专题02 一元一次不等式与不等式组（期末复习讲义，16大题型）七年级数学下学期新教材沪科版

专题02 一元一次不等式与不等式组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 识别不等式 题型02 列不等关系列式 题型03 不等式基本性质的应用 题型04 不等式的解与解集的判断 题型05 不等式解集的数轴表示 题型06 解普通一元一次不等式 题型07 解含分母一元一次不等式 题型08 求一元一次不等式的整数解 题型09 解一元一次不等式组 题型10 直接确定不等式组的解集 题型11 根据一元一次不等式的解求参数的取值范围 题型12 根据不等式组解情况求参数的取值范围 题型13 根据不等式组整数解求参数的取值范围 题型14 不等式与方程综合应用 题型15 一元一次不等式（组）的实际应用 题型16 不等式与新定义问题综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的定义  精准识记5种不等号的含义、读法、书写格式， 快速判断一个式子是否为不等式，区分不等式、等式、代数式，能根据文字语言的不等关系，列简单不等式。 难度极低，属于送分题，极少单独命题，常和一元一次不等式结合考查。 不等式的解与解集 清晰区分不等式的解和解集，不混淆概念，能判断给定数值是否为不等式的解，理解解集的含义，知道解集包含所有符合条件的解。 期末选择基本必考1题，属于高频考点：判断某数是否为不等式的解、辨析解和解集的说法正误。 一元一次不等式的定义 牢记一元一次不等式的三个判定条件，快速精准判断式子是否为一元一次不等式，能根据定义求未知数的系数、次数中的参数。 基础高频考点，选择、填空常考，考查形式为判定一元一次不等式、根据定义求参数值。 不等式的基本性质1 熟记性质内容，掌握字母表示形式，能利用性质1进行不等式的简单变形，明确性质1和等式基本性质完全一致。 基础变形考点，极少单独命题，融入不等式解题步骤，无难度，不会单独失分，主要用于移项操作。 不等式的基本性质2 熟练掌握性质2内容，规范变形不等式， 区分乘除正数、负数的不同变形规则，利用性质2比较代数式大小。 基础考点，结合性质3综合考查，以选择判断变形正误、比较大小为主。 不等式的基本性质3 牢记性质3，牢记乘除负数必变号， 对比区分性质2、3，杜绝变形失误，能根据性质3判断不等式变形对错。 本章第一易错，属于高频必考考点，期末选择必考题，考查形式为不等式变形正误判断、根据变形逆推参数正负、比较大小。 不等式的传递性与对称性 了解不等式额外性质，辅助判断大小关系，简单应用性质进行大小推导。 基础拓展考点，偶尔出现在小题中，难度极低。 不等式与等式性质的区别 对比记忆两者差异，从根源避免变号错误，杜绝用等式性质直接套用不等式变形。 概念辨析题常考，选择题易错选项。 不等式的解集在数轴上的表示 熟练掌握数轴表示解集的两步画法，规范画图，不出现实心空心、方向错误，能根据数轴，直接写出对应不等式解集 属于必考基础考点，填空、解答题必考查，单独命题融入解不等式（组）解答题中。 一元一次不等式的解法 熟练掌握每一步解题方法，规范解题步骤，每一步规避易错点，做到解题零失误，独立完整解任意一元一次不等式。 本章核心基础必考题，期末解答题必考型，步骤分严格，一步错误全题失分，侧重解题规范性，高频失分点：去分母漏乘、移项不变号、系数化1不变号。 求一元一次不等式的特殊解 先正确求解不等式解集，精准筛选符合要求的特殊解，不重不漏。 填空、解答为高频考点， 期末常单独命题，易错点：漏解、多解、范围判断错误 一元一次不等式组定义 精准判定一元一次不等式组，明确必须满足：同一未知数、均为一元一次不等式。 基础概念题，选择题简单考查。 一元一次不等式组的解集 理解不等式组解集的含义，利用数轴、口诀两种方法找解集公共部分。 属于基础考点，解不等式组的核心前提。 一元一次不等式组的解法 规范完整解不等式组，步骤不省略，精准求解每个不等式，正确找公共部分，数轴表示规范清晰。 属于期末必考解答题，分值占比可观，重点核心考点，步骤给分，需完整书写解题过程。 含参数一元一次不等式（组） 掌握参数类题目解题方法，数形结合分析，精准判断临界值是否取等号，掌握逆向求解参数的解题思路。 属于难点、拔高考点，选择填空压轴题，区分度考题，中等偏上难度，期末拉分考点，最大易错点：临界值等号判断错误、范围取值错误。 一元一次不等式（组）的实际应用 精准抓取文字不等关系，列对不等式，规范解题步骤，结合实际取舍解， 独立完成基础应用题解答。 属于必考考点，贴近生活实际，难度分简单、适中、难等几种，常和几种应用结合在一起。 不等式（组）与方程、代数式综合 先求方程解，再代入不等式求参数，掌握综合题型解题思路。 常以拔高小题，选择压轴、填空压轴出现。 知识点01 不等式的定义 用不等号＞、＜、≥、≤、≠表示不等关系的式子，叫做不等式。 ·示例：3>2，x+1<5，2y-3≥0，a≠b. ·易错点：误将“≥”“≤”当作等式；不含不等号的式子（如 x+1）不是不等式。 知识点02 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. ·示例：不等式 x+1<5 的解：x=2（2+1=3<5，成立）；x=4 不是解（4+1=5，不满足“<”）。 ·易错点：混淆“解”与“解集”：解是单个值，解集是所有解的集合. 知识点03 不等式的解集 一个不等式的所有解的全体，叫做这个不等式的解集。 ·示例： ·易错点： 解集书写不规范：漏写“x”（如直接写“<4”）；混淆“解”与“解集”。 知识点04 解不等式 求不等式解集的过程，叫做解不等式。 ·示例：解 2x-3<5，得 x<4，此过程为解不等式。 ·易错点：与“解方程”混淆，忘记不等号方向变化规则。 知识点05 不等式的基本性质1 不等式两边加（或减）同一个数/整式，不等号方向不变。符号语言为：若 a>b，则 a±c > b±c ·示例：5>3 → 5+2>3+2（7>5）；x-1>2 → x>3。 ·易错点：加减不同数时误用性质；移项忘记变号。 知识点06 不等式的基本性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。符号语言为： a>b，c>0，则 ac>bc，。 ·示例： 4>2 → 4×3>2×3（12>6）； 2x>6 → x>3。 ·易错点：乘除负数时误用此性质（不变号）. 知识点07 不等式的基本性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。符号语言为：若 a>b，c<0，则 ac<bc，。 ·示例：5>3 → 5×(-2)<3×(-2)（-10<-6）；2x>6 → x<-3（除以-2，需要变号）。 ·易错点： 乘除负数忘记变号（最常见失分点）；仅一边乘除，另一边不变。 知识点08 一元一次不等式 只含一个未知数，未知数的次数为1，且不等号两边都是整式的不等式；标准形式：ax+b>0、ax+b<0、ax+b≥0、ax+b≤0（a≠0） ·示例：2x-1>3、-y+2≤0. ·易错点：忽略“整式”条件（分式不等式不是一元一次不等式）；未知数次数判断错误。 知识点09 一元一次不等式的解法 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一。 ·示例： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： ·易错点：去分母和去括号时，括号前面是负号忘记变号、系数容易漏乘；系数化为1时，未知数系数是负数不等号方向忘记变号。 知识点10 一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组。 ·示例： ·易错点：未知数不同（如一个含x，一个含y）不是不等式组；包含非一元一次不等式（如 x2>1） 知识点11 不等式组的解集 不等式组中所有不等式解集的公共部分。 ·示例：,解集为（公共部分） ·易错点：找不到公共部分（误判无解）；解集书写不规范（如 x>2 且 x<5 未合并）。 知识点12 一元一次不等式（组）的应用 1. 审：分析题意，找不等关系（关键词：至少、最多、不低于、不超过、大于、小于等）；2. 设：设未知数（直接/间接设）；3. 列：根据不等关系列不等式（组）；4. 解：解不等式（组），得解集；5. 验：检验解集是否符合实际意义（如人数为正整数）；6. 答：写出答案。 ·示例：某商店购进一批商品，每件进价20元，售价不低于25元且不高于30元，求每件利润的范围。 设利润为 x 元；列不等式得：25-20≤x≤30-20； 解得：5≤x≤10； 答：每件利润在5元到10元之间（含两端）。 ·易错点：不等关系找错（如“至少”误写为“>”）；忽略实际限制（如人数、物品数为正整数，解集需取整数）； 单位不统一（如长度单位混用）； 列不等式组时，漏列关键不等式。 题型一 识别不等式 解｜题｜技｜巧 含不等符号＞、＜、≥、≤、≠的式子都是不等式，等式、代数式不是。显著的标志就是不等符号。 【典例1】下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（    ） A．＜0 B． C．≥1 D． 【变式2】给出下列5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 列不等关系列式 解｜题｜技｜巧 审清题目中的意思，寻找显著的不等关系标志，如不超过 / 至多→≤；不低于 / 至少→≥；小于 / 不足→＜；大于 / 超过→＞；不等于→≠。 【典例1】不大于的倍，用不等式表示为_____________． 【变式1】用不等式表示“的平方与的平方的和不小于与的积的4倍”：_______________． 【变式2】将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实：_____________． 题型三 不等式基本性质的应用 解｜题｜技｜巧 不等式两边加减同一个数 / 整式，不等号方向不改变；不等式两边乘以或除以同一个正数，不等号方向不改变；不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号方向改变。 【典例1】设x，y是实数，若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型四 不等式的解与解集的判断 解｜题｜技｜巧 解是单个能使不等式成立的数值；解集是所有解的取值范围；代入验证：将数值代入不等式，成立即为解，不成立则不是。 【典例1】若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】当时，下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解（    ） A．为0，1，2 B．为0，1 C．为1，2 D．有无数个 题型五 不等式解集的数轴表示 解｜题｜技｜巧 空心圆圈：不含等号（＞、＜）；实心圆点：含等号（≥、≤）；大于向右画，小于向左画，端点数字先标注。 【典例1】已知不等式的解集为，则这个解集在数轴上的表示正确的是（     ） A．   B．   C．   D．   【变式1】一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 题型六 解普通一元一次不等式 解｜题｜技｜巧 严格按步骤计算，移项一定要变号；系数化为 1 时，先看系数正负，负数务必变号；求解完成后，检验解集是否正确。 【典例1】解不等式：． 【变式1】解不等式：． 【变式2】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 题型七 解含分母一元一次不等式 解｜题｜技｜巧 去分母：每一项都乘分母最小公倍数，常数项不漏乘；括号前是负号，去括号括号内各项全变号；系数为负，变号是高频易错点，重点留意。 【典例1】解不等式：． 【变式1】解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【变式2】小明解不等式的过程如下： 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 两边同时除以，得…第四步 (1)小明的解法是从第_________步开始出错的，第四步的依据是_________； (2)请写出正确的解题过程． 题型八 求一元一次不等式的整数解 解｜题｜技｜巧 第一步：先求出不等式完整解集；第二步：筛选符合条件的解，牢记特殊解范围；非负整数：0、1、2…；正整数：1、2、3…；负整数：-1、-2… 【典例1】在使不等式成立的x的值中，最大整数解是（    ） A． B． C． D． 【变式1】关于x的不等式的最大正整数解是__________． 【变式2】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的正整数解． 题型九 解一元一次不等式组 解｜题｜技｜巧 分步求解：分别解出两个不等式的解集；画数轴找公共部分，结合口诀定最终解集；两个解集都要规范标注，再找交集。 【典例1】解不等式组：． 【变式1】解不等式组：． 【变式2】按要求完成下列计算： (1)解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； (2)解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； (3)直接写出不等式组的解集． 题型十 直接确定不等式组的解集 解｜题｜技｜巧 死记口诀，直接套用：①同大取大 ②同小取小 ③大小小大中间找 ④大大小小无解了。 【典例1】关于的不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十一 根据一元一次不等式的解求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 把参数当作常数，正常解不等式，用参数表示解集；对比已知解集，结合不等式性质，判断参数正负；临界值单独验证，确定是否取等。 【典例1】．若不等式的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若是不等式的一个解，则m的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如果不等式的解集为，则a必须满足的条件是（   ） A． B． C． D． 题型十二 根据不等式组有解、无解情况求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 先化简两个不等式，写出含参数解集；数轴画图定位参数，结合口诀分析；临界值单独验证，等号取舍是关键。 【典例1】若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十三 根据不等式组整数解求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 先解不等式组，得到基础解集；根据整数解个数，锁定参数区间；数形结合，严格验证两端临界值，不丢等、不错等。 【典例1】关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式2】若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是（　　） A．4 B．4 C．4 D．4 题型十四 不等式与方程综合应用 解｜题｜技｜巧 解方程组，用含参数的式子表示；根据题目等条件，列不等式；解不等式，得出参数取值范围。 【典例1】关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为（      ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 题型十五 一元一次不等式（组）的实际应用 解｜题｜技｜巧 找不等关键词，确定不等关系，列不等式 / 不等式组；求解集，实际问题取正整数解；方案问题：列举所有符合题意的整数方案，再算最优解；检验解是否符合实际生活意义，再规范作答。 【典例1】为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 【变式1】为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 【变式2】为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【变式3】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 题型十六 不等式与新定义问题综合 解｜题｜技｜巧 根据新定义的概念列出相关的不等式或不等式组，再解不等式（组）的解集，结合其它的条件进行取舍求解即可。 【典例1】对于两个不相等的有理数m、n，我们规定符号表示m，n中较小的数，例如：，按照这个规律，那么方程的解为（   ） A． B． C． D． 或 【变式1】对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】定义一种新运算“◎”，规定：．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】我们规定一种新运算，对于实数a，b，c，d，有．若正整数x满足，则满足条件的x的值有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．“x与5的差的一半是非正数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列结论不成立的是（     ） A． B． C． D． 3．不等式的最小整数解是（     ） A． B． C． D．3 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．不等式组的解集为______． 6．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养、两种菌苗，已知种菌苗生长温度的范围是，种菌苗生长温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是__________． 7．解不等式组：． 8．解不等式组： 9．某容器注水，每分钟注水升，原有水升．设注水时间为分钟，容器总水量为升． (1)用含的式子表示； (2)若容器总水量不低于升，求至少注水多少分钟？ 10．《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知实数，满足：，，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 4．野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，为了测量一颗玻璃球的体积，小明进行了下列操作：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在（   ） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 6．定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 7．因“抗击疫情”需要，学校决定购买A型和B型测温枪．已知购进三把A型测温枪和一把B型测温枪共需1400元，购进两把A型测温枪和三把B型测温枪共需2100元． (1)一把A型测温枪和一把B型测温枪的售价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，学校共需测温枪30把．区教育局给学校购买测温枪的预算经费为1万元，为了不超出预算，学校最多可购进B型测温枪多少把？ 8．年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 3．九年级某班有人参加数学综合能力测试，他们的总分为分，其中任意人分数之和不超过分，那么一个人最多得分（    ） A． B． C． D． 4．定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 5．“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小华和小明同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，每个圆圈上的三个数字之和为_____． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：，，，请根据以下的对话内容，则的值为______． 小彬：由填数规则得；所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为，则的值可以用含的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值． 6．5月4日“快乐读书吧”开业大酬宾，店家计划从商场购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． (1)求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ (2)店家计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有几种采购方案？ (3)店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进笔筒最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次不等式与不等式组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 识别不等式 题型02 列不等关系列式 题型03 不等式基本性质的应用 题型04 不等式的解与解集的判断 题型05 不等式解集的数轴表示 题型06 解普通一元一次不等式 题型07 解含分母一元一次不等式 题型08 求一元一次不等式的整数解 题型09 解一元一次不等式组 题型10 直接确定不等式组的解集 题型11 根据一元一次不等式的解求参数的取值范围 题型12 根据不等式组解情况求参数的取值范围 题型13 根据不等式组整数解求参数的取值范围 题型14 不等式与方程综合应用 题型15 一元一次不等式（组）的实际应用 题型16 不等式与新定义问题综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的定义  精准识记5种不等号的含义、读法、书写格式， 快速判断一个式子是否为不等式，区分不等式、等式、代数式，能根据文字语言的不等关系，列简单不等式。 难度极低，属于送分题，极少单独命题，常和一元一次不等式结合考查。 不等式的解与解集 清晰区分不等式的解和解集，不混淆概念，能判断给定数值是否为不等式的解，理解解集的含义，知道解集包含所有符合条件的解。 期末选择基本必考1题，属于高频考点：判断某数是否为不等式的解、辨析解和解集的说法正误。 一元一次不等式的定义 牢记一元一次不等式的三个判定条件，快速精准判断式子是否为一元一次不等式，能根据定义求未知数的系数、次数中的参数。 基础高频考点，选择、填空常考，考查形式为判定一元一次不等式、根据定义求参数值。 不等式的基本性质1 熟记性质内容，掌握字母表示形式，能利用性质1进行不等式的简单变形，明确性质1和等式基本性质完全一致。 基础变形考点，极少单独命题，融入不等式解题步骤，无难度，不会单独失分，主要用于移项操作。 不等式的基本性质2 熟练掌握性质2内容，规范变形不等式， 区分乘除正数、负数的不同变形规则，利用性质2比较代数式大小。 基础考点，结合性质3综合考查，以选择判断变形正误、比较大小为主。 不等式的基本性质3 牢记性质3，牢记乘除负数必变号， 对比区分性质2、3，杜绝变形失误，能根据性质3判断不等式变形对错。 本章第一易错，属于高频必考考点，期末选择必考题，考查形式为不等式变形正误判断、根据变形逆推参数正负、比较大小。 不等式的传递性与对称性 了解不等式额外性质，辅助判断大小关系，简单应用性质进行大小推导。 基础拓展考点，偶尔出现在小题中，难度极低。 不等式与等式性质的区别 对比记忆两者差异，从根源避免变号错误，杜绝用等式性质直接套用不等式变形。 概念辨析题常考，选择题易错选项。 不等式的解集在数轴上的表示 熟练掌握数轴表示解集的两步画法，规范画图，不出现实心空心、方向错误，能根据数轴，直接写出对应不等式解集 属于必考基础考点，填空、解答题必考查，单独命题融入解不等式（组）解答题中。 一元一次不等式的解法 熟练掌握每一步解题方法，规范解题步骤，每一步规避易错点，做到解题零失误，独立完整解任意一元一次不等式。 本章核心基础必考题，期末解答题必考型，步骤分严格，一步错误全题失分，侧重解题规范性，高频失分点：去分母漏乘、移项不变号、系数化1不变号。 求一元一次不等式的特殊解 先正确求解不等式解集，精准筛选符合要求的特殊解，不重不漏。 填空、解答为高频考点， 期末常单独命题，易错点：漏解、多解、范围判断错误 一元一次不等式组定义 精准判定一元一次不等式组，明确必须满足：同一未知数、均为一元一次不等式。 基础概念题，选择题简单考查。 一元一次不等式组的解集 理解不等式组解集的含义，利用数轴、口诀两种方法找解集公共部分。 属于基础考点，解不等式组的核心前提。 一元一次不等式组的解法 规范完整解不等式组，步骤不省略，精准求解每个不等式，正确找公共部分，数轴表示规范清晰。 属于期末必考解答题，分值占比可观，重点核心考点，步骤给分，需完整书写解题过程。 含参数一元一次不等式（组） 掌握参数类题目解题方法，数形结合分析，精准判断临界值是否取等号，掌握逆向求解参数的解题思路。 属于难点、拔高考点，选择填空压轴题，区分度考题，中等偏上难度，期末拉分考点，最大易错点：临界值等号判断错误、范围取值错误。 一元一次不等式（组）的实际应用 精准抓取文字不等关系，列对不等式，规范解题步骤，结合实际取舍解， 独立完成基础应用题解答。 属于必考考点，贴近生活实际，难度分简单、适中、难等几种，常和几种应用结合在一起。 不等式（组）与方程、代数式综合 先求方程解，再代入不等式求参数，掌握综合题型解题思路。 常以拔高小题，选择压轴、填空压轴出现。 知识点01 不等式的定义 用不等号＞、＜、≥、≤、≠表示不等关系的式子，叫做不等式。 ·示例：3>2，x+1<5，2y-3≥0，a≠b. ·易错点：误将“≥”“≤”当作等式；不含不等号的式子（如 x+1）不是不等式。 知识点02 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. ·示例：不等式 x+1<5 的解：x=2（2+1=3<5，成立）；x=4 不是解（4+1=5，不满足“<”）。 ·易错点：混淆“解”与“解集”：解是单个值，解集是所有解的集合. 知识点03 不等式的解集 一个不等式的所有解的全体，叫做这个不等式的解集。 ·示例： ·易错点： 解集书写不规范：漏写“x”（如直接写“<4”）；混淆“解”与“解集”。 知识点04 解不等式 求不等式解集的过程，叫做解不等式。 ·示例：解 2x-3<5，得 x<4，此过程为解不等式。 ·易错点：与“解方程”混淆，忘记不等号方向变化规则。 知识点05 不等式的基本性质1 不等式两边加（或减）同一个数/整式，不等号方向不变。符号语言为：若 a>b，则 a±c > b±c ·示例：5>3 → 5+2>3+2（7>5）；x-1>2 → x>3。 ·易错点：加减不同数时误用性质；移项忘记变号。 知识点06 不等式的基本性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。符号语言为： a>b，c>0，则 ac>bc，。 ·示例： 4>2 → 4×3>2×3（12>6）； 2x>6 → x>3。 ·易错点：乘除负数时误用此性质（不变号）. 知识点07 不等式的基本性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。符号语言为：若 a>b，c<0，则 ac<bc，。 ·示例：5>3 → 5×(-2)<3×(-2)（-10<-6）；2x>6 → x<-3（除以-2，需要变号）。 ·易错点： 乘除负数忘记变号（最常见失分点）；仅一边乘除，另一边不变。 知识点08 一元一次不等式 只含一个未知数，未知数的次数为1，且不等号两边都是整式的不等式；标准形式：ax+b>0、ax+b<0、ax+b≥0、ax+b≤0（a≠0） ·示例：2x-1>3、-y+2≤0. ·易错点：忽略“整式”条件（分式不等式不是一元一次不等式）；未知数次数判断错误。 知识点09 一元一次不等式的解法 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一。 ·示例： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： ·易错点：去分母和去括号时，括号前面是负号忘记变号、系数容易漏乘；系数化为1时，未知数系数是负数不等号方向忘记变号。 知识点10 一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组。 ·示例： ·易错点：未知数不同（如一个含x，一个含y）不是不等式组；包含非一元一次不等式（如 x2>1） 知识点11 不等式组的解集 不等式组中所有不等式解集的公共部分。 ·示例：,解集为（公共部分） ·易错点：找不到公共部分（误判无解）；解集书写不规范（如 x>2 且 x<5 未合并）。 知识点12 一元一次不等式（组）的应用 1. 审：分析题意，找不等关系（关键词：至少、最多、不低于、不超过、大于、小于等）；2. 设：设未知数（直接/间接设）；3. 列：根据不等关系列不等式（组）；4. 解：解不等式（组），得解集；5. 验：检验解集是否符合实际意义（如人数为正整数）；6. 答：写出答案。 ·示例：某商店购进一批商品，每件进价20元，售价不低于25元且不高于30元，求每件利润的范围。 设利润为 x 元；列不等式得：25-20≤x≤30-20； 解得：5≤x≤10； 答：每件利润在5元到10元之间（含两端）。 ·易错点：不等关系找错（如“至少”误写为“>”）；忽略实际限制（如人数、物品数为正整数，解集需取整数）； 单位不统一（如长度单位混用）； 列不等式组时，漏列关键不等式。 题型一 识别不等式 解｜题｜技｜巧 含不等符号＞、＜、≥、≤、≠的式子都是不等式，等式、代数式不是。显著的标志就是不等符号。 【典例1】下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键． 根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：A、不是不等式，故A选项不符合题意； B、不是不等式，故B选项不符合题意； C、是不等式，故C选项符合题意； D、不是不等式，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（    ） A．＜0 B． C．≥1 D． 【答案】B 【分析】根据不等式的定义和等式的定义解答即可． 【详解】解：A. ＜0是不等式，故此选项不符合题意； B. 是等式，故此选项符合题意； C. 2x+3≥1是不等式，故此选项不符合题意； D.是不等式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】给出下列5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：不等式有①；②；⑤，共3个． 题型二 列不等关系列式 解｜题｜技｜巧 审清题目中的意思，寻找显著的不等关系标志，如不超过 / 至多→≤；不低于 / 至少→≥；小于 / 不足→＜；大于 / 超过→＞；不等于→≠。 【典例1】不大于的倍，用不等式表示为_____________． 【答案】 【分析】先确定的倍为，“不大于”表示不等关系为小于等于，根据题干描述即可列出对应不等式． 【详解】解：根据题意，的倍为， 不大于， 可得不等式：． 【变式1】用不等式表示“的平方与的平方的和不小于与的积的4倍”：_______________． 【答案】 【分析】先分别表示出a的平方与b的平方的和，再表示出a与b的积的4倍，根据“不小于”的不等关系列出不等式． 【详解】解：用不等式表示“的平方与的平方的和不小于与的积的4倍”：． 【变式2】将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实：_____________． 【答案】 【分析】本题考查了用不等式表示，解题的关键在于用代数式表示出糖水中含糖的浓度． 根据题意分别表示出原糖水的浓度与加入克糖后糖水浓度，再结合题意列出不等式即可． 【详解】解：由题知，原糖水的浓度为，加入克糖后糖水浓度为：， 糖水变甜了，即糖水的浓度变大了， ． 故答案为：． 题型三 不等式基本性质的应用 解｜题｜技｜巧 不等式两边加减同一个数 / 整式，不等号方向不改变；不等式两边乘以或除以同一个正数，不等号方向不改变；不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号方向改变。 【典例1】设x，y是实数，若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，，本选项式子错误； B，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，，本选项式子错误； C，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，，本选项式子错误； D，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，，不等式两边同时加同一个正数，不等号不变，，本选项式子正确． 【变式1】已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断各选项即可得到答案. 【详解】解：∵ ，， ∴，故A选项不符合题意； ∵ ， ∴移项得：，故B选项不符合题意； ∵ ， ∴不等式两边同时乘以，再加得：，故C选项符合题意； ∵ ， ∴不等式两边同时除以得：，故D选项不符合题意； 【变式2】下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项，即可找出错误说法． 【详解】解：A、∵不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴若，可得，A正确； B、∵不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴若，可得，B正确； C、该选项未说明的取值范围，若，不等式两边同乘后不等号方向改变，可得，原结论不恒成立，C错误； D、若，两边同乘正数3得，再两边同时加5，不等号方向不变，可得，D正确． 题型四 不等式的解与解集的判断 解｜题｜技｜巧 解是单个能使不等式成立的数值；解集是所有解的取值范围；代入验证：将数值代入不等式，成立即为解，不成立则不是。 【典例1】若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 【变式1】当时，下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，熟练掌握该知识点是解题的关键．把分别代四个选项中，一一验证不等式两边是否成立，即可判断出答案． 【详解】解：A、时，，故不符合题意； B、时，，故不符合题意； C、时，，故不符合题意； D、时，，故符合题意； 故选：D． 【变式2】不等式的解（    ） A．为0，1，2 B．为0，1 C．为1，2 D．有无数个 【答案】D 【分析】根据不等式解的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴满足不等式的解有无数个， 故选D． 题型五 不等式解集的数轴表示 解｜题｜技｜巧 空心圆圈：不含等号（＞、＜）；实心圆点：含等号（≥、≤）；大于向右画，小于向左画，端点数字先标注。 【典例1】已知不等式的解集为，则这个解集在数轴上的表示正确的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】在数轴上表示不等式的解集，掌握“大于向右，小于向左，有等号画实心，无等号画空心”的原则． 【详解】解：把，在数轴上表示如图所示．    【变式1】一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法以及包含用实心点，不包含用空心点解答即可． 【详解】解：由数轴图可知，该不等式组的解集是． 【变式2】若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】由数轴可知，左边端点是空心圆，右边端点是实心点，所以不等式的解集是． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集是． 题型六 解普通一元一次不等式 解｜题｜技｜巧 严格按步骤计算，移项一定要变号；系数化为 1 时，先看系数正负，负数务必变号；求解完成后，检验解集是否正确。 【典例1】解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以3，得． 【变式1】解不等式：． 【答案】 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 【变式2】．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】；解集在数轴上表示见解析 【分析】根据移项、合并同类项、系数化为步骤依次求解即可． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 解集在数轴上表示如图所示． 题型七 解含分母一元一次不等式 解｜题｜技｜巧 去分母：每一项都乘分母最小公倍数，常数项不漏乘；括号前是负号，去括号括号内各项全变号；系数为负，变号是高频易错点，重点留意。 【典例1】解不等式：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】先按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1以及不等式的性质求得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ． 在数轴上表示如下： 【变式2】小明解不等式的过程如下： 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 两边同时除以，得…第四步 (1)小明的解法是从第_________步开始出错的，第四步的依据是_________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)三，不等式的基本性质（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变） (2)见解析 【分析】（）根据解不等式的基本步骤逐一判断即可； （）根据解不等式的基本步骤解答即可； 本题考查了解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：小明的解法是从第三步开始出错的，第四步的依据是不等式的基本性质（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）， 故答案为：三，不等式的基本性质（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同时除以，得． 题型八 求一元一次不等式的整数解 解｜题｜技｜巧 第一步：先求出不等式完整解集；第二步：筛选符合条件的解，牢记特殊解范围；非负整数：0、1、2…；正整数：1、2、3…；负整数：-1、-2… 【典例1】在使不等式成立的x的值中，最大整数解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 因为小于的最大整数是， 所以不等式的最大整数解是． 【变式1】关于x的不等式的最大正整数解是__________． 【答案】3 【分析】先按照一元一次不等式的解法求解不等式，得到不等式的解集后，再在解集中找出最大的正整数即可． 【详解】解： ∴该不等式的正整数解为， ∴该不等式的最大正整数解为． 【变式2】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的正整数解． 【答案】；数轴见解析；正整数解为：1，2，3，4． 【详解】：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得， 这个不等式的正整数解为：1，2，3，4． 题型九 解一元一次不等式组 解｜题｜技｜巧 分步求解：分别解出两个不等式的解集；画数轴找公共部分，结合口诀定最终解集；两个解集都要规范标注，再找交集。 【典例1】解不等式组：． 【答案】 【详解】解： 解不等式①，得，         解不等式②，得，      所以原不等式组的解集是． 【变式1】解不等式组：． 【答案】 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 【变式2】按要求完成下列计算： (1)解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； (2)解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； (3)直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)，解集表示在数轴上见解析 (2)，解集表示在数轴上见解析 (3) 【分析】（1）根据不等式的性质求解，最后将解集表示在数轴上即可； （2）根据不等式的性质求解，最后将解集表示在数轴上即可； （3）根据（1）（2）结论即可得出不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ， 将解集表示在数轴上，如图所示： （2）解：， ， ， ， 将解集表示在数轴上，如图所示： （3）解：由（1）知不等式的解集为， 由（2）知不等式的解集为， 则不等式组的解集为． 题型十 直接确定不等式组的解集 解｜题｜技｜巧 死记口诀，直接套用：①同大取大 ②同小取小 ③大小小大中间找 ④大大小小无解了。 【典例1】关于的不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的解集在数轴上表示为： 【变式1】不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出两个不等式的解集，公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 由得， 由得， 该不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 【变式2】不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式得， 解不等式得，即 ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示为：和2处均为实心点，且线段连接两点之间， 观察选项，A选项符合题意． 题型十一 根据一元一次不等式的解求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 把参数当作常数，正常解不等式，用参数表示解集；对比已知解集，结合不等式性质，判断参数正负；临界值单独验证，确定是否取等。 【典例1】．若不等式的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解集的不等号方向判断x系数的符号，即可求解m的取值范围． 【详解】解：∵不等式 的解集为，不等号方向发生改变， ∴ ， 移项得， 两边同除以得． 【变式1】若是不等式的一个解，则m的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，先解原不等式得到，则由题意可得，解不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是不等式的一个解， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有B选项的数字符合题意， 故选：B． 【变式2】如果不等式的解集为，则a必须满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解集的不等号方向改变，可判断x系数的正负，进而求解a的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集为，不等号方向发生改变， ∴， ∴． 题型十二 根据不等式组有解、无解情况求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 先化简两个不等式，写出含参数解集；数轴画图定位参数，结合口诀分析；临界值单独验证，等号取舍是关键。 【典例1】若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组有解，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：． 【变式1】若关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解不等式组中第二个不等式，再根据一元一次不等式组的解集确定的取值范围． 【详解】解：解不等式， 移项得：， 化简得：， 又∵不等式组的解集为：， ∴． 【变式2】不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个不等式，再根据一元一次不等式组无解的条件建立关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解不等式 解不等式 得到 不等式组无解，两个不等式的解集无公共部分， 解得． 题型十三 根据不等式组整数解求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 先解不等式组，得到基础解集；根据整数解个数，锁定参数区间；数形结合，严格验证两端临界值，不丢等、不错等。 【典例1】关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是由不等式组解集的情况，求参数的取值范围． 先求出x的取值范围，根据原不等式组的解集中有个整数解，进而可得m的不等式组，求出解集即可． 【详解】解：解不等式得； ∴不等式组的解集为 ∵该解集有且仅有一个整数解， 则此整数解必为4， ∴ ， 解得：， 故选：C． 【变式1】若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式组可得解集为，再根据不等式组有且只有4个整数解，即可求解． 【详解】解：由不等式组得：， 又∵不等式组有且只有4个整数解， ∴这4个整数是、0、1、2， ∴， 解得：． 【变式2】若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是（　　） A．4 B．4 C．4 D．4 【答案】B 【分析】先解不等式组得到含m的解集，再根据所有整数解的和为10确定不等式组的整数解，最后根据整数解得到m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组所有整数解的和为，且， ∴不等式组的整数解为， ∴可得． 题型十四 不等式与方程综合应用 解｜题｜技｜巧 解方程组，用含参数的式子表示；根据题目等条件，列不等式；解不等式，得出参数取值范围。 【典例1】关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，解一元一次不等式， 将两个方程相减得到的值，整体代入不等式中，解不等式即可． 【详解】解： 由得：， ∵， ∴， 解得： 故选C． 【变式1】已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式（组），熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 先根据加减消元法解二元一次方程组，再将值代入，求不等式组即可得出答案． 【详解】解：， ，得 解得：， 将代入①，得， 解得：， ， ， ， ． 故选A． 【变式2】已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为（      ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【分析】先求出二元一次方程组的解，由得出a的范围；再由给出的不等式组有解的条件求出a的范围．综合考虑a的范围，即可确定符合条件的整数a的个数． 【详解】解：方程组的解为 解得， 解不等式组 不等式①的解集是 不等式②的解集是 ∵不等式组有解， ∴ 解得， ∵a取整数， ∴符合条件的整数a有7个． 故选：B 题型十五 一元一次不等式（组）的实际应用 解｜题｜技｜巧 找不等关键词，确定不等关系，列不等式 / 不等式组；求解集，实际问题取正整数解；方案问题：列举所有符合题意的整数方案，再算最优解；检验解是否符合实际生活意义，再规范作答。 【典例1】为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 【答案】25个 【分析】根据题目中的两个不等关系列出不等式组，求解后取x的最大值即可得到结果． 【详解】解：设购买A品牌足球的数量为，则购买B品牌足球的数量为 个， 根据题意列不等式组 ， 解第①个不等式得：， 解第②个不等式得：， 因此不等式组的解集为：， 所以的最大值为． 答：学校最多买25个A品牌的足球． 【变式1】为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 【答案】则至少需要采购心愿卡34件 【分析】本题为一元一次不等式组的实际应用题，解题思路是设采购心愿卡的数量为未知数，根据总费用限制和数量的不等关系列出不等式组，求解后结合件数为正整数的实际要求，得到最小采购数量． 【详解】解：设需要采购心愿卡x件，则采购明信片件，x为正整数， 根据题意可知：， 解不等式组得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为34， 答：则至少需要采购心愿卡34件． 【变式2】为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 【变式3】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 题型十六 不等式与新定义问题综合 解｜题｜技｜巧 根据新定义的概念列出相关的不等式或不等式组，再解不等式（组）的解集，结合其它的条件进行取舍求解即可。 【典例1】对于两个不相等的有理数m、n，我们规定符号表示m，n中较小的数，例如：，按照这个规律，那么方程的解为（   ） A． B． C． D． 或 【答案】B 【分析】根据新定义，分两种情况讨论和的大小，列出一元一次方程，求解后验证是否满足前提条件，舍去不符合的解即可得到答案． 【详解】解：根据表示两个数中较小的数，分两种情况讨论： ① 当时 ，即时，，原方程化为： 解得， 满足，符合题意； ② 当，即时，，原方程化为： 解得，不满足，舍去． 综上，方程的解为． 【变式1】对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义运算可得不等式组为，分别求出每个不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：∵对于实数，定义一种运算“”：， ∴不等式组为， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 将解集在数轴上表示如图： ． 【变式2】定义一种新运算“◎”，规定：．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算定义将不等式组转化为常规一元一次不等式组，求出两个不等式的解集，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集法则列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵ ∴原不等式组可转化为 解①得， 解②得， ∵不等式组的解集为 ∴ 解得． 【变式3】我们规定一种新运算，对于实数a，b，c，d，有．若正整数x满足，则满足条件的x的值有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】先根据列出不等式，求出，再得出正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴满足条件的正整数值有1，2共2个． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．“x与5的差的一半是非正数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按语句顺序确定运算顺序，再根据非正数的定义列出不等式即可． 【详解】解：先表示x与5的差，得， 再表示差的一半，得， ∵非正数是小于等于0的数， ∴列出不等式为． 2．若，则下列结论不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式的基本性质：1、不等式两边同时加上或者减去相同的数，不等式的符号不变；2、不等式两边同时乘上或者除以相同的正数，不等式的符号不变；3、不等式两边同时乘上或者除以相同的负数，不等式的符号改变；据此进行逐一判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴ ，故该选项不符合题意； B、∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵ ，∴，原结论不成立，故该选项符合题意； D、∵，∴，则，故该选项不符合题意； 3．不等式的最小整数解是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】先解不等式得到解集，再在解集中找出最小整数即可得到答案． 【详解】解： 解得， ∴解集中的最小整数为． 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再判断数轴即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 表示在数轴上为： 5．不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 6．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养、两种菌苗，已知种菌苗生长温度的范围是，种菌苗生长温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是__________． 【答案】 【分析】温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个不等式的公共部分． 【详解】解：∵， ∴温箱里的温度应该设定的范围是． 7．解不等式组：． 【答案】 【详解】解：， 由①得：； 由②得：； 所以，该不等式组的解集为． 8．解不等式组： 【答案】 【详解】解：由，得， 由，得， 原不等式组的解集为． 9．某容器注水，每分钟注水升，原有水升．设注水时间为分钟，容器总水量为升． (1)用含的式子表示； (2)若容器总水量不低于升，求至少注水多少分钟？ 【答案】(1) (2)至少注水9分钟 【分析】（1）根据题意写出关系式； （2）列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）解：∵， ∴， 解得， 答：至少注水9分钟． 10．《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 【答案】(1)87本 (2)共有2种摆放方案，方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书；方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立不等式（组）求解． （1）设艺术类图书还可以摆放x本，根据文学类图书的厚度艺术类图书的厚度小于等于建立不等式求解； （2）设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本，根据题意建立不等式组求解整数解即可． 【详解】（1）解：设艺术类图书还可以摆放x本，根据题意得：， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴． ∴艺术类图书最多还可以摆放87本 （2）解：设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35， ∴共有2种摆放方案， 方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书； 方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知实数，满足：，，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将代入已知不等式求出的范围，再结合关系式推导各选项结论，找出错误选项. 【详解】解：∵，代入得：， 化简得， 解得，故A选项正确，不符合题意； ，， ，可得，即，故B选项正确，不符合题意； ，又， ，可得，即，故D选项正确，不符合题意； 对于C选项，将代入得，当时，例如取，原式得，不等式不成立，故C选项错误，符合题意． 2．关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出不等式组的解集，再根据奇数的特点确定符合条件的奇数，进而求出参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个奇数解，小于的奇数从大到小依次为，符合条件的两个奇数为和， ∴． 3．若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 【答案】B 【分析】求出不等式组的解集，结合求出整数解，然后求和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4， ∴或或， 故选B． 4．野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算目标海拔相对已知海拔的升高量，再根据气温变化规律得到目标海拔处的气温，最后结合适宜温度范围列出不等式组即可． 【详解】解：∵野生兰草适宜温度为，已知海拔处气温为，目标海拔为， ∴目标海拔相对已知海拔的升高量为， ∵海拔每升高，气温下降， ∴总下降气温为，因此处的气温为， 根据适宜温度范围可得不等式． 5．如图所示，为了测量一颗玻璃球的体积，小明进行了下列操作：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在（   ） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 【答案】D 【分析】根据“颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满，再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出”即可求解． 【详解】解：∵颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴颗相同的玻璃球的体积最多是：， ∴1颗玻璃球的体积最多是：， ∵颗相同的玻璃球的体积最少是， ∴1颗玻璃球的体积最少是：， ∴根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在以上，以下． 6．定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，再分别解两个一元一次不等式，最后根据已知解集，结合一元一次不等式组解集的确定方法确定a的取值范围． 【详解】解：根据新定义，关于x的不等式组可化为： ， 解不等式①可得：， 解不等式②移项可得：， 因为该不等式组的解集为， 根据同大取大的解集确定法则，可得， 解得：． 7．因“抗击疫情”需要，学校决定购买A型和B型测温枪．已知购进三把A型测温枪和一把B型测温枪共需1400元，购进两把A型测温枪和三把B型测温枪共需2100元． (1)一把A型测温枪和一把B型测温枪的售价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，学校共需测温枪30把．区教育局给学校购买测温枪的预算经费为1万元，为了不超出预算，学校最多可购进B型测温枪多少把？ 【答案】(1)型测温枪每把300元，型测温枪每把500元 (2)5 【详解】（1）设A型测温枪每把x元，B型测温枪每把y元．由题意可得      解得. 答：A型测温枪每把300元，B型测温枪每把500元． （2）设购进B型测温枪a把，则购进A型测温枪(30-a)把，根据题意得：， 解得：a≤5， 答：B型测温枪最多可购进5把． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据等量关系（不等关系）列出方程（不等式）式解题的关键． 8．年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 【答案】(1)喇叭的单价为元，小红旗的单价为元 (2)元 【分析】（1）设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元，根据“购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同．”列出方程，即可求解； （2）设一横排有人，根据“排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元， 由题意得， ， 解得． ． 答：喇叭的单价为元，小红旗的单价为元． （2）解：设一横排有人， 由题意得，， 即，即 为整数，且， ． （元）． 答：排舞运动协会购买小红旗共花费了元． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义，列出方程，求出的值，再根据，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：由题意，的“溯源值”是方程的解， 解，得， ∵， ∴， 解得， ∴m的最小值是. 2．如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式组，根据整数解的个数确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组有整数解筛选出符合条件的整数，最后计算这些整数的和即可． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得 ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有5个整数解，5个整数解为 ∴， 解得，可得整数的可能取值为， 解二元一次方程组 将第二个方程乘2得，与第一个方程相加解得： 代入第二个方程得， ∵方程组有整数解，即均为整数，逐个验证： ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，不是整数，不符合； 符合条件的所有整数的和为：． 3．九年级某班有人参加数学综合能力测试，他们的总分为分，其中任意人分数之和不超过分，那么一个人最多得分（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式的实际应用，解题关键是通过任意人分数之和不超过分分析得到不含最高分的其余人满足任意三人分数之和不超过． 设得分最高的人分数为，则其他人总分为，结合任意人分数和，分析可得包括最高分者时，任意其他三人分数之和不超过，则其他 人需满足任意三人分数之和不超过，列出不等式 后即可得解． 【详解】解：总分，设最高分为，则其他人总分为， 又任意人分数和，包括最高分时，任意其他三人分数和， 其他人任意三人分数和，其总分， ， 即， ， ， 当时，其他人分数均为，任意三人之和为， 此时任意四人之和为，满足条件， 一个人最多得分． 故选：． 4．定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【分析】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【详解】解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 5．“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小华和小明同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，每个圆圈上的三个数字之和为_____． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：，，，请根据以下的对话内容，则的值为______． 小彬：由填数规则得；所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为，则的值可以用含的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值． 【答案】 12 6或9 【分析】①根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，解方程即可； ②根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，再根据所有填入的数字之和建立等量关系，从而求得，最后由S为整数，以及，求出的值． 【详解】解：①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为x，右边空白“□”应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，可得：， 解得：， 每个圆圈上的三个数字之和为：； ②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为y， 每个圆圈上的三个数字之和为S， ， ， 所有填入的数字之和为：， ， ， ， ，S为整数， 或9． 6．5月4日“快乐读书吧”开业大酬宾，店家计划从商场购进笔筒和马克杯共50个，用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． (1)求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ (2)店家计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有几种采购方案？ (3)店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进笔筒最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 【答案】(1)笔筒单价为17元，马克杯单价为15元，见详解 (2)店家共有4种采购方案，见详解 (3)选择方式二采购总价更低 【分析】（1）根据“2个笔筒+3个马克杯=79元、3个笔筒+2个马克杯=81元”列二元一次方程组求解即可； （2）根据“马克杯数量笔筒数量的、总费用元”列一元一次不等式组，求整数解即可确定采购方案数； （3）分别计算方式一、方式二的总价，比较大小即可． 【详解】（1）解：设笔筒的单价为元，马克杯的单价为元，根据题意，得 解得 笔筒单价为17元，马克杯单价为15元； （2）解：根据由题意，得 解得． 为正整数， ，，，， 店家共有4种采购方案； （3）解：由（2）可知店家想要购进笔筒最多的方案为：笔筒30个，马克杯20个． 方式一：设实际需购买马克杯个，则购买商品总数为件． 当时，总购买数为45件，可获赠（个）马克杯，共获得（个），不满足要求； 当时，总购买数为46件，可获赠（个）马克杯，共获得（个），满足要求； 所以采购总价为（元）； 方式二： 采购总价为（元）． ， 选择方式二采购总价更低． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $