第01讲 函数的概念及其表示（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以函数三要素为核心，通过19类基础题型+创新真题构建“概念-方法-应用”递进体系，突出数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|2题型|定义判断法、相同函数判定法|从集合对应关系切入，建立函数本质认知| |定义域|3题型|具体/抽象函数定义域求法、参数求解|由具体到抽象，强化定义域限制条件推理| |值域|6题型|配方法、判别式法等6大技法|覆盖代数变形与数形结合，形成值域求解体系| |解析式|3题型|待定系数法、换元法等|基于函数性质逆向推导，培养方程思想| |分段函数|4题型|求值、参数、不等式解法|结合分类讨论，提升复杂情境处理能力|

第01讲 函数的概念及其表示 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 函数的概念及其判断 2 题型02 相同函数的判定 3 题型03 已知函数的解析式求定义域 5 题型04 求抽象函数定义域 5 题型05 已知函数定义域求参数 7 题型06 配方法求函数值域 8 题型07 判别式法求函数的值域 9 题型08 基本不等式法求函数的值域 11 题型09 分离常数法求函数的值域 12 题型10 换元法求函数的值域 13 题型11 图象法求函数的值域 14 题型12 待定系数法求解析式 15 题型13 换元法求解析式 17 题型14 方程组法求解析式 18 题型15 求函数的值 19 题型16 已知函数值求参数 20 题型17 求分段函数的函数值 21 题型18 利用分段函数的值求参数 22 题型19 解分段函数不等式 23 重难·创新演练 25 真题·实战演练 31 模拟·基础演练 考查重点：函数定义判断、相同函数判定、具体或抽象函数定义域、值域常规方法（配方法、分离常数、基本不等式）、解析式求法、分段函数求值与解不等式，覆盖函数三要素核心基础考点，侧重基础运算与概念辨析。 题型 01 函数的概念及其判断 1．已知集合，下列对应关系中从到的函数为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故A错误， 对于B，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故B错误， 对于C，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故C错误， 对于D，在对于关系中，因为，所以，且则集合中任意一个元素在集合中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，是从集合到集合的函数，故D正确， 故选：D． 2.（2026·湖北黄冈·模拟检测）已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】令，则，则满足条件的有：；；，故满足条件的有个. 故选：C 3．（多选）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（      ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于选项和选项，集合中有的数(如：）在集合中对应两个值，不唯一， 所以不符合函数定义，所以选项和选项错误；对于选项和选项，集合和集合均为数集，且集合中的每一个数在集合中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义，所以选项和选项正确. 故选：BD. 4．（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（      ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【详解】根据函数定义可知，当在定义域中时，直线与函数的图象有一个交点， 当不在定义域中时，直线与函数的图象没有交点， 所以直线，与函数的图象的交点个数为0或1. 故选:C 题型02 相同函数的判定 5.与函数是相同函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以． 故选：C． 6．下列函数中，与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数； 对于C，两函数的定义域都是，且对应关系相同，故两函数为相同函数； 对于D，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数. 故选：C. 7．下列各组函数表示相同函数的是（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】对于A，函数与的值域不同，不是同一函数，所以A错误； 对于B，函数与， 两函数的定义域都为，且对应关系相同，所以是同一函数，所以B正确； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以C错误； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以D错误. 故选：B. 8.（多选）下列各组函数中表示同一个函数的是（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AB 【详解】A中两个函数定义域都是，对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数； B中两个函数定义域都是，对应法则都是取平方，是同一函数； C中定义域是，的定义域是，不是同一函数； D中的定义域是，的定义域是，不是同一函数． 故选：AB． 题型03 已知函数解析式求定义域 9．函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则，所以函数定义域为. 故选：C. 10. 函数定义域为（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】由题知，解得，所以函数的定义域为， 故选：C. 11．函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意知道，解得，即. 故选：D. 12.（2026·北京丰台·一模）函数的定义域为_____________. 【答案】 【详解】由题意得，则，因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 故答案为： 题型04 求抽象函数的定义域 13．若函数的定义域是，则函数的定义域是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的定义域是，所以由，可得，即函数的定义域是. 故选：C 14．函数的定义域为，则函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为，所以要使函数有意义，需满足，解得，所以函数的定义域为． 故选：A. 15．已知函数的定义域是，则的定义域是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 16．若函数的定义域为，则函数的定义域为_____________. 【答案】 【分析】先由求得，再由可求出的定义域 【详解】因为，所以，所以的定义域为， 要使有意义，需满足，解得. 故答案为： 17．若函数的定义域为，则函数的定义域是_____________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为： 题型05 已知函数的定义域求参数 18.已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（      ） A．(0，1) B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域是，即恒成立； 当时，，满足题意；当时，，解得； 综上知，实数的取值范围是，． 故选：． 19．函数的定义域为，请写出满足题意的一个实数的值_____________. 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为的定义域为，所以在上恒成立，即， 由于在上恒成立，故实数的取值范围为. 故答案为：（答案不唯一）. 20. 已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为_____________. 【答案】 【详解】的定义域为R，的解集为R.即的解集为R. ①当时，恒成立，满足题意； ②当时，，解得：.实数m的取值范围是. 故答案为：. 21．若函数定义域为，则实数 ；实数b的取值范围_____________. 【答案】 2 ； 【详解】函数，故，即函数的定义域为，故. 故答案为：2； 题型06 配方法求函数的值域 22. 函数的值域是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令得，，故定义域为，. 故选：A 23．已知函数的值域是，则x的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，画出图像，如图所示， 令，则，解得或， 令，则，解得（舍去）或， 对于A：当时，结合图像，得，故A错误； 对于B：当时，结合图像，得，故B错误； 对于C：当时，结合图像，得，故C错误； 对于D：当时，结合图像，得，故D正确； 故选：D． 24．已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】根据函数的性质可知， 又因，所以， 所以.即 故答案为： 25．函数的定义域为 ，其最大值是 ． 【答案】； 【详解】易知，解之得，所以函数的定义域为； 而，当时取得最大值. 故答案为：；. 题型07 判别式法求函数的值域 26．函数的值域为_____________. 【答案】 【详解】因为，所以，所以， 当，即时，此时； 当，即时，此时，所以， 综上可知：，所以的值域为， 故答案为：. 27. 函数的值域为_____________. 【答案】 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为. 故答案为：. 28. 函数，的值域为_____________. 【答案】 【详解】因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则，可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 故答案为：. 29．（（2026·湖南长沙·模拟检测）已知函数的值域是，则 ， ． 【答案】，3 【详解】将函数变形为．当时，这个关于x的方程有解， 则，即．由题设知，是方程的两个根，根据韦达定理，得，，解得，． 当时，，也满足题意． 故答案为：   题型08 基本不等式法求函数的值域 30.已知函数，则的最小值为（      ） A．0 B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】由已知得，所以， 当且仅当即等号成立，则的最小值为. 故选：C. 31．函数的值域为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. 32.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟）函数的值域为_____________. 【答案】 【详解】由可得，故，又，当且仅当，即时取等号，故，故函数的值域为. 故答案为：. 33．若，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】因为，则，所以 ，当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的值域为. 故答案为：. 题型09 分离常数法求函数的值域 34．函数的值域为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，所以，故值域为． 故选：D 35．函数在上的值域是_____________. 【答案】 【详解】因为， 又，所以，所以，所以， 所以. 故答案为： 36．函数的最大值为_____________. 【答案】 【详解】，因为， 所以，当时等号成立，所以． 故答案为：. 题型10 换元法求函数的值域 37．函数的最大值是（      ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】设，则，即， 因为，所以当时，的最大值为， 故选：B. 38．函数，的值域为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，令，则，则函数变为， 在上单调递减，其中，， 故值域为. 故选：D 39．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域为_____________. 【答案】 【详解】令，因为，所以，则，所以原函数可化为，其对称轴为，所以函数在上单调递增，所以，所以函数的值域为. 故答案为：. 题型11 图象法求函数的值域 40．已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则（      ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【答案】D 【详解】对于选项A，由图象可得，所以，A错误； 对于选项B，，，，故不是单调增函数，B错误； 对于选项C，由图象可得的定义域为，C错误； 对于选项D，由图象可得的值域为，D正确． 故选：D． 41．（多选）已知函数，则（      ） A．的值域为 B．在上的函数值为常数 C．曲线关于点中心对称 D．有3个实数解 【答案】AB 【详解】函数， 作出函数的图象如图所示： 所以的值域为，所以A正确；在上为2，是常数，所以B正确； 对于C，由图可知的对称中心为，所以C错误； 对于D，令，则，由得， 即，由图象知有无数个实数解，所以D错误． 故选：AB． 42.（2026·河北石家庄·一模）对，用表示，中的较大者，记为，若函数，则的最小值为_____________. 【答案】1 【详解】当，即，即时，， 当，，即或时，， 所以，函数图象如图所示： 由图可得，函数在，上递减，在上递增，所以. 故答案为：1 题型12 待定系数法求解析式 43．已知函数是一次函数，且，则（      ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【详解】设，则， 整理得，所以，解，所以，所以. 故选：A 44．若函数是二次函数，满足，则=（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得，所以. 故选：B. 45．图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设图象是以为顶点的二次函数（）． 因为图象过原点，所以，，所以． 故选：A 46．已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得①， 又②，①＋②得：，解得. 故选：A. 47．（2026·江西九江·二模）若函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为；所以， 则，所以. 故选：B. 题型13 换元法求解析式 48．已知，则的解析式为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，令，则且，， 所以，，所以. 故选：D 49．（多选）若函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】令，则，所以，则，故C错误；，故A正确；，故B错误； （且），故D正确． 故选：AD． 50．（多选）已知函数，则（      ） A． B． C．的最小值为-1 D．的图象与x轴有2个交点 【答案】ABC 【详解】B选项，令，得，则，， 故，，B正确；A选项，，A正确，C选项，，所以在上单调递增，，C正确；D选项，令，解得或0（舍去），故的图象与x轴只有1个交点，D错误． 故选：ABC 51．已知，则的值域为_____________. 【答案】 【详解】令，则，所以，所以， 故的解析式为，其值域为. 故答案为：. 题型14 方程组法求解析式 52．设函数，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 联立方程组，解得，所以. 故选：B. 53．已知函数满足，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，用替换可得， 从而得方程组，解得，故D正确. 故选：D. 54．已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（      ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【详解】因为①，所以②， 由得，所以， 当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为. 故选：D. 55．设适合等式，则的值域是_____________. 【答案】 【详解】①② ①②联立可得当时,, 当时,,即函数的值域为， 故答案为：. 题型15 求函数的值 56.（2026·福建福州·模拟）已知，则（      ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】B 【详解】，故，所以， 故，解得. 故选：B. 57．（2026·广东广州·调研）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（      ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】因为，，所以， 又，有，又由，有，故， ． 故选：A． 58．若函数满足，则_____________. 【答案】2 【详解】由，令，得， 令，得，两式联立，解得. 故答案为：2. 题型16 已知函数值求参数 59．已知函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【详解】由题意知，所以，所以． 故选：D． 60．已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【答案】D 【详解】令，解得，则，则． 故选：D. 61．已知，且，则（      ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】， 且，令，，解得， ，即,. 故选：C. 题型17 求分段函数的函数值 62．设函数，则（      ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【详解】. 故选：B 63．设函数，则（      ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【详解】因为在单调递增，所以，所以， 则. 故选：D. 64.（2026·江西·二模）已知函数，则_____________. 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为： 65．已知函数，则的值等于_____________. 【答案】 【详解】因为，则. 故答案为： 题型18 利用分段函数的值求参数 66．已知函数满足，则实数的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故， 故选：B 67．已知且，定义在上的函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且，且，则， 则，所以，，即， 解得或（舍）. 故选：A. 68.（多选）已知函数若，则x的可能值是（      ） A. B. C. D. 【答案】AB 【详解】由题可得，当时，令，解得；当时，令，解得（负值舍去）；当时，令，解得（舍去）. 故选：AB. 69.（多选），且，则实数a的值为（      ） 【答案】ACD 【详解】当时，，解得；当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）. 综上可知，实数a的值为或或. 故选：ACD. 题型19 解分段函数不等式 70．已知函数则不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时单调递增，且时，，当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数，由可得，解得或. 故选：B. 71．已知函数则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，即有，， 因为，在区间上均为单调递增函数， 所以在区间上也为单调递增函数， 因为时，， 所以的解为，当时，即有，， 因为，在区间上均为单调递减函数，所以在区间上也为单调递减函数，因为时，，所以的解为， 综上，不等式的解集为. 故选：D 72.（已知函数则不等式的解集为_____________. 【答案】 【详解】由函数， 当时，可得且，则 此时不等式，即为， 即， 令，可得函数在上为单调递增函数， 且，所以，所以的解集为； 当时，不等式，即为，此时不等式不成立，舍去； 当时，可得且，则 此时不等式，可得， 令，可得函数在上为单调递减函数， 且，所以，所以的解集为， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 73．已知函数，若，则的取值范围是_____________. 【答案】 【详解】令，则，原不等式化为， 当时，，解得，即； 当时，，解得，即， ①， 当时，，解得；当时，，无解，因此， ②， 当时，，解得；当时，，解得，因此或， 所以a的取值范围是：. 故答案为： 重难·创新演练 设题创新: 以新定义、新运算、新情境为载体，考查信息迁移、数学建模、分类讨论与数形结合；突出存在性、最值逆向、参数范围、跨模块综合，强调现场学习与逻辑推理。 1．【新考法】已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 可得，解得，即，令，则， 可得，因为的图象开口向上，对称轴为， 可得在上单调递增，且当时，， 可得，即函数的值域为. 故选：B. 2. 【新考法】若函数，则的定义域为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由，得，所以，解得， 所以函数的定义域为.由，解得， 所以的定义域为. 故选：A. 3．【新角度】（2026·山西太原·模拟演练）已知，则（      ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 4．【新考法】若函数的值域为，则实数的取值范围是（      ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】B 【详解】当时，的值域为，所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值.若，则的值域为， 所以只须，解得，所以当时，的值域为； 若，则的值域为，此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B 5．【新情境】对于函数，若存在两个常数a，b，使得，则称是“平方差关联函数”．已知函数是“平方差关联函数”，则（      ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为是“平方差关联函数”，所以， 化简得，则解得故， 故选：B． 6．【新情境】设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则．综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故选：C． 7．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，在上单调递减，此时； 当时，． ①若，则在上单调递增，此时， 又函数的值域，不合题意； ②若，则，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域，则，解得．综上所述：． 故选：C. 8. 【新考法】已知函数的定义域为R，，，且当时，，则的值为（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由，得， 所以 ， 所以，又， 且当时，，所以，所以. 9．（多选）已知函数，则下列选项正确的是（      ） A．若的定义域为，则 B．若的值域为，则 C．若的定义域为，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【详解】对于A，的定义域为等价于在恒成立， 当时，不等式为，符合题意；当时，有，解得. 综上即得当的定义域为时，，故A正确； 对于B，由的值域为,可得可以取遍一切正数， 故需使，解得，故B错误； 对于C，的定义域为，即不等式的解集为， 故，且方程的两根为和3，则，解得，故C正确； 对于D，对于函数在上单调递增，显然， 设，因在定义域上为增函数， 故依题意，需满足，解得，故D错误. 故选：AC. 10．（2026·广东梅州·模拟预测）函数满足，且，则_____________. 【答案】4051 【分析】利用已知条件进行赋值变换得出相应的表达式，然后代入数据计算即可. 【详解】令可得，① 将赋值为，代入①得：，② 根据题设及①有：，③ 由①②③得：， 即，令可得，则， 因此． 故答案为：4051 11．【新情境】表示不超过的最大整数，例如，，则函数的最小值为 ，最大值为 . 【答案】1， 4 【详解】因为，又，故，则， 函数的最小值为1，最大值为4. 故答案为：； 12．【新设问】已知函数，，以的值为边长可构成一个三角形，则整数k的所有可能取值的和为_____________. 【答案】15 【详解】根据题意可知，，恒成立， ，， 当时，，此时，满足， 当时，因为在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故， 故， ，恒成立，故，解得， 故， 当时，同上，可得， ，恒成立，故，解得，故， 综上，，满足要求的整数为， 和为. 故答案为：15 真题·实战演练 高频考点：函数定义域、分段函数求值、解析式、值域与最值、单调性逆向求参、存在性问题；近三年以小而精的选择填空为主，侧重基础 + 中档综合，突出分段、抽象、参数三大热点。 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是. 故选：B. 3．（2024·上海·高考真题）已知则_____________. 【答案】 【详解】因为故， 故答案为：. 4．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】0（答案不唯一），1 【详解】若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，， 当时， ∴或，解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 5．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下， 显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小， 当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图像如下， 因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 5 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 函数的概念及其表示 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 函数的概念及其判断 2 题型02 相同函数的判定 2 题型03 已知函数的解析式求定义域 3 题型04 求抽象函数定义域 3 题型05 已知函数定义域求参数 4 题型06 配方法求函数值域 4 题型07 判别式法求函数的值域 4 题型08 基本不等式法求函数的值域 4 题型09 分离常数法求函数的值域 5 题型10 换元法求函数的值域 5 题型11 图象法求函数的值域 5 题型12 待定系数法求解析式 6 题型13 换元法求解析式 6 题型14 方程组法求解析式 7 题型15 求函数的值 7 题型16 已知函数值求参数 7 题型17 求分段函数的函数值 8 题型18 利用分段函数的值求参数 8 题型19 解分段函数不等式 8 重难·创新演练 9 真题·实战演练 10 模拟·基础演练 考查重点：函数定义判断、相同函数判定、具体或抽象函数定义域、值域常规方法（配方法、分离常数、基本不等式）、解析式求法、分段函数求值与解不等式，覆盖函数三要素核心基础考点，侧重基础运算与概念辨析。 题型 01 函数的概念及其判断 1．已知集合，下列对应关系中从到的函数为（      ） A． B． C． D． 2.（2026·湖北黄冈·模拟检测）已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（多选）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（      ） A． B． C． D． 4．（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（      ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 题型02 相同函数的判定 5.与函数是相同函数的是（      ） A． B． C． D． 6．下列函数中，与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各组函数表示相同函数的是（      ） A．， B．， C．， D．， 8.（多选）下列各组函数中表示同一个函数的是（      ） A．， B．， C．， D．， 题型03 已知函数解析式求定义域 9．函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 10. 函数定义域为（      ） A. B. C. D. 11．函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 12.（2026·北京丰台·一模）函数的定义域为_____________. 题型04 求抽象函数的定义域 13．若函数的定义域是，则函数的定义域是（      ） A． B． C． D． 14．函数的定义域为，则函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 15．已知函数的定义域是，则的定义域是（      ） A． B． C． D． 16．若函数的定义域为，则函数的定义域为_____________. 17．若函数的定义域为，则函数的定义域是_____________. 题型05 已知函数的定义域求参数 18.已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（      ） A．(0，1) B． C． D． 19．函数的定义域为，请写出满足题意的一个实数的值_____________. 20. 已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为_____________. 21．若函数定义域为，则实数 ；实数b的取值范围_____________. 题型06 配方法求函数的值域 22. 函数的值域是（      ） A． B． C． D． 23．已知函数的值域是，则x的取值范围是（      ） A． B． C． D． 24．已知集合，，则 ． 25．函数的定义域为 ，其最大值是 ． 题型07 判别式法求函数的值域 26．函数的值域为_____________. 27. 函数的值域为_____________. 28. 函数，的值域为_____________. 29．（（2026·湖南长沙·模拟检测）已知函数的值域是，则 ， ． 题型08 基本不等式法求函数的值域 30.已知函数，则的最小值为（      ） A．0 B．2 C． D．3 31．函数的值域为（      ） A． B． C． D． 32.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟）函数的值域为_____________. 33．若，则函数的值域为 ． 题型09 分离常数法求函数的值域 34．函数的值域为（      ） A． B． C． D． 35．函数在上的值域是_____________. 36．函数的最大值为_____________. 题型10 换元法求函数的值域 37．函数的最大值是（      ） A． B． C．4 D． 38．函数，的值域为（      ） A． B． C． D． 39．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域为_____________. 题型11 图象法求函数的值域 40．已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则（      ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 41．（多选）已知函数，则（      ） A．的值域为 B．在上的函数值为常数 C．曲线关于点中心对称 D．有3个实数解 42.（2026·河北石家庄·一模）对，用表示，中的较大者，记为，若函数，则的最小值为_____________. 题型12 待定系数法求解析式 43．已知函数是一次函数，且，则（      ） A．11 B．9 C．7 D．5 44．若函数是二次函数，满足，则=（      ） A． B． C． D． 45．图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（      ） A． B． C． D． 46．已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（      ） A． B． C． D． 47．（2026·江西九江·二模）若函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型13 换元法求解析式 48．已知，则的解析式为（      ） A． B． C． D． 49．（多选）若函数，则（      ） A． B． C． D． 50．（多选）已知函数，则（      ） A． B． C．的最小值为-1 D．的图象与x轴有2个交点 51．已知，则的值域为_____________. 题型14 方程组法求解析式 52．设函数，则等于（      ） A． B． C． D． 53．已知函数满足，则（      ） A． B． C． D． 54．已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（      ） A．2 B．3 C．4 D． 55．设适合等式，则的值域是_____________. 题型15 求函数的值 56.（2026·福建福州·模拟）已知，则（      ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 57．（2026·广东广州·调研）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（      ） A．3 B．4 C．5 D．6 58．若函数满足，则_____________. 题型16 已知函数值求参数 59．已知函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．3 60．已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 61．已知，且，则（      ） A．3 B． C．1 D． 题型17 求分段函数的函数值 62．设函数，则（      ） A． B． C．0 D．2 63．设函数，则（      ） A．6 B．9 C．12 D．15 64.（2026·江西·二模）已知函数，则_____________. 65．已知函数，则的值等于_____________. 题型18 利用分段函数的值求参数 66．已知函数满足，则实数的值为（      ） A． B． C． D． 67．已知且，定义在上的函数，若，则（    ） A． B． C． D． 68.（多选）已知函数若，则x的可能值是（      ） A. B. C. D. 69.（多选），且，则实数a的值为（      ） 题型19 解分段函数不等式 70．已知函数则不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 71．已知函数则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 72.（已知函数则不等式的解集为_____________. 73．已知函数，若，则的取值范围是_____________. 重难·创新演练 设题创新: 以新定义、新运算、新情境为载体，考查信息迁移、数学建模、分类讨论与数形结合；突出存在性、最值逆向、参数范围、跨模块综合，强调现场学习与逻辑推理。 1．【新考法】已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（      ） A． B． C． D． 2. 【新考法】若函数，则的定义域为( ) A. B. C. D. 3．【新角度】（2026·山西太原·模拟演练）已知，则（      ） A． B．0 C． D． 4．【新考法】若函数的值域为，则实数的取值范围是（      ） A． B． C．（0，1） D． 5．【新情境】对于函数，若存在两个常数a，b，使得，则称是“平方差关联函数”．已知函数是“平方差关联函数”，则（      ） A． B． C．2 D． 6．【新情境】设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（      ） A． B． C． D． 7．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. 【新考法】已知函数的定义域为R，，，且当时，，则的值为（      ） A. B. C. D. 9．（多选）已知函数，则下列选项正确的是（      ） A．若的定义域为，则 B．若的值域为，则 C．若的定义域为，则 D．若在上单调递增，则 10．（2026·广东梅州·模拟预测）函数满足，且，则_____________. 11．【新情境】表示不超过的最大整数，例如，，则函数的最小值为 ，最大值为 . 12．【新设问】已知函数，，以的值为边长可构成一个三角形，则整数k的所有可能取值的和为_____________. 真题·实战演练 高频考点：函数定义域、分段函数求值、解析式、值域与最值、单调性逆向求参、存在性问题；近三年以小而精的选择填空为主，侧重基础 + 中档综合，突出分段、抽象、参数三大热点。 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·高考真题）已知则_____________. 4．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 5．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $