2026年湖南长沙市中考数学自编模拟练习卷

**基本信息** 2026年长沙中考数学模拟卷立足基础，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过《九章算术》古题、劳动课程调查等情境，考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|相反数、图形对称、方程根判别|结合直尺三角板放置等生活情境，考查几何直观| |填空题|6/18|二次根式意义、菱形性质、三角形中位线|融入随机投点估计椭圆面积，体现数学眼光| |解答题|8/72|统计概率、圆的切线、二次函数综合|设计“同频抛物线”新定义题，结合函数与几何推理；劳动课程调查题考查数据处理与概率计算，落实应用意识|

2026年湖南长沙市 中考数学自编模拟练习卷 一、单选题(每小题3分，共30分） 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B．C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是平行四边形，的平分线分别交边于点．若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫、雁俱起，问何日相逢？大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相逢？设经过天相遇，可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(每小题3分，共18分） 11．如果有意义，那么的取值范围是_______． 12．在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度到点，则点的坐标是______． 13．如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积约为__________． 14．如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 15．如图，在中，，，分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是______． 16．如图，是的直径，与相切于点B，D是的中点，连接．已知，则的度数为________． 三、解答题(共72分） 17．计算：． 18．先化简，再求值：，其中． 19．我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图： (1)本次随机调查的学生人数为 人； (2)补全条形统计图； (3)七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 20．如图，，点D在边上，相交于点O．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．如图，在中，D是边上一点，M是边的中点，连接并延长至点N，使得，连接，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点A到边的距离． 22．我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（   ） 当时，；（   ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（   ） (2)是否存在点，是“同频”拋物线上的点，其中，且，若存在，请求该抛物线的解析式，若不存在，请说明理由； (3)“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 23．如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上一点，连接交直径于，若，，． (1)求证：与相切； (2)若平分，求的值； (3)设，记，若，求关于的函数解析式，并求自变量的取值范围． 24．．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点，其中点A在点B的左侧，点是抛物线上的一个动点． (1)若，求点A的坐标； (2)若点A恰好为抛物线的顶点，在抛物线上另取一点，当时，试比较与的大小，并说明理由； (3)若点A的横坐标为4，当时，，求b的范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年湖南长沙市 中考数学自编模拟练习卷》参考答案 1．A 【详解】解：的相反数是． 2．C 【分析】试题解析：选项A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该该选项错误； 选项B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项错误； 选项C 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项正确； 选项D是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误. 故选C. 【详解】请在此输入详解！ 3．A 【分析】根据同底数幂除法，单项式乘法，积的乘方，合并同类项的法则，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：对各选项分别计算判断： 选项A：∵根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变指数相减， ∴，运算正确； 选项B：∵单项式乘法中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，运算错误； 选项C：∵根据积的乘方法则，， ∴，运算错误； 选项D：∵合并同类项时，字母和字母的指数不变，仅系数相加， ∴，运算错误． 4．B 【分析】根据平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴． 5．A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意． 6．C 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图方法，角平分线定义以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的尺规作图方法是解题的关键．先在中，运用，，结合三角形内角和定理，求出，再根据图中尺规作图痕迹可知，为的角平分线，最后运用角平分线的定义求得的度数． 【详解】解： ∵在中，， ∴， ∵在中， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由图中尺规作图痕迹可知，为的角平分线， ∴． 故选：C． 7．B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根， 则判别式 解得：． 8．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边、角平分线的定义，由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，，由等角对等边得出，，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 的平分线分别交边于点， ，， ，， ，， ， 故选：B． 9．B 【分析】通过分析原三角形的边长与垂直关系，结合旋转的性质和旋转后点所在的象限，确定旋转后点的坐标． 【详解】解：，原中轴， 因此，， 绕逆时针旋转后，如图： 在中轴， 因此，， 旋转后落在第二象限（横坐标为负，纵坐标为正）， 因此坐标为． 10．B 【分析】将总路程看作单位1，根据相遇时野鸭飞行路程与大雁飞行路程之和等于总路程列方程即可． 【详解】解：设总路程为单位1，经过天相遇， ∵野鸭飞完全程需要7天，． ∴野鸭每天飞行的路程为，天的飞行路程为， ∵大雁飞完全程需要9天， ∴大雁每天飞行的路程为，天的飞行路程为， 相遇时两者飞行路程和等于总路程， ∴可列方程 11． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件可得，进而求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12． 【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向左平移横坐标减求解即可． 【详解】解：∵将点向左平移2个单位长度到点， ∴点的横坐标为，纵坐标不变， ∴的坐标为． 13．120 【分析】大量反复见详解下，频率的稳定值即为概率值，则点落在椭圆内部的概率为，再根据点落在椭圆内部的概率等于椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值列式求解即可． 【详解】解：经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右， 点落在椭圆内部的概率为， 椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值为， 椭圆的面积为． 14． 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高． 由四边形是菱形，，，可求得此菱形的面积与的长，求得答案． 【详解】解：设与交于， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为：． 15．6 【分析】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，利用此定理求解即可． 【详解】解：∵在△中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点， ， ， ， 的周长为 ， ， ， 即的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形周长公式，掌握并熟练应用三角形中位线定理是解题关键． 16．40 【分析】首先根据切线的性质得到，利用三角形内角和定理求出的度数；然后根据三角形中位线定理证明，利用平行线的性质求出的度数；最后三角形的外角求出的度数，通过角的和差关系即可求解． 【详解】解：与相切于点， ， . 在中，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ． 17．1 【详解】解：原式． 18．， 【分析】先根据乘法公式、多项式乘法法则化简，然后代入字母的值计算求值. 【详解】解：原式 当时，原式. 19．(1)60 (2)补全图形见解析 (3) 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率： （1）用选择“园艺”的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数； （2）先求出选择“编织”课程的人数，然后补全统计图即可； （3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：（人）， ∴本次随机调查的学生人数为60人， 故答案为：60； （2）解：（人）， ∴选择“编织”课程的人数有12人， 补全条形统计图如图所示： （3）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 园艺 电工 木工 编织 园艺 电工，园艺 木工，园艺 编织，园艺 电工 园艺，电工 木工，电工 编织，电工 木工 园艺，木工 电工，木工 编织，木工 编织 园艺，编织 电工，编织 木工，编织 由表格可知，共有12种等可能性的结果数，其中选中“园艺、编织”的有2种， 好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，再由，可得，即可证明结论； （2）过点作于点，利用矩形的性质可得，，由可得是等边三角形，则可得，，再可求得，，然后利用三角形的面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵M是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：如图，过点作于点， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．(1)√；√；×； (2)不存在，理由见解析 (3)代数式的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的应用，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法求解析式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得，整理得，再结合已知条件分别判断； （2）由（1）得抛物线的顶点坐标为，，又，是“同频”拋物线上的点，则，得出，再结合，得，然后求出的值即可，再联立抛物线与直线，得出无交点，即可求解； （）先求出抛物线的顶点坐标为，又抛物线是“同频”拋物线，则，整理得，所以，根据题意得，解得，，所以，又是等腰直角三角形，所以顶点到的距离等于，得，整理得，求得，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， 根据“同频”拋物线可得：，整理得：， 当时，； ∵，， ∴； 由， ∴抛物线与轴没有交点， 故答案为：√；√；×； （2）解：不存在，理由如下： 由（1）可得抛物线，顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得：，整理得： ∵，是“同频”拋物线上的点， ∴， 得：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴该抛物线的解析式为； ∵， ∴在直线上， 联立 消去得， 即 ∴ ∴不在抛物线上，故不存在 （3）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， ∵抛物线是“同频”拋物线， ∴，整理得：， ∴， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴， ， 解得：，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴顶点到的距离等于， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴ ； 当时，， ∴ ； 综上可得：代数式的值为或． 23．(1)见解析 (2) (3)， 【分析】（1）连接，由，得，结合得到，再根据互余关系即可证明； （2）先证明，结合，得到，可求，然后证明为等腰直角三角形，由勾股定理求出，，再证明，得到①，证明，得到②，由①÷②求出，的值； （3）先证明，得到，则，过作于，过作于，由得到，由面积法可得，则，再证明，则，然后计算出，则，由勾股定理求得，则，再化简求解函数解析式即可． 【详解】（1）证明： 如图，连接， ， ， ∵ ， 是的直径， ， ， , 是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 是的直径， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 解得：， , ∴设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，① ∵， ∴， ， ，② ∴①÷②得，， ； （3）解：在中，， ， ， ， ， 过作于，过作于， 则， 在中，， ， 在Rt中，， ， ∵， ∴ ∴， ∴ 由（2）知：， ， ， 在中，， ， ， ∴ ， ， ∴， ∴由题意可得，的范围是：． 24．(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数化顶点式，二次函数与一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意得到抛物线和直线的解析式，令，解一元二次方程，即可解题； （2）将抛物线化为顶点式，得到顶点坐标，进而求出，再分情况讨论求解，即可解题； （3）根据点A的横坐标为4，得到的一个解为4，进而求出或，根据点A在点B的左侧，的对称轴为直线，推出，再结合二次函数增减性讨论求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线解析式为，直线解析式为， 令，即， 解得：， ⸪点A在点B的左侧， ⸫，则， ； （2）解：∵，点A恰好为抛物线的顶点， ∴， ∵直线与抛物线相交于A点， ∴，即， 解得：， 当时，则抛物线图象关于对称，开口向上， ∵， ∴， ∴两点关于直线对称， ∴； 当时，直线与抛物线的另一个交点在点A左侧，不合题意，舍去； 综上，当时，； （3）解：点A的横坐标为4， 的一个解为4，即的一个解为4， ， 整理得， 解得或， 点A在点B的左侧，的对称轴为直线， ， 解得， ， 当时，， 当时，， ①当时， 又，有， 当时，有，不满足，舍去； ②当时，随的增大而减小， 又，有，时，， 或， 解得， 综上所述，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $