是增函数，故C正确； 对于D，是一个偶函数，故D错误. 故选：C. 6. （ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 7. 学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】求出高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比，再列式计算作答. 【详解】依题意，该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比为：， 所以抽取的高二年级学生人数为. 故选：B 8. 在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合勾股定理，求得，即可求得答案. 【详解】如图所示，分别连接， 因为平面，可得 又因为，利用勾股定理，可得， 所以点一定是的外心. 故选: B. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式即可求解． 【详解】由得 所以 故选：A 10. 已知为的边的中点.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用，表示出. 【详解】由， 所以. 故选：B 11. 设，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次不等式解法解出，再根据充分条件和必要条件的概念即可判断． 【详解】或， 则，， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 12. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式，化简求值. 【详解】 故选：C 13. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数及指数函数单调性，比较，，与0，1的大小关系即可得答案. 【详解】解：因为，，， 所以，，， 所以， 故选：A. 14. 在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（ ） A. 0.12 B. 0.88 C. 0.28 D. 0.42 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出甲地不下雨的概率，和乙地不下雨的概率，再根据独立事件的概率求解. 【详解】因为甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4， 所以甲地不下雨的概率为0.7，乙地不下雨的概率为0.6， 所以甲、乙两地都不下雨的概率为 故选：D 【点睛】本题主要考查独立事件的概率，对立事件的概率，属于基础题. 15. 设3x＝4y＝36，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据指数式与对数式的互化公式，结合已知和对数的运算性质进行求解即可. 【详解】由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436， ∴＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1. 故选：D 【点睛】本题考查了对数式与指数式的互化公式，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 16. 如果，那么下面不等式一定成立的是（   ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】举反例可排除AB，根据二次函数的性质可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】不妨令，，，可排除A与B； 对于C，因为函数在上单调递减，且，所以，C正确； 对于D，，由基本不等式“”，得,D正确. 17. 把函数的图像上的所有的点向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原的一半，最后把所有的点的纵坐标伸长到原来的4倍，所得图像的表达式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据三角函数的图像变换得出结果. 【详解】把函数的图像上的所有的点向右平移个单位， 得到， 再把所有的点的横坐标缩短到原的一半， 得到， 最后把所有的点的纵坐标伸长到原来的4倍， 得到， 故选：D. 18. 已知向量，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积和模长的坐标运算，结合投影向量定义可求得结果. 【详解】，， 在上的投影向量为. 故选：B. 19. 某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图），现测得药物15分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为12毫克.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于6毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ） A. 15分钟 B. 分钟 C. 18分钟 D. 分钟 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入y＝6确定两个自变量的值，差即为有效时间． 【详解】设药物燃烧时y关于x的函数关系式为 代入（15，12）为， ； 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 代入（15，12）为， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为； 药物燃烧后y关于x的函数关系式为， 把y＝6代入,得：x＝7.5， 把y＝6代入，得：x＝30， ∵30−7.5＝22.5， ∴那么此次消毒的有效时间是22.5分钟， 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 20. 已知球的表面积为，则它的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算球的半径，再求体积 【详解】设球的半径为R,则 故答案为： 21. 函数的最大值是_________ . 【答案】2 【解析】 【分析】化简得到，得到最大值. 【详解】，故函数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了求三角函数最值，意在考查学生的计算能力. 22. 已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 23. 幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是________. 【答案】 【解析】 【分析】由样本数据结合下四分位数的定义求解即可. 【详解】将样本数据按从小到大排列可得，，，， 又， 所以样本数据的下四分位数为， 故答案为：. 三、解答题：本题共3题，共27分. 24. 如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点． （1）求三棱锥的体积 （2）求证：∥平面； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用锥体的体积公式即直接求解， （2）根据三角形的中位线可得线线平行，即可根据线面平行的判定求证. 【小问1详解】 ∵平面， 所以三棱锥的高为， 所以； 【小问2详解】 连接交于，连接， 则为的中点，且为的中点， 所以中位线//，且平面，平面， 所以//平面. 25. 在中，. （1）求B； （2）若的周长为，求边上中线的长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合二倍角的正弦公式进行求解即可； （2）根据余弦定理，结合（1）的结论进行求解即可. 【小问1详解】 根据正弦定理由， 因为，所以，即，所以； 【小问2详解】 由（1）可知，而，所以， 因此，由余弦定理可知：， 因为的周长为，所以有， 设边上中点为，所以， 由余弦定理可知：， 所以边上中线的长. 26. 已知函数，. （1）若是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）； （2）对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数a的取值范围. 【答案】（1），在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）函数为奇函数，举特例求出的值，再证明函数为奇函数，根据的正负，可观察出 在上单调性. （2）由题意可知，而，分，， 讨论求解. 【小问1详解】 ∵为奇函数， 则，解得. 此时， 又，又的定义域为， 此时为奇函数 所以若为奇函数，， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 又为定义在上的连续函数， 故在上单调递增. 【小问2详解】 当时，，∴ . ①当时，在上单调递增，∴，，∴. ②当时，在上单调递减，在上单调递增. ∴，，∴. ③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ∴，，不成立. 综上可知，. 【点睛】关键点点睛：本题中对任意，总存在唯一的，使得成立的理解及合理转化是解题的关键所在，先处理任意，求出函数的值域，为，则总存在唯一的，使得成立转化为值域包含且在时函数单调，据此可分类讨论，列出不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $