课时16 导数的概念及其几何意义、导数的运算-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

高考总复习数学(BS) 9.解析：由题中散点图的走势，知模型① 不合适 若十b,即>36时，函数S=一2 4 曲线过点(4，子)则后三个模型的 ·(-)+a+2在0，上 4 8 解析式分别为②y= 1+1og21:③y- 是增函数，因此，当x=b时，面积S 3 取得最大值ab-b2. 1 1 1 之1+3④y=F+3,当1=1时，代 综上可知，若a≤3b,当x=a十中时， 入④中，得y一合，与周不将，易知极 四边形EFGH的面积取得最大值 合最好的是②.将1=8代入②式，得y (a+b)2 :若a>3b,当x=b时，四边形 -号+1og8-(米). 8 EFGH的面积取得最大值ab一2」 答案：② 10 13.解析：D[由题意可得，当x∈[0,6] 时，翼人做匀加速运动，u(x)=80十 10.解析：根据条件：ar0十24=124， 40 ar+24=64, 3x,“速度差函数”u(x)= 3x. 当x∈「6,10]时，翼人做匀减速运 ∴.a=100,r= 2 动，速度u(x)从160开始下降，一直 M=100(号)广+24. 降到80，u(x)=160一80=80. 当x∈[10,12]时，翼人做匀减速运动， ∴.M(4)= 100(号)广+24-26.56， (x)从80开始下降，u(x)=180-10x, (x)=160-(180-10.x)=10.x-20. 由10（号）/+24<21.01 当x∈[12,15]时，翼人做匀加速运 动，“速度差函数”u(x)=160一60 100,结合所给的图象，故D正确.] 得（号）'<o.1, 14.ABDL对于A,由题意可得a=4,当 lg(号)'<1g0. 0≤r≤4时y=84,当1<x≤ 10时，y=20-2.x,当x=2时，y= [lg2-(1-lg2)]<-5. 8-24-20 64 3 故A正确： ,∴.t(21g2-1)<-5,代入lg2≈0.301 64 -4≥4， 得-0.398t-5,解得t>12.5. 对于B,当0≤x≤4时8- ,最小的整数t的值是13. 解得x≥0，故0≤x≤4， 答案：26.5613 当4<x10时，20-2.x≥4 11.解析：由方案一可知，满10人可打9 解得x≤8，故4<x8, 折，则单人票价为270人，由方案二 综上所述，0≤x≤8. 可知，满5000减1000元，按原价计 若一次投放4个单位的洗衣液，则有 算5000≈16.7，则满5000元至少凑 效去污时间可达8分钟，故B正确： 300 对于C,当6x10时， 齐17人，17×300-1000=4100，则 单人票价为4100 y-2×(6-)十 17 241，满10000元 时，10000≈33.3，则需34人，单人 小--+ 32 300 -6, 票价为241人，满15000元时， 15000 300 =50,人数不足，241<270， 当x=8时y=6+号-6=9故C 错误； .用方案二先购买34张票，剩余13 对于D,:4≤14-x≤8， 人，不满足方案二，但满足方案一， .总费用为34×300-2000+13× “y=14-x+Px 32 -6 300×0.9=11710(元). 答案：11710 12.解：设四边形EFGH的面积为S, ≥1-·产-6=8 1 由题意得S△AEH=S△G=22, 6,当且仅当14-x2即x1 S△BEF=S△DHG 一4√②时取等号，∴y有最小值8② -(a-)b- 一6≈5.3>4，，∴.接下来的4分钟能 够持续有效去污，故D正确.] 由此得S=ab一 15.解析：①设函数s(t)表示此人第一天 2[合2+a-x6-] 距离A地的路程，则是一个不减的函 数，设函数(1)表示此人第二天距离 =-2x2+(a+b)x A地的路程，则是一个不增的函数， =-2(x-a+) +a+b)2 其中t表示时间，s(t)、l(t)的定义域 4 8 都是[0,6]，值域相同.同一坐标系画 函数的定义域为{x0<x≤b}, 出s(t)、I(t)的图象，必有一个交点， 因为a>b>0, 即两天中都在此刻经过此，点（如图 所以0<a十中.若a十+也≤b,即a≤ 1),故①正确； 2 ②画出两天的速度（自变量为时间t) 动，r=十色时面积S取得最大 函数图象并求与x轴国成的面积，就 是路程，不可能一个总在另一个下 值a+b)? 方，在交点处时刻，他们的速度相等 8 (如图2)，故②正确： ·510· ③在某个路程函数s(t)中，过s(t)上 一点作平行于t,s轴的矩形，如果四 个顶点都在曲线上，则意味着速度的 绝对值相等，（对角线就是割线，斜率 就是平均速度)，但不是每种函数曲线 都能成功，图3显示可以，函数模型就 是两个一次函数，图4显示不成功，可 以构造函数模型为（这里假定时间1∈ (0,6),AB之间距离为4)， 1 2 t,∈(0,2)， s(t)= 3 1 1-21[2,6), -31+4,∈(0,1)， l(t)= {--61E[1,6.在这 个图象上经计算，找不到这样的矩 形，故③错误 ∴。正确的说法是①② 速度) 路程 图2 D 路程1 图3 图4 答案：①② 16.解：(1)设顾客一次购买x斤土豆，每 斤土豆的单价为f(x)元， 由题意知：f(x)=(1≤x≤5， xN4),因为f)=+1-1+1 所以y=f(x)在[1,5]上为单调递减 函数。说明一次购买的斤数越多，单 价越低， (2)根据题意，按照年数的不同取值 范围，选出总回报最高的方案. 由题意可知方案一对应的解析式为 y=6+(x-3)×2=2x. 列表得出三种方案所有年数的总回 报，可以精确得出任意年数三种方案 对应总回报的大小关系，进而可得出 如下结论： 授资 年数x 3 4 5 6 78 910 总回 报y 方案一 68101214161820 方案二 33 3 方策三 33÷3÷93÷3÷273 当投资年数为3一5年时，选择方案 一最住；当投资年数为6年时，选择 方案一或方案二最佳：当投资年数为 7年或8年时，选择方案二最佳；当投 资年数为9年时，选择方案二或方案 三最佳；当投资年数为10年时，选择 方案三最佳， 课时冲关16 1.D[由f(x)=er+ln(x+1),得 f(x)=ae“++又fo)-4, 所以f(0)=a+1=4,则a=3.] 2.C[设曲线y=f(x)在x=1处的切线 方程为y一1十6.删仁。=0.部符 k-1·所以曲线y=f(x)在x=1处的 9.解析：设点A(x0yo),则y0=hx0. 1b=2, 切线方程为y=x十2，所以f(1)=1, 又因为y=土当x=时=六 f(1)=1+2=3,因此，f(1)-f(1)=1 曲线y=lnx在，点A处的切线方程为 -3=-2.] 3.B[由题意知 y-%= ⊥(x-x0), lim fco十h)-f(-h h 即y-lnxo=∠-1， -21m·f+h)-f-0 xo 2h 代入点(-e,-1),得-1-nx0=0 e f(xo+h)-f(xo-h) =21im（r+)-(xo-h) -1,即roln ro=e 记H(x)=xlnx,当x∈(0,1)时， =2f'(x0).」 H(x)0, 4.C[设切点为(x0,x),由y=x, 当x∈(1，十∞)时，H(x)>0, 所以)y=3x2,所以y1x=5=3x6, 且H'(x)=lnx+1,当x>1时 所以切线方程为y一x8=3x号(x一 H(x)>0,H(x)单调递增， x0),即y=3x6x-2x,因为切线过点 注意到H(e)=e,故xoln ro=e存在 P(1,0),所以0=3.x品-2x,解得x0 唯一的实数根x0=e,此时yo一1，故 =0或0=号，所以过点P1,0)作曲 点A的坐标为(e,1),切线方程为 y 线y=x3的切线可以作2条.] e 5.B [.'f(x)=xlnx. 答案：(e,l)y= ∴.f(x)=1+lnx, e ∴.f(1)=1十ln1=1,∴.k=1,.曲线 10.解析：函数f(x)=xlnx-a.x2十x(a y-f(x)在A(1,0)处的切线方程为y ∈R)的定义域为(0，十o), =x-1,由=1，.得ax2-2z 由f(x)=xlnx-a.x2+x,得f(x) ly=ax-x, =lnx+2-2ax,则f'(1)=2-2a. +1=0,由△=4-4a=0,解得a=1.] 又f(1)=1-a,则曲线y=f(x)在点 6.C[f代r)=x3-上(x>0)的导数 (1,f(1))处的切线l的方程为y-(1 -a)=2(1-a)(x-1), f(x)=3x2+克： 1 即y=2(1-a)(-）由 ,在该曲线上点(x0,f(x0)处切线 斜率k=3号+ -=0可得{=立所以直线 x品 y=0 (y=0, 由函数的定义域知x>0, /1 k≥2/3. =2√，当且仅当 1恒过定点(0）小 3x= 1 3时，等号成立」 答案：（分0） 1.解析是=ta}@-h(a+ ,k的最小值为2√5.] a+1-a 7.BC[对于A,f(x)=3cosx,其导数 -ha--h(+） f(x)=-3sinx,其导函数为奇函数， a 图象不关于y轴对称，不符合题意： 因为a>1,所以1n(+日)<1n 对于B,f(x)=x3十x,其导数f(x) 十1)=ln21,所以①错误，②正确 =3x2十1，其导函数为偶函数，图象关 于y轴对称，符合题意； 又当>1时，1+随着a的增大而 1 对于Cfx)=x+正，其导数f(x) 成小，(+日)随着1+日的减小 ，其导函数为偶函数，图象关 =1-1 而减小，所以随着。的增大而减 于y轴对称，符合题意： 小，所以③错误，④正确。 对于D,f(x)=e十x,其导数f(x) 答案：②④ =十1，其导函数不是偶函数，图象 不关于y轴对称，不符合题意，] 12.解：(1)由f(x)=x3-3x,得f(x)= 8.AC[因为函数f(x)=e,所以f(x) 3x2-3,过点P且以P(1,-2)为切 =er, 点的直线的斜率f(1)=0, A.令f(x)=e2=1,得x=0,所以曲 .所求的直线方程为y=一2 线y=f(x)的切线斜率可以是1，故正 (2)设过P(1,-2)的直线L与y=fx) 确；B.令f(x)=e2=一-1无解，所以 切于另一点(x0,y0), 曲线y=f(x)的切线斜率不可以是一1， 则f(x0)=3.x-3,又直线过(x0, 故错误；C.因为(0,1)在曲线上，所以 y0),P(1,-2), 点(0,1)是切，点，则f'(0)=1,所以切 线方程为y一1=x,即y=x十1，所以 故其斜率可表示为-(-2) To-1 过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的 x8-3x0+2 直线有且只有1条，故正确；D.设切点 x0-1 (xo,e),则切线方程为y一e (x一xo),因为点(0,0)在切线上， 又8-3+2=3xg-3. x0-1 所以e=xoe,解得x0=1,所以过 点(1，e)且与曲线y=f(x)相切的直 即x8-3x0+2=3(x号-1)(x0-1), 1 线有且只有1条，故错误，门 解得x0=1(合去)或0=一立： ·511. 参考答案 故所求直线的斜率为k=3X (片-)- y-(-2)-x-1. 即9x+4y-1=0. 13.A[:函数f(x)=x2+ln2x 2m(x十lnx)+2n2十1，若存在x0 使得)号成立口存在使得 xo-2mxo+m2+In2 xo-2mln xo+ m2≤号成立 存在x0使得g(x6)=(x。一n)2十 n0-m≤合成点 可以看作是动点M(xo,lnx0)与动 点V(n,m)之间距离的平方小于或 等于合，动点M在品数y=1nx的 图象上，N在直线y=x的图象上， 问题转化为求直线y=x上的动点到 曲线y=lnx的最小距离，由y=lnr, 得y= 1=1,解得x=1,∴曲线上 点M(1,0)到直线y=x的距离最小， 最小距离d=号，即R()≥合，根 1 据题意，要使g(x0)≤立，则g(x0) 之，此时N拾好为垂足，由k= n%-1,解得m=子] 14.A[由题意知直线y=ax十b(a∈R,b >0)是曲线f(x)=e与曲线g(x) =lnx十2的公切线，设(t,e)是 f(x)图象上的切，点，f'(x）=e,所以 f(x)在，点(t,e)处的切线方程为 y-e'=e'(x-t), 即y=ex+(1-t)e',① 令g(x)=上=c,解得r=e4, g(e)=In e-1+2=2-1, 即直线y=ax十b(a∈R,b>0)与曲 线g(x)=lnx十2的切点为(et, 2-0,所以2=-￡=心，即1-1 、et-t (1一t)e,解得t=0或t=1, 当t=1时，①为y=er,b=0,不符合 题意，舍去，所以1=0，此时①可化为 y=x+1,所以a+b=1十1=2.] 15,解析：设P(小 所以|OP|= +() ·(lnx)2, 设g(x)=x2+ ()】 ·(lnx)2, x)-2x+( ·2·(lnx)· 1 当x> 上时，lnx之-1→hx>≥ e 2 e2 2r>。,所以g（>0gx)单调 递增， 高考总复习数学(BS) 当0r<名时，aK-1→号hx 2 ,2x22 三，所以g(x)<0, g(x)单调递减， 当x=】时，函数g(x)有最小值，即 e OP有最小值，所以 P(合，-）此时直线OP的方程 为y=一x,设直线y=一x与曲线y =alnx相切于点(xo,aln xo), 由y=alnx→y'-a→a=-1→ .0 xo=-a,显然(xo,aln ro)在直线y =一x上，则aln ro=一x0,因此有 aln(-a)=a→a=-e, 答案：一 16.解：(1)方程7.x-4y-12=0可化为 y=4x-3当x=2时，y=之 又f(x)=a+b 于是 （2a-2 解得0=1， 1b=3. a+41 3 故f(x)=x一正 (2)证明：设P(x0,%)为曲线上任一 3 点，由y=1十之，知曲线在点 P(0y%)处的切线方程为y-yo (+)水- 令x=0,得y= 6 从而得切线与直线x一0的交，点坐标 为(0，-6) 令y=x,得y=2x0, 从而得切线与直线y=x的交点坐标 为(2x0,2x0). 所以点P(x0,yo)处的切线与直线x =0,y=x所国成的三角形的面积为 11 -12=6. S=2x0 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与 直线x=O,y=x所围成的三角形的 面积为定值，且此定值为6. 课时冲关17 1.A[由题意，函数f(x)=x2·er= 。,可得'(x)-二22，令 f(x)>0,即x(x-2)<0,解得0<x <2,所以函数y=x2·ex的递增区 间是(0,2). 2.B[由题知f(x)≥0且不恒等于0， 文因为y=1一x2在(0,1)上单调递 减，在（一1,0）上单调递增，y=√x在 定义域上单调递增，所以f(x)在(0， 1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增， 即当x∈[-1,1]时，f(x)的值由小变 大，再由大变小，即函数f(x)图象从 左到右是单调递增，且变化趋势是先 慢后快再变慢.门 3.B[因为f(x)=1-e2 e+中，所以f(r) -4e2r (e2:+1<0,所以f(x)在R上单 调递减，则f(x2)>f(x十2)等价于 奇函数，即C正确；由题知，f(x)= x2<x+2,解得-1<x<2,即原不等 ln(e÷x-ae÷r),若f(x)在(0，十o∞) 式的解集为（一1,2）.] 4.A[由已知g(x)=f工，则g(x) 上单调递增，则函数g（x)=ex一 ae÷r在(0，十∞)上单调递增，则 f()f()<0. g)-是e(e+o≥0 故g(x)在(0，十∞)上单调递减， 在(0，十∞)上恒成立，即e3z十a≥0 故(x1-x2)[g(x1）-g(x2)]<0,展 在(0，十∞)上恒成立，解得a≥一1， 开即为②；由于2>1，故g(21） 即D正确.] g(1),故③正确：由于x1十x2>x1→ 9.解析：f(x)=上+2ax-2, g(x1十x2)<g(x1)→ x1f(x十 x1十x2 若f(x)在区间(1,2)内存在单调递增 Kf,同理干f山+) 区间，则f(x)>0在x∈(1,2)有解， <f(x2),相加得f(x1十x2)<f() 故a>1 x2x2,令g(x)= x2x2' 十f(x2),故①正确：取f(x)=1,它符 g(x)在(1,2)为减函数，.g(x)> 合题意，但是④并不成立，综上一定成 立的有①②③.] 5.B[对于A,设f(x)=lD(x>e), 答案（尽+） 则f(x)=1-lnx 10.解析：f(x)=（2x十n)e2+(x2+ 则当x>e时，f(x)<0,.f(x)在 n.x)e-[x2+(m+2)x+m]e, (e,十o∞)上单调递减，∴f(3)>f(π)， 则原问题等价于f(x)<0在 即l血3>lh,即dn3>3n元， [-令]上有解，即2+(m+21 3 ,.ln3x>lnπ3，则3>π3，A错误； 对于B,(5)12=34=81,()12= +m<0在[-之，1]小上有解， 43=64,.(3)12>()12,则5> 即m<学在[小上 √4，B正确： 有解， 对于C,2ln3=ln32=ln9,3ln2 In 23 =In 8,In 9>In 8,..2In 3> 因为二2二二(x+1)++有' 3ln2,C错误；对于D,tan1>tan π 且y+D+ =1,D错误.] 6.D [[f(z)lnzJ-If(r)+f(z) 在[合1]上单调递减， lnx0,·g(x)=f(x)lnx在 所以当一一时。 (0,十∞)上为减函数，而g(1)=0, .在(0,1)上1nx<0,g(x)>0:在(1， y=-(+）十士 +o∞)上lnx>0,g(x)0:而f(1)<0, +1 ∴.在(0，+oo)上f(x)<0,又函数f(x) 所以< 3 为奇函数，，在（一∞，0）上f(x)>0, = 不等式(x一1)f(x)<0等价于 {x>1,或x1, fx)0或{fx>0,x∈(-∞，0) 答案：m<号 U(1,+∞).] 11解标由号>0 7.CD[令g(x)-f(x)lnx+1-↓ 可得f(x)(x2-1)>0, 所以g(x)-f(x)lnx+f卫+1」 所以fx)之0或fr)0, x 1x2-1>0 1x2-1<0. 1 因为（x1nx十2>0，>0 所以当x<-1或x>1时，f(x)> 0,当-1<x<1时，f(x)<0, 所以g(x)>0,所以g(x)在(0，十o∞) 所以f(x)的单调递减区间为（一1， 上单调递增， 1),所以满足条件的一个函数可以为 又g(1)=0,可得g(x)>0的解集为 (1,+).] f)=子-r(答案不唯- 8.BCD a=1,f(r)=In(e2x-ex) -号，则2-e>0,解得x>0 答案：(-1)f)-r-(答 案不唯一) 故f(x)的定义域为(0，十∞)，不关于 12.解：(1)f(x)的定义域为(0，十∞)， 原，点对称，即A错误：若a=一1，f(x) =h(e+e)-分r=ln(e2+ f)=-y f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴 ex)-lne寺-ln(ex十e音x),定义 垂直，∴f(1)=0,即k=1,∴f(x) 域为R,满足f(-x)-f(x),故f(x) =ln(ex十ex)为偶函数，即B正 -月当0C<1时.f<0. 确；当a=一1时，由B可知f(x)为偶 当x>1时，f(x)>0, 画数，当a=0时，易知fx)=是r为 ,f(x)的单调递减区间为(0,1)，单 调递增区间为(1，十∞). ·512·课时冲关16导数的概念 「基础训练组] 1.若函数f(.x)=eax+ln(x+1),f'(0)=4,则 a= A.0 B.1 C.2 D.3 2.曲线y=f(x)在x=1处的 切线如图所示，则f(1)一 f(1)= ( 22/0 A.0 B.2 C.-2 D.-1 3.若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且xo∈ (a,b),则1im fxo+)-f(xo一2的值为 h () A.f'(xo) B.2f(xo) C.-2f(xo) D.0 4.若过点P(1,0)作曲线y=x3的切线，则这 样的切线共有 () A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 5.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=ax2-x.若 经过点A(1,0)存在一条直线1与曲线y= f(x)和y=g(x)都相切，则a= () A.-1 B.1 C.2 D.3 6.曲线f(x)=x3-1(x>0)上一动点P(o, x f(xo)处的切线斜率的最小值为( A.3 B.3 C.23 D.6 7.（多选)若函数f(x)的导函数f(x)的图象 关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为 ( A.f(x)=3cos x B.f(x)=x3+x C.f(x)=x+元 1 D.f(x)=e+x 8.(多选)已知函数f(x)=er,则下列结论正 确的是 () A.曲线y=f(x)的切线斜率可以是1 B.曲线y=f(x)的切线斜率可以是一1 C.过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线 有且只有1条 D.过点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线 有且只有2条 ·26 主题二第三章导数及其应用 及其几何意义、导数的运算 [答题栏] 9.在平面直角坐标系Oy中，点A在曲线y=1 Inx上，且该曲线在点A处的切线经过点2 (一e,一1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐 3 标是 ,切线方程为 10.已知函数f(x)=xlnx-a.x2+x(a∈R),4.- 则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线15 恒过定点 11.已知a>1,函数f(x)=lnx,则下面结论 6 中正确的有 (填上所有正确结论7. 的序号). ①函数f(x)在区间[a,a十1]上的平均变 化率总是大于1； 13.- ②函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变14-- 化率总是小于1： ③函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变 化率随着a的增大而增大； ④函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变 化率随着a的增大而减小. 12.已知函数f(x)=x3一3.x及y=f(x)上一 点P(1,一2)，过点P作直线l. (1)求使直线1和y=f(x)相切且以P为 切点的直线方程； (2)求使直线1和y=f(x)相切且切点异于 P的直线方程， 7 高考总复习数学(BS) [能力提升组] 13.已知函数f(x)=x2+ln2x-2m(x十lnx)+ 2m㎡2+1，若存在使得fn)≤多成立，则 实数m的值为 () A克 B.1 D.2 14.已知直线y=ax十b(a∈R,b>0)是曲线 f(x)=e与曲线g(x)=lnx+2的公切线， 则a+b= () A.2 号 C.e D. e 15.已知点P为曲线y=n上的动点，0为坐 e 标原点.当|OP|最小时，直线OP恰好与 曲线y=alnx相切，则实数a= 16.设函数f()=ar-么，曲线y=f)在点 (2,f(2)处的切线方程为7x-4y一12=0. (1)求f(x)的解析式； ·268· (2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线 与直线x=0和直线y=x所围成的三角形 的面积为定值，并求此定值.