专题05图形旋转 (14大题型+题型突破+复习讲义)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题05图形的旋转 知识目标 能力目标 应试目标 ✅ 吃透旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 ✅ 牢记旋转 3 大性质：图形全等、对应点到中心等距、连线夹角 = 旋转角 ✅ 分清中心对称（两个图形）与中心对称图形（一个图形），掌握 180° 旋转特殊性质 ✅快速识别旋转要素，精准找对应点、算旋转角 ✅ 用旋转性质做线段 / 角度计算、规范几何推理 ✅ 熟练掌握四步作图法，规范画出旋转后图形 ✅ 基础题（三要素、性质）零失误，秒出答案 ✅ 中档题（旋转作图、计算）步骤规范，不丢步骤分 ✅ 综合题（旋转 + 平行四边形）找对性质，快速破题 ✅ 避开概念混淆、作图漏要素等高频易错坑 题型01.旋转现象与旋转图案判断 题型02.旋转三要素的确定 题型03.根据旋转的性质求解 题型04.利用旋转性质证线段角相等 题型05.旋转性质辨析与规律探究 题型06.画旋转图形 题型07.坐标系中旋转坐标综合计算 题型08.坐标与旋转规律问题 题型09.旋转综合题 题型10.中心对称识别与中心判定 题型11.方格中方补画中心对称图形 题型12.中心对称作图 题型13.由中心对称性质求解 题型14.原点对称坐标相关求解 解答题7题 知识点01.旋转的基本概念 定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。 三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针 / 逆时针）、旋转角（缺一不可）。 知识点02.旋转的基本性质 1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 2.对应点到旋转中心的距离相等。 3.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。 4.对应线段相等，对应角相等。 在△ABC 绕点 O 旋转得到△A'B'C' 的过程中： 对应点到旋转中心的距离相等：OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′ 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角相等：∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠ACB=∠A′C′B′ 旋转角相等：∠AOA′=∠BOB′=∠COC 知识点03. 旋转的作图步骤（关键） 四步作图法： 1 定：确定旋转中心、旋转方向、旋转角； 2 找：找出图形的所有关键点； 3 转：将每个关键点绕旋转中心按要求旋转，得到对应点； 4 连：依次连接对应点，得到旋转后的图形。 步骤 几何作图语言 1. 定三要素 明确旋转中心为点O，旋转方向为顺时针，旋转角为α。 2. 找关键点 选取△ABC的顶点A、B、C作为关键点。 3. 作对应点 ① 连接OA，以O为顶点，OA为一边，顺时针作∠AOA′=α，截取OA′=OA，得点A的对应点A′； ② 同理，作点B的对应点B′，点C的对应点C′。 4. 连点成形 顺次连接A′B′、B′C′、C′A′。 知识点04.中心对称 左图中心对称图形 右图是中心对称 1.核心概念 中心对称：两个图形绕某点旋转180°后完全重合，该点叫对称中心。 中心对称图形：一个图形绕某点旋转180°后与自身重合，该点叫对称中心。 2.核心性质 对应线段相等，对应角相等。 对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分。 核心对比表 变换类型 核心要素 核心性质（不变量） 关键作图步骤 平移 方向、距离 形状、大小；对应线段 / 角相等；对应点连线平行且相等 定关键点→按方向距离平移→连对应点 轴对称 对称轴 形状、大小；对应线段 / 角相等；对称轴垂直平分对应点连线 作对应点垂线→截等距→连对应点 旋转 中心、方向、旋转角 形状、大小；对应点到中心距离相等；对应角等于旋转角 定中心→旋转关键点→连对应点 中心对称 对称中心（旋转 180°） 形状、大小；对应点连线过中心且被平分 延长对应点连线→截等距→连对应点 核心易错点 1.混淆 “旋转中心”，作图时未找准定点； 2.忽略旋转方向，顺时针 / 逆时针旋转结果不同； 3.中心对称与中心对称图形概念混淆（前者是两个图形，后者是一个图形）。 题型01.旋转现象与旋转图案判断 【典例】有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属于旋转的有______（写出序号） 【跟踪专练1】香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【跟踪专练2】如图，都是等边三角形．可由绕点______，______方向，旋转______角度得到． 【跟踪专练3】对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 题型02.旋转三要素的确定 【典例】如图，点，，，，都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【跟踪专练2】如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型03.根据旋转的性质求解 【典例】如图，将绕点按顺时针方向旋转76°后，得到，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将绕顶点A逆时针旋转，得，点C恰好落在边上．若，则的大小是______．    【跟踪专练2】如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 题型04.利用旋转性质证线段角相等 【典例】如图，中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点D，若旋转角为，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将绕点A顺时针旋转，得到，这时点B，D，C恰好在同一条直线上，则的度数为________． 【跟踪专练2】如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 题型05.旋转性质辨析与规律探究 【典例】一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（   ） ①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【跟踪专练1】如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】四个图形中，不可以由下图经过平移或旋转得到的是(   ) A． B． C． D． 【跟踪专练3】正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 题型06.画旋转图形 【典例】下列图案中，可以通过把一个基础图形平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标的取值范围是______． 【跟踪专练2】数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ） A．线段①与线段关于轴对称 B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的 C．线段④与线段②关于点成中心对称 D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④ 题型07.坐标系中旋转坐标综合计算 【典例】如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转后，点A的对应点为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，将绕点P旋转，得到，则点，，的坐标分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练2】平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】将一个边长为的正方形绕其一个顶点按顺时针方向旋转，则旋转后所得图形与原正方形重叠部分的面积为______． 【跟踪专练4】如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为__________． 【跟踪专练5】如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则点B的坐标是____． 【跟踪专练6】如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为______． 题型08.坐标与旋转规律问题 【典例】已知：如图，等边三角形的边长为2，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型09.旋转综合题 【典例】如图，四边形ABCD中，，，将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，若EF＝2，BF＝4，则线段CD长是（    ） A．4 B． C．8 D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 【跟踪专练3】如图，把绕顶点C顺时针旋转得到，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF、CE，且．下面四个结论：①；②；③；④的面积为，其中正确的结论有__________． 【跟踪专练4】【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ___________________． 【跟踪专练5】如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为________．    【跟踪专练6】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D在线段BC上，BD＝3，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，EF⊥AC，垂足为点F．则AF的长为________． 题型10.中心对称识别与中心判定 【典例】下列图形中，是轴对称图形，并且是中心对称图形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，其中A、B、C分别和D、E、F对应，则旋转中心的坐标是（  ） A．（0，0） B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知与成中心对称，点A是对称中心，则点C的对应点为点________． 【跟踪专练3】如图，在中，是的中点，与关于点成中心对称，若，则的度数为______． 【跟踪专练4】.在直角坐标系中，有，，三点，D是坐标平面内另一点，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形是中心对称图形，那么D的坐标是___________． 【跟踪专练5】剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型11.方格中方补画中心对称图形 【典例】如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是________． 【跟踪专练1】如图所示是的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【跟踪专练2】如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 _______． 题型12.中心对称作图 【典例】在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是________．   【跟踪专练3】如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型13.由中心对称性质求解 【典例】如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【跟踪专练2】数轴上，点表示的数分别为、4和，若这三点中，其中两个点关于第3个点成中心对称，则的值不可能为（   ） A． B．3 C．1 D．10 题型14.原点对称坐标相关求解. 【典例】已知的对角线交点在原点，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则__ ． 【跟踪专练4】若点，则点关于点的对称点的坐标是_____． 【解答题】 1．如图，和成中心对称，若的面积为4，求的面积 2．如图1，等腰直角三角形中，，点是平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．设直线相交于点． (1)若点在内， ①求证：≌； ②求证：； (2)若是等边三角形． ①如图2，当点在直线上方时，请直接写出的度数是___________； ②当时，请直接写出的值是___________． 3．在中，，点是直线上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，点在线段上，且，求的度数； (2)如图2，，过点作，交的延长线于，连接．作点关于直线的对称点，连接， ①当点在线段上时，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，当时，直接写出的值． 4．图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答． (1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________． ①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转；③将菱形B绕点O旋转． （在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．） (2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分． (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点、、． ①若将先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标为________； ②若将绕点O按顺时针方向旋转后得到，直接写出点的坐标为________； ③若将绕点P按顺时针方向旋转后得到，则点P的坐标是________． 5.．如图，在边长都为的小正方形网格中，的顶点，，均在格点上，为平面直角坐标系的原点，点在轴上． (1)画出以点为旋转中心将顺时针旋转后得到的（点，的对应点分别为，），并写出点和点的坐标； (2)借助网格，利用无刻度直尺，过点作出的垂线，交于点． 6．如图，为等腰三角形，顶点的坐标，底边在轴上．将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，请你求出点的坐标． 7．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (2)作出关于原点成中心对称的，并写出的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05图形的旋转 知识目标 能力目标 应试目标 ✅ 吃透旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 ✅ 牢记旋转 3 大性质：图形全等、对应点到中心等距、连线夹角 = 旋转角 ✅ 分清中心对称（两个图形）与中心对称图形（一个图形），掌握 180° 旋转特殊性质 ✅快速识别旋转要素，精准找对应点、算旋转角 ✅ 用旋转性质做线段 / 角度计算、规范几何推理 ✅ 熟练掌握四步作图法，规范画出旋转后图形 ✅ 基础题（三要素、性质）零失误，秒出答案 ✅ 中档题（旋转作图、计算）步骤规范，不丢步骤分 ✅ 综合题（旋转 + 平行四边形）找对性质，快速破题 ✅ 避开概念混淆、作图漏要素等高频易错坑 题型01.旋转现象与旋转图案判断 题型02.旋转三要素的确定 题型03.根据旋转的性质求解 题型04.利用旋转性质证线段角相等 题型05.旋转性质辨析与规律探究 题型06.画旋转图形 题型07.坐标系中旋转坐标综合计算 题型08.坐标与旋转规律问题 题型09.旋转综合题 题型10.中心对称识别与中心判定 题型11.方格中方补画中心对称图形 题型12.中心对称作图 题型13.由中心对称性质求解 题型14.原点对称坐标相关求解 解答题7题 知识点01.旋转的基本概念 定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。 三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针 / 逆时针）、旋转角（缺一不可）。 知识点02.旋转的基本性质 1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 2.对应点到旋转中心的距离相等。 3.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。 4.对应线段相等，对应角相等。 在△ABC 绕点 O 旋转得到△A'B'C' 的过程中： 对应点到旋转中心的距离相等：OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′ 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角相等：∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠ACB=∠A′C′B′ 旋转角相等：∠AOA′=∠BOB′=∠COC 知识点03. 旋转的作图步骤（关键） 四步作图法： 1 定：确定旋转中心、旋转方向、旋转角； 2 找：找出图形的所有关键点； 3 转：将每个关键点绕旋转中心按要求旋转，得到对应点； 4 连：依次连接对应点，得到旋转后的图形。 步骤 几何作图语言 1. 定三要素 明确旋转中心为点O，旋转方向为顺时针，旋转角为α。 2. 找关键点 选取△ABC的顶点A、B、C作为关键点。 3. 作对应点 ① 连接OA，以O为顶点，OA为一边，顺时针作∠AOA′=α，截取OA′=OA，得点A的对应点A′； ② 同理，作点B的对应点B′，点C的对应点C′。 4. 连点成形 顺次连接A′B′、B′C′、C′A′。 知识点04.中心对称 左图中心对称图形 右图是中心对称 1.核心概念 中心对称：两个图形绕某点旋转180°后完全重合，该点叫对称中心。 中心对称图形：一个图形绕某点旋转180°后与自身重合，该点叫对称中心。 2.核心性质 对应线段相等，对应角相等。 对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分。 核心对比表 变换类型 核心要素 核心性质（不变量） 关键作图步骤 平移 方向、距离 形状、大小；对应线段 / 角相等；对应点连线平行且相等 定关键点→按方向距离平移→连对应点 轴对称 对称轴 形状、大小；对应线段 / 角相等；对称轴垂直平分对应点连线 作对应点垂线→截等距→连对应点 旋转 中心、方向、旋转角 形状、大小；对应点到中心距离相等；对应角等于旋转角 定中心→旋转关键点→连对应点 中心对称 对称中心（旋转 180°） 形状、大小；对应点连线过中心且被平分 延长对应点连线→截等距→连对应点 核心易错点 1.混淆 “旋转中心”，作图时未找准定点； 2.忽略旋转方向，顺时针 / 逆时针旋转结果不同； 3.中心对称与中心对称图形概念混淆（前者是两个图形，后者是一个图形）。 题型01.旋转现象与旋转图案判断 【典例】有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属于旋转的有______（写出序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了旋转,平移的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据旋转，平移的定义进行判断即可． 【详解】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求； ②翻动书页，是旋转，故符合要求； ③方向盘的转动，是旋转，故符合要求； ④传送带的移动，是平移，故不符合要求． 故答案为：②③． 【跟踪专练1】香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【答案】C 【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握旋转的概念． 根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是旋转， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，都是等边三角形．可由绕点______，______方向，旋转______角度得到． 【答案】 顺时针 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，旋转的定义，由等边三角形的性质可得，，，进而得到，即可根据旋转的定义求解，掌握等边三角形的性质和旋转的定义是解题的关键． 【详解】解：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴ 即， ∴， ∴可由绕点顺时针方向旋转得到， 故答案为：，顺时针，． 【跟踪专练3】对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转． 故选：A． 题型02.旋转三要素的确定 【典例】如图，点，，，，都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，确定旋转角是解题的关键．由图可知，为旋转角，可利用，结合平角的定义即可得解． 【详解】解：观察题图结合网格特点可知，， ，即旋转角为． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 【跟踪专练2】如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得，，可判断选项都不符合题意， 因为与不一定平行，所以符合题意，于是得到问题的答案，正确理解旋转角的概念及旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到， ∴，，，但与不一定平行， 故不符合题意， 符合题意， 故选：． 题型03.根据旋转的性质求解 【典例】如图，将绕点按顺时针方向旋转76°后，得到，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，解题关键是掌握旋转前后的两个图形全等以及对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角等知识．本题据此依次分析各选项即可求解． 【详解】解：由旋转可知：， ∴， 故A、B选项正确，不符合题意； ∵将绕点按顺时针方向旋转， ∴， 故D选项正确，不符合题意； ∵ 故C选项错误，符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，将绕顶点A逆时针旋转，得，点C恰好落在边上．若，则的大小是______．    【答案】 【分析】由旋转的性质可得，再结合角的和差运算即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得， ． 【跟踪专练2】如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据角的和差关系得出，根据三角形外角性质即可得答案． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转（），得到，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型04.利用旋转性质证线段角相等 【典例】如图，中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点D，若旋转角为，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，再根据可得答案． 【详解】解：旋转角为， ， ， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，将绕点A顺时针旋转，得到，这时点B，D，C恰好在同一条直线上，则的度数为________． 【答案】/25度 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．先由旋转得出，，，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出的度数解答即可． 【详解】解：由旋转可得，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可判断选项A；根据旋转的性质及三角形内角和定理得，可判断选项B；根据旋转的性质及等边对等角可推出，可判断选项C；根据旋转的性质及勾股定理可推出，可判断选项D． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，， ∴，，，，，， 故选项A不符合题意； ∴， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故选项C符合题意； ∵连接，点恰好落在线段上，，， ∴，， ∴，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，角平分线的定义，勾股定理等知识点，掌握旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 题型05.旋转性质辨析与规律探究 【典例】一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（   ） ①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】此题考查了图形变换的性质及其区别，掌握平移和旋转的性质及其区别，平移变换对应线段平行，但旋转后对应线段不平行．根据以上性质逐一分析即可． 【详解】解：平移后对应线段平行（或在同一直线上）；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 故选：B． 【跟踪专练1】如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项． 【详解】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周， ∵2021÷4＝505...1， 即第2021次与第1次的图案相同． 故选：A． 【点睛】此题考查了图形的变换规律问题，解题的关键是找到图形旋转的规律周期． 【跟踪专练2】四个图形中，不可以由下图经过平移或旋转得到的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的平移与旋转不改变图形的形状，图形各个部分的相对位置不变，据此即可进行判断． 【详解】解：A、可以原图经过旋转得到，故本选项不符合题意； B、可以原图经过平移得到，故本选项不符合题意； C、不可以由原图经过平移或旋转得到，故本选项符合题意； D、可以原图经过旋转得到，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本道题主要考查了学生对旋转的性质及平移的性质这些知识点的熟练掌握情况，特别要注意图形的平移与旋转不改变图形的形状，图形各个部分的相对位置不变． 【跟踪专练3】正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 题型06.画旋转图形 【典例】下列图案中，可以通过把一个基础图形平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的旋转和平移，能理解图形的旋转及平移是解题的关键． 【详解】解：A.可以由圆旋转得到，故不符合题意； B.可以由菱形旋转得到，故不符合题意； C.可以由菱形平移得到，故符合题意； D.可以由等腰直角三角形旋转得到，故不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点重合，然后作答即可． 【详解】解：∵点位于内， ∴， 旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ） A．线段①与线段关于轴对称 B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的 C．线段④与线段②关于点成中心对称 D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④ 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的图形，轴对称的图形．根据旋转的图形，轴对称的图形的性质判断即可． 【详解】解：A、线段①与线段关于轴对称，正确，该选项不符合题意； B、线段①与线段关于轴对称，不是旋转得到的，原说法错误，，该选项符合题意； C、线段④与线段②关于点成中心对称，正确，该选项不符合题意； D、线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④，正确，该选项不符合题意； 故选：B． 题型07.坐标系中旋转坐标综合计算 【典例】如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转后，点A的对应点为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转、全等三角形的性质与判定，作轴于点，作轴于点，由旋转的性质得，，通过证明，，，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点， 由旋转的性质得，，， ， 轴，轴， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ，， 点的坐标为． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，将绕点P旋转，得到，则点，，的坐标分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，根据题意可得和关于点P成中心对称，则点P分别为的中点，据此根据两点中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵将绕点P旋转，得到， ∴和关于点P成中心对称， ∴点P分别为的中点， ∵，， ∴，，， 故选：A． 【跟踪专练2】平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点坐标的变换，掌握点关于原点对称的特点是关键． 线段绕原点O旋转，相当于点A关于原点中心对称，坐标变为相反数． 【详解】解：∵点绕原点O旋转， ∴点与点A关于原点对称， 即x坐标和y坐标均取相反数， ∴， 故选：C． 【跟踪专练3】将一个边长为的正方形绕其一个顶点按顺时针方向旋转，则旋转后所得图形与原正方形重叠部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转，熟练掌握以上知识是解题的关键．正方形绕一个顶点顺时针旋转后，新正方形与原正方形的重叠部分为一条公共边（线段），因此面积为． 【详解】解：设原正方形，其中， 绕顶点顺时针旋转后，新正方形为，其中， ∴原正方形区域为，，新正方形区域为，， ∴两区域交集为线段从到，面积为． 故答案为：． 【跟踪专练4】如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化---旋转，通过平移把问题转化为学过的知识，从而解决问题，体现数学转化思想，根据题题分别过、向轴作垂线，可得，利用全等得到到轴，轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标． 【详解】解：作轴于点，轴于点，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练5】如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则点B的坐标是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点B作的垂线，垂足为M，利用全等三角形的判定与性质结合点B的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点B作的垂线，垂足为M， 由旋转可知，，， ∴． 又∵，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练6】如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质．过点A作轴于点D，过点C作于点E，过点作延长线于点F，与x轴交于点G，根据旋转的性质可得，即可求解，理解图示和旋转的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点D，过点C作于点E，过点作的延长线于点F，与x轴交于点G， 则， ∵，， ∴，， ∵绕点C旋转得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型08.坐标与旋转规律问题 【典例】已知：如图，等边三角形的边长为2，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键．由每次旋转可知，旋转6次为一个循环，即可确定第2025次旋转结束后A所在位置，即可得解． 【详解】解： ∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴旋转6次为一个循环， ， 第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A落在x轴的负半轴， 点A坐标为， 故选：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，，， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，点落在x轴负半轴，且，即可得到答案． 【详解】解：第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，, 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在x轴正半轴，， ……， 每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴， 而， 在x轴负半轴上，且， ∴点的坐标为． 题型09.旋转综合题 【典例】如图，四边形ABCD中，，，将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，若EF＝2，BF＝4，则线段CD长是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】连接AE、AC、BB，如图，先证明△ABC为等边三角形得到∠BAC =60°，再根据旋转的性质得到DE = DA，∠ADE=60°，则可知△ADE为等边三角形，所以∠DAB =60°, AE=AD，根据旋转的定义，∠CAD绕点A顺时针旋转60°得到△BAE，所以CD=BE，然后利用勾股定理计算出BE，从而得到CD的长． 【详解】解：连接AE、AC、BE，如图， ∵ ∠B=60°，AB= AC， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC= 60°， ∵边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE， ∴DE = DA，∠ADE = 60°， ∴△ADE为等边三角形， ∴∠DAE=60°，AE=AD， 而∠BAC=60°，BA = CA， ∴∠BAB－∠EAC=∠EAD－∠EAC， ∴∠BAE=∠CAD， 在△CAD与△BAE中， ， ∴△CAD≌△BAE（SAS） ∴CD= BE， ∴EF⊥BC， ∴∠BFE=90°， 在Rt△BEF中， ∵EF=2，BF=4， ∴， ∴CD=， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理． 【跟踪专练1】如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键． 由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出，再依据计算即可得出结论． 【详解】解：在三角形中，，， ， 由旋转的性质可知：， ， 又， ， ， 故选：D． 【跟踪专练2】对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 【答案】A 【分析】据矩形长为宽为，可得矩形的对角线长为，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于，进而可得正方形边长的最小整数的值． 【详解】解：矩形长为宽为， 矩形的对角线长为：， 矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放， 该正方形的边长不小于， ， 该正方形边长的最小正数为． 故甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，； 乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长； 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，把绕顶点C顺时针旋转得到，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF、CE，且．下面四个结论：①；②；③；④的面积为，其中正确的结论有__________． 【答案】①②④ 【分析】利用旋转的性质，易证BC=CF，则△BCF为等腰直角三角形，结合垂直平分线的性质，可证；；结合三角形的外角定理和等腰三角形两底角相等，可证；过点E作EG⊥BC与点G，证明EG是△ABC的中位线，． 【详解】①∵△绕顶点C顺时针旋转得到， ∴BC=CF，∠BCF=90°，则△BCF为等腰直角三角形， ∵， ∴BF= ∵直线DF垂直平分AB， ∴，故①正确； ②∵△绕顶点C顺时针旋转得到， ∴△ABC≌△DCF， ∴AB=DF， ∵直线DF垂直平分AB， ∴，故②正确； ③∵△BCF为等腰直角三角形， ∴∠BCF=45°， ∵AF=BF， ∴，故③错误； ④ 过点E作EG⊥BC与点G， ∵BC=CF=2，BF=AF= ∴AC=CD= ∵EG⊥BC，AC⊥BC， ∴， ∵点E为AB中点， ∴EG为△ABC中位线，则EG= ∴，故④正确； 综上：正确的有①②④， 故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转是一种全等的变化，旋转前后的图形是全等的，对应点与旋转中心的连线所成的夹角等于旋转角，熟练地掌握旋转的性质是解题的关键． 【跟踪专练4】【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ___________________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义．根据平角的定义得到，设旋转的时间为t妙，根据题意得到，，求得，于是得到结论． 【详解】解：，， ， 三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转， 设旋转的时间为秒， ，， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练5】如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为________．    【答案】 【分析】将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F，首先证明出是等边三角形，然后设，则，得到，根据求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F，    ∴，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴解得（负值舍去）， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转综合题，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【跟踪专练6】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D在线段BC上，BD＝3，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，EF⊥AC，垂足为点F．则AF的长为________． 【答案】1 【分析】根据勾股定理先求出BC边长，再求出DC长，过点D作DM垂直AC，可证，即AF=DM，在等腰直角△DMC中可求DM，即可直接求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4， 根据勾股定理得，AB2+AC2=BC2， ∴． 又∵BD=3， ∴DC＝BC−BD＝． 过点D作DM⊥AC于点M， 由旋转的性质得∠DAE=90°，AD＝AE， ∴∠DAC+∠EAF=90°． 又∵∠DAC+∠ADM=90°， ∴∠ADM=∠EAF． 在Rt△ADM和Rt△EAF中，． ∴（AAS）， ∴AF=DM． 在等腰Rt△DMC中，由勾股定理得， DM2+MC2=DC2， ∴DM=1， ∴AF=DM=1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，证明△ADM≌△EAF是解答本题的关键． 题型10.中心对称识别与中心判定 【典例】下列图形中，是轴对称图形，并且是中心对称图形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知， ③既是轴对称图形又是中心对称图形，只有1个 ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，其中A、B、C分别和D、E、F对应，则旋转中心的坐标是（  ） A．（0，0） B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对应点连接线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，作出旋转中心，可得结论； 【详解】如图，点Q即为所求，； 故选C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的旋转变化，准确分析判断是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，已知与成中心对称，点A是对称中心，则点C的对应点为点________． 【答案】 【分析】结合成中心对称的图形的性质解答． 本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握是解决本题的关键． 【详解】解：根据成中心对称的图形的性质可得，点的对称点为点． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，是的中点，与关于点成中心对称，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】此题考查了中心对称图形的性质，直接利用中心对称图形的性质得出四边形是平行四边形，进而即可得出答案，得出四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】解：∵是的中点，与关于点成中心对称， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练4】.在直角坐标系中，有，，三点，D是坐标平面内另一点，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形是中心对称图形，那么D的坐标是___________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，①当四边形是中心对称图形，②当四边形是中心对称图形时，③当四边形是中心对称图形时，利用中心对称的性质分别求解即可． 【详解】解：设点，分三种情况，如图， ①当四边形是中心对称图形，则点B、点C对称，点A、点对称， ∵，， ∴对称中心坐标为， ∵点A、点对称，， ∴，， 解得：，， ∴； ②当四边形是中心对称图形时， 则点A、点C对称，点B、点对称， ∵，， ∴对称中心坐标为， ∵点B、点对称，， ∴，， 解得：，， ∴； ③当四边形是中心对称图形时， 则点A、点B对称，点C、点对称， ∵，， ∴对称中心坐标为， ∵点C、点对称，， ∴，， 解得：，， ∴， 综上，以A，B，C，D四点为顶点的四边形是中心对称图形，那么D的坐标是或或． 【点睛】本题考查中心对称图形，关于某点是心对称点的坐标，掌握中心对称点的坐标规律是解题的关键． 【跟踪专练5】剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意． 故选D． 题型11.方格中方补画中心对称图形 【典例】如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是________． 【答案】② 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 根据中心对称图形的特点进行判断即可． 【详解】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形． 故答案为：②． 【跟踪专练1】如图所示是的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查设计中心对称图形，根据中心对称图形的定义，进行设计，即可得出结果． 【详解】解：由题意，选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形的涂法只有如图所示的一种方法： 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 _______． 【答案】点，点 【分析】本题主要考查旋转的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．画出中心对称图形即可判断． 【详解】解：画出中心对称图形， 观察图象可知，点，点满足条件． 故答案为：点，点． 题型12.中心对称作图 【典例】在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形的性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称，确定两个图形的对称中心，结合与关于某点对称，故连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心，即可作答． 【详解】解：∵与关于某点对称， ∴连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心， 如图所示： 故点M是对称中心， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是________．   【答案】（1，1） 【分析】根据旋转的性质“一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等”可求解． 【详解】解：如图点O′即为所求．旋转中心的坐标是(1，1)． 故答案为(1，1)． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是知道旋转中心是对应点的连线段的垂直平分线的交点即可； 【跟踪专练3】如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查图形的变化，要求学生熟练掌握平移、旋转和轴对称变化的性质与运用．根据图形的平移、旋转和轴对称变化的性质与运用得出． 【详解】解：①通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ②通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ③通过画图可知，此方法不可以将与重合，故此方法错误， 故选：A． 题型13.由中心对称性质求解 【典例】如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，根据中心对称图形的特点得到，，，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，． ． ， ． 故选：C ． 【跟踪专练1】如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，，， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】数轴上，点表示的数分别为、4和，若这三点中，其中两个点关于第3个点成中心对称，则的值不可能为（   ） A． B．3 C．1 D．10 【答案】B 【分析】中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分． 【详解】解：①如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； ②如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； ③如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； 综上，的可能值为、、，不可能为． 题型14.原点对称坐标相关求解. 【典例】已知的对角线交点在原点，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意A，C关于原点对称，可得点C的坐标． 【详解】解：∵的对角线交点在原点， ∴A，C关于原点对称， ∵， ∴． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用关于原点对称的点的坐标特征，即横纵坐标互为相反数，先求出和的值，再代入代数式计算结果即可． 【详解】解：点，关于原点对称， ，， 将，，代入， 可得：． 【跟踪专练2】下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：关于原点对称的两点坐标满足：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 选项A中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项B中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，符合关于原点对称的坐标特征，该项符合要求． 选项C中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项D中，与的横坐标相同，不互为相反数，该项不符合要求． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则__ ． 【答案】4 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解二元一次方程组． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数，列出方程并求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，且， 即， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练4】若点，则点关于点的对称点的坐标是_____． 【答案】 【分析】由于点关于点的对称点为，则为的 中点，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】解：点关于点的对称点为， 为的中点， 设的坐标为， ， ， ，， 的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，解题的关键是熟练掌握中点坐标公式． 【解答题】 1．如图，和成中心对称，若的面积为4，求的面积 【答案】8 【分析】根据中心对称的性质和中线的定义可知平分三角形，进而求出的面积． 【详解】解：∵和成中心对称，的面积为4， ∴，， ∴， ∴． 2．如图1，等腰直角三角形中，，点是平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．设直线相交于点． (1)若点在内， ①求证：≌； ②求证：； (2)若是等边三角形． ①如图2，当点在直线上方时，请直接写出的度数是___________； ②当时，请直接写出的值是___________． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①；②或． 【分析】（1）①先推导出，根据证明即可； ②先推导出，继而推导出，则，即可解答； （2）①先推导出，，得到，进而求出则，即可解答； ②分类讨论：第一种情况：当点P在直线上方时，第二种情况：当点P在直线下方时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）证明：①由旋转性质可知， ， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴； ②如图 ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴． （2）解：①∵是等腰直角三角形， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴． ②第一种情况：当点P在直线上方时，如图 ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形． 设， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ， ， ， 或， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 第二种情况：当点P在直线下方时（如图4所示），连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴是等腰直角三角形， ∴． 设， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ， ， ， ， 或， 解得或（舍去）， ∴， ∴． ∴， 综上所述，或． 3．在中，，点是直线上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，点在线段上，且，求的度数； (2)如图2，，过点作，交的延长线于，连接．作点关于直线的对称点，连接， ①当点在线段上时，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①，，理由见解析；② 【分析】（1）由题目条件和旋转特点得和是等边三角形，由计算，进而计算度数，由三角形外角性质计算，最后通过计算即可； （2）①结合题目条件判断是等腰直角三角形，得，由题目条件和旋转的性质通过证明，得，，从而判断，结合点与点关于直线的对称，得于点C，得，进而通过证明，则线段和的数量关系得证，借助全等得到的角度关系稍加计算，线段和的位置关系得证； ②设，则由得，在中，由勾股定理得，通过①中得到的全等关系计算，进而将转化成，计算即可得答案． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （2）解：①，， 理由：，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， 点与点关于直线的对称， 于点C， 如图所示，连接，延长交于点， 点与点关于直线的对称， ，，， ， 在和中， ， ， ，， , ， ， ； ②如图所示， 设， 由①得，， 在中， ，， 由勾股定理得，， 由①得，是等腰直角三角形，， ，， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形性质，三角形的外角性质，对称点的特性，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握并综合应用这些性质是解题的关键． 4．图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答． (1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________． ①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转；③将菱形B绕点O旋转． （在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．） (2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分． (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点、、． ①若将先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标为________； ②若将绕点O按顺时针方向旋转后得到，直接写出点的坐标为________； ③若将绕点P按顺时针方向旋转后得到，则点P的坐标是________． 【答案】(1)将菱形B绕点O旋转 (2)见解析 (3)①图见解打，②③ 【分析】此题主要考查了图形变化规律，作图平移和旋转，点的坐标，关键是掌握平移与旋转的性质． （1）根据图形直接得出结论； （2）从图中可以观察变化规律是，正方形每次绕其中心顺时针旋转，每个阴影部分也随之旋转． （3）①首先确定、、三点平移后的对应点位置，再连接，然后写出点点的坐标即可； ②根据关于原点对称的点的坐标特点可得的坐标； ③根据旋转的性质确定点的位置． 【详解】（1）解：观察分析①②的不同，变化前后，的位置不变， 而的位置由的下方变为的上方，进而可得两者对应点的连线交于点， 即进行了中心对称变化，变换方法是将菱形绕点旋转， 故答案为：菱形绕点旋转． （2）解：如图： （3）解：①如图所示，即为所求，的坐标为， ②将绕点按顺时针方向旋转后得到，点的坐标为， 故答案为：； ③将绕点按顺时针方向旋转后得到，则点的坐标是， 故答案为：． 5.．如图，在边长都为的小正方形网格中，的顶点，，均在格点上，为平面直角坐标系的原点，点在轴上． (1)画出以点为旋转中心将顺时针旋转后得到的（点，的对应点分别为，），并写出点和点的坐标； (2)借助网格，利用无刻度直尺，过点作出的垂线，交于点． 【答案】(1)画图见解析，点坐标为，点坐标为 (2)画图见解析 【分析】（1）根据旋转的性质描出点和点，连接成，并结合网格写出点和点的坐标； （2）取点，连接交于点，取点，，容易证明，则，因此，即，符合题意． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点坐标为，点坐标为； （2）解：如图，即为所求． . 6．如图，为等腰三角形，顶点的坐标，底边在轴上．将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，请你求出点的坐标． 【答案】点的坐标为 【分析】过点作于，过点作于，根据点的坐标求出、，再利用勾股定理列式计算求出，根据等腰三角形三线合一的性质求出，根据旋转的性质可得，然后运用三角形面积以及勾股定理求出，再求出，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图， 过点作于C，过点作于D， ∵， ∴，， 由勾股定理得，， ∵为等腰三角形，是底边， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 7．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (2)作出关于原点成中心对称的，并写出的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，的坐标为 【分析】本题考查的是图形的旋转、中心对称图形的绘制以及平面直角坐标系中坐标的变换． （1）根据题意所述的旋转三要素，依次找到各点旋转后的对应点，顺次连接可得到； （2）根据中心对称点平分对应点连线，可找到各点的对应点，顺次连接可得，结合直角坐标系可得出点的坐标． 【详解】（1）如图，即为所求： （2）如图，即为所求，的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $