第五章 图形的轴对称问题解决策略课件——转化 2025-2026学年数学北师大版七年级下册

第五章 图形的轴对称 问题解决策略——转化 01 课前预习 02 例题精讲 目录 03 课堂检测 目录 　　如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁有点A和点B，表示两 个工厂．要在铁路上建一货站P，使它到两厂距离之和最短，这个货站 P应建在AB与MN的交点处，这种做法用几何知识解释应是 ⁠ ⁠． 两点之间 线段最短 　　知识点1 线段转化——最短路径 　　例1 如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回 到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？小明同学用 轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图2，作点B关于直线l的对称 点B′，连接AB′与直线l交于点P，点P就是饮马的位置．下面是小明根据 这一方法写出的证明过程： 　　证明：如图3，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于 点P′，在直线l上任取一点P(与点P′不重合)，连接BP′.因为点B与点B′关 于直线l对称， 　　所以PB＝ ，P′B＝ ．所以AP＋PB＝AP＋ PB′≥ ⁠． 　　当A，P，B′三点共线，即点P与点P′重合时，AP＋BP 的值最小，最小值为AB′的长，即点P′就是饮马的位置． PB′ P′B′ AB′ 　　(1)解决问题：补全证明过程； 　　(2)模型应用：如图4，红星村M和幸福村N在一条大河CD的同侧， 现要在河岸CD上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来 水．请你在河岸CD上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．(保 留作图痕迹，不写作法) 　　解：如图，点P即为所求． 　　例2 如图，点P在∠AOB的内部，在射线OA上找出一点M，在射 线OB上找出一点N，使PM＋MN＋NP的值最小．(提示：分别作点P关 于OA，OB的对称点) 　　解：如图，点M，N即为所求． 　　1.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°， 点E，F分别是线段BC，DC上的动点．当△AEF的周长最小时，求 ∠EAF的度数． 　　解：如图，作点A关于BC和CD的对称点A′，A″. 　　连接A′A″，交BC于点E，交CD于点F，则A′A″即为△AEF周长的 最小值． 　　因为∠BAD＝130°， 　　即∠A′AA″＝130°， 　　所以∠A′＋∠A″＝180°－∠A′AA″＝50°. 　　因为∠A′＝∠EAA′，∠A″＝∠FAA″， 　　所以∠EAA′＋∠FAA″＝50°. 　　所以∠EAF＝∠A′AA″－(∠EAA′＋∠FAA″)＝130°－50°＝ 80°. 　　例3 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝5，BC＝8，直线l垂直平 分AB，分别交BC，AB于点D，E，点F在直线l上，则AF＋CF的最小值 是（　B　） B A． 6 B． 8 C． 10 D． 14 　　2．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，以适当 的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF，D为BC的中点， M为直线EF上任意一点，若BC＝4，△ABC的面积为10，则BM＋MD 长度的最小值为 ⁠． 5 　　知识点2 图形面积转化 　　例4 如图，四边形ABCD和四边形BEFC都是边长为2的正方形．以 点B为圆心、AB的长为半径的圆与正方形ABCD交于A，C两点，连接 AF，则图中阴影部分的面积为 ⁠． π 　　3.如图，圆的面积为4π，则图中阴影部分的面积是 ．(结果 保留π) 2π 　　1． 如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上求一点P，使 PE＋PF最短，则点P应选在（　D　） A． A点 B． B点 C． C点 D． D点 D 　　2．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点 A，B，使△PAB周长最小的是（　D　） A． B． C． D． D 　　3．如图，正方形ABCD的边长为2，则阴影部分的面积为 ⁠． 2 　　4．如图，在正方形网格中有一个△ABC，其顶点都在格点上，小 正方形网格的边长为1.(用直尺画图，保留画图痕迹) 　　(1)画出格点△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1； 　　解：(1)如图，△A1B1C1即为所求． 　　(2)在直线MN上找一点P，使PA＋PB 的值最小；(要求在直线MN上标出点P的位置) 　　解：(2)如图，点P即为所求． 　　(3)求出△A1B1C1的面积． 　　解：△A1B1C1的面积为3×5－×1×5－×3×3－×2×2＝15－-－2＝6.所以△A1B1C1的面积为6. 　　 万花筒成像 　　例 综合与实践——万花筒里的数学 　　【发现问题】如图1，学习小组在制作万花筒时，先将两面平面镜 的背面用胶带粘贴，形成一个可以自由开合的“镜子门”，发现观察到 的影子数量与“镜子门”张角的大小有关，进而研究此规律． 　　【查阅资料】平面镜成像原理：物体与它在平面镜中的像关于平面 镜成轴对称． 　　【数学探究】探究一：如图2，正方形P放在“镜子门”中间，当 “镜子门”张角∠AOB为90°时，正方形P关于镜子OA的轴对称图形 是像 . 　　(1)请你画出正方形P在镜子OB中的像 (不限作图工具)； 　　解：(1)如答图1，像 即为所求． 　　(2)像 ，像 会在镜子中再次轴对称成像，像 关于O 的轴 对称图形是像 ，像 关于O 的轴对称图形是像 ，请分析像 与像 (填写“重合”或“不重合”)． 重合 　　提示：如答图2，像 关于O 的轴对称图形是像 ，像 关于 O 的轴对称图形是像 ，像 与像 重合． 　　探究二：如图3，当“镜子门”张角∠AOB大小是360°的因数时， 观察到的完整像的数量是有规律的．改变张角∠AOB的大小，并记录观 察到的完整像的个数，得到以下表格： ∠AOB的度数n/度 45 60 72 90 120 观察到的完整像的个数/个 7 5 ⁠⁠ 3 2 4 　　(3)①补充上述表格； 　　提示：当∠AOB=72°时，如答图3所示，则观察到的完整像的个 数为4. 　　②【规律总结】当“镜子门”张角的大小为n°(0<n≤180且是360 的因数)时，在平面镜中能观察到的完整像的个数为 ．(用含 n的式子表示) －1 $