第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦导数概念、运算及几何意义，以“概念-运算-切线应用”为逻辑主线，通过基础、重难、真题三级演练，系统覆盖切线方程、参数求解等高频考点，培养逻辑推理与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模拟·基础演练|9题型41题|导数概念、四则与复合函数求导、切线方程（在点/过点）、参数求解|从概念到运算，再到切线基础应用，构建“定义-公式-几何意义”递进链条| |重难·创新演练|9题|新定义、跨模块交汇、公切线综合、切线条数探究|在基础上融合信息迁移与数学建模，深化导数几何意义的复杂应用| |真题·实战演练|4题|高考真题（切线方程、斜率求参等）|对接高考高频考点，强化切线辨析、逆向求参等核心考法|

第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 导数的概念 2 题型02 导数的和、差、积、商的导数 2 题型03 复合函数的导数 2 题型04 在点P处的切线 3 题型05 过点P处的切线 3 题型0б 已知切线或切点求参数 4 题型07 切线的条数问题 4 题型08 公切线问题 5 题型09 利用导数的几何意义求距离最值 6 重难·创新演练 6 真题·实战演练 8 模拟·基础演练 考查重点：重点考查导数运算公式、四则与复合函数求导、切线斜率与方程，围绕“在点处、过点处、公切线、切线条数、参数求解、几何意义最值”展开，聚焦导数几何意义应用，侧重公式计算、方程转化与数形结合思想。 题型01 导数的概念 1．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则_________． 4．已知函数的图像开口向下，，则（    ） A． B． C．2 D． 题型02 导数的和、差、积、商的导数 5．（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．函数，其中的导数________． 7．已知函数，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 8．已知是函数的导函数，且，则________. 题型03 复合函数的导数 9．若函数，则（    ） A． B． C． D． 10．函数的导函数（   ） A． B． C． D． 11．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数，则（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 题型04 在点P处的切线 13．若函数，则的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 14．曲线在点处的切线方程为______． 15．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_________． 16．已知，则在处的切线的斜率为__________. 17．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________. 题型05 过点P处的切线 18．过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 19．写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程______． 20．已知函数． (1)求的极值； (2)若过点作的切线，求切线的方程． 21．过点作曲线：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______． 22．过曲线：上异于原点的一点作的切线交于点，过点作的切线，则直线与直线的斜率之比为（   ） A．2 B． C． D． 题型0б 已知切线或切点求参数 23．已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 24．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 25．若直线与曲线相切于点，则m=___. 26．已知函数的图象所对应的曲线在点处的切线方程为，则值为________． 27．若函数的图象在上存在平行于轴的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07 切线的条数问题 28．已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（多选）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 30．若曲线只有一条过原点的切线，则的值为______________． 31．已知函数及点. (1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； (2)若过点与的图象相切的直线恰有条，求的值. 32．已知函数． (1)求的极值； (2)若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 题型08 公切线问题 33．（ 2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 34．（ 2026·河南·模拟预测）已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________． 35．已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 36．如图，已知曲线与曲线相切于点P，且在点P处有相同的切线l，求点P的坐标及a的值． 37．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 题型09 利用导数的几何意义求距离最值 38．点为曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 39．若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（   ） A．0 B．4 C．-6 D．4或-6 40．直线分别与曲线和直线相交于A，B两点，则的最小值为__________. 41．已知函数的极小值点为1，极小值为. (1)求a，b； (2)若图象上的动点P在第一象限，Q是直线：上的一动点，求的最小值. 重难·创新演练 设题创新:以新定义、周期规律、数列结合为创新载体，融合导数定义与几何意义；考查信息迁移、数学建模、分类讨论、数形结合；突出切线条数探究、公切线综合、逆向求参、跨模块交汇，强调逻辑推理与几何直观素养。 1．设函数在点附近有定义，且有（，为常数），则（    ） A． B． C． D． 2．【新角度】（ 2026·四川资阳·三模）已知函数则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．【新考法】（ 2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．【新角度】（ 2026·浙江嘉兴·二模）已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．【新题型】已知曲线与在交点处的切线互相垂直，则___________． 6．【新角度】（ 2026·山东淄博·二模）将曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则________. 7．【新情景】（ 2025·山东聊城·二模）过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为______． 8．曲线在处的切线为，分别记在，轴上的截距为，，则______． 9．已知函数． (1)若斜率为15的直线与曲线相切，求的方程； (2)记曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 真题·实战演练 高频考点：在点/过点切线方程、公切线、切线条数、切线斜率逆向求参、几何意义最值；近三年以选择填空、解答题第一问为主，中档难度居多，突出切线辨析、公切线、含参逆向三大热点。 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 2．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； 3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； 4．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算 目 录 模拟·基础演练 1 题型01 导数的概念 2 题型02 导数的和、差、积、商的导数 2 题型03 复合函数的导数 4 题型04 在点P处的切线 5 题型05 过点P处的切线 6 题型0б 已知切线或切点求参数 9 题型07 切线的条数问题 10 题型08 公切线问题 14 题型09 利用导数的几何意义求距离最值 17 重难·创新演练 20 真题·实战演练 25 模拟·基础演练 考查重点：重点考查导数运算公式、四则与复合函数求导、切线斜率与方程，围绕“在点处、过点处、公切线、切线条数、参数求解、几何意义最值”展开，聚焦导数几何意义应用，侧重公式计算、方程转化与数形结合思想。 题型01 导数的概念 1．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，又因为，所以， 即，解得，故C正确. 2．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，求导得， 所以. 3．已知函数，则_________． 【答案】 【详解】由，则， 所以． 4．已知函数的图像开口向下，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由得，. 由导数的定义可知，解得. 又因为的图像开口向下，所以，所以. 题型02 导数的和、差、积、商的导数 5．（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，由指数函数的导数公式得，故A正确， 对于B，由正弦函数的导数公式得，故B错误， 对于C，由对数函数的导数公式和导数的乘法法则得，故C正确， 对于D，由导数的除法法则得，故D正确. 6．函数，其中的导数________． 【答案】 【详解】，. 7．已知函数，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，则， 令可得，解得. 故选：D. 8．已知是函数的导函数，且，则________. 【答案】 【详解】因为，所以，则，故， 所以，故. 故答案为：. 题型03 复合函数的导数 9．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数 可得. 10．函数的导函数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以函数的导函数. 11．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，A正确． ，B错误． ，C错误． ，D错误． 12．已知函数，则（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】， . 题型04 在点P处的切线 13．若函数，则的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数求导得，则切线的斜率， 又，则切线方程为，即． 14．曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【详解】曲线的导函数为. 在点处切线斜率. 由点斜式得切线方程，整理得. 15．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_________． 【答案】 【详解】，， 曲线在点处的切线的斜率为， 曲线在点处的切线方程为， 即， 则与曲线相切， 将代入， 得到，即只有一个解， 故，解得. 16．已知，则在处的切线的斜率为__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 令，则，即得， 所以，即得， 则在处的切线的斜率为. 17．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________. 【答案】 【详解】设，则，所以， 因为为奇函数，所以， 所以， 当时，，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为： 题型05 过点P处的切线 18．过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 19．写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程______． 【答案】y＝2ex（或y＝－2ex） 【详解】当时，，， 设切点坐标为，则，解得， 所以此时切点坐标为，切线方程为， 即. 因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称， 则它的过原点的切线也关于轴对称， 所以它的另一条切线方程为. 故答案为：（或）. 20．已知函数． (1)求的极值； (2)若过点作的切线，求切线的方程． 【答案】(1)极大值，极小值 (2)或 【分析】 【详解】（1）函数求导得， 令，解得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 在取得极大值，极大值为； 在取得极小值，极小值为． （2）设切点为，切线斜率为， 切线方程为， 代入点得， 化简整理得，解得或， 当时，，斜率，切线方程为，即； 当时，，斜率，切线方程为，即． 21．过点作曲线：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______． 【答案】 【详解】设， 由题意可得切线的斜率， 所以切线方程为， 代入点可得 因为切点在曲线上，所以，代入上式可得， ，化简可得， 又，所以， 同理 所以直线方程为. 故答案为： 22．过曲线：上异于原点的一点作的切线交于点，过点作的切线，则直线与直线的斜率之比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，所以的方程为， 由得，又时，， 故点的横坐标为，则的斜率为， 故直线与的斜率之比为． 故选：C. 题型0б 已知切线或切点求参数 23．已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】对求导得，当时，，， 曲线在处的切线方程为. 设切线与相切于点，对求导得， 由切线斜率为得，解得， 将切点代入切线方程得，解得. 24．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，又在点处的切线与直线垂直， ，解得． 25．若直线与曲线相切于点，则m=___. 【答案】 【详解】由题意，，则，因为，所以， 则， 即，由于，则. 26．已知函数的图象所对应的曲线在点处的切线方程为，则值为________． 【答案】 【详解】，，， 由，可知，所以， 而，因此. 27．若函数的图象在上存在平行于轴的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为函数的图象在上存在平行于轴的切线，说明其导数在内有零点， 即方程在内有解， 令，则在有解， 分离参数可得， 令，则， 所以，则， 即， 所以的取值范围是. 题型07 切线的条数问题 28．已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点坐标为. 由题意得， 所以函数的图像在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 则，由题意可知，这个方程有三个不等实根. 设，则， 由得，由得或. 所以函数在和上单调递减， 在上单调递增，又当趋近于正无穷时，趋近于； 当趋近于负无穷，趋近于正无穷，且， 所以的大致图象如图， 所以要使直线与函数的图象有三个交点， 则. 故选：C 29．（多选）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设曲线上一点， 因为，所以. 所以曲线在处切线的斜率为. 所以曲线在处切线方程为. 由切线过点，得， 整理得：. 由该方程无解，得， 即，解得. 故选：BC 30．若曲线只有一条过原点的切线，则的值为______________． 【答案】或 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, ∴切线方程为：, ∵切线过原点， ∴,整理得：, ∵曲线只有一条过坐标原点的切线切， ∴,解得或, ∴或, 故答案为：或 31．已知函数及点. (1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； (2)若过点与的图象相切的直线恰有条，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）因为点在的图象上，所以， 又，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设过点的直线与的图象切于点， 则切线的斜率， 所以的方程为， 将点的坐标代入得， 因为过点与的图象相切的直线恰有条， 所以关于的方程有两个不等的实根. 设，则， 令，得，或；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 的极大值为,的极小值为, 因为方程有两个不等实根，则，或， 即的值为或. 32．已知函数． (1)求的极值； (2)若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为0 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以． 令，得或， 则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值，且，当时，取得极小值，且， 所以的极大值为，极小值为0． （2）设过点的直线与的图象切于点，切线斜率， 则该切线的方程为， 把代入方程并整理得， 由过点可作3条直线与的图象相切， 则关于的方程有3个不同实根， 设， 则， 令，得或， 所以， 所以或且， 所以的取值范围是． 题型08 公切线问题 33．（ 2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 【答案】4 【详解】设直线与函数的图象的切点为， 由求导得，由，得， 所以直线与函数的图象的切点为， 将点代入，解得. 设直线与函数的图象的切点为， 又，则（*）. 由，代入上式得， 因为函数单调递增，且， 所以，代入（*），解得， 所以. 34．（ 2026·河南·模拟预测）已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________． 【答案】 【详解】设，与曲线联立，得，由，得． 直线l与曲线联立，得，显然，由，得． 所以， 化简得，又，所以，从而． 所以直线l的方程为，即． 35．已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 【答案】/ 【详解】设直线 与曲线的切点为 ， 由求导得，则切线方程为 依题意，其与直线为同一条直线， 故  ,解得; 设直线l： 与曲线 的切点为 由求导得 则切线方程为 ， 依题意，其与直线为同一条直线， 故, 由②解得， 代入①，可得. 所以 . 36．如图，已知曲线与曲线相切于点P，且在点P处有相同的切线l，求点P的坐标及a的值． 【答案】点P的坐标为的值为． 【详解】设切点，由直线l与曲线相切于点P，， 得切线l的斜率为． 由直线l与曲线也相切于点P，， 得切线l的斜率为． 由，得，解得． ，即点P的坐标为． 由点在曲线上，得，解得． 点P的坐标为的值为． 37．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【详解】对求导得：， 则在处切线斜率为，且 对于求导得：， 则在处切线斜率为，且 由题意可得：，即 又切线斜率， 可得：，即， 所以， 故选：A 题型09 利用导数的几何意义求距离最值 38．点为曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】当过点的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 求导可得，设， 则，解得，代入可得， 点到直线的距离为， 所以点到直线距离的最小值为. 39．若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（   ） A．0 B．4 C．-6 D．4或-6 【答案】B 【详解】由，求导得，其中直线的斜率为2， 令，解得： 当时，则，故到直线的距离最小， 由点到直线的距离公式得最小值为，解得或， 且时，曲线与直线有交点，距离最小值为0，舍去． 故选：B. 40．直线分别与曲线和直线相交于A，B两点，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】如图所示，过点作垂直于直线，垂足为， 因为直线与的斜率均为定值，所以为定值， 设，则，当曲线在点处的切线平行于直线时， 取得最小值，所以当取最小值时，取得最小值， 令，则，所以，解得，即， 所以当直线过点时，取得最小值，此时， 联立，得，此时， 所以的最小值为. 41．已知函数的极小值点为1，极小值为. (1)求a，b； (2)若图象上的动点P在第一象限，Q是直线：上的一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由已知， 则 得 经检验，当，时，的极小值点为1. （2）由（1）得.当时，，单调递减；当时，，单调递增. 的部分图象与如图所示，当的图象在P处的切线与平行时，P到的距离最小，即最小. 由，得（负根舍去），得， 此时P的坐标为. 故P到的距离的最小值为，即的最小值为. 重难·创新演练 设题创新:以新定义、周期规律、数列结合为创新载体，融合导数定义与几何意义；考查信息迁移、数学建模、分类讨论、数形结合；突出切线条数探究、公切线综合、逆向求参、跨模块交汇，强调逻辑推理与几何直观素养。 1．设函数在点附近有定义，且有（，为常数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 即. 故选：C 2．【新角度】（ 2026·四川资阳·三模）已知函数则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时， 当，， 所以 求导得，斜率， 所以方程为，整理得. 3．【新考法】（ 2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，进而， 又在上， 故的最小值可以看成是图像上的点离直线的最近距离的平方， ， 所以图像上离直线的最近的点为斜率为2的切线的切点 令， 即得，令，单调递增且， 所以，即切点横坐标为，切点为， 所以的最小值为. 4．【新角度】（ 2026·浙江嘉兴·二模）已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，设切点， 则切线方程为：， 所以， 因为，所以，解得 显然，在单调递增， 所以，时，. 5．【新题型】已知曲线与在交点处的切线互相垂直，则___________． 【答案】 【详解】设两曲线交点为，曲线的斜率为，曲线的斜率为，则，解得，对求导可得，，对求导可得，， 因为两切线垂直，所以，所以，解得， 由，解得，所以， 由可得，所以. 故答案为：. 6．【新角度】（ 2026·山东淄博·二模）将曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则________. 【答案】 【详解】设直线与曲线相切，且切点为， 由题意得， 由，则， 故，解得， 切点为，则. 7．【新情景】（ 2025·山东聊城·二模）过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为______． 【答案】 【详解】对于函数，有，可得，解得， 故函数的定义域为， 由求得，，则法线斜率为， 则在点处的法线方程为， 即， 由求导得，则法线斜率为， 则在处的法线方程为， 即， 由“公法线”得，， 这两个等式相加得，即， 令，则， 故函数在上为增函数， 又因为，所以函数有且只有唯一的零点， 解方程组，可得或，， 又因为，故，故要舍去，即，， 所以“公法线”方程为， 故答案为：. 8．曲线在处的切线为，分别记在，轴上的截距为，，则______． 【答案】 【详解】，，设的斜率为，则， ，在轴上的截距满足，解得， 在轴上的截距， . 9．已知函数． (1)若斜率为15的直线与曲线相切，求的方程； (2)记曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 【答案】(1)或． (2)72 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 设切点为， 则，即，得． 所以，， 所以切点为，． 所以的方程为或， 即或． （2）由题意得切点为，显然， 因为在点处的切线方程为， 整理得， 令，得，令，得， 所以， 则． 令，得， 令，得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为． 真题·实战演练 高频考点：在点/过点切线方程、公切线、切线条数、切线斜率逆向求参、几何意义最值；近三年以选择填空、解答题第一问为主，中档难度居多，突出切线辨析、公切线、含参逆向三大热点。 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 2．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1），则， 所以，故处的切线斜率为； （2）要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. （3）设，， 则， 由（2）知：，则， 所以，故在上递减，故； 下证， 令且，则， 当时，递增，当时，递减， 所以，故在上恒成立， 则， 所以，，…，， 累加得：，而， 因为，所以， 则， 所以，故； 综上，，即. 【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究单调性证右侧不等关系，再构造且，导数研究其函数符号得恒成立，结合放缩、累加得到为关键. 3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)3个 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 4．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)2 (3)证明过程见解析 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合的单调性进行分类讨论. 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $