精品解析：江西省九江第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

九江一中2024—2025学年下学期期末考试 高二数学试卷 本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等项内容填写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合补集、交集运算可求出结果. 【详解】根据题意，集合，则， 又由，则， 故选：A. 2. 下列四个条件中，使成立的充要条件是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特值或者函数单调性，结合充要条件的判定可得答案. 【详解】对于A，当时，不成立，故是成立的不充分条件， 反之，当时，成立，故是成立的必要不充分条件，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，所以是的充要条件，故B正确； 对于C，当时，成立，但不成立，所以是成立的不充分条件， 当时，成立，但不成立，所以是成立的不必要条件，所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，因为在上单调递增，所以由，得， 所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：B 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解. 【详解】由全称量词命题的否定可知， 命题的否定是， 故选：D 4. 已知为等比数列前n项和，若，则（ ） A. 10 B. 9 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设出公比，利用条件和等比数列性质求出公比，进而得到. 【详解】设公比为，,则， 又，故，解得， 所以. 故选：A 5. 已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：A. 6. 设，若恒成立，则k的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. －1 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】用“1”的代换及基本不等式求得的最小值为9，解不等式，求出范围得最值. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，解得， 所以的最小值为. 故选：C. 7. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（ ） A. B. 2π C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是， 故选：A 8. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】利用求导判断单调性，再借助，然后通过数形结合，即可作出判断. 【详解】求导得， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 根据，， 当时，，可作出图象： 所以当时，， 根据图象可知，， 所以恒有，故B正确， 由于，，所以，故C错误， 故选：B. 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由不等式性质判断A；应用作差法判断B；由，再应用基本不等式判断C；由指数幂的运算性质及已知、基本不等式得，即可判断D. 【详解】由题设，知，则，故， 所以，则，A对； 由，即，B错； 由，又，故等号取不到， 所以，C对； 由，，而，故不一定成立，D错. 故选：AC 10. 已知数列的前n项和为，且，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则为等差数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，求出，即可判断A；由裂项相消求得，即可判断B；求得，再由等差数列的定义即可判断C；求出数列的前项的和，再由，即可判断D． 【详解】解：对于A，因为，， 同理可得，，， 所以，， 所以，故A正确； 对于B，=，，故B错误； 对于C，，， 所以，， 所以为等差数列，故C正确； 对于D，由C可知为等差数列，首项为，公差为， 所以数列的前项的和为：， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】由关系取，可求，取，可求，再求，判断A，取，可得，的关系，再将替换为，求，由此判断函数的奇偶性，判断B，将中的用替换可得，结合条件证明当时，，再结合函数的奇偶性判断C，结合单调性定义证明函数在上单调递减，再利用导数证明函数在上单调递减，判断D. 【详解】因为， 令，，可得， 所以， 令，，可得， 所以， 所以，A正确； 由， 令可得，， 再将中的替换为，可得， 所以， 所以，所以函数为奇函数，B错误； 当时，将中的用替换， 可得，即， 当时，，由已知可得， 所以，， 又函数为奇函数，所以当时，，， 所以当时，，C正确； 因为， 所以若，则， 任取，且， 则， 因，所以，，, 所以，所以， 所以函数在上单调递减， 设， 当时，， 因为，所以， 因为函数在上单调递减，所以， 所以， 所以在上单调递减. 故选：ACD. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线处． 12. ______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据对数运算性质计算 【详解】， 故答案为： 13 已知数列满足，，则取最小值时______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用累加法求出的通项公式，得出的表达式，利用基本不等式即可求出取最小值时的值. 【详解】由题意，， 在数列中，， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当即时等号成立， ∴取最小值时， 故答案为：. 14. 已知奇函数满足，当时，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可求出函数的周期，进而求出参数a的值，结合函数奇偶性以及周期性，即可求得答案. 【详解】因为函数满足，故， 即是以4为周期的函数； 由奇函数的自变量x可取0，则， 结合当时，，得， 故，则，故当时，， 则 ， 故答案：1 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法来求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； 【小问2详解】 由， 所以. 16. 已知函数． （1）直线在处与函数相切，求实数的值； （2）若在上单调，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义，求得函数在处的切线斜率，并根据切点是函数图象与切线的交点，可求得实数a，b的值. (2)根据函数在上单调，得或在上恒成立，从而列出关于不等式，求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为函数，所以. 所以. 所以函数在处的切线的斜率为. 由题可知：就是函数在处的切线方程.所以,所以 又切线过点,所以即所以 所以 【小问2详解】 解:因为在上单调，或在上恒成立. 因为，且恒成立，所以或在上恒成立， 所以或在上恒成立.所以或. 所以的取值范围是： 17. 如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． （1）求证：平面ABC； （2）若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理可得，再由三棱柱性质及面面垂直的性质证明即可； （2）建立空间直角坐标系，运用线面角向量法求解即可. 【小问1详解】 由题可知，，． 在中，， 所以， 在三棱柱中，所以， 因为平面平面且平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，所以，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意，得，，，，且D为的中点，即， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围； （3）若函数，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用分类讨论即可求出函数的单调性； （2）根据有两个零点得出的范围和函数的单调性，求出最小值的表达式，构造函数并求导得出单调性，即可求出实数a的取值范围； （3）写出函数并求导，得出导函数的单调性，求出函数的单调性，利用零点存在性定理，借助放缩法即可证明结论. 【小问1详解】 由题意，，， 在中，， ①当时，，函数在单调递减， ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由题意及（1）得，，， 在中，， ∵有两个零点， ∴，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为． ∵当时，；时，， ∴要函数有两个零点，当且仅当． 在中，， ∴函数在单调递增． ∵， ∴当时，， ∴a的取值范围是． 【小问3详解】 由题意，（1）及（2）证明如下，，， 在中，， 在中， ，， ∵为指数函数单调递增，为反比例函数单调递减， ∴在上单调递增， 又，， ∴存在使得，即，即，即， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 因为对勾函数函数在上单调递增， 所以， 所以. 19. 如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足． （1）求p的值； （2）已知点，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N．抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G． （ⅰ）求证：点P为定点； （ⅱ）记，的面积分别为，，是否存在实数λ使得成立，若存在，则求出λ，若不在，则说明理由． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）存在，. 【解析】 【分析】（1）设，，，联立抛物线并应用韦达定理，结合已知求参数值； （2）（ⅰ）设，，，，联立抛物线并应用韦达定理及（1）结果，求得，即可证；（ⅱ）由分析得，则，进而得，应用导数几何意义求抛物线在点C处切线方程，进而得、，可证EG的中点为P，并求得，易得到直线的距离是到直线的距离和的一半，即可得. 【小问1详解】 由题意，直线AB斜率必存在，设，，， 联立，得，， 所以，，解得或（舍）， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）直线AC斜率必存在，设，，， 联立，得，， 所以，同理，又，所以， 直线CD斜率必存在，设， 联立，得，， 所以，解得，满足， 所以直线CD过定点，即P的坐标为； （ⅱ）由，且，，， 得， 所以直线CD的方程为，由直线CD与直线AB相交，可得， 联立，解得， 因为抛物线方程为，所以， 抛物线在点C处切线方程为， 所以，同理， 又，所以EG的中点为P， 联立，得， 由及，所以， 综上，在线段的同一侧，又是的中点， 所以到直线的距离是到直线的距离和的一半， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江一中2024—2025学年下学期期末考试 高二数学试卷 本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等项内容填写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个条件中，使成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为等比数列前n项和，若，则（ ） A. 10 B. 9 C. 6 D. 4 5. 已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6. 设，若恒成立，则k的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. －1 D. －2 7. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（ ） A. B. 2π C. -1 D. 1 8. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A B. C. D. 10. 已知数列的前n项和为，且，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则等差数列 D. 11. 已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线处． 12. ______． 13. 已知数列满足，，则取最小值时______． 14. 已知奇函数满足，当时，，则______． 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 16. 已知函数． （1）直线在处与函数相切，求实数值； （2）若在上单调，求实数的取值范围． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． （1）求证：平面ABC； （2）若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，. （1）讨论函数单调性； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围； （3）若函数，证明：. 19. 如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足． （1）求p的值； （2）已知点，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N．抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G． （ⅰ）求证：点P为定点； （ⅱ）记，的面积分别为，，是否存在实数λ使得成立，若存在，则求出λ，若不在，则说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $