专题05 平行四边形的性质与判定19大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材浙教版

专题04 平行四边形的性质与判定（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用平行四边形的性质求角度 题型二02 利用平行四边形的性质求线段长 题型01 利用平行四边形的性质求周长 题型01 利用平行四边形的性质求面积 题型05 利用平行四边形的性质证明 题型06 两条平行线间的距离及其应用 题型07 添加条件判定是平行四边形 题型08 平行四边形判定的证明 题型09 利用三角形的中位线求线段长 题型10 利用三角形的中位线求角度 题型11 利用三角形的中位线求周长或面积 题型12 与三角形的中位线有关的证明 题型13 平行四边形的性质与判定的综合 题型14 平行四边形的折叠问题 题型15 平行四边形与平面直角坐标系的综合 题型16平行四边形的判定与动点运动问题 题型17 平行四边形的最值问题 题型18 反证法 题型19 平行四边形的综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 1. 平行四边形性质 掌握对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称；会计算边长、角度、周长、面积. 基础 + 中档必考；小题考边角 / 对角线计算；易错：邻角互补、对角线互相平分. 2. 两条平行线间的距离 理解距离定义（垂线段长度）；掌握距离处处相等；能求距离、区分垂线段与斜线段. 基础小题；考概念辨析、简单计算；易错：非垂线段不是距离. 3. 平行四边形判定 掌握 5 种判定：两组对边平行 / 相等、一组对边平行且相等、两组对角相等、对角线互相平分；能灵活选定理证明. 高频中档；常考添加条件判定、综合证明；易错：混淆判定条件. 4. 三角形中位线定理 掌握中位线平行且等于第三边一半；能计算线段、周长、面积、角度. 重点高频；必考计算与证明；易错：中位线与中线混淆、漏写平行关系. 5. 反证法 理解反证法原理；掌握步骤：假设结论不成立→推矛盾→否定假设→原结论成立；会证简单命题. 基础小题；考原理、简单证明；易错：假设写反、矛盾点找不准.. 知识点01 平行四边形定义及其性质 一、平行四边形定义 ◆1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ◆2、表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”， 读作:“平行四边形ABCD”. ◆3、几何语言：(双重含义) ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（性质） 二、平行四边形的性质 ●●平行四边形的性质： ◆1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等． 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB = CD，AD = BC， ◆2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补. 几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，∠B = ∠D ◆3、对角线：平行四边形的对角线互相平分． 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD ◆4、对称性平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心． 知识点02 两条平行线间的距离 ◆1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. ◆2、两平行线的性质定理及推论 性质定理：夹在两条两条平行线的平行线段都相等. 推论：夹在两条平行线间的垂线段相等, 知识点03平行四边形的判定 ★1、平行四边形的判定方法 类别 判定方法 图形 几何语言 边 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵四边形 ABCD 是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB = CD，AD = CB， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵ AB∥CD，AB = CD， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ∵∠A =∠C，∠B =∠D， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵AO = CO，DO = BO， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 知识点04 三角形的中位线 ◆1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ◆2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. 几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC，且DE =BC． ◆3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段. ◆4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半. 知识点05 反证法 在证明一个命题时,有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出与已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反证法。 题型一 利用平行四边形的性质求角度 解｜题｜技｜巧 平行四边形中求有关角度的方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其它三个角的度数. 【典例1】9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质得到，，即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）已知在平行四边形中，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质（邻角互补、对角相等），解题的关键是根据平行四边形中角的关系列出等式，求出未知角的度数． 利用平行四边形邻角互补，结合，列方程求出的度数；再根据平行四边形对角相等得到的度数． 【详解】解：在平行四边形中， ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵， ∴，即，解得． ∵平行四边形对角相等， ∴． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，中，平分，交边于点E，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 题型二 利用平行四边形的性质求线段长 解｜题｜技｜巧 平行四边形中求有关线段的方法是利用平行四边形对边分别相等，对角线互相平分的性质来求解决的. 【典例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，的对角线，相交于点，．若，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，平行四边形中对角线互相平分这一性质是解决本题的关键 根据平行四边形的性质，即“平行四边形的对角线互相平方”可求解与，再由勾股定理求解即可 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 又∵，即 ∴在中， 由勾股定理可得． 故选：A ． 【变式1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，角平分线的定义，推出，再根据线段的和差关系，求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，在中，的平分线交的延长线于点，若，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，由的平分线交的延长线于点E，得，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，再根据计算即可． 【详解】解：∵的平分线交的延长线于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型三 利用平行四边形的性质求周长 解｜题｜技｜巧 1.平行四边形的周长=2(a+b) （其中a、b分别为两相邻边的边长） 2. 在平行四边形中，两邻边长之和等于周长的一半. 3.在求平行四边形各边长时，可设一元一次方程或二元一次方程组求解. 【典例1】如图，在中，平分，，，则的周长是（   ） A．16 B．14 C．20 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的等角对等边是解答的关键．根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，等腰三角形的判定求得即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：C． 【变式1】如图， 的对角线 AC，BD相交于点 O，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求解． 【详解】解：∵的对角线相交于点O，， ∴，， ∴的周长为 故选：B． 【变式2】如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质和已知条件可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴． ∴的周长． 故选：C． 题型四 利用平行四边形的性质求面积 解｜题｜技｜巧 平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中线，三角形全等的判定和性质，以及三角形的面积； 根据题意证明，从而得到，，再根据，，即可求得四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，点是中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在 中，，分别是和的中点，是上的一个动点，从点运动到点在点的运动过程中，与的面积之和（  ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大再变小 【答案】A 【分析】由三角形的面积公式得到，而，即可得到，即可得到答案． 本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，关键是由三角形和平行四边形的面积公式得到． 【详解】解：，分别是和的中点， ，， ， ， ， ， 与的面积之和不变． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，对角线交于点O，点F为上一点，若，，且，，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等高三角形面积的比等于底的比等知识．设，由，得，由平行四边形的性质得，，由，得，则，由，，推导出，得出，则，再求得，进而可得出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线，交于点O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型五 利用平行四边形的性质证明 解｜题｜技｜巧 平行四边形的定义、平行线的性质、全等三角形的判定和性质在有关平行四边形的证明中，常常结合在一起综合应用，而利用平行四边形的定义、平行线的性质获得三角形全等的条件是解题的关键. 【典例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，点E是的边的中点，延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形性质、勾股定理，掌握定理以及性质是解题的关键． （1）要证明即可证明； （2）根据（1）中的结论和勾股定理、平行四边形的性质可以求得的长． 【详解】（1）明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在平行四边形中，，以点C为圆心，为半径作弧，交边于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题关键． （1）由平行四边形的性质可得，由作法可知，，进而得到，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质可得，，，再在直角三角形中，利用勾股定理先求出，再求出即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 由作法可知，， ， ； （2）解：，， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ∴在中，， ∴在中，， ∴的长为． 【变式2】如图，在中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质．熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，，，由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，证得，即可证得结论； （2）先由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， 又平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ，， ． 题型六 两条平行线间的距离及其应用 解｜题｜技｜巧 两条平行线间的距离指的是：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，平行线间的处处都相等，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置. 【典例1】如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离．熟练掌握平行线间的距离是解题的关键． 根据平行线间的距离定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，表示直线m，n之间距离的是线段的长， 故选：B． 【变式1】（22-23八年级下·浙江金华·阶段检测）如图，，为，平分线的交点，交于，且，则与之间的距离等于________． 【答案】 【分析】过点作，则就是与之间的距离，然后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴就是与之间的距离． ∵为，平分线的交点，交于， ∴ ∴与之间的距离． 【变式1】在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为________． 【答案】3或9/9或3 【分析】本题考查了两平行之间的距离，①当在、之间，②当在、之间，即可求解，能根据平行线的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当在、之间， 直线a和c的距离为； ②当在、之间， 直线a和c的距离为； 故答案：3或9． 题型七 添加一个条件成为平行四边形 解｜题｜技｜巧 添加一个条件使四边形成为平行四边形，关键是根据已知条件“对症下药”，优先选用最直接的判定方法：若已有一组对边平行，可补另一组对边平行或该组对边相等；若涉及对角线，优先考虑“对角线互相平分”. 【典例1】（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，在四边形中，，是对角线，要使四边形为平行四边形，可添加条件（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据添加的条件和平行四边形的判定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：A、添加后，四边形一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，有可能为等腰梯形，不合题意； B、添加，得出，不能判定为平行四边形，不符合题意； C、添加，得出，不能判定为平行四边形，不合题意； D、添加，根据一组对比平行且相等的四边形是平行四边形可以判定为平行四边形，符合题意． 故选：D． 【变式1】（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，，添加下列条件后不能使四边形成为平行四边形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，分别分析每个选项，根据平行四边形的判定和全等三角形的判定和性质进行求证即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，故，，， A. 添加，则，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形； B. 添加，则又∵， ∴四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形； C. 添加，则，，， ∴ ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形； D. 添加，无法证明四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件不能使四边形成为平行四边形； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 【变式2】下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的 是 （填序号）． ①，；②，；③，；④，． 【答案】③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ②∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ③，不能判定四边形是平行四边形，符合题意； ④∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； 故答案为：③． 【变式3】已知：如图，，，为上任意一点，过的直线分别交、的延长线于、． (1)请问：吗？说明你的理由； (2)要得出结论，还需增加一个什么条件，说明你的理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)点是的中点，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质． 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证； 由可知，如果点是的中点，可得：，利用可证，根据全等三角形的性质可证． 【详解】（1）解：， 理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：还需要增加点是的中点， 理由如下： 由可知， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． 题型八 平行四边形判定的证明 解｜题｜技｜巧 掌握五种标准判定方法并灵活运用全等三角形与辅助线是解决平行四边形证明题的关键技巧. 【典例1】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式1】（2024春•南召县期末）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上 的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD． 求证：四边形DBEC是平行四边形． 【分析】先证明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可证四边形BECD是平行四边形 【详解】证明：∵AB∥CD， ∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF， ∵点F是BC的中点， ∴BF＝CF， 在△DCF和△EBF中， ， ∴△EBF≌△DCF（AAS）， ∴DC＝BE， ∴四边形BECD是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质. 【变式2】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，已知四边形为平行四边形，将线段两端分别延长至点，，使得，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，连接，交于点O．证明，，从而可得结论，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：连接，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴． 即． ∴四边形是平行四边形． 题型九 利用三角形的中位线求线段长度 解｜题｜技｜巧 在涉及线段长度计算的问题中，若出现两个中点或可构造中点，优先考虑使用三角形中位线定理：中位线平行且等于第三边的一半. 【典例1】（2024秋•温江区期末）如图，在Rt△ABC中，点D、E分别为BC、AC中点，若AE＝4，BD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C． 【分析】根据直角三角形的性质得到AD＝BD＝5，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵点D是BC的中点，∠BAC＝90°， ∴AD＝BD＝5， ∵点D、E分别为BC、AC中点， ∴DE∥AB，DE， ∴DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴DE3， ∴AB＝2DE＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，是的中点，在边上．若，则的长为（   ）． A．3 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理求解边长，中位线的性质以及等腰三角形的性质，得到得到为的中位线是解决本题的关键． 根据勾股定理求解边的长度，通过作辅助线构造平行线，得到为的中位线，再由角度相等可得为等腰三角形，再由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：取的中点记作F，连接，如图， 因为在中，，， 所以有勾股定理可得，， 因为点D，F分别为的中点， 所以，且， 所以， 因为， 所以， 所以为等腰三角形， 所以， 又因为点F为的中点， 所以， 所以． 故选：D ． 【变式2】（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图，在中，，，点是上一点，连结，点是的中点，连结，作于点，连结，若，则的长为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线，勾股定理，先根据直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，进而求出，由题意易证是的中位线，即可解答． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A． 题型十 利用三角形的中位线求角度 解｜题｜技｜巧 角形的中位线求角度的核心是“平行”带来的角关系转化——通过中位线与第三边平行，将未知角转化为已知角（如同位角、内错角），再结合等腰三角形、折叠对称或四边形内角和等知识求解。 【典例1】如图，BD是等腰△ABC底边AC边上的中线，ED∥AB，∠C＝65°，则∠BDE度数是（　　） A．24° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠C＝65°，BD⊥AC，根据直角三角形的性质求出∠ABD，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵BA＝BC，BD是△ABC底边AC边上的中线， ∴∠A＝∠C＝65°，BD⊥AC， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵ED∥AB， ∴∠BDE＝∠ABD＝25°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC的度数为（　　） A．140° B．142° C．150° D．152° 【答案】B 【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到BD＝8，EF∥BD，根据平行线的性质求出∠ADB，根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，计算即可． 【详解】解：如图，连接BD， ∵点E、F分别是边AB、AD的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴BD＝2EF＝2×4＝8，EF∥BD， ∴∠ADB＝∠AFE， ∵∠AFE＝52°， ∴∠ADB＝52°， 在△BDC中，BD2+CD2＝82+62＝100，BC2＝102＝100， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝52°+90°＝142°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝58°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E、F分别是AD、AC的中点，则∠BEF的度数为 　 　． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AE＝BE，根据点E、F分别是AD、AC的中点得到EF是△ADC的中位线，可得EF∥BC，分别求出∠BED和∠DEF的度数即可． 【解答】解：∵∠BAC＝58°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC＝29°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ADB＝90°﹣29°＝61°， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝BE， ∴∠BAD＝∠ABE＝29°， ∴∠BED＝∠BAD+∠ABE＝58°， ∵点E、F分别是AD、AC的中点， ∴EF∥BC， ∴∠ADB＝∠DEF＝61°， ∴∠BEF＝∠DEF+∠BED＝58°+61°＝119°， 故答案为：119°． 【点评】本题考查中位线的性质及直角三角形斜边上的中线性质，解题的关键是正确的处理已知条件中的两个中点． 题型十一 利用三角形的中位线求周长或面积 解｜题｜技｜巧 1.利用三角形中位线求周长的关键是：原三角形的中点连线构成的新三角形（即“中点三角形”）的周长等于原三角形周长的一半. 2.三角形中位线连接两边中点，若再连接另一组中点，可将原三角形分成4个全等的小三角形，全等三角形的面积相等，因此每个小三角形的面积是原三角形面积的. 【典例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质的应用，能根据三角形的中位线性质得出、、是解此题的关键．根据三角形的中位线性质得出，，，即可求出答案． 【详解】解：点、、分别为三边、、的中点， ，，， 的周长为5， ， ， 即的周长为. 故选：B． 【变式1】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，是的中线，与相交于点O，点F、G分别是的中点，连接．若，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握定理是解题的关键；是的中线，得，由点F、G分别是的中点，得，从而有；同理得，即可求得四边形的周长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵F是的中点，G是的中点， ∴， ∴， 同理， ∴四边形的周长． 故选：A． 【变式2】如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，若△ABC的面积是40，则四边形BDEF的面积是（　　） A．10 B．12.5 C．15 D．20 【答案】C． 【分析】根据三角形的中点的性质和三角形面积解答即可． 【详解】解：∵D、E、F分别是BC、AC、AD的中点， ∴S△ADES△ADC，S△ADCS△ABC，S△DEFS△ADE， ∴S△DEFS△ABC40＝5， ∵D、E、F分别是BC、AC、AD的中点， ∴S△ABDS△ABC40＝20， ∴S△BDFS△ADB20＝10， ∴四边形BDEF的面积＝S△BDF+S△DEF＝15， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，三角形面积问题，关键是根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解答． 【变式3】如图，AM垂直∠ABC的平分线BM于点M，D为BC中点，连接MD，若△ABC的面积为4，则△BMD的面积为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A． 【分析】延长AM交BC于N，证明△AMB≌△NMB，根据全等三角形的性质得到AM＝NM，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：延长AM交BC于N， 在△AMB和△NMB中， ， ∴△AMB≌△NMB（ASA）， ∴AM＝NM， ∴S△AMB＝S△NMB，S△AMC＝S△NMC， ∴S△BMCS△ABC＝2， ∵D为BC中点， ∴S△BMDS△BMC＝1， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的面积公式，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 题型十二 与三角形的中位线有关的证明 解｜题｜技｜巧 要解决与三角形中位线相关的证明问题，关键在于灵活运用“平行且等于第三边一半”的性质，并通过构造辅助线揭示隐藏关系. 【典例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是关键． （1）根据三角形中位线定理证明，由已知即可证明结论； （2）求出，，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵，． ∴四边形为平行四边形； （2）∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 【变式2】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，是一条中位线，连接，过点D作的平行线交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，熟知三角形中位线定理和平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，再由即可证明结论； （2）由平行四边形对边相等得到，再由三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中位线， ∴． 【变式2】（22-23八年级下·浙江·期末）如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E， ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线定理． （1）根据等腰三角形三线合一得到，再利用三角形的中位线定理证明，再加上条件可证出结论． （2）先证明，再证明，可得到． 【详解】（1）证明：，， ． 又是边的中点， ∴， 为的中位线， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， 、分别是、的中点， ， ， ． 题型十三 平行四边形的性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 利用平行四边形的性质对应边相等，可以求线段的长，图形的周长和面积，利用平行四边形的对应角相等可求角的度数，先通过证明四边形是平行四边形，然后直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 【典例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，连接 (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，继而证明，则四边形是平行四边形，即可解答； （2）先证明四边形是菱形，则，，继而求出，则四边形的面积，即可解答． 【详解】（1） 证明：∵四边形平行四边形， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 如图，连接交于O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）在中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是关键． （1）根据四边形是平行四边形，得出，，结合，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据四边形是平行四边形，得出，即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，将平行四边形的边延长至点，使，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连接、，若四边形是矩形，则与满足什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形和矩形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，矩形的判定，是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，然后根据，得到，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可； （2）由（1）得的结论先证得四边形是平行四边形，通过角的关系得出，，即得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：当，四边形是矩形， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式3】问题背景：如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边．已知，垂足为，连接交于点． 探索求证： （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； 深入探究： （3）当时，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质，得到，利用等边三角形的性质，得到根据得到，即可得证； （2）根据等边三角形的性质，得到，进而得到，推出，等量代换得到，即可得证； （3）含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，证明，勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明： 中，， ， 又是等边三角形，， ， ， ， ， ． （2）证明：是等边三角形， ， ， ∴， ， ， ， 四边形ADFE是平行四边形． （3）解：， 四边形是平行四边形， ， ， ． ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 题型十四 平行四边形的折叠问题 解｜题｜技｜巧 折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的图形胃疼，这类问题既是对称问题的应用又可考查空间想象能力，平行四边形中的折叠问题是利用平行四边形的性质，以及三角形的全等、平行等知识在解决问题. 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（　　） A．70° B．40° C．30° D．20° 【答案】B 【分析】由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A＝70°，又由平角的定义，即可求得∠AMF的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN， ∴AB∥CD∥MN， ∵∠A＝70°， ∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝70°， ∴∠AMF＝180°﹣∠DMN﹣∠FMN＝180°﹣70°﹣70°＝40°． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系． 【变式1】如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B 为（　　） A．36° B．144° C．108° D．126° 【答案】B 【分析】根据翻折可得∠B′AC＝∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC＝∠DCA，从而可得∠1＝2∠BAC，进而求解． 【详解】解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC， ∵∠1＝∠B′AC+∠DCA， ∴∠1＝2∠BAC＝36°， ∴∠BAC＝18°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质． 【变式2】如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到，，再根据是等边三角形，即可得到的周长为． 【详解】由折叠可得，， ∵四边形是平行四边形 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴ ∴是等边三角形， ∴的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定，解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 题型十五 平行四边形与平面直角坐标系的综合 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标时，主要考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题时，利用了平行四边形的对边相等且平行的性质，对角线互相平分，有时需要分情况讨论． 【典例1】在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形性质及坐标与图形，根据平行四边形的性质得出，，再根据点的坐标求出点C的坐标即可． 【详解】解：∵平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是，， ∴， ∴点C的横坐标，纵坐标点D的纵坐标， 即点C的坐标是， 故选：C． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C．若四边形是平行四边形，则点B的 坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟知平行四边形的性质是解题的关键； 根据四边形是平行四边形可得，再由A、C的坐标即可得解. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵A，C，， ∴点B的坐标为； 故选：C. 【变式2】（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标，把线段沿轴正方向移动4个单位，得到四边形．若点在轴上，当时，点的坐标为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了图形的平移以及性质，平行四边形的判定和性质，绝对值的意义．过点C作轴于E，由平移的性质得四边形为平行四边形，，，设点D的坐标为，则，，先求得，根据题意得，解方程求得a即可． 【详解】解：过点C作轴于E，如图所示： 由平移的性质得：，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点， ∴， 设点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴或， 由，解得：，则点D的坐标为， 由，解得：，则点D的坐标为， ∴点D的坐标为或者． 故答案为：或． 题型十六 平行四边形的判定与动点运动问题 解｜题｜技｜巧 运用数形结合的思想，化动为静，根据题意结合平行四边形的性质、判定列出方程，进行相关的计算或证明，解决有关平行四边形中的动点问题. 【典例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为 　 秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形． 【答案】5或6． 【分析】由题意可得AD∥BC，分BQ＝AP或CQ＝PD两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设点P运动了t秒， ∴CQ＝tcm，AP＝2tcm，BQ＝（15﹣t）cm，PD＝（18﹣2t）cm， ①当BQ＝AP时，且AD∥BC，则四边形APQB是平行四边形， 即15﹣t＝2t， ∴t＝5； ②当CQ＝PD时，且AD∥BC，则四边形CQPD是平行四边形， 即t＝18﹣2t， ∴t＝6， 综上所述：当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时，点P运动了5秒或6秒， 故答案为：5或6． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 【变式1】如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【答案】2或6． 【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：2或6． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】B． 【分析】由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 设运动时间为t． 当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t， ∴10﹣t＝10﹣2.5t， 1.5t＝0， ∴t＝0（舍去）； 当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10， ∴10﹣t＝2.5t﹣10， 解得：t； 当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t， ∴10﹣t＝30﹣2.5t， 解得：t（舍去）； 综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分三种情况列出关于t的一元一次方程是解题的关键． 题型十七 平行四边形的最值问题 解｜题｜技｜巧 平行四边形中最值问题的核心解题技巧是“化动为静”，常用方法包括轴对称转化（将军饮马）、垂线段最短、三点共线取最小值以及利用几何变换构造辅助图形. 【典例1】如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB⊥AC，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 【答案】B． 【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FE⊥BC于E，则FE的长即为PB+PQ的最小值， 【详解】解：取BC的中点G，连接AG． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝60°， ∵AB⊥AC，AB＝2， ∴∠ACB＝30°， ∴BC＝2AB＝4， ∵AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°， ∴△ABG是等边三角形， ∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°， ∴∠GAC＝∠GCA＝30°， ∴∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FE⊥BC于E， ∵CF＝CB，∠CBF＝60°， ∴△BCF是等边三角形， ∵PB＝PF， ∴PB+PQ＝FP+PQ≤FE， 则EF的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短）， ∵EF4＝2， ∴BP+PQ的最小值为2． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，BC＝6，CD＝6，E是AD边上的中点，F是AB边上的一动点，将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF，连接A′C，则A′C长度的最小值为（　　） A．3 B．3 C．3﹣3 D．6 【答案】C 【分析】连接EC，过点E作EM⊥CD于M，先求出线段ME、DM的长度；运用勾股定理求出EC的长度，即可解决问题． 【详解】解：如图所示，过点E作EM⊥CD交CD的延长线于点M， ∵在平行四边形ABCD中，∠D＝150°， ∴∠EDM＝30°， ∵E是AD边上的中点， ∴DE＝AD＝BC＝3，AE＝A'E＝3， ∴Rt△DEM中，EM＝，DM＝， ∵CD＝6 ∴CM＝， ∴Rt△CEM中，CE＝， ∵A'E+A'C≥CE， ∴A'C≥CE﹣A'E， ∴当点A'在CE上时，A'C的最小值＝CE﹣A'E＝3﹣3， 故选：C． 【点睛】此题主要考查平行四边形内线段最值求解，解题的关键是勾股定理的性质及平行四边形的性质． 【变式2】如图，在中，．H、G分别是上的动点，连接，E、F分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 题型十八 反证法 解｜题｜技｜巧 步骤：假设结论不成立→推理→推出矛盾→原结论成立。 易错：假设要反写；至少 / 至多 / 唯一要反过来假设。 【典例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设（    ） A．等腰三角形的底角大于 B．等腰三角形的底角等于 C．等腰三角形的底角小于 D．等腰三角形的底角大于或等于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设等腰三角形的底角大于或等于， 故选： D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：与的大小关系有，，三种情况， ∴的反面是“不小于”，即“”． ∴用反证法证明“”时，应先假设， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期末）用反证法证明命题“在中，如果，那么”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“若在中，，则”时，首先应假设， 故选：C． 题型十九 平行四边形的综合问题 【典例1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形 中，， 是对角线上的两点，且 ． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若 ， ． ① 求证：； ② 若平分，，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； ． 【分析】（）连接交于点，则，，再证明，得到，所以，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可证； （）首先证出四边形为矩形，则，设， 可表示出，，故，得到，又因为，得到； 首先可证出四边形为菱形，四边形为正方形，根据可得，根据（）得，故三角形为等边三角形，，再根据含的等腰三角形的三边关系可得的长． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，，则，， ∴，。 ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握定理进行推导是解题的关键． 【变式1】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点在线段上，且为的中点，连接． (1)求证：； (2)若分别是的中点，连接，，交于点，． ①求证：是等腰三角形； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定以及三角形中位线定理是解题的关键． （1）利用平行四边形对角线互相平分及已知条件得出等腰三角形，再结合等腰三角形性质和角度关系证明； （2）①利用三角形中位线定理及平行四边形性质即可证明；②利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴．，， ∵，， ∴， ∴． ∵为中点， ∴． 又∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①证明：∵是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ②解：∵四边形是平行四边形， ∴．， ∵是的中位线， ∴，， 又∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，于点E，于点F，与相交于点G，连接，已知，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的值； (3)若F是的中点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质和平行线的判定与性质，掌握以上知识是解决本题的关键． （1）根据角的等量变换得到，再根据平行线的判定得到，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解； （2）通过平行和垂直的性质可得，再根据勾股定理可得，过点C作 ，然后分别证得和，然后设，根据即可求解； （3）根据中位线性质可得，再证明四边形是菱形，然后即可求解； 【详解】（1）证明：如图： ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AD // BC ∴四边形是平行四边形 （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点C作 ，如图： ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴E为中点， ∵， ， ∴设，由， 得， 解得：， 即； （3）解：连接，，如图： ∵E为中点(已证)， F是中点， ∴， ∵F是中点，， ∴， 同理∵ E是 中点，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴； 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级下·浙江台州·期末）在中，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，由平行四边形的对角相等，得到，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，，和分别是和的角平分线，交于点E和点F，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定，根据平行四边形的性质得出，，，根据等腰三角形的判定得出，，最后得出答案即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵和分别是和的角平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．小明这一作法判定四边形为平行四边形的直接依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查作图复杂作图、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图痕迹可知，，，可得四边形为平行四边形，进而可得答案． 【详解】解：由作图痕迹可知，，， 四边形为平行四边形， 判定四边形为平行四边形的直接依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故选：C． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段的中点O，以下操作和判断不正确的是（    ） A．过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形 B．过点O作的垂线交纸条两边于点C，D，得到菱形 C．分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形 D．在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得，得到平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定．根据题意画出图形，根据平行四边形、菱形及矩形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．如图，过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D， ， ，， 又 ， ， ， 四边形是平行四边形， 故A选项说法正确，不合题意； B．如图，过点O作的垂线交纸条两边于点C，D， 同理可证四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故B选项说法正确，不合题意； C．如图，分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D， ，，， ， 四边形是矩形， 故C选项说法正确，不合题意； D．如图，在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得， 根据，，不能判定四边形是平行四边形， 故D选项说法错误，符合题意， 故选D． 5．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，等腰中，，，点D，F是边上的动点，且，过点D，F作的平行线交于点E，G．下列两条线段的和，不随D，F的运动而改变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，过G作交于H，证明四边形是平行四边形，得出，，证明，得出，证明，根据，即可得出． 【详解】解：过G作交于H， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故B符合题意； 当F向上运动时，变小，反之变大，故A不符合题意； 当D向上运动时，变小，反之变大，故C不符合题意； 当D向上运动，F向下运动时，变大，反之变小，故D不符合题意． 故选：B． 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，的面积为，点D，E，F分别是，，上的三个中点，则的面积是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中位线的性质，熟练掌握三角形中位线，是解题的关键．根据三角形中位线性质得出，，，证明，从而得出，同理，，即可得出答案． 【详解】解：∵点D，E，F分别是，，上的三个中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：，， ∵， ∴． 故选：B． 7．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，设，根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】解： 设， 由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴点D的坐标为； 故选：C． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，通过中点坐标公式分三种情况讨论点的坐标：①以为对角线；②以为对角线；③以为对角线，计算出所有可能的点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标． 【详解】解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，的对角线交于点O，的平分线交于点E，连结．若，则下列结论：①；②；③，正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到 ，根据角平分线的性质求出，得到，得到，根据含角的直角三角形的性质得到；根据等腰三角形的性质得到；根据题意得出，得到． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故①结论正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，故②结论正确； ∵平分， ∴不能平分， ∴，即， ∴，故③结论错误； 故选：A． 10．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，取的中点，过点作于点，连接，先利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，再利用矩形的判定证明是矩形，得出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，过点作于点，连接， ∵，，点为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴    ， ∵， ∴， ∵点是的中点，点为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：． 11．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则可添加的条件为______．（不添加任何辅助线，写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行求解即可． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 【答案】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设． 故答案为：． 13．（231-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，将平行四边形纸片折叠，使顶点D恰好落在边上的点E处，折痕为．若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】先证明，，再证明四边形AEFD为菱形，再根据菱形的性质结合线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D， ∵根据折叠可得∠D=∠FEA， ∴∠B=∠FEA， ∴； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形AEFD是平行四边形， 根据折叠可得AE=DA， ∴四边形AEFD为菱形， 所以 故答案为2 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，证明“四边形AEFD为菱形”是解本题的关键． 14．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n． （1）若点P是平行四边形的对称中心，则________； （2）平行四边形的面积为________（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、三角形中位线的判定及性质，中心对称的性质． （1）连接、，根据平行四边形的判定及性质得出四边形，，，，，为平行四边形，再根据中心对称的性质得出点E，F，G，H分别为，，，的中点，设四边形面积为，即可得到则，，再作比即可得出答案； （2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，分别表示出，，，再根据图形的面积和整理即可得出答案． 【详解】（1）连接、 四边形为平行四边形 ，    ，，，， ，， 四边形，，，，，为平行四边形， 点P是平行四边形的对称中心， 点E，F，G，H分别为，，，的中点， ∴平行四边形，，，的面积都相等，且等于四边形面积的， 设四边形面积为，则， ，，， ∴， ， 故答案为：； （2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， 故答案为：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四变形的判定方法和性质，是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，进而推出，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，结合三角形的内角和定理以及对顶角相等，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵在中， ∴， ∵点E，F分别在的延长线上，且， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 16．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）问题：如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上（不与点A，C重合），连接，，，．若______，求证：四边形是平行四边形． 请在①，②，③中只选择一个作为条件，把序号补充在问题横线上，并完成问题的解答．    【答案】选择①；解答见解析或选择②；解答见解析 【分析】根据平行四边形的性质和判定进行解答即可． 【详解】解：选择①，连接交于点O，如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 选择②，连接交于点O，如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； ③当时，不能判定四边形为平行四边形． 故答案为：①；解答见解析或②；解答见解析． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． 17．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，分别过点B、D作，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)连结，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）证明，则； （2）由，，可得，即，由，可求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 18．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在中，M是的中点，连结并延长交的延长线于点N，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，连结，若，． ①求证； ②求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②10 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据得到，然后证明，得到，即可证明其为平行四边形； （2）①证明出，由平行四边形得到，再由等腰三角形三线合一即可证明；②先由勾股定理求解，再由平行四边形对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）①证明：在中，，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ②解：在中，， 在中，， ． 19．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）在中，，，将绕点C顺时针旋转到，其中点A，点B的对应点分别为点E，点D，连结． (1)如图1，当点D在线段的延长线上时， ①证明：四边形是平行四边形． ②若点A为的中点，求四边形的面积． (2)如图2，当点D在线段上时，若点D为的中点，求的长． 【答案】(1)①见解析；②8 (2) 【分析】（1）①利用等腰三角形的性质和旋转性质证得，即可得结论； ②证明四边形是菱形，利用菱形的面积公式求解即可； （2）先根据等腰三角形的性质和旋转性质得到，又，进而证明四边形平行四边形得到，，在图2中，延长交延长线于P，证明得到，，过C作于H，利用等腰三角形的三线合一性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵绕点C顺时针旋转到， ∴，，，， ∴，， ∴，则， ∴四边形是平行四边形； ②∵点A为的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又, ∴四边形菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴四边形的面积为； （2）解：∵， ∴， 由旋转性质得，，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形平行四边形， ∴，， 在图2中，延长交延长线于P，则，    ∵点D为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， 过C作于H，则， 在中，，， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，（2）中利用中线倍长作辅助线构造全等三角形是解答的关键． 20．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在中，，，，点分别为边上异于端点的动点，且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．    (1)如图1，边，交于点，若，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (3)当点落在的边上时，求点之间的距离． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)4或或． 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理． （1）先证，再由已知平行四边形即可； （2）如图1，过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，结合勾股定理即可计算； （3）分情况：当点落在边上时，如图2；当点落在边上时，如图3，连结交于点；当点落在边上时，如图4，连结交于点，分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在平行四边形中，， ∴四边形为平行四边形； （2）如图1，过点作的垂线，交延长线于点， 连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，    在中， ∵ ∴ 由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 即，解得， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 由平行四边形的中心对称性，得; （3）当点落在边上时，如图2，    由折叠可知，，， ∵ ∴ 在平行四边形中，， ∴四边形是平行四边形 ∴ 在中， ∴ ∴ 当点落在边上时，如图3，连结交于点 由平行四边形的中心对称性，得， 由翻折，得， ∴， ∴， 在中， ∴ 由勾股定理，得 当点落在边上时，如图4，连结交于点， 由折叠可知，则垂直平分， 由轴对称性可知垂直平分，    ∴点与点重合 过点作的垂线交于点， 在中，，， 由勾股定理，得． 综上所述，点之间的距离为4或或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平行四边形的性质与判定（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用平行四边形的性质求角度 题型二02 利用平行四边形的性质求线段长 题型01 利用平行四边形的性质求周长 题型01 利用平行四边形的性质求面积 题型05 利用平行四边形的性质证明 题型06 两条平行线间的距离及其应用 题型07 添加条件判定是平行四边形 题型08 平行四边形判定的证明 题型09 利用三角形的中位线求线段长 题型10 利用三角形的中位线求角度 题型11 利用三角形的中位线求周长或面积 题型12 与三角形的中位线有关的证明 题型13 平行四边形的性质与判定的综合 题型14 平行四边形的折叠问题 题型15 平行四边形与平面直角坐标系的综合 题型16平行四边形的判定与动点运动问题 题型17 平行四边形的最值问题 题型18 反证法 题型19 平行四边形的综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 1. 平行四边形性质 掌握对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称；会计算边长、角度、周长、面积. 基础 + 中档必考；小题考边角 / 对角线计算；易错：邻角互补、对角线互相平分. 2. 两条平行线间的距离 理解距离定义（垂线段长度）；掌握距离处处相等；能求距离、区分垂线段与斜线段. 基础小题；考概念辨析、简单计算；易错：非垂线段不是距离. 3. 平行四边形判定 掌握 5 种判定：两组对边平行 / 相等、一组对边平行且相等、两组对角相等、对角线互相平分；能灵活选定理证明. 高频中档；常考添加条件判定、综合证明；易错：混淆判定条件. 4. 三角形中位线定理 掌握中位线平行且等于第三边一半；能计算线段、周长、面积、角度. 重点高频；必考计算与证明；易错：中位线与中线混淆、漏写平行关系. 5. 反证法 理解反证法原理；掌握步骤：假设结论不成立→推矛盾→否定假设→原结论成立；会证简单命题. 基础小题；考原理、简单证明；易错：假设写反、矛盾点找不准.. 知识点01 平行四边形定义及其性质 一、平行四边形定义 ◆1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ◆2、表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”， 读作:“平行四边形ABCD”. ◆3、几何语言：(双重含义) ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（性质） 二、平行四边形的性质 ●●平行四边形的性质： ◆1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等． 几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB = CD，AD = BC， ◆2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补. 几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，∠B = ∠D ◆3、对角线：平行四边形的对角线互相平分． 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD ◆4、对称性平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心． 知识点02 两条平行线间的距离 ◆1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. ◆2、两平行线的性质定理及推论 性质定理：夹在两条两条平行线的平行线段都相等. 推论：夹在两条平行线间的垂线段相等, 知识点03平行四边形的判定 ★1、平行四边形的判定方法 类别 判定方法 图形 几何语言 边 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵四边形 ABCD 是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB = CD，AD = CB， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵ AB∥CD，AB = CD， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ∵∠A =∠C，∠B =∠D， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵AO = CO，DO = BO， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 知识点04 三角形的中位线 ◆1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ◆2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. 几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC，且DE =BC． ◆3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段. ◆4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半. 知识点05 反证法 在证明一个命题时,有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出与已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反证法。 题型一 利用平行四边形的性质求角度 解｜题｜技｜巧 平行四边形中求有关角度的方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其它三个角的度数. 【典例1】9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知在中，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）已知在平行四边形中，，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，中，平分，交边于点E，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型二 利用平行四边形的性质求线段长 解｜题｜技｜巧 平行四边形中求有关线段的方法是利用平行四边形对边分别相等，对角线互相平分的性质来求解决的. 【典例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，的对角线，相交于点，．若，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，在中，的平分线交的延长线于点，若，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 题型三 利用平行四边形的性质求周长 解｜题｜技｜巧 1.平行四边形的周长=2(a+b) （其中a、b分别为两相邻边的边长） 2. 在平行四边形中，两邻边长之和等于周长的一半. 3.在求平行四边形各边长时，可设一元一次方程或二元一次方程组求解. 【典例1】如图，在中，平分，，，则的周长是（   ） A．16 B．14 C．20 D．24 【变式1】如图， 的对角线 AC，BD相交于点 O，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 题型四 利用平行四边形的性质求面积 解｜题｜技｜巧 平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在 中，，分别是和的中点，是上的一个动点，从点运动到点在点的运动过程中，与的面积之和（  ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大再变小 【变式1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，对角线交于点O，点F为上一点，若，，且，，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型五 利用平行四边形的性质证明 解｜题｜技｜巧 平行四边形的定义、平行线的性质、全等三角形的判定和性质在有关平行四边形的证明中，常常结合在一起综合应用，而利用平行四边形的定义、平行线的性质获得三角形全等的条件是解题的关键. 【典例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，点E是的边的中点，延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在平行四边形中，，以点C为圆心，为半径作弧，交边于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【变式2】如图，在中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型六 两条平行线间的距离及其应用 解｜题｜技｜巧 两条平行线间的距离指的是：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，平行线间的处处都相等，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置. 【典例1】如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【变式1】（22-23八年级下·浙江金华·阶段检测）如图，，为，平分线的交点，交于，且，则与之间的距离等于________． 【变式1】在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为________． 题型七 添加一个条件成为平行四边形 解｜题｜技｜巧 添加一个条件使四边形成为平行四边形，关键是根据已知条件“对症下药”，优先选用最直接的判定方法：若已有一组对边平行，可补另一组对边平行或该组对边相等；若涉及对角线，优先考虑“对角线互相平分”. 【典例1】（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，在四边形中，，是对角线，要使四边形为平行四边形，可添加条件（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，，添加下列条件后不能使四边形成为平行四边形的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的 是 （填序号）． ①，；②，；③，；④，． 【变式3】已知：如图，，，为上任意一点，过的直线分别交、的延长线于、． (1)请问：吗？说明你的理由； (2)要得出结论，还需增加一个什么条件，说明你的理由． 题型八 平行四边形判定的证明 解｜题｜技｜巧 掌握五种标准判定方法并灵活运用全等三角形与辅助线是解决平行四边形证明题的关键技巧. 【典例1】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（2024春•南召县期末）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上 的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD． 求证：四边形DBEC是平行四边形． 【变式2】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，已知四边形为平行四边形，将线段两端分别延长至点，，使得，求证：四边形是平行四边形． 题型九 利用三角形的中位线求线段长度 解｜题｜技｜巧 在涉及线段长度计算的问题中，若出现两个中点或可构造中点，优先考虑使用三角形中位线定理：中位线平行且等于第三边的一半. 【典例1】（2024秋•温江区期末）如图，在Rt△ABC中，点D、E分别为BC、AC中点，若AE＝4，BD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 【变式1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，是的中点，在边上．若，则的长为（   ）． A．3 B． C． D．4 【变式2】（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图，在中，，，点是上一点，连结，点是的中点，连结，作于点，连结，若，则的长为（　　） A． B． C． D．1 题型十 利用三角形的中位线求角度 解｜题｜技｜巧 角形的中位线求角度的核心是“平行”带来的角关系转化——通过中位线与第三边平行，将未知角转化为已知角（如同位角、内错角），再结合等腰三角形、折叠对称或四边形内角和等知识求解。 【典例1】如图，BD是等腰△ABC底边AC边上的中线，ED∥AB，∠C＝65°，则∠BDE度数是（　　） A．24° B．25° C．30° D．35° 【变式1】如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC的度数为（　　） A．140° B．142° C．150° D．152° 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝58°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E、F分别是AD、AC的中点，则∠BEF的度数为 　 　． 题型十一 利用三角形的中位线求周长或面积 解｜题｜技｜巧 1.利用三角形中位线求周长的关键是：原三角形的中点连线构成的新三角形（即“中点三角形”）的周长等于原三角形周长的一半. 2.三角形中位线连接两边中点，若再连接另一组中点，可将原三角形分成4个全等的小三角形，全等三角形的面积相等，因此每个小三角形的面积是原三角形面积的. 【典例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【变式1】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，是的中线，与相交于点O，点F、G分别是的中点，连接．若，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，若△ABC的面积是40，则四边形BDEF的面积是（　　） A．10 B．12.5 C．15 D．20 【变式3】如图，AM垂直∠ABC的平分线BM于点M，D为BC中点，连接MD，若△ABC的面积为4，则△BMD的面积为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 题型十二 与三角形的中位线有关的证明 解｜题｜技｜巧 要解决与三角形中位线相关的证明问题，关键在于灵活运用“平行且等于第三边一半”的性质，并通过构造辅助线揭示隐藏关系. 【典例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【变式2】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，是一条中位线，连接，过点D作的平行线交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【变式2】（22-23八年级下·浙江·期末）如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E， ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 题型十三 平行四边形的性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 利用平行四边形的性质对应边相等，可以求线段的长，图形的周长和面积，利用平行四边形的对应角相等可求角的度数，先通过证明四边形是平行四边形，然后直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 【典例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，连接 (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）在中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，将平行四边形的边延长至点，使，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连接、，若四边形是矩形，则与满足什么数量关系？并说明理由． 【变式3】问题背景：如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边．已知，垂足为，连接交于点． 探索求证： （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； 深入探究： （3）当时，求的面积． 题型十四 平行四边形的折叠问题 解｜题｜技｜巧 折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的图形胃疼，这类问题既是对称问题的应用又可考查空间想象能力，平行四边形中的折叠问题是利用平行四边形的性质，以及三角形的全等、平行等知识在解决问题. 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（　　） A．70° B．40° C．30° D．20° 【变式1】如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B 为（　　） A．36° B．144° C．108° D．126° 【变式2】如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（  ） A． B． C． D． 题型十五 平行四边形与平面直角坐标系的综合 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标时，主要考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题时，利用了平行四边形的对边相等且平行的性质，对角线互相平分，有时需要分情况讨论． 【典例1】在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C．若四边形是平行四边形，则点B的 坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标，把线段沿轴正方向移动4个单位，得到四边形．若点在轴上，当时，点的坐标为________． 题型十六 平行四边形的判定与动点运动问题 解｜题｜技｜巧 运用数形结合的思想，化动为静，根据题意结合平行四边形的性质、判定列出方程，进行相关的计算或证明，解决有关平行四边形中的动点问题. 【典例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为 　 秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形． 【变式1】如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A． B． C．或 D．或 题型十七 平行四边形的最值问题 解｜题｜技｜巧 平行四边形中最值问题的核心解题技巧是“化动为静”，常用方法包括轴对称转化（将军饮马）、垂线段最短、三点共线取最小值以及利用几何变换构造辅助图形. 【典例1】如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB⊥AC，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，BC＝6，CD＝6，E是AD边上的中点，F是AB边上的一动点，将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF，连接A′C，则A′C长度的最小值为（　　） A．3 B．3 C．3﹣3 D．6 【变式2】如图，在中，．H、G分别是上的动点，连接，E、F分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 题型十八 反证法 解｜题｜技｜巧 步骤：假设结论不成立→推理→推出矛盾→原结论成立。 易错：假设要反写；至少 / 至多 / 唯一要反过来假设。 【典例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设（    ） A．等腰三角形的底角大于 B．等腰三角形的底角等于 C．等腰三角形的底角小于 D．等腰三角形的底角大于或等于 【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期末）用反证法证明命题“在中，如果，那么”时，应假设（   ） A． B． C． D． 题型十九 平行四边形的综合问题 【典例1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形 中，， 是对角线上的两点，且 ． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若 ， ． ① 求证：； ② 若平分，，求． 【变式1】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点在线段上，且为的中点，连接． (1)求证：； (2)若分别是的中点，连接，，交于点，． ①求证：是等腰三角形； ②若，求的长． 【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，于点E，于点F，与相交于点G，连接，已知，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的值； (3)若F是的中点，连接，求证：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级下·浙江台州·期末）在中，，则(    ) A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，，和分别是和的角平分线，交于点E和点F，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．小明这一作法判定四边形为平行四边形的直接依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段的中点O，以下操作和判断不正确的是（    ） A．过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形 B．过点O作的垂线交纸条两边于点C，D，得到菱形 C．分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形 D．在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得，得到平行四边形 5．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，等腰中，，，点D，F是边上的动点，且，过点D，F作的平行线交于点E，G．下列两条线段的和，不随D，F的运动而改变的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，的面积为，点D，E，F分别是，，上的三个中点，则的面积是（      ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是(　　) A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，的对角线交于点O，的平分线交于点E，连结．若，则下列结论：①；②；③，正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 10．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则可添加的条件为______．（不添加任何辅助线，写出一个即可） 12．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 13．（231-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，将平行四边形纸片折叠，使顶点D恰好落在边上的点E处，折痕为．若，，则的长为______． 14．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n． （1）若点P是平行四边形的对称中心，则________； （2）平行四边形的面积为________（用含m、n的代数式表示）． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的度数． 16．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）问题：如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上（不与点A，C重合），连接，，，．若______，求证：四边形是平行四边形． 请在①，②，③中只选择一个作为条件，把序号补充在问题横线上，并完成问题的解答．    17．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，分别过点B、D作，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)连结，若，，求的长． 18．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在中，M是的中点，连结并延长交的延长线于点N，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，连结，若，． ①求证； ②求的值． 19．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）在中，，，将绕点C顺时针旋转到，其中点A，点B的对应点分别为点E，点D，连结． (1)如图1，当点D在线段的延长线上时， ①证明：四边形是平行四边形． ②若点A为的中点，求四边形的面积． (2)如图2，当点D在线段上时，若点D为的中点，求的长． 20．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在中，，，，点分别为边上异于端点的动点，且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．    (1)如图1，边，交于点，若，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (3)当点落在的边上时，求点之间的距离． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $