专题07矩形性质与判定期末复习讲义(16大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题07矩形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记矩形定义，明晰与平行四边形的异同点 2.熟练掌握矩形的性质、判定定理，理解相关推导结论 3.理清矩形和直角三角形之间的关联知识点 1.快速识图，准确提取图形中的边角、线段条件 2.巧用定理完成逻辑推理与几何证明 3.精准完成角度、线段、周长、面积等计算 4.整合所学知识，从容应对几何综合题型 1.选择、填空基础题，做到零失误 2.规范作答证明题，稳稳拿下常规分值 3.掌握折叠、动点类压轴题解题思路 4.区分易混知识点，规避定理误用等失分陷阱 题型01.矩形的性质理解 题型02.矩形的性质求角度 题型03.矩形的性质求线段长 题型04.矩形的性质求面积 题型05.矩形的性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形中的折叠问题 题型08.证明四边形是矩形 题型09.矩形的判定定理理解 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型12,由矩形的性质与判定求线段长 题型13,由矩形的性质与判定求面积 题型14.矩形中的动点问题 题型15.矩形中的最值问题 题型16.矩形与旋转综合 知识点01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形。补充关键点： 矩形首先是平行四边形，具备平行四边形所有性质； 特殊点：只需要一个角为 90°，即可判定为矩形。 . 知识点02:矩形的性质【重中之重】 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形独特的性质。 性质 数学语言 图形 角 性质1:矩形是四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 性质2:矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD 拓展：(1) 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是两组对边中点连线所在的直线。(2) 矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04:矩形与特殊图形的关系 1.矩形 ↔ 正方形：正方形是特殊的矩形，它不仅四个角是直角，四条边还相等。 2.矩形 ↔ 菱形：矩形与菱形的交集是正方形，矩形侧重角的特殊性，菱形侧重边的特殊性。 3.矩形 ↔ 等腰三角形：矩形对角线相交形成的等腰三角形，常与等腰三角形性质结合出综合题。 知识点05:矩形判定的易错点 1.易混误区 ❌ 错误：对角线相等的四边形是矩形 ✅ 正确：对角线相等的平行四边形是矩形 ❌ 错误：有一个角是直角的四边形是矩形 ✅ 正确：有一个角是直角的平行四边形是矩形 / 有三个角是直角的四边形是矩形 2.判定优先级 (1)已知是平行四边形 → 优先用「一角为直角」或「对角线相等」判定 (2)已知是普通四边形 → 优先用「三个角为直角」判定 题型01.矩形的性质理解 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【分析】平行四边形的性质为：对边平行且相等，对角线互相平分．矩形是特殊的平行四边形，矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有对角线相等，四个角都是直角的特有性质． 【详解】解：对边平行，对边相等，对角线互相平分都是平行四边形和矩形共有的性质，故A，B，C不符合要求． 对角线相等是矩形具有而平行四边形不一定具有的性质，故D符合要求． 2．如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，则__________°． 【答案】130 【分析】设交于，根据题意可得，，再由四边形内角和求出，进而得到即可． 【详解】解：设交于， 由题可知，， ， 在四边形中，， ， ． 3．如图，在一个大矩形中不重叠放置4个全等的小矩形，下列关于图中阴影部分的周长的和的说法正确的是（） A．只与大矩形的长有关 B．只与大矩形的宽有关 C．与大矩形的长和宽都有关 D．与大矩形的长和宽都无关 【答案】B 【分析】通过设未知数表示小矩形的长、宽和大矩形的长、宽，利用图形关系得到．分别写出两个阴影部分的周长表达式，再相加．化简后发现周长和仅等于，说明只与大矩形的宽有关． 【详解】解：设小矩形的长为a，宽为b，大矩形的长为m，宽为n． ∵由图形可知，． ∵左边阴影矩形的长为a，宽为， ∴左边阴影的周长为． 右边阴影矩形的长为，宽为， ∴右边阴影的周长为． ∴阴影部分的周长和为： ； ∵化简后周长和为，仅含大矩形的宽n， ∴阴影部分的周长和只与大矩形的宽有关． 题型02.矩形的性质求角度 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，利用邻补角定义和等腰三角形的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 5．如图，的直角顶点与矩形的顶点重合，点在上，交于点．若，平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，根据角平分线的定义求出，利用矩形对边平行得到内错角相等求出，最后利用平角的定义计算的度数； 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， 四边形是矩形， ， ， 点、、在同一直线上， ． 6．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且BE＝BC，连接CE． (1)求证：∠CED＝∠CEB； (2)若∠CED＝67.5°，BC＝2，求AB的长． 【答案】(1)见解析 (2)AB的长为 【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，得到AD∥BC，得到∠DEC＝∠ECB，根据BE＝BC，得到∠BEC＝∠ECB，推出∠CED＝∠CEB； （2）根据∠CED＝∠CEB＝67.5°，推出∠BED＝135°，得到∠AEB＝45°，根据∠A＝90°，BE＝BC＝2，推出ABBE． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEC＝∠ECB， ∵BE＝BC， ∴∠BEC＝∠ECB， ∴∠CED＝∠CEB； （2）解：由（1）知，∠CED＝∠CEB＝67.5°， ∴∠BED＝135°， ∴∠AEB＝45°， ∵∠A＝90°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∵BE＝BC＝2， ∴ABBE． 故AB的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形性质和等腰直角三角形性质，熟练掌握矩形的边角性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形的边的性质是解决问题的关键． 题型03.矩形的性质求线段长 7．如图，矩形的对角线相交于点，，，求的长度． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质和等边三角形性质和判定，先根据矩形，得到，再根据，得到是等边三角形，再求出的值即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是等边三角形， ， ． 8．如图，在中，，平分，是的中点，连接并延长到点，使得．连接，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接 ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，平分， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， （2）解：∵， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 9．在矩形中，对角线相交于点，点分别是上的动点，连接． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺在上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，点是的中点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）延长与交点即为点，通过矩形的性质证明即可； （2）先证明，则，，再由线段的垂直平分线的性质得到，最后在中，运用勾股定理求解即可； （3）分两种情况讨论，结合（2）的结论以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； （2）证明：延长交于点，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵ ∴； （3）解：当点在点右侧时，如图 ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在矩形中，， ∴ 由（2）可得，， ∴，解得； 当点在点左侧时，如图： 此时，， 同理可得， 由（2）可得，， ∴，解得， 综上：线段的长为或． 题型04.矩形的性质求面积 10．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，若，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，再根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴ 四边形是矩形． 矩形的面积． 故答案为：． 11．如图1和图2，矩形纸片长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图2，沿分别折出，，点，分别在边上，得到四边形； 解答下列问题： (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，求的长； (3)通过计算，比较图1中四边形和图2中四边形的面积的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大． 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理得到，，由矩形的性质得到，则可证明，进而可证明四边形是菱形； （2）证明，得到，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）分别计算出两个四边形的面积，比较即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1所示，连接， ∵点E、F、G、H分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， 同理可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：图1中四边形的面积， 同理可求出， 图2中四边形的面积， ∵， ∴图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大． 12．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的练习中的第题． 点是矩形边上的一个动点，矩形的两条边长、分别为和．求点到矩形的两条对角线和的距离之和．（提示：记对角线和的交点为点，连结）． (1)【问题解决】小明发现：如图①，连结，过点作，垂足分别为点、，利用矩形对角线的性质，便可求出的值，请你运用小明发现的方法，求出点到矩形的两条对角线和的距离之和 (2)【规律应用】如图②，当点是矩形边上任意一点时，_______． (3)【规律探究】如图③，当点是延长线上任意一点时，则和之间的数量关系是 ______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积公式等知识点，勾股定理等知识点，灵活运用三角形的面积公式列出式子是解题的关键． （1）利用勾股定理运算出的长，再利用矩形的性质可得到，再利用，列式运算即可； （2）根据：列式运算即可； （3）根据：列式运算即可． 【详解】（1）解：如图①： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）如图②，连接OP， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3），理由如下： 如图③，连接， ∵， ∴， ∴， 解得：． 题型05.矩形的性质证明 13．如图，矩形中，点在上，，且，垂足为．证明：． 【答案】见解析 【分析】利用矩形的性质结合证明≌，由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】证明：在矩形中，，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 14．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】由矩形的性质得到，，根据，推出四边形是平行四边形，因此，即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ． 15．如图1，在中，，以为边作矩形， (1)求证：平分； (2)如图2，于点F，平分交于点G，交的延长线于点 ①求的值； ②求证： 【答案】(1)详见解析 (2)①：2；②详见解析 【分析】（1）由矩形的性质得出，则，证出，则可得出结论； （2）①证出，由等腰直角三角形的性质可得出结论； ②延长到点M，使，连接，证明，，得出证明四边形是平行四边形．得出 【详解】（1）证明：， ， 四边形是矩形， ， ， ， 平分； （2）解：①平分，平分， ， ， ， 于点F， ， ， 在中，， ； ②如图3，延长到点M，使，连接， ，，， ，， 在矩形中，， ， ． ，， ，， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 16．如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、求一次函数的解析式，连接、，交于点，根据矩形的性质求出点的坐标，因为直线将四边形的面积分成相等的两部分，所以直线过点，利用待定系数法求出即可． 【详解】解：如下图所示，连接、，交于点， 点的坐标为， 的坐标为， 又直线将四边形的面积分成相等的两部分， 直线过点， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 故答案为：． 17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定点、的坐标，利用尺规作图的性质得出平分，结合角平分线的性质及全等三角形判定得出，设点坐标构建方程求解即可． 【详解】解：点的坐标为，轴，轴，， ，，，．四边形是矩形 以为圆心、的长为半径画弧交于点， ． 在中，， 点的坐标为． 由作图可知，平分，即． 点在上，轴， 点的横坐标为， 设，则． 连接， 平分， ∴ 又∵ ， ，． ∴． 在： ， 解得． 点的坐标为． 18．如图①，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．点沿着在长方形边上运动． (1)点的坐标为______． (2)当、两点的距离为7时，求点的坐标． (3)如图②，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据长方形的性质，坐标与图形性质解答即可； （2）分点在上和点在上两种情况，根据题意计算； （3）根据折叠可得，设，在中利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴； （2）解：当点在边上时，， ∵，， ∴， ∴， 即：； 当点在上时， ∵，，， ∴， ∴， 即：； 综上，或； （3）解：设， 由折叠可得： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即：， 解得：， 即：. 题型07.矩形中的折叠问题 19．如图，将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点E为上一点，再将沿折叠，使点A落到上的点F处，若． (1)求证：是等边三角形； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据折叠的性质，得出垂直平分，再根据垂直平分得到，再根据折叠的性质，，，从而可得，于是可得出是等边三角形； （2）先根据等边三角形的性质得到，，从而可得，再根据矩形，结合折叠的性质，得到，从而可得，再利用勾股定理求． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵长方形纸片沿对折， 垂直平分， ． 沿折叠， ，，， ， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ， ． ∵四边形是矩形， ， 由折叠知， ， 由勾股定理得， ， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，矩形与折叠问题，等边三角形的性质，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 20．如图，将矩形沿直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，． (1)求的长 (2)求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）由折叠得出，根据平行线的性质得出，等量代换可得，根据等角对等边求得，设，则，根据勾股定理得出，据此即可求解； （2）根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：是由沿直线折叠得到的， ∴， 四边形是矩形， ∴， ， ∴， ， 设，则， ，， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴的面积． 21．综合与实践：折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】现有一张直角三角形纸片，，，，小明用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点． (1)①如图1，当点与点重合时，则的长为______； ②如图2，当点与点重合时，求的面积； (2)【类比操作】如图，折叠矩形的一角，使点落在边的点处，折痕交于点，若，，求的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据折叠的性质即可求解； ②根据折叠的性质及勾股定理求出的长，面积即可求解； （2）先根据折叠的性质及勾股定理在中求出，进而即可在中求出． 【详解】（1）解：①∵当点与点重合时， ∴； ②如图，当点与点重合时， 设， 则， 在中，∵， ， 解得， ， ； （2）解： ∵四边形是矩形， ，，， 由折叠得，，， 在中，， 即， 解得：， 又， ， 设，则， 在中，， ， 解得，即． 题型08.证明四边形是矩形 22．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 23．如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】见详解 【分析】根据题意证明，得到，结合题意得到四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可求证． 【详解】证明：∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形． 24．如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是的平分线，当，时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由即可证明； （2）先由勾股定理求出的长度，即为该三角形的高，再结合角平分线与平行的性质得到，由等角对等边即可求解的长度，由此可解的长度，即为该三角形的底，由此求解三角形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵在中，，且， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∵是的平分线， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型09.矩形的判定定理理解 25．下列四边形是矩形的是（   ） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分的四边形 C．对角线互相平分且相等的四边形 D．对角线互相垂直的平行四边形 【答案】C 【详解】解：选项A、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故A错误； 选项B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误； 选项C、初中矩形判定定理明确：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，符合判定规则，故C正确； 选项D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故D错误． 26．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测： 甲：量得窗框两组对边分别相等； 乙：量得窗框对角线相等； 丙：量得窗框的一组邻边相等： 丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等． 检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是________． 【答案】丁 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：两组对边分别相等的四边形不一定是矩形，故甲说法错误； 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线也相等，故乙说法错误； 一组邻边相等的四边形不一定是矩形，故丙说法错误； 两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故丁说法正确； 故答案为：丁． 27．为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解． 【详解】解：A、，同旁内角互补可知一组对边平行，且都等于，可判定是平行四边形，并且有一个角是直角，因此能判定是矩形，故A选项不符合题意； B、含角的两个三角形不一定全等，有可能相似，不能判定上下两条边一定平行，桌面有可能是等腰梯形，也有可能是矩形，因此不能判定一定是矩形，故B选项符合题意； C、由两组对边相等可判定是平行四边形，又根据可知左下和右上两个角是直角，因此能判定是矩形，故C选项不符合题意； D、对角线互相平分且相等，能判定是矩形，故D选项不符合题意． 题型10.添条件使四边形是矩形 28．如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定定理，需根据所给选项逐一分析是否能使平行四边形成为矩形． 【详解】解：选项A：当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项B：当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项C：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，由可得，平行四边形是矩形，所以该选项正确． 选项D：因为四边形是平行四边形，所以，根据平行线的性质可得，又因为，所以，再根据等角对等边可知，根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形是菱形，所以该选项错误． 故选：C． 29．如图，将绕着点旋转得到，连接、，请添加一个条件______，使四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，进而可得． 【详解】解：绕着点旋转得到， 、， 四边形是平行四边形， 当时，， ， 即， 平行四边形是矩形， 因此，添加的条件可以是． 30．如图，，，点，在上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定： （1）由得,由得，再根据即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理添加条件即可 【详解】（1）证明 ：∵， ∴, ∵， ∴, ∴， 又， ∴； （2）解：添加的条件是：； 由（1）得，， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形． 题型11.由矩形的性质与判定求角度 31．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质． 证明平行四边形是矩形，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． 32．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 33．如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 【答案】(1)平行四边形是矩形，理由见详解 (2)见详解 (3)点的位置不变，点是的中点，理由见详解 【分析】（1）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可判定； （2）设，根据等边对等角，三角形内角和定理得到，由此即可求解； （3）根据题意可得，结合（2）得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形是矩形，理由如下， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； （2）证明：设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：点的位置不变，点是的中点，理由如下， 将绕点顺时针旋转适当的角度，得到， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，即点的位置不变． 题型12,由矩形的性质与判定求线段长 34．如图，为矩形内的一点，且满足，若，则_______． 【答案】 【分析】过点O作于点F，交于点E，于点G，交于点H，可得四边形均为矩形，可设，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点F，交于点E，于点G，交于点H， ∵为矩形内的一点， ∴， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴， 设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴． 35．如图，点P在四边形纸片的边上，将沿折叠，点A落在点处．已知，，点到的距离为1，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点分别作于点E，于点F，得到四边形是矩形，设．根据勾股定理求解即可； 【详解】解： 如图，过点分别作于点E，于点F， 则四边形是矩形， ∴． ∵点到的距离为1， ∴， ∴． 又∵， ∴． 由折叠的性质可知，． 故， ∴． 设； 根据勾股定理，得，即， 解得． 36．在平行四边形中，，点为上一点，连接． (1)将沿翻折得到，点为点的对应点． ①如图1，若，，当点落在边上时，求的长； ②如图2，若点为边中点，点落在平行四边形外，延长交边于点，，求线段的长； (2)如图3，将四边形沿翻折得到四边形（点为点的对应点，点为点的对应点），与交于点F．若，，求的长． 【答案】(1)①；②8 (2) 【分析】（1）①证明四边形是矩形，得到；由折叠的性质可得，由勾股定理可得，则；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； ②连接，由平行四边形的性质得到，，则；由折叠的性质可得，，则可证明；证明，得到，则可证明，得到，则； （2）过点F作于点K，连接，可求出，；则可得到，；由折叠的性质可得，，；过点F作于点R，延长交于点L，可证明，设，则，由勾股定理得，可得，则，；过点G作于点P，可得，；证明四边形是矩形，得到，则；设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵在平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴； 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴； ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点F作于点K，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； ∴， ∴； 由折叠的性质可得，，； 如图所示，过点F作于点R，延长交于点L， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴（舍去）或， ∴，； 如图所示，过点G作于点P， 在中，， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 题型13,由矩形的性质与判定求面积 37．如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点， ∴，，图形①与图形②面积相等， ∴． 38．如图，在矩形中，是上一点，交于点F，交对角线于点，连接，，．若要求阴影部分的面积，则只需要知道（  ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，，则，由等积变形可得，从而得到，由可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴只需要知道四边形的面积即可求出阴影部分的面积． 39．如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点． （1）通过证明，得到，得证四边形是平行四边形，根据，得证结论． （2）根据矩形的性质得到，继而根据勾股定理得到， 根据平行四边形的性质得到，根据割补法计算四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 又为中点， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， 由勾股定理可得：， 四边形是平行四边形， ， 四边形的面积为． 题型14.矩形中的动点问题 40．如图，在矩形中，，动点，分别以，的速度从点同时出发，点沿边向终点运动，点沿折线向终点运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图所示． （1）__________；（2）__________． 【答案】 【分析】根据题意和函数图象，分析点的运动路径与时间的关系，时对应点到达点，此时计算的面积可得的值；时对应点到达点，此时计算的面积可得的值． 【详解】解：由题意可知，点的速度为，点的速度为， 当时，点在上运动，点在上运动， 此时，， 四边形是矩形， ， ， 当时， ，即； 此时点运动的路程为 ， ， 点到达点， 由图可知，当时，面积达到最大值，且图象发生转折，说明此时点到达点，此时点运动的总路程为， ， ， 此时点运动的路程为 ，即， 四边形是矩形， ，点在边上， 当时，点在上运动，点在上运动， 此时 的底边为，高为， ； 当时，，即． 41．如图，矩形中，点是边的中点，点是对角线的垂直平分线上的一动点，若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再结合矩形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵点是对角线的垂直平分线上的一动点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是． 42．如图①，在矩形中，，，点在边上，，点是边上一动点（不含端点），．连接，将四边形沿所在直线翻折，得到四边形，点的对应点分别为点． (1)_____； (2)当时，_____；当时，_____． (3)如图②，当点落在边上时，连接，求的值． (4)当所在直线经过矩形的顶点时，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)1；2 (3) (4)或或 【分析】（1）根据，，直接求出； （2）根据，证明四边形为矩形，得出，说明此时；根据，求出，得出，证明四边形为矩形，得出，，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得出答案即可； （3）过点N作于点P，根据折叠得出，，，，证明为等腰直角三角形，得出，，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，，求出，，最后求出结果即可； （4）分三种情况：当所在直线经过矩形的顶点D时，当顶点C在的延长线上时，当顶点C在的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 即此时； 当时，如图所示： 根据折叠可知：， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即此时； （3）解：过点N作于点P，如图所示： 根据折叠可知：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； （4）解：当所在直线经过矩形的顶点D时，如图所示： 根据折叠可知：，，，， ∵，，， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：； 当顶点C在的延长线上时，连接，如图所示： 根据折叠可知：，，，， 根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，， 根据勾股定理得：，， ∴， ∴， 解得：； 当顶点C在的延长线上时，连接，过点M作于点Q，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得： ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴，， 根据折叠可知：， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：． 综上分析可知：或或． 题型15.矩形中的最值问题 43．如图，矩形中，，，点P为中点，点E为线段上一点，连接，将线段绕E顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作，交于点，过点作，由题意易得，，则有，，由旋转的性质可知：，，然后可得，，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：过点作，交于点，过点作，如图所示： ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，， 由旋转的性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P为中点， ∴， 设，当点在点的左侧时，则有，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 当点在点的右侧时，如图所示： 同理可得：， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由上可知：， ∵， ∴， ∴当时，有最小值， ∴有最小值． 44．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为_______ ． 【答案】10 【分析】作关于的对称点，在上截取，连接交于，推出的最小值为的长，再求出的长即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，在上截取，连接，， 四边形是矩形， 、、， ，， 四边形是平行四边形， ， 关于的对称点是、为边的中点， ，， ， 当三点共线时，的最小值为， ，， 由勾股定理得：， 即的最小值为10． 45．如图，长方形中，点为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点恰好落在的中点上，点为的中点，点为线段上的动点，连接，若、、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质等，取的中点，连接，可得四边形是长方形，即得，再根据折叠的性质可证，得到，即得到，可知当三点共线时，的值最小，最小值为，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形是长方形，是的中点， ∴四边形是长方形， ∴， 由折叠可知，，， ∵是的中点，是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为， 故选：． 题型16.矩形与旋转综合 46．如图，将矩形绕点A旋转至矩形位置，此时的中点恰好与D点重合，交于点若，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、含角的直角三角形的性质，三角形面积计算等知识点，难度不大．清楚旋转的“不变”特性是解答的关键． 先求出，进而可算出，再算出的面积． 【详解】解：如图， 由旋转的性质可知：， 为的中点， ， 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为 47．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为。以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，据此可得答案． 【详解】∵点的坐标为，点的坐标为， ， ∵四边形是矩形， ∵将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：B． 48．如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点B的对应点落在上，交于点E，在上取点F，使． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，然后根据旋转，，， ，，接着求出和，然后即可得证； （2）由（1）得到，，，那么为等边三角形，然后证明，以及求出，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：矩形中， ， ∵在中，， ∴，， ， 由旋转可得：，， ，， ， ， ； （2）解：由（1）得到，，， 为等边三角形， ，， ， ∴∠FBB′=15°；. ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，30度所对的直角边等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07矩形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记矩形定义，明晰与平行四边形的异同点 2.熟练掌握矩形的性质、判定定理，理解相关推导结论 3.理清矩形和直角三角形之间的关联知识点 1.快速识图，准确提取图形中的边角、线段条件 2.巧用定理完成逻辑推理与几何证明 3.精准完成角度、线段、周长、面积等计算 4.整合所学知识，从容应对几何综合题型 1.选择、填空基础题，做到零失误 2.规范作答证明题，稳稳拿下常规分值 3.掌握折叠、动点类压轴题解题思路 4.区分易混知识点，规避定理误用等失分陷阱 题型01.矩形的性质理解 题型02.矩形的性质求角度 题型03.矩形的性质求线段长 题型04.矩形的性质求面积 题型05.矩形的性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形中的折叠问题 题型08.证明四边形是矩形 题型09.矩形的判定定理理解 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型12,由矩形的性质与判定求线段长 题型13,由矩形的性质与判定求面积 题型14.矩形中的动点问题 题型15.矩形中的最值问题 题型16.矩形与旋转综合 知识点01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形。补充关键点： 矩形首先是平行四边形，具备平行四边形所有性质； 特殊点：只需要一个角为 90°，即可判定为矩形。 . 知识点02:矩形的性质【重中之重】 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形独特的性质。 性质 数学语言 图形 角 性质1:矩形是四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 性质2:矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD 拓展：(1) 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是两组对边中点连线所在的直线。(2) 矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04:矩形与特殊图形的关系 1.矩形 ↔ 正方形：正方形是特殊的矩形，它不仅四个角是直角，四条边还相等。 2.矩形 ↔ 菱形：矩形与菱形的交集是正方形，矩形侧重角的特殊性，菱形侧重边的特殊性。 3.矩形 ↔ 等腰三角形：矩形对角线相交形成的等腰三角形，常与等腰三角形性质结合出综合题。 知识点05:矩形判定的易错点 1.易混误区 ❌ 错误：对角线相等的四边形是矩形 ✅ 正确：对角线相等的平行四边形是矩形 ❌ 错误：有一个角是直角的四边形是矩形 ✅ 正确：有一个角是直角的平行四边形是矩形 / 有三个角是直角的四边形是矩形 2.判定优先级 (1)已知是平行四边形 → 优先用「一角为直角」或「对角线相等」判定 (2)已知是普通四边形 → 优先用「三个角为直角」判定 题型01.矩形的性质理解 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2．如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，则__________°． 3．如图，在一个大矩形中不重叠放置4个全等的小矩形，下列关于图中阴影部分的周长的和的说法正确的是（） A．只与大矩形的长有关 B．只与大矩形的宽有关 C．与大矩形的长和宽都有关 D．与大矩形的长和宽都无关 题型02.矩形的性质求角度 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是________． 5．如图，的直角顶点与矩形的顶点重合，点在上，交于点．若，平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且BE＝BC，连接CE． (1)求证：∠CED＝∠CEB； (2)若∠CED＝67.5°，BC＝2，求AB的长． 题型03.矩形的性质求线段长 7．如图，矩形的对角线相交于点，，，求的长度． 8．如图，在中，，平分，是的中点，连接并延长到点，使得．连接，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 9．在矩形中，对角线相交于点，点分别是上的动点，连接． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺在上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，点是的中点，，求线段的长． 题型04.矩形的性质求面积 10．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，若，，，求四边形的面积．    11．如图1和图2，矩形纸片长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图2，沿分别折出，，点，分别在边上，得到四边形； 解答下列问题： (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，求的长； (3)通过计算，比较图1中四边形和图2中四边形的面积的大小． 12．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的练习中的第题． 点是矩形边上的一个动点，矩形的两条边长、分别为和．求点到矩形的两条对角线和的距离之和．（提示：记对角线和的交点为点，连结）． (1)【问题解决】小明发现：如图①，连结，过点作，垂足分别为点、，利用矩形对角线的性质，便可求出的值，请你运用小明发现的方法，求出点到矩形的两条对角线和的距离之和 (2)【规律应用】如图②，当点是矩形边上任意一点时，_______． (3)【规律探究】如图③，当点是延长线上任意一点时，则和之间的数量关系是 ______． 题型05.矩形的性质证明 13．如图，矩形中，点在上，，且，垂足为．证明：． 14．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．求证：． 15．如图1，在中，，以为边作矩形， (1)求证：平分； (2)如图2，于点F，平分交于点G，交的延长线于点 ①求的值； ②求证： 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 16．如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则_______． 17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 18．如图①，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．点沿着在长方形边上运动． (1)点的坐标为______． (2)当、两点的距离为7时，求点的坐标． (3)如图②，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标． 题型07.矩形中的折叠问题 19．如图，将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点E为上一点，再将沿折叠，使点A落到上的点F处，若． (1)求证：是等边三角形； (2)求的长． 20．如图，将矩形沿直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，． (1)求的长 (2)求的面积． 21．综合与实践：折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】现有一张直角三角形纸片，，，，小明用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点． (1)①如图1，当点与点重合时，则的长为______； ②如图2，当点与点重合时，求的面积； (2)【类比操作】如图，折叠矩形的一角，使点落在边的点处，折痕交于点，若，，求的长． 题型08.证明四边形是矩形 22．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 23．如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 24．如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是的平分线，当，时，求的面积． 题型09.矩形的判定定理理解 25．下列四边形是矩形的是（   ） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分的四边形 C．对角线互相平分且相等的四边形 D．对角线互相垂直的平行四边形 26．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测： 甲：量得窗框两组对边分别相等； 乙：量得窗框对角线相等； 丙：量得窗框的一组邻边相等： 丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等． 检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是________． 27．为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是（     ） A． B． C． D． 题型10.添条件使四边形是矩形 28．如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 29．如图，将绕着点旋转得到，连接、，请添加一个条件______，使四边形是矩形． 30．如图，，，点，在上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 题型11.由矩形的性质与判定求角度 31．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 32．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 33．如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 题型12,由矩形的性质与判定求线段长 34．如图，为矩形内的一点，且满足，若，则_______． 35．如图，点P在四边形纸片的边上，将沿折叠，点A落在点处．已知，，点到的距离为1，则的长为（   ） A． B． C． D． 36．在平行四边形中，，点为上一点，连接． (1)将沿翻折得到，点为点的对应点． ①如图1，若，，当点落在边上时，求的长； ②如图2，若点为边中点，点落在平行四边形外，延长交边于点，，求线段的长； (2)如图3，将四边形沿翻折得到四边形（点为点的对应点，点为点的对应点），与交于点F．若，，求的长． 题型13,由矩形的性质与判定求面积 37．如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____． 38．如图，在矩形中，是上一点，交于点F，交对角线于点，连接，，．若要求阴影部分的面积，则只需要知道（  ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 39．如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 题型14.矩形中的动点问题 40．如图，在矩形中，，动点，分别以，的速度从点同时出发，点沿边向终点运动，点沿折线向终点运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图所示． （1）__________；（2）__________． 41．如图，矩形中，点是边的中点，点是对角线的垂直平分线上的一动点，若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 42．如图①，在矩形中，，，点在边上，，点是边上一动点（不含端点），．连接，将四边形沿所在直线翻折，得到四边形，点的对应点分别为点． (1)_____； (2)当时，_____；当时，_____． (3)如图②，当点落在边上时，连接，求的值． (4)当所在直线经过矩形的顶点时，直接写出的值． 题型15.矩形中的最值问题 43．如图，矩形中，，，点P为中点，点E为线段上一点，连接，将线段绕E顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为______． 44．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为_______ ． 45．如图，长方形中，点为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点恰好落在的中点上，点为的中点，点为线段上的动点，连接，若、、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型16.矩形与旋转综合 46．如图，将矩形绕点A旋转至矩形位置，此时的中点恰好与D点重合，交于点若，则的面积为______． 47．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为。以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 48．如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点B的对应点落在上，交于点E，在上取点F，使． (1)求证：． (2)求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $