专题06 圆锥曲线、立体几何与统计概率（期末真题汇编，江西专用）高二数学下学期北师大版

**基本信息** 高二下期末数学专题汇编，涵盖计数原理、立体几何、圆锥曲线、统计概率四大核心考点，精选江西多校期末试题，注重情境应用与能力梯度设计。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|14|计数原理（电影观看、自驾游排列）、立体几何（圆锥体积、正方体线面关系）、圆锥曲线（双曲线离心率）、统计概率（游戏胜负概率）|情境真实，基础巩固| |多选题|2|二项式定理计算|概念辨析，中档能力| |填空题|1|圆台母线长与轴截面面积|空间想象，基础应用| |解答题|22|立体几何（二面角、线面垂直证明）、圆锥曲线（直线与双曲线位置关系、定点定值）、统计概率（独立性检验、回归直线、泊松分布）|综合应用，梯度提升，关联高考命题趋势|

专题06 圆锥曲线、立体几何与统计概率 高频考点概览 考点01计数原理 考点02立体几何 考点03 圆锥曲线 考点04 统计概率 一、单选题 考点01 计数原理 1．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)将4个不同的小球全部投入3个不同的盘子（每个盒子容纳的小球的个数不限），则所有的投放方法数为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)某校1位老师带领6名学生（含学生甲）参加志愿者活动，活动结束后7人排成一排合影留念，若老师不站在两端，学生甲不站在正中间，则不同的排法共有（    ） A．3720种 B．3120种 C．3000种 D．1920种 3．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)某校学生会有男生2n人，女生3n人，现从男生中选出人，从女生中选出人参加志愿活动，则不同的选法种数为（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 4．(24-25高二下·江西新余·期末)2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 5．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)小华一家4人（小华，姐姐，爸爸，妈妈）计划去南京自驾游，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．只有爸爸和妈妈会开车，且小华未成年只能坐在后排，则不同的乘坐方式一共有（    ） A．18种 B．27种 C．36种 D．54种 二、多选题 6．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)若，则（   ） A． B． C． D． 考点02 立体几何 1、 单选题 1．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 3．(25-26高二上·上海杨浦区复旦大学附属中学·月考)如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）    A．直线与直线垂直，直线MN平面 B．直线与直线平行，直线MN平面 C．直线与直线平行，直线MN⊥平面 D．直线与直线垂直，直线MN⊥平面 二、填空题 4．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)一个圆台上、下底面的半径分别为和，若两底面圆心的连线长为，则这个圆台的母线长为__________，该圆台的轴截面的面积为__________． 三、解答题 5．(24-25高二下·江西南昌第二中学·期末)如图，在正三棱柱中，D为棱AC的中点，E为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面BDE； (3)求二面角的正切值. 6．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 7．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)如图，在四棱锥中，底面 是线段上一点，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 8．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且是正三角形，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 9．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． (1)求证：平面ABC； (2)若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 10．(24-25高二下·江西新余·期末)在三棱锥中，，，与平面所成的角为． (1)若，，如图，过点作平面，分别交，于点，． ①求证：平面； ②设，为平面内的动点，求周长的最小值． (2)若，，求二面角的取值范围． 11．(24-25高二下·江西乐平中学·期末)如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面底面，分别为棱上的点，且，． (1)若，证明：底面为矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求二面角的正切值； (3)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由． 考点03 圆锥曲线 一、单选题 1．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 2．(24-25高二下·江西乐平中学·期末)已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（   ） A． B． C． D． 2、 单选题 3．(24-25高二下·江西新余·期末)已知抛物线的焦点为，准线为，点在上（A在第一象限），点在上，以为直径的圆过点，且，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的面积的最小值为 D．的面积大于 3、 解答题 4．(24-25高二下·江西乐平中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，过点作斜率不为0的直线，与交于两个不同的点.若，求直线的方程. 5．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 6．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)已知双曲线E的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线E的标准方程； (2)点Q为双曲线E上一点，证明点Q到两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值； (3)双曲线E的两个顶点分别为，点M在直线上，直线与双曲线E分别交于（异于）两点，且直线与x轴垂直，求点M的坐标及直线的方程． 7．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上，当时，. (1)求的离心率； (2)已知，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，求的面积. 8．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)已知双曲线的实轴长为4，一条渐近线的方程为，过点的直线与C的右支交于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)P是x轴上的定点，且． （i）求P的坐标： （ii）若的外接圆被x轴截得的弦长为16，求外接圆的面积． 9．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)已知椭圆 的左右焦点分别为、 ，离心率 ，点、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆上顶点的直线交椭圆于点，且，求直线的方程; (3)直线、过右焦点，且它们的斜率乘积为，设、分别与椭圆交于点、和、.若、分别是线段和的中点，求面积的最大值. 10．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)已知双曲线，过点作两条互相垂直的直线. (1)求两条直线与双曲线的交点个数，并说明理由； (2)若，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，证明：直线过定点. 11．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足． (1)求p的值； (2)已知点，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N．抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G． （ⅰ）求证：点P为定点； （ⅱ）记，的面积分别为，，是否存在实数λ使得成立，若存在，则求出λ，若不在，则说明理由． 考点04 统计概率 一、单选题 1．(24-25高二下·江西抚州·)甲、乙两人玩掷六面骰游戏，各个面的点数分别为两人各轮流投掷一次，当两人向上的点数之差为偶数时，视为平局；当两人向上的点数之差为奇数时，谁的点数大谁胜…重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时游戏的场数为，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·江西抚州·)近年来，越来越多的游客来参观抚州市的大觉山、流坑古村、麻姑山、黎川古城、竹桥古村、曹山景区等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往大觉山”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 二、解答题 4．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)某饮品店统计了一天营业时间（单位：小时）与饮品销量（单位：杯）的数据如下表： 营业时间 1 2 3 4 5 饮品销量 17 36 56 77 99 已知与线性相关． (1)根据以上数据求饮品销量关于营业时间的回归直线方程； (2)若平均一杯饮品的纯利润为5元，某日该饮品店计划早上9点开始营业，晚上9点结束营业，中间不休息，试预测当日饮品的总利润能否超过1000元？ 参考公式：回归直线方程中，，． 5．(24-25高二下·江西抚州·)在某校举行的数学统计建模比赛中，参与比赛的高一学生与高二学生人数之比为2:3，且成绩分布在区间[40，100]，分数在80分以上（含80分）的同学获奖.按高一、高二年级用分层抽样的方法抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示： 高一学生 高二学生 合计 获奖 4 不获奖 合计 100 (1)求a的值，并填写下面的列联表； (2)试判断是否有的把握认为“获奖与学生的年级有关”？说明你的理由. 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 6．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)某市游泳协会为了了解市民喜爱游泳与性别的关系，从全市选出1000名市民进行调查，其中男性市民和女性市民的人数之比为，喜爱游泳和不喜爱游泳的人数之比为，不喜爱游泳的市民中男性与女性的人数之比为. 喜爱游泳 不喜爱游泳 总计 男性市民 女性市民 总计 1000 (1)补全列联表，依据小概率值的独立性检验，是否能够认为市民喜爱游泳与性别有关联？ (2)游泳协会在这1000名市民中按性别进行分层随机抽样，抽取5人，再从这5人中随机抽取3人发放奖品，记为女性获奖的人数，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 7．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)某市游泳协会为了了解市民喜爱游泳与性别的关系，从全市选出1000名市民进行调查，其中男性市民和女性市民的人数之比为，喜爱游泳和不喜爱游泳的人数之比为，不喜爱游泳的市民中男性与女性的人数之比为． 喜爱游泳 不喜爱游泳 总计 男性市民 女性市民 总计 1000 (1)补全列联表，是否有的把握认为市民喜爱游泳与性别有关联？ (2)游泳协会在这1000名市民中按性别进行分层随机抽样，抽取5人，再从这5人中随机抽取3人发放奖品，记为女性获奖的人数，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 喜爱游泳 不喜爱游泳 总计 男性市民 200 200 400 女性市民 400 200 600 总计 600 400 1000 1 2 3 0.3 0.6 0.1 8．(24-25高二下·江西上饶·期末)作为先进的人工智能技术广泛应用于个性化学习、教学辅导、疾病诊断、风险控制、智能制造等行业中．为了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：          使用情况 学历 经常使用 不经常使用 合计 本科及以上 60 100 本科以下 70 合计 90 200 (1)根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关？ (2)某高校组织学生利用进行思维导图、制作、视频制作三项比赛，某同学在这三项比赛中达到“优秀”的概率分别为，每项比赛相互独立．若获得2项及以上“优秀”的同学获得比赛奖励，求这位同学获得奖励的概率． 附：，其中． 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 9．(24-25高二下·江西赣州·期末)调查公司调查了两个群体（群体甲和群体乙）对某新项目的喜好情况，数据如下表所示，公司想知道群体类型（甲/乙）是否与新项目的喜好有关联. 喜欢新项目 不喜欢新项目 群体甲 75 45 群体乙 60 90 附：，其中 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 k 0.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 (1)分析群体类型（甲/乙）是否与新项目的喜好有关联： (2)某人连续对新项目进行三次尝试，每次成功的概率为p，且三次尝试是相互独立的.设事件A为“恰好成功两次”，事件B为“至少成功一次”，求使得取得最大值时p的值. 10．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)盛夏来临，某棋牌室举办为期一周的“消夏”围棋活动，分为趣味赛和积分赛（每局比赛必须决出胜负），规则如下：前2天举办趣味赛，每天仅首局比赛可获得积分，获胜得1分，失败得0分；积分赛在后5天进行，每天只有前两局比赛可获得积分，首局获胜得2分，次局获胜得1分，失败得0分．小张这一周中每天至少参加两局围棋比赛，已知她每天第一局和第二局比赛获胜的概率分别为，，且各局比赛相互独立． (1)已知趣味赛两天积分不为0的参赛选手可获得精美礼品一份，． （i）求小张在趣味赛中获得精美礼品的概率； （ii）在小张获得精美礼品的条件下，求小张2天趣味赛仅积1分的概率； (2)设小张在后5天的积分赛中，恰有2天每天积分不低于1分的概率为，求的最大值． 11．(24-25高二下·江西抚州·)泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数．例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等．因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中e为自然对数的底数. (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数. （i）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； （ii）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过比较计算结果，你发现了什么规律？ (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）. 参考数据：若，则有，. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆锥曲线、立体几何与统计概率 高频考点概览 考点01计数原理 考点02立体几何 考点03 圆锥曲线 考点04 统计概率 一、单选题 考点01 计数原理 1．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)将4个不同的小球全部投入3个不同的盘子（每个盒子容纳的小球的个数不限），则所有的投放方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】每个小球都有3种不同的选择，根据乘法原理可知，所求即为. 故选：A. 2．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)某校1位老师带领6名学生（含学生甲）参加志愿者活动，活动结束后7人排成一排合影留念，若老师不站在两端，学生甲不站在正中间，则不同的排法共有（    ） A．3720种 B．3120种 C．3000种 D．1920种 【答案】B 【分析】根据有条件排列问题可解. 【详解】根据题意先排中间位置， (1)若老师排在最中间，则6个位置可全排，则有； (2)若老师不排中间，则中间位置有5人可选，接着排教师的位置，教师位置有4个可排， 其他5个全排，则有， 综上，共有种不同的排法. 故选：B. 3．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)某校学生会有男生2n人，女生3n人，现从男生中选出人，从女生中选出人参加志愿活动，则不同的选法种数为（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【答案】B 【分析】根据实际意义求出男生和女生人数，然后利用组合数的计算求解即可. 【详解】由题意可得，解得，又，所以． 所以该校学生会有男生8人，女生12人， 则从男生中选人，从女生中选人， 不同选法种数为． 故选：B 4．(24-25高二下·江西新余·期末)2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】D 【分析】分类求出满足小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式. 【详解】若小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影， 有两人看《哪吒》，则有种方案，有一人看《哪吒》电影，则有种方案， 即满足小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案. 故选：D. 5．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)小华一家4人（小华，姐姐，爸爸，妈妈）计划去南京自驾游，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．只有爸爸和妈妈会开车，且小华未成年只能坐在后排，则不同的乘坐方式一共有（    ） A．18种 B．27种 C．36种 D．54种 【答案】C 【分析】应用分步计数及排列数求不同的乘坐方式数. 【详解】爸爸和妈妈选一人在驾驶座有2种，小华在后排3个座位选一个座位有3种，余下人作全排种. 所以不同乘坐方式有种. 故选：C. 二、多选题 6．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法求二项展开式的系数即可. 【详解】对于A，令，，故A正确； 对于B，令，，故B错误； 对于C，令，， 结合，所以，故C正确； 对于D，令，，故D正确； 故选：ACD. 7．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用赋值法计算即可判断AC；根据二项式展开式的通项公式计算即可判断BD. 【详解】设，二项式展开式的通项公式为， A：，故A正确； B：令，得，故B正确； C：， 所以，故C正确； D：令，得；令，得； 令，得；令，得； 令，得， 所以，故D错误. 故选：ABC 考点02 立体几何 1、 单选题 1．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算． 【详解】设圆锥母线长为，高为，底面半径为， 则由，得，所以， 所以． 故选：B． 2．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为，由周长公式求出，即可求出圆锥的高，再由圆锥的体积公式即可得出答案. 【详解】设圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为， 又圆锥底面半径为，则底面周长为， 故，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 故选：B. 3．(25-26高二上·上海杨浦区复旦大学附属中学·月考)如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）    A．直线与直线垂直，直线MN平面 B．直线与直线平行，直线MN平面 C．直线与直线平行，直线MN⊥平面 D．直线与直线垂直，直线MN⊥平面 【答案】A 【分析】根据题意，利用正方体的几何结构特征，结合线面平行和线面垂直的判定与性质，进行判定，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为正方形，且为的中点， 所以点为的中点，又由为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在正方体中， 因为平面，且平面，所以， 又因为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以A正确，B、C错误； 在中，可得与不垂直，所以与平面不垂直， 因为，所以与平面不垂直，所以D错误. 故选：A.    二、填空题 4．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)一个圆台上、下底面的半径分别为和，若两底面圆心的连线长为，则这个圆台的母线长为__________，该圆台的轴截面的面积为__________． 【答案】 【分析】根据圆台的几何性质和勾股定理，求出母线长和轴截面面积. 【详解】 如图所示，作圆台轴截面，上下底面圆心为， 根据题意，可知， 根据勾股定理，可知，所以母线长为13； 轴截面为等腰梯形，则面积为，所以轴截面面积为132； 故答案为：13；132. 三、解答题 5．(24-25高二下·江西南昌第二中学·期末)如图，在正三棱柱中，D为棱AC的中点，E为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面BDE； (3)求二面角的正切值. 【详解】（1） 设交于点O，连接DO， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边形，则O为的中点， 因为D为AC的中点，故， 因为平面，平面，所以平面； （2）在正三棱柱中，且， 又，，可得正方形，故， 因为D，E分别是AC，的中点，所以，故得； 在正三棱柱中平面ABC，平面ABC，所以， 在正三角形ABC中，D为AC的中点，所以 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面BDE，故平面； （3） 设正三棱柱底边边长为2a， 取BC的中点F，连接AF，取CF中点G，连接DG，过G作GH垂直BE于点H，连接DH， 因为三角形ABC为正三角形，且F为BC中点，所以， 因平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为D为AC中点，G为FC中点，所以，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面HGD， 所以平面DHG，又平面DHG，所以， 则即为所求二面角的平面角， 因， 在直角三角形BCE中，， 又，所以在中，， 则， . 即二面角的正切值为. 6．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）［方法一］：【通性通法】向量法 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取 所以 ．由已知得 ． 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］：三垂线＋等积法 由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，．在中，由，得，则．设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］：三垂线＋线面角定义法 由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．同解法1可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结．在中，．因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角． 设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］：【最优解】定义法 如图7，取的中点H，联结，则．过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角．在中，，所以． 7．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)如图，在四棱锥中，底面 是线段上一点，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）在上取点，使得，得，因为， 所以，因为，所以， 又因为，，所以， 可得四边形为平行四边形，， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为底面，，以为原点， 所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 可得， ， 设为平面的一个法向量，则 ，令，则，所以， 设为平面的一个法向量，则 ，令，则，所以， 可得. 可得平面与平面所成角的余弦值为. 8．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且是正三角形，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由四边形是边长为2的菱形，， 得是正三角形，又为的中点，则， 而是正三角形，则，于是， ，又平面， 所以平面. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量，则，取，得， ， 所以二面角的正弦值为. 9．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． (1)求证：平面ABC； (2)若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）由题可知，，． 在中，， 所以， 在三棱柱中，所以， 因为平面平面且平面平面， 所以平面. （2）因为，所以，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意，得，，，，且D为的中点，即， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值. 10．(24-25高二下·江西新余·期末)在三棱锥中，，，与平面所成的角为． (1)若，，如图，过点作平面，分别交，于点，． ①求证：平面； ②设，为平面内的动点，求周长的最小值． (2)若，，求二面角的取值范围． 【详解】（1）（i）由⊥平面，平面，得⊥， 由，得⊥平面BCD，而平面，则⊥， 又，，平面，则⊥平面， 又平面，则⊥，而，平面， 所以平面PCD； （ii）由，得，，则， 过点作，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，得，， 则，，， 则平面的一个法向量为， 设点关于平面对称的点为，则， ，要最小，则需三点共线， 此时的最小值为的长，其中，且， 则且，而，解得， 故，； 所以△CGH周长的最小值为. （2）PB与平面BCD所成的角， 以为坐标原点，所在直线为轴，平行的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，故， PB与平面BCD所成的角，，则点在平面BCD的投影为以为圆心，为半径的圆， 设，， 设平面的法向量为，则， 令，得，平面的法向量为， 设二面角的大小为，由图形知，二面角是锐二面角，， 则 ， 令，则， 又在上单调递减，因此， 所以二面角的取值范围为. 11．(24-25高二下·江西乐平中学·期末)如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面底面，分别为棱上的点，且，． (1)若，证明：底面为矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求二面角的正切值； (3)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）如图过P作，交于H，则与相交，设， ∵平面平面，平面平面，，平面， ∴平面，又平面， ∴，又，，、平面， ∴平面，又平面， ∴，又底面为平行四边形， ∴底面为矩形． （2）∵， ∴H为中点，过H作，交PC于K，连接． ∵平面，平面， ∴， ∵H为中点、E为中点， ∴，∴， 又，，平面， ∴平面，又平面， ∴，∴为二面角平面角． 又因为，所以，， 所以，即，， 所以，即二面角的正切值为． （3）存在点G，当时，平面． 连接CG，设，连接． ∵，，∴， 又，∴，即， 又平面，平面， ∴平面． 考点03 圆锥曲线 一、单选题 1．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 因为， 所以圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以，即，所以， 即该双曲线的离心率为. 故选：D. 2．(24-25高二下·江西乐平中学·期末)已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的基本性质，和正三角形的基本性质，用参数表示出各点坐标，代入求得参数的值. 【详解】 如图所示，设双曲线线的另一个顶点为， 依题意，可知，，可知，， 不妨设A在第一象限，则在双曲线上， 所以，解得， 故选：A． 2、 单选题 3．(24-25高二下·江西新余·期末)已知抛物线的焦点为，准线为，点在上（A在第一象限），点在上，以为直径的圆过点，且，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的面积的最小值为 D．的面积大于 【答案】ABD 【分析】利用抛物线的定义及平行线分线段成比例计算即可判定A；利用抛物线的定义及三角形全等判定为等边三角形即可得B正确；设，利用焦半径的倾斜角公式结合辅助角公式计算最值可判定C，利用线段关系结合C项结论可判定D项. 【详解】设在上的投影为与轴交于点，因为两点在上，则， 又，则，得，A正确； 设A在上的投影为，则，所以， 又，则， 即，为等边三角形， 则，，B正确； 若在第四象限，设，则， ，令， 则， 则，当且仅当时取最小值，易知错误； 易知，所以，当且仅当轴时取等号， 由C知，此时，故，D正确. 故选：ABD      【点睛】思路点睛：对于C项，由于三角形为直角三角形，可根据焦半径的倾斜角公式利用角来表示三角形面积，求最值过程用到了三角函数的平方关系，换元法求最值即可，对于D项，借助三角形面积的大小关系及C结论即可判定. 3、 解答题 4．(24-25高二下·江西乐平中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，过点作斜率不为0的直线，与交于两个不同的点.若，求直线的方程. 【详解】（1）由题意可知，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解法一：因为直线的斜率存不为0，所以设直线的方程为， 设，联立方程组， 消去整理可得， 因为，所以，， 又，，且， 故， 于是，化简得，解得， 所以直线的方程为：，即或； 解法二： 当斜率不存在时，直线与椭圆交于, 可得，则，不符合条件，所以直线的斜率存在且不为0， 所以设直线的方程为， 设，联立方程组， 消去得， 因为， 所以设，则， 又，，且， 故， 于是 化简得，解得， 所以直线的方程为：， 即，或. 5．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为当直线的斜率为时，的面积为． 所以的面积为， 由对称性得，点坐标为， 则 结合，得，， 所以双曲线的标准方程为． （2）因为双曲线的左顶点为，则， 因为直线斜率不存在时不满足题意， 所以设直线，，的斜率分别为，，，直线的方程为， 则， 双曲线，即， 所以，则， 所以， 即， 所以， 设，， 则， 若，则， 则直线的方程为，即． （3）设直线：， 令，得，则，同理可得， 假设存在点满足题设， 则为定值， 所以，所以，且， 即存在定点，使得为定值． 6．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)已知双曲线E的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线E的标准方程； (2)点Q为双曲线E上一点，证明点Q到两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值； (3)双曲线E的两个顶点分别为，点M在直线上，直线与双曲线E分别交于（异于）两点，且直线与x轴垂直，求点M的坐标及直线的方程． 【详解】（1）由渐近线方程为，可设双曲线方程为， 将点代入方程可得，即. 故双曲线方程为. （2）证明：设Q， 因为点Q在双曲线E上，所以，即， 双曲线E的渐近线方程为， 点Q到两渐近线的距离之积为， 故点Q到两渐近线的距离之积为定值，定值为. （3）由（1）得，则双曲线E的两个顶点分别为， 不妨设， 由三点共线可得，即 由三点共线可得，即 则，代入双曲线方程得，即， 把，代入方程得， 所以，直线的方程为. 7．(24-25高二下·江西宜春丰城第九中学·期末)已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上，当时，. (1)求的离心率； (2)已知，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，求的面积. 【详解】（1）设，将代入双曲线方程得，此时， 所以，即，， 则，所以（负值舍去）， 故的离心率为2. （2）因为，由（1）知， 双曲线方程为：，渐近线方程为， 设， 则， 所以， 又在双曲线上，所以，整理得：， 由渐近线方程为得， 所以的面积为 . 8．(24-25高二下·江西宜春中学·期末)已知双曲线的实轴长为4，一条渐近线的方程为，过点的直线与C的右支交于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)P是x轴上的定点，且． （i）求P的坐标： （ii）若的外接圆被x轴截得的弦长为16，求外接圆的面积． 【详解】（1）因为C的实轴长为，渐近线方程为， 所以，，解得，， 所以C的标准方程为． （2）（i）设直线的方程为，，，， 联立化简得，． 因为直线与双曲线的右支交于两点， 由，整理得 则或或， 解得. 由，可得，即， 将代入上式得， 将，代入上式并化简得 ， 整理得， 因为上式对任意都成立，所以， 解得，所以. （ii） 因为， 所以外接圆是以为直径的圆，记为圆T， 因为圆心，即， 所以半径． 因为外接圆被x轴截得的弦长为16， 所以（*），即，解得或． 因为直线与C的右支交于A，B两点，所以， 所以，（舍去），代入（*）可得． 所以外接圆的面积为． 9．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)已知椭圆 的左右焦点分别为、 ，离心率 ，点、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆上顶点的直线交椭圆于点，且，求直线的方程; (3)直线、过右焦点，且它们的斜率乘积为，设、分别与椭圆交于点、和、.若、分别是线段和的中点，求面积的最大值. 【详解】（1）由题意，因为、，为直角三角形，所以， 又 因为，，解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）易知点，，且，则， 所以，直线的方程为， 联立，解得或，即点或， 当点的坐标为时，直线的方程为； 当点的坐标为时，， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）由题意，，    设直线的方程为，其中，、， 则直线的方程为 ，、， 联立可得， 由韦达定理可得，， 所以，，，所以， 同理可得，， 所以，点，即的中点为， 所以， 当且仅当时，即当时取等号，所以的面积最大值为. 10．(24-25高二下·江西新余分宜县·期末)已知双曲线，过点作两条互相垂直的直线. (1)求两条直线与双曲线的交点个数，并说明理由； (2)若，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，证明：直线过定点. 【详解】（1）当直线或的斜率不存在时（即一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在）， 因为两直线均过点，所以两直线的方程分别为， 则直线与双曲线共有四个交点， 分别为，.（由，解得或）， 当直线和的斜率都存在时，设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程分别为. 联立直线与双曲线的方程，得， 消去整理得. 当，即时，方程仅有一解，此时直线与双曲线仅有一个交点； 当，即时，，此时直线与双曲线有两个交点. 同理联立直线与双曲线的方程，可知当时，直线与双曲线仅有一个交点； 当时，直线与双曲线有两个交点； 综上，当直线或的斜率不存在时（即一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在），交点个数为4； 当且时，交点个数为2； 当且时，交点个数为4； 当且或时，交点个数为3； 当且且时，交点个数为4. （2）由（1）可知，当直线或的斜率不存在时，两直线与双曲线有四个交点，分别为，， 则点坐标分别为，直线与轴重合，所以若直线过定点，则定点应在轴上. 当直线和的斜率同时存在时，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程分别为. 因为在双曲线中，所以由（1）可知，当两直线与双曲线有四个交点时，且 记点， 联立直线与双曲线的方程，得， 消去整理得， 则，则，即点. 同理可得点. 当时，，， 则， 此时直线的方程为； 同理当时，，则， 此时直线的方程为. 所以若直线过定点，则定点在直线上. 又因为定点在轴上，所以可猜想定点为， 所以只需证明当时，三点共线即可. 此时，，直线的斜率都存在，即证明. 因为， ， 所以，即三点共线，即直线过定点. 综上，直线过定点. 11．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足． (1)求p的值； (2)已知点，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N．抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G． （ⅰ）求证：点P为定点； （ⅱ）记，的面积分别为，，是否存在实数λ使得成立，若存在，则求出λ，若不在，则说明理由． 【详解】（1）由题意，直线AB斜率必存在，设，，， 联立，得，， 所以，，解得或（舍）， 所以； （2）（ⅰ）直线AC斜率必存在，设，，， 联立，得，， 所以，同理，又，所以， 直线CD斜率必存在，设， 联立，得，， 所以，解得，满足， 所以直线CD过定点，即P的坐标为； （ⅱ）由，且，，， 得， 所以直线CD的方程为，由直线CD与直线AB相交，可得， 联立，解得， 因为抛物线方程为，所以， 抛物线在点C处切线方程为， 所以，同理， 又，所以EG的中点为P， 联立，得， 由及，所以， 综上，在线段的同一侧，又是的中点， 所以到直线的距离是到直线的距离和的一半， 所以，即. 考点04 统计概率 一、单选题 1．(24-25高二下·江西抚州·)甲、乙两人玩掷六面骰游戏，各个面的点数分别为两人各轮流投掷一次，当两人向上的点数之差为偶数时，视为平局；当两人向上的点数之差为奇数时，谁的点数大谁胜…重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时游戏的场数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算甲胜和乙胜的概率，再对具体每局的情况分类讨论即可. 【详解】甲乙每次掷股子1次，若两人的点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率， 若甲胜，则结果有，，，，，，，，，9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 局数为4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中， 概率为， 所以． 故选：A. 2．(24-25高二下·江西抚州·)近年来，越来越多的游客来参观抚州市的大觉山、流坑古村、麻姑山、黎川古城、竹桥古村、曹山景区等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往大觉山”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对立事件的概率公式求出事件发生的概率，再分两种情况求出事件发生的概率，利用条件概率公式求解即可. 【详解】甲、乙从6处景点各选一处的总情况数为种， “甲和乙至少有一个人前往大觉山”的对立事件是“甲和乙都不前往大觉山”， 甲不选大觉山有5种选法，乙不选大觉山也有5种选法， 所以甲和乙都不前往陆羽故园的情况数为种， 则， “甲和乙至少有一个人前往大觉山且甲和乙选择不同的景点”，分两种情况： （1）甲去大觉山，乙不去， 甲去大觉山有1种选法，乙从除大觉山外的5个景点选有5种选法， 共种情况； （2）乙去大觉山，甲不去， 乙去大觉山有1种选法，甲从除大觉山外的5个景点选有5种选法， 共种情况， 所以， 所以. 故选：B. 3．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【分析】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【详解】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 二、解答题 4．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)某饮品店统计了一天营业时间（单位：小时）与饮品销量（单位：杯）的数据如下表： 营业时间 1 2 3 4 5 饮品销量 17 36 56 77 99 已知与线性相关． (1)根据以上数据求饮品销量关于营业时间的回归直线方程； (2)若平均一杯饮品的纯利润为5元，某日该饮品店计划早上9点开始营业，晚上9点结束营业，中间不休息，试预测当日饮品的总利润能否超过1000元？ 参考公式：回归直线方程中，，． 【详解】（1）根据题意，， ，， ， ， 所以回归直线方程为. （2）由（1）知，回归方程为， 早上9点开始营业，晚上9点结束营业，共营业12小时， 所以估计共销售杯，盈利元， 所以试预测当日饮品的总利润能超过1000元. 5．(24-25高二下·江西抚州·)在某校举行的数学统计建模比赛中，参与比赛的高一学生与高二学生人数之比为2:3，且成绩分布在区间[40，100]，分数在80分以上（含80分）的同学获奖.按高一、高二年级用分层抽样的方法抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示： 高一学生 高二学生 合计 获奖 4 不获奖 合计 100 (1)求a的值，并填写下面的列联表； (2)试判断是否有的把握认为“获奖与学生的年级有关”？说明你的理由. 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【详解】（1），解得， 高一学生人数为：，所以高二学生人数为， 已知高一获奖人数为4人，则高一不获奖人数为36， 由频率分布直方图可知获奖频率为， 所以获奖人数为， 所以高二获奖学生人数为16，不获奖学生人数为44， 补充完整列联表如下： 高一学生 高二学生 合计 获奖 4 16 20 不获奖 36 44 80 合计 40 60 100 （2）零假设为获奖与学生的年级无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 所以没有的把握认为“获奖与学生的年级有关”. 6．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)某市游泳协会为了了解市民喜爱游泳与性别的关系，从全市选出1000名市民进行调查，其中男性市民和女性市民的人数之比为，喜爱游泳和不喜爱游泳的人数之比为，不喜爱游泳的市民中男性与女性的人数之比为. 喜爱游泳 不喜爱游泳 总计 男性市民 女性市民 总计 1000 (1)补全列联表，依据小概率值的独立性检验，是否能够认为市民喜爱游泳与性别有关联？ (2)游泳协会在这1000名市民中按性别进行分层随机抽样，抽取5人，再从这5人中随机抽取3人发放奖品，记为女性获奖的人数，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）因为调查人数为人，其中男性市民和女性市民的人数之比为， 所以男性市民人数为人， 女性市民人数为人， 因为喜爱游泳和不喜爱游泳的人数之比为， 所以喜爱游泳人数为：人， 不喜爱游泳人数为：人， 因为不喜爱游泳的市民中男性与女性的人数之比为， 所以不喜爱游泳的市民中男性与女性的人数均为人， 由此列联表补充如下： 喜爱游泳 不喜爱游泳 总计 男性市民 200 200 400 女性市民 400 200 600 总计 600 400 1000 零假设为：该市市民是否喜爱游泳与性别无关， ， 依据最小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该市市民是否喜爱游泳与性别有关. （2）1000名市民中按性别进行分层随机抽样，抽取5人， 其中男性市民人数为人， 女性市民人数为人， 的可能取值为：，，； ，， ， 所以. 7．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)某市游泳协会为了了解市民喜爱游泳与性别的关系，从全市选出1000名市民进行调查，其中男性市民和女性市民的人数之比为，喜爱游泳和不喜爱游泳的人数之比为，不喜爱游泳的市民中男性与女性的人数之比为． 喜爱游泳 不喜爱游泳 总计 男性市民 女性市民 总计 1000 (1)补全列联表，是否有的把握认为市民喜爱游泳与性别有关联？ (2)游泳协会在这1000名市民中按性别进行分层随机抽样，抽取5人，再从这5人中随机抽取3人发放奖品，记为女性获奖的人数，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）根据题意可知：从全市选出1000名市民进行调查，其中男性市民人数为400和女性市民的人数为600， 喜爱游泳的人数为600和不喜爱游泳的人数为400，不喜爱游泳的市民中男性人数为200与女性人数为200． 喜爱游泳 不喜爱游泳 总计 男性市民 200 200 400 女性市民 400 200 600 总计 600 400 1000 零假设：认为市民喜爱游泳与性别无关联， 则， 根据小概率值的独立性检验，可推断不成立， 即认为市民喜爱游泳与性别有关联，该推断犯错误的概率不超过， 也就是有的把握认为市民喜爱游泳与性别有关联； （2）依题意，抽取5人中，男性有2人，女性有3人，再从这5人中随机抽取3人发放奖品， 记为女性获奖的人数，则的可能取值有， ，，， 所以的分布列为： 1 2 3 0.3 0.6 0.1 即：. 8．(24-25高二下·江西上饶·期末)作为先进的人工智能技术广泛应用于个性化学习、教学辅导、疾病诊断、风险控制、智能制造等行业中．为了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：          使用情况 学历 经常使用 不经常使用 合计 本科及以上 60 100 本科以下 70 合计 90 200 (1)根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关？ (2)某高校组织学生利用进行思维导图、制作、视频制作三项比赛，某同学在这三项比赛中达到“优秀”的概率分别为，每项比赛相互独立．若获得2项及以上“优秀”的同学获得比赛奖励，求这位同学获得奖励的概率． 附：，其中． 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）由题意可得列联表：                 使用情况 学历 经常使用 不经常使用 合计 本科及以上 60 40 100 本科以下 30 70 100 合计 90 110 200 零假设：的使用情况与学历无关， 而 ， 由此可推断零假设不成立，依据小概率值的独立性检验， 认为的使用情况与学历有关； （2）设为事件：该同学第i项获得优秀，，则相互独立， 且， 设B为该同学获得奖励， 则 ， 即该同学获得奖励的概率为. 9．(24-25高二下·江西赣州·期末)调查公司调查了两个群体（群体甲和群体乙）对某新项目的喜好情况，数据如下表所示，公司想知道群体类型（甲/乙）是否与新项目的喜好有关联. 喜欢新项目 不喜欢新项目 群体甲 75 45 群体乙 60 90 附：，其中 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 k 0.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 (1)分析群体类型（甲/乙）是否与新项目的喜好有关联： (2)某人连续对新项目进行三次尝试，每次成功的概率为p，且三次尝试是相互独立的.设事件A为“恰好成功两次”，事件B为“至少成功一次”，求使得取得最大值时p的值. 【详解】（1）零假设：群体类型（甲/乙）与新项目的喜好没有关联， ， 由小概率值表可知，当时可推断不成立， 即有99.9%把握认为群体类型与新项目的喜好有关联. （2）依题意，对新项目三次尝试成功的次数服从二项分布，又因A发生时B一定发生，则， 则，， 故， 设， 则 令，解方程得.因为，所以 当时，有，所以在上单调递增； 当时，有，所以在上单调递减. 所以当时，取得最大值，即取得最大值. 10．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)盛夏来临，某棋牌室举办为期一周的“消夏”围棋活动，分为趣味赛和积分赛（每局比赛必须决出胜负），规则如下：前2天举办趣味赛，每天仅首局比赛可获得积分，获胜得1分，失败得0分；积分赛在后5天进行，每天只有前两局比赛可获得积分，首局获胜得2分，次局获胜得1分，失败得0分．小张这一周中每天至少参加两局围棋比赛，已知她每天第一局和第二局比赛获胜的概率分别为，，且各局比赛相互独立． (1)已知趣味赛两天积分不为0的参赛选手可获得精美礼品一份，． （i）求小张在趣味赛中获得精美礼品的概率； （ii）在小张获得精美礼品的条件下，求小张2天趣味赛仅积1分的概率； (2)设小张在后5天的积分赛中，恰有2天每天积分不低于1分的概率为，求的最大值． 【详解】（1）（i）设小张在趣味赛中获得精美礼品事件为， 则， 所以小张在趣味赛中获得精美礼品的概率为. （ii）设小张2天趣味赛仅积1分事件为B， 则，所以， 在小张获得精美礼品的条件下，求小张2天趣味赛仅积1分的概率为. （2）设小张在后5天的积分赛中，一天中积分不低于1分事件为C， 则， 即在后5天中积分不低于1的天数，， 则，令， 则， ， 所以在单调递增，单调递减， 即， 所以当，即时，的最大值为. 11．(24-25高二下·江西抚州·)泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数．例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等．因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中e为自然对数的底数. (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数. （i）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； （ii）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过比较计算结果，你发现了什么规律？ (3)若，且，求的最大值（保留一位小数）. 参考数据：若，则有，. 【详解】（1）由题意可得， 所以 . （2）（i）由题， 所以在1000个产品中至少有2个次品的概率为 ； （ii）由题，所以， 所以在1000个产品中至少有2个次品的概率为 . 根据计算结果发现当较大次品率p较小时， 二项分布和泊松分布计算出的“至少有2个次品的概率”非常接近， 所以当较大p较小，二项分布可以用泊松分布来近似计算. （3）若，则， 故， 设，则对任意恒成立， 所以函数在上单调递减， 又由， 所以若，则， 设，则对任意恒成立， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以； 设， 则， 因为，所以对任意恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以， 即， 综上，当时，有，当时，有， 所以的最大值为 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $