福建省2025-2026学年高二数学下学期学考模拟考（五）

**基本信息** 本试卷为高二数学学考模拟卷，覆盖集合、函数、几何等核心知识，通过统计分析、立体几何证明等题设计，考查数学眼光、思维与语言，适配学考要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|19/57|集合、复数、三角函数等|第9题成绩统计（众数、平均数）、17题频率分布直方图，体现数据意识| |填空题|4/16|向量垂直、三角形面积等|22题三角形面积计算，结合几何直观| |解答题|3/27|解三角形、立体几何证明等|25题长方体线面平行证明（空间观念），26题奇函数单调性证明（推理能力）|

2025-2026学年高二数学下学期学考模拟考（五） （考试时间:90分钟；满分：100分）2026-5-29 一、选择题：共19小题单选，每小题3分，共57分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 答案：C 详细解析：本题考查集合的并集运算。并集的定义是：由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，且元素不重复。集合中有元素1、2、3，集合中有元素2、3、4，合并后去重，得到，故选C。 2. 若复数，则的共轭复数（） A. B. C. D. 答案：A 详细解析：本题考查共轭复数的定义。对于复数（其中为实部，为虚部，为虚数单位），其共轭复数满足“实部不变，虚部取相反数”。本题中，实部为2，虚部为-1，故共轭复数，故选A。 3．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由函数有意义可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C 4. 不等式的解集为（） A. B. C. D. 答案：A 详细解析：本题考查一元二次不等式的求解。首先对不等式进行因式分解，，因此原不等式可化为。根据“两数相乘，异号得负”，可得两个不等式组：① （无解）；② （解得）。因此不等式的解集为，故选A。 5. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 答案：A 详细解析：本题考查平面向量的加法运算。平面向量相加，遵循“对应坐标相加”的原则，即若，，则。本题中，，因此，故选A。 6. 计算：( ) A．1 B．2 C．3 D． 答案：B 详细解析：本题考查对数的计算。根据对数的定义，。因为，所以。 7. 已知，为第二象限角，则（） A. B. C. D. 答案：B 详细解析：本题考查同角三角函数的基本关系。同角三角函数满足，变形可得。已知为第二象限角，第二象限角的余弦值为负数，因此，故选B。 8. 函数的图象过定点（） A. B. C. D. 答案：B 详细解析：本题考查指数函数的定点性质。对于指数函数（其中且），无论取何值，当时，（任何非零数的0次幂都等于1）。因此函数当时，，图象过定点，故选B。 9．已知8位学生得某次数学测试成绩为“57,59,61,62,67,67,72,75”，则（       ） A．众数为7 B．平均数为65 C．中位数为64 D．极差为17 【答案】B 【详解】 对于选项A：根据数据知，这组数据的众数为67，故A错误； 对于选项B：平均数为：，故B正确； 对于选项C：中位数为：，故C错误； 对于选项D：极差为：，故D错误. 故选：B 10. 正四面体（每个面都是等边三角形）的棱长为2，则该几何表面积为（） A. B. C. D. 答案：D 详细解析：每个面的面积为，共四个面，所以正四面体的表面积为。 11. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：C. 12. 从甲、乙、丙3人中选2人参加活动，则甲被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 答案：C 详细解析：本题考查组合问题（不考虑顺序）。从3人中选2人，无需考虑选出的两人顺序，可用列举法求解：选甲和乙、甲和丙、乙和丙，共3种选法。其中甲被选中有2种，故甲被选中的概率是，C。 13.设，则“”是“”（ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14. 已知，，则（ ） A.5 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算作答. 【详解】因为，，所以，， 所以，，解得，.. 故选：C 15. 下列函数中，在其定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数、二次函数、指数函数和对数函数性质直接判断各个选项即可. 【详解】对于A，由一次函数性质知：在和上式递减函数，A错误； 对于B，由二次函数性质知：在上单调递减，在上单调递增，B错误； 对于C，由指数函数性质知：在上单调递减，C错误； 对于D，由对数函数性质知：在上单调递增，D正确. 故选：D. 16.在正方体中，异面直线与所成的角大小为（ C ） A. B. C. D. 17.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，其频率分布直方图如图所示，则用电量低于150度的户数为（　　） A．70 B．18 C．30 D．24 【答案】C 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】先利用频率分布直方图求得用电量低于150度的频率即可. 【详解】由频率分布直方图得： 用电量低于150度的频率为：（0.0024+0.0036）×50＝0.3， 所以用电量低于150度的户数为100×0.3＝30． 故选：C． 18．已知，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ，，. 故选：A. 19.函数，则以下正确的是（ C ） A.的最小正周期为 B.的图像关于直线对称 C.的图像关于点对称 D.在上单调递增 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 20. 已知函数，则_______. 答案：7 详细解析：本题考查函数值的计算。将代入函数解析式，得。 21．已知平面向量，，若，则___________. 【答案】 【详解】 由，得，即，解得. 故答案为： 22. 在中，，，，则的面积为 . 答案：. 23.已知函数在区间上的最大值和最小值分别为，则 -4 . 解：二次函数的开口方向由二次项系数决定，本题中二次项系数为1（大于0），因此函数开口向上，在对称轴处取得最小值。 二次函数的对称轴公式为，其中，，因此对称轴为。 对称轴在区间内，因此最小值为。 接下来计算区间端点的函数值：，. 比较端点值和最小值，可得最大值为，最小值为。 三、解答题：本题共3小题，共27分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 24.（本题9分）在中角对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）求边的长. 解：（1）在中，∵，∴， ∴． 由正弦定理得，∴． ∵，∴，∴． （2）由余弦定理得 ，整理得， 解得或，且， 所以. 25. （本题9分）如图，长方体中，，E为的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）连接交于，连接，证明，结合线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）先证明平面，即可证明 【详解】（Ⅰ）证明：连接交于，连接. 在长方体中，， ∴底面是正方形，∴. ∵， ∴. 又∵平面，平面， ∴平面. （Ⅱ）证明：在长方体中，平面， 又平面∴. 由（Ⅰ）知，正方形，∴. 又， ∴平面. ∵平面， ∴. 【点睛】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定及性质，考查空间想象和推理能力，是基础题 26．（本题9分）若已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ＝. （1）求函数f(x)的解析式； （2）证明在是增函数. 【答案】f(x)＝ 【解析】 【分析】 根据奇函数的性质求得，再由已知函数值求得，得解析式． 【详解】 ∵f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数， ∴f(0)＝0，∴f(0)＝＝0，∴b＝0. 即f(x)＝， 又，∴. ∴a＝1，∴函数f(x)＝.，经检验符合题意. 故答案为：f(x)＝. （2），且， ∵ ∴,，即 ， ∴，即 由单调性的定义知，在上是增函数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期学考模拟考（五） （考试时间:90分钟；满分：100分）2026-5-29 一、选择题：共19小题单选，每小题3分，共57分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 6. 计算：( ) A．1 B．2 C．3 D． 7. 已知，为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 9．已知8位学生得某次数学测试成绩为“57,59,61,62,67,67,72,75”，则（       ） A．众数为7 B．平均数为65 C．中位数为64 D．极差为17 10. 正四面体（每个面都是等边三角形）的棱长为2，则该几何表面积为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 12. 从甲、乙、丙3人中选2人参加活动，则甲被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 13.设，则“”是“”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14. 已知，，则（ ） A.5 B. 1 C. D. 15. 下列函数中，在其定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 16.如下图（左），在正方体中，异面直线与所成的角大小为（ ） A. B. C. D. 17.如上图（右），从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，其频率分布直方图如图所示，则用电量低于150度的户数为（　　） A．70 B．18 C．30 D．24 18．已知，，，则（       ） A． B． C． D． 19.函数，则以下正确的是（ ） A.的最小正周期为 B.的图像关于直线对称 C.的图像关于点对称 D.在上单调递增 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 20. 已知函数，则_______. 21．已知平面向量，，若，则___________. 22. 在中，，，，则的面积为 . 23.已知函数在区间上的最大值和最小值分别为，则 . 三、解答题：本题共3小题，共27分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 24.（本题9分）在中角对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）求边的长. 25. （本题9分）如图，长方体中，，E为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 26．（本题9分）若已知函数是定义在的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）证明在是增函数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $