专题01 等差数列等比数列的通项与求和15大题型（期末复习专项训练）高二数学下学期北师大版

**基本信息** 聚焦等差等比数列核心考点，以题型为载体构建从基础运算到综合应用的知识逻辑链，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差数列基础与性质|25题|涵盖基本量计算、中项性质、求和及最值|从定义出发，通过基本量运算掌握通项与求和公式，延伸至性质应用| |等比数列基础与性质|25题|包含基本量计算、中项性质、求和性质及函数特性|类比等差数列，突出公比影响，强化指数函数特性理解| |证明问题|10题|重点考查定义法证明等差、等比数列|衔接概念与性质，培养逻辑推理能力| |实际应用|10题|结合建筑、经济等情境的数列建模|体现数学眼光，强化应用意识| |综合与创新|15题|涉及跨知识点综合、含绝对值求和及文化背景题|整合知识网络，提升数学语言表达能力|

专题01 等差数列等比数列的通项与求和 题型1 等差数列基本量的计算（重点） 题型9 证明数列是等比数列（重点） 题型2 等差中项与下标性质 题型10 等比数列的函数特性 题型3 等差数列前n项和的最值 题型11 等差数列的实际应用 题型4 等差数列前n项和的性质（重点） 题型12 等比数列的实际应用 题型5 证明数列是等差数列（重点） 题型13 等差数列与等比数列的综合计算 题型6 等比数列的基本量的计算（重点） 题型14 含绝对值的等差数列求和 题型7 等比中项与下标性质 题型15 等差数列等比数列有关新文化题 题型8 等比数列前n项和的性质（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 等差数列基本量的计算 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知是公差为的等差数列，是其前项和，若，则__________（用表示）． 【答案】 【分析】利用等差数列通项公式和求和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，首项为，根据等差数列通项公式、前项和公式可得： 代入已知条件化简：，，代入得： ， 即等差数列的第10项. 将代入的公式： . 2．（2026·山东聊城·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，联立关于首项和公差的方程求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，. 根据等差数列通项公式得，变形为 ①； 根据等差数列前项和公式得： ，化简得 ②； 将①代入②得：，解得. 3．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知首项和公差都不为 0 的等差数列 ，其前 项和为 ，且 ，则 _____. 【答案】 【分析】由已知比例关系解出等差数列首项与公差的关系，代入所求表达式化简即可. 【详解】因为是等差数列，且 ， 设等差数列的公差为，则有，整理得， 又因为首项和公差都不为 0 ，经验证不是0，不是0符合题意， 则. 4．（2026·山东泰安·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．84 B．96 C．100 D．103 【答案】C 【分析】设出首项和公差，得到基本量，最后求解即可. 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 可得，解得， 则. 5．（2026·江西·模拟预测）记等差数列的前项和为，若，，则（     ） A．23 B．25 C．35 D．45 【答案】C 【详解】已知为等差数列，，，设公差为， 则，解得：， 所以. 6．（2026·湖南湘西·三模）在等差数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项的性质求解即可. 【详解】在等差数列中，，所以， 又，则． 题型二 等差数列与下标性质 7．（25-26高二下·广东江门·期中）已知数列是等差数列，且满足，则等于______． 【答案】75 【详解】因为数列是等差数列，，所以，即， 所以. 8．（25-26高二下·贵州·期中）在等差数列中，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】在等差数列中，，，，也构成等差数列. 根据等差中项性质，， 代入数值得，解得. 9．（2026·湖南怀化·二模）已知数列，均为等差数列，若，，则________． 【答案】 【分析】直接由等差数列的性质计算可得. 【详解】因为数列，均为等差数列，由等差数列的性质得数列也为等差数列， 所以为，的等差中项，所以， 所以． 10．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若等差数列满足，则_____________. 【答案】 【详解】因为数列为等差数列，且， 所以， 所以 ， 同理 ， 又， 所以 . 题型三 等差数列前n项和的最值 11．（湖南怀化市2026届高三5月考前自测数学试题）设等差数列的前n项和为，已知，，则满足的n的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】应用等差数列的下标和性质结合求和公式计算判断求解. 【详解】等差数列，由，可知，， 所以，， 不等式即， 因，不等式化为，整理得，解得， 因为为正整数，所以的最大值为4， 所以满足的n的最大值为4. 12．（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等差数列通项公式与前项和公式列方程组求解首项和公差，再通过判断项的正负确定取最小值时的. 【详解】设等差数列的公差为，。 根据等差数列的通项公式及前项和公式得： 由，得，化简整理得 ①； 由，得，化简整理得 ②. 所以得，将代入①得， 故通项公式为， 所以等差数列的首项，公差的一个递增等差数列， 因此等差数列的前项和有最小值. 令，即，解得，又，因此. 所以当时，，；当时，，. 因此时取得最小值. 13．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，， (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值以及对应的的值． 【答案】(1) (2) ，最大值为135，对应的为9或10 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差求出通项公式. （2）由（1）结合等差数列前项和公式求出，进而求出最大值及对应的值. 【详解】（1）在等差数列中，，解得， 因此数列的公差， 所以的通项公式. （2）由（1）得， 由，得当或时，取得最大值135， 所以的最大值为135，对应的为9或10. 14．（25-26高二下·云南玉溪·期中）（多选）设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ） A．是等差数列 B．成等差数列，公差为 C．当或时，取得最大值 D．时，n的最大值为32 【答案】AC 【分析】利用得到，，即可判断A；根据等差数列片段和的性质和等差数列定义可判断B；可得，利用二次函数性质可判断C；解不等式可判断D. 【详解】A选项，由题，当时，， 当时，， 显然，即满足上式，从而， 由于，故为等差数列，A正确； B选项，， ，由于， 由A选项知，的公差为， 故成等差数列，公差为，B错误； C选项，， 又，故当或时，取得最大值，C正确； D选项，，即，解得， 又，故，n的最大值为33，D错误. 15．（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等差数列的通项公式表示出，再结合前项和取得最大值的条件，得到关于公差的不等式组，进而求解的取值范围. 【详解】因为是首项的等差数列，所以， 因为当且仅当时，的前项和取得最大值，则且， 当时：，则，所以， 当时：，则，所以， 综上，， 即公差的取值范围是. 题型四 等差数列前n项和的性质 16．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）（多选）已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为6 D．若， 则数列的公差为 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的性质得到仍是等差数列，从而根据等差中项判断A；根据等差数列前n项和公式及等差中项，将转化为判断B； 根据等差数列前n项和公式的性质列方程求解C；根据等差数列前项和公式列方程求解D. 【详解】因为数列，均为等差数列，所以数列仍是等差数列， 所以是与的等差中项， 所以 ，故A正确. 因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 根据等差中项的性质知，即，所以，故B正确. 因为等差数列的前n项和为，所以成等差数列， 若，则成等差数列， 所以，解得，故C错误. 设的公差，因为，所以， 所以，即，则数列的公差为2，故D正确， 故选：ABD 17．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，，则数列先增后减 C．若，则 D．，，成等差数列 【答案】CD 【分析】利用等差数列的通项公式、前项和公式，结合等差数列性质、二次函数性质分析判断即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则， 当时，是关于的二次函数. 选项A，若，是开口向上的二次函数，单调性由对称轴决定. 如，时，，，，此时，不是递增数列，故A错误； 选项B，若，，是开口向上的二次函数，对称轴，此时先减后增， 如，时，，，，，先减后增，而非先增后减数列，故B错误； 选项C，若，则，即，所以，故C正确； 选项D，因为， ， 所以，， 所以成等差数列，故D正确. 故选：CD. 18．（2025·广东汕尾·一模）（多选）分别是等差数列的前项和，则（    ） A．是等差数列 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】由等差数列的性质及前项和性质进行求解． 【详解】设等差数列的公差分别为， 则， 所以是等差数列，A正确； ，故B错误； 设， 则， 又， 所以. 可设， 所以， 所以，故C正确； 成等差数列， 又， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 19．（24-25高三上·山西吕梁·阶段检测）（多选）记为等差数列的前n项和，则（   ） A． B．若的公差不为，，则 C．，，成等差数列 D．是等差数列 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的前项和公式逐项计算并判断即可. 【详解】的首项为，公差为， 对于A：，所以，故正确； 对于B：，， 又因为，所以，解得，故错误； 对于C：，，， 所以， ， 所以，所以，，成等差数列，故正确； 对于D：因为，所以， 所以是公差为的等差数列，故正确； 故选：ACD. 20．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段检测）（多选）记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则（    ）. A．，，成等差数列 B．，，成等差数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】由等差数列性质及前项和公式对4个选项依次判断即可． 【详解】 ， ， ，，成等差数列，故选项A正确； ， ， ，，， ， 即，，成等差数列，故选项B正确； ， 不成立，即选项C错误； ， 成立，即选项D正确； 故选：ABD． 题型五 证明数列是等差数列 21．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． 【答案】证明见解析， 【分析】利用等差数列的定义证明数列是等差数列，再结合等差数列的通项公式求数列的通项公式. 【详解】当时，， 所以（因为若，则，这与矛盾）. ∴ （常数）． 又．∴数列是首项为1，公差为1的等差数列． ∴，∴． 22．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知数列中，，. (1)求证：数列为等差数列； (2)令的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将已知递推式整理得到为定值，结合首项，即可证明； （2）先根据第一问的结论求出的通项，代入目标数列通项裂项后，用裂项相消法求出前项和，再对结果放缩即可证明. 【详解】（1）已知 ，且 ，由递推关系可知 对任意正整数成立， 则该递推关系可整理为 ，又首项， 因此数列是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由（1）可得，所以， 所以， 所以 23．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等差数列； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】(1)对递推式进行同除变形，构造出新数列，通过证明其相邻两项的差为常数，从而证明该数列为等差数列. (2)先由第一问的结论求出原数列的通项，再对通项的倒数裂项，用裂项相消法求和，最后通过放缩证明和式小于. 【详解】（1）已知，两边同时除以，得：， 令，则上式可写为：，则是公差为的等差数列， 首项，因此，数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由上一小问可知，即：， 因此， 对和式进行裂项相消：， 继续化简可得， 因为，所以，即. 24．（25-26高三上·广西柳州·阶段检测）已知数列的前项和为，若，且. (1)证明：为等差数列，并求. (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）， . 25．（25-26高二上·全国·期末）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； 【详解】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：， 故. 题型六 等比数列的基本量的计算 26．（2026·湖南·一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A．15 B．17 C．80 D．82 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质和等比数列的通项公式列方程求解的值，从而利用等比数列的求和公式计算可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 27．（2026·甘肃白银·三模）（多选）记等比数列的前项和为，若，，公比，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式化简条件依次判断选项即可. 【详解】若，则，故A正确； 所以， 化简得：，解得：或（舍去），故B正确； 所以，故C错误； ，， 所以，故D正确； 28．（2025·上海·模拟预测）设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 【答案】 9 【分析】先利用等比数列通项公式化简已知等式求出公比，再结合等比数列前项和公式化简所求比值后代入计算结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，则，首项， 因为，，所以由得，又，则整理得 ， 解得或，又，故， 则. 29．（25-26高三下·重庆·阶段检测）记为正项等比数列的前项和．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正项等比数列的公比为，由数列是正项等比数列可知，. ∵ 若，则，，此时，与矛盾，故. ∵ ，且等比数列前项和公式为， ∴ ， ∵ ，，故可约去，得， ∵ 且，得. ∵ ， ∴ ，解得， ∴ . 30．（2026·山西大同·三模）已知等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，结合等比数列的性质可得，根据等比数列前项和公式计算可得，进而计算可解. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，可得，，，则，． 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即． 令，可得，解得或（舍去），所以， 因为，所以， 所以 ，所以， 所以，解得． 题型七 等比中项与下标性质 31．（2026·山西·模拟预测）在等比数列中，，，则________． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以，即， 所以， 所以. 32．（25-26高二下·吉林长春·期中）在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为___________ 【答案】 【分析】根据韦达定理及等比数列的性质求解即可. 【详解】由是方程的两个根，得，. 由等比数列的性质可得，， 又为正项数列，所以. 故. 33．（25-26高二下·广东韶关·期中）若等差数列的公差不为，且成公比为的等比数列，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】设的公差为，由，得，所以． 因为，所以．因为，所以，解得则． 34．（2026高二·全国·专题练习）已知各项均为正数的数列满足对任意的正整数都有，，则_____. 【答案】/ 【分析】采用赋值法可证得数列为等比数列，从而求得或，结合等比数列通项公式或等比数列性质可求得结果. 【详解】方法一：取，则，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， ，， . 方法二：取，则，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， 取，则，又，； . 35．（2026·广东茂名·二模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用等差、等比数列的项的对称性性质，先求出、的值，再代入待求式计算即可. 【详解】已知数列是等差数列，数列是等比数列， 则，， 解得，进而，因此. 题型八 等比数列前n项和的性质 36．（25-26高二下·四川成都·期中）（多选）已知数列是等差数列，为其前项和，是等比数列，为其前项和，则必有（ ） A． B． C．，，成等差数列 D．，，成等比数列 【答案】ABC 【分析】借助等差中项与等比中项性质可得A、B；借助等差数列求和公式及等差数列定义计算可得C；举出反例可得D. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：设等差数列的公差为，则， ， ， 则，， 即有， 故，，成等差数列，故C正确； 对D：当时，有， 故此时，，不成等比数列，故D错误. 37．（2026·安徽滁州·二模）（多选）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，当时，无意义，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，若，则，，， 因为，所以，，成公比为的等比数列； 若，则，， ， 所以，所以，，成公比为的等比数列，C正确； 对于D，当时，,对于任意的都满足， 但不一定成立，D错误. 38．（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）（多选）下列说法错误的有（   ） A．若数列的前n项和，则数列为等比数列 B．若等差数列的公差，则数列是递减数列 C．数列是等比数列，为前n项和，则，，，…仍为等比数列 D．若数列的前n项和（t为常数），则数列一定为等差数列 【答案】ACD 【详解】选项A：已知，则， 当时，， 则数列为， ，比值不相等， 数列不是等比数列，故A错误； 选项B：已知等差数列的公差， ，故数列是递减数列，故B正确； 选项C：假设等比数列为：， 则，，，不构成等比数列，故C错误； 选项D：已知，则， 当时，， 若是等差数列，则，即，解得， 当时，不满足时的表达式，所以不是等差数列，故D错误． 39．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）（多选）下列说法错误的是（   ） A．若等差数列的公差，则数列是递减数列 B．若数列的前项和，则数列为等比数列 C．若数列的前项和（为常数），则数列一定为等差数列 D．数列是等比数列，为前项和，则，，，…仍为等比数列 【答案】BCD 【分析】根据等差数列的定义，得到，可得判定A正确；根据和的关系式，求得，得到，可判定B错误；根据和的关系式，得到时，得到，可判定C错误；当，且为偶数时，得到，，，可判定D错误. 【详解】对于A，由等差数列的定义，可得（为常数）， 若，可得，所以，所以数列是递减数列，所以A正确； 对于B，由数列的前项和， 当时，可得， 当时，， 此时，可得，所以， 所以数列不是等比数列，所以B错误； 对于C，数列的前项和， 当时，可得； 当时，， 令，即，解得， 当时，，满足上式，此时，此时数列为等差数列； 当时，，此时，数列不是等差数列，所以C错误； 对于D，对于等比数列，当公比，且为偶数时，， 可得，，， 此时，，，不能构成等比数列，所以D错误. 40．（2026·广东中山·一模）（多选）数列是等比数列，公比，其前项和为，则（   ） A．当时，为递增数列 B．若，，则 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，时，为递减数列，故A错误； 对于B，若，，，，成等比数列， 则，故B正确； 对于C，若，，成等差数列，则，即， 即，即，即， 所以，，成等差数列，故C正确； 对于D，，，成等差数列，所以， 即，所以， 即，即， 所以，所以，，成等差数列，故D正确. 题型九 证明数列是等比数列 41．（25-26高二下·广东江门·期中）已知数列的前项和为，且． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)已知，求数列的前项和，并证明：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)，证明见解析. 【分析】（1）利用前项和与第项的关系变形，再利用等比数列定义推理证明，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和，并借助单调性推理得证. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 当时，，即，解得，， 因此是以为首项，以为公比的等比数列，， 所以. （2）由（1）知，， 因此， 则 ，对，， 又数列单调递减，则数列单调递增，因此， 所以. 42．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知数列满足，，设． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）利用构造法或等比数列的定义可证为等比数列，从而可求的通项公式； （2）利用裂项相消法结合不等式的性质可证. 【详解】（1）法一：由得， 即，又，故，所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． 从而，故． 法二：对，，且， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． 从而，故． （2）由（1）知，则，， ∴， ， ∵，∴，∴，故得证． 43．（25-26高二下·河南南阳·期中）在数列和中，，，. (1)证明：是递增数列. (2)证明：是等比数列，是等差数列. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由递增数列定义，利用作差法，分为偶数与为奇数进行讨论即可得证； （2）计算可得与的通项公式，再利用等比数列与等差数列定义即可得证. 【详解】（1）， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 则，所以是递增数列； （2）由题意得，， 由，得， 则， 两式相减得，得， 得， 因为，所以，得， 则， 有，， 则，， 所以是首项为，公比为4的等比数列， 是首项为，公差为2的等差数列. 44．（25-26高二下·广东广州·期中）设数列的前项积为，满足． (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先由求出，再利用把已知条件化为关于的递推关系，从而得到，于是可证明 为等比数列. （2）由（1）求出，再代入即可把化为裂项形式，最后求得前项和. 【详解】（1）当时，由且可得，所以，， 当时，由得， 所以当时结合，， 可得当时，，故， 所以， 代入已知条件，得， 两边同除以，得，即， 由，得， 所以数列是等比数列. 又， 故数列是首项为，公比为的等比数列. （2）因为数列是首项为，公比为的等比数列.所以 因为，所以， 从而，则， 所以， 故， 所以， 解得. 45．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)若对一切，不等式均成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据与的关系，结合作差法得到，变形可得，根据等比数列的概念证明即可. （2）结合（1）对不等式进行变形得到，求的最大值即可求解. 【详解】（1）已知，当时，. 则， 所以，即. 当时，， 则，，满足. 因此，数列是以3为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得， 故不等式可化为，即. 设，，故只需即可. ， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，，所以，即. 因此，在时取得最大值为， 故实数的取值范围为. 题型十 等比数列的函数特性 46．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知数列是各项均为正数的无穷等比数列，其中，记，求当取到最大值时，的值为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．5或6 【答案】B 【分析】根据题意求出等比数列的通项公式，且解不等式后即可分析出何时取到最大值． 【详解】依题意，， 所以，解得，所以， ，令，也即，解得，且， 所以当取到最大值时，的值为4或5． 故选：B． 47．（24-25高二上·陕西西安·期末）（多选）已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据等比数列的单调性求解判断. 【详解】，为递减数列， 则或. 故BD正确. 故选：BD. 48．（2023·黑龙江·三模）已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则_______，不等式成立的的最小值为_______． 【答案】 14 13 【分析】①根据，得，代入即可得解；②根据，得，对分奇偶讨论即可得解. 【详解】令，得， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以. 当为奇数时，， 即，因为，所以，即， 因为为奇数，所以的最小值为； 当为偶数时，， 因为，所以，， 因为为偶数，所以的最小值为. 综上所述，的最小值为. 故答案为： ， 【点睛】关键点点睛：讨论m的奇偶性求出对应通项公式为关键. 49．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的公比是（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据等比数列公比的定义即可得出答案. 【详解】已知，则数列的公比为，故C正确. 50．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出的通项公式，再根据当时，最大求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，，公比， 所以 ， 所以，当时，最大， 即 ，解得：， 所以当时，最大. 故选：C. 题型十一 等差数列的实际应用 51．（25-26高二下·广西·阶段检测）某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】由题意可知该器各层的构件数成等差数列，其中，公差， 则其前项和， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以该层数为8. 52．（25-26高二下·安徽·期中）为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演．队形被设计成一个由多个同心圆组成的图案．从最内圈开始，逐圈向外增加队员．最内圈（第1圈）站了12名同学，为了方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人．若这次团体操表演总共动用了300名同学，则这个队形的圈数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由题意得每一圈的人数构成等差数列，结合等差数列前项和的公式即可求解. 【详解】每一圈的人数构成首项，公差的等差数列，其前项和， 则，解得（负值舍去）． 53．（25-26高二下·陕西·阶段检测）粗细都是1cm的一组圆环依次相扣，悬挂在某处，最上面圆环的外直径是20cm，每个圆环的外直径皆比它上面的圆环的外直径少1cm，则从上向下数第4个环底部与第2个环顶部距离是______cm；记从上向下数第n个环底部与第一个环顶部距离是，则______. 【答案】 50 【详解】用数列表示从上往下数圆环的外直径， 则， 则从上向下数第4个环底部与第2个环顶部距离是； 由题意知， 故. 54．（25-26高二下·全国·课堂例题）一个屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了层瓦片，共铺了瓦片（   ） A．块 B．块 C．块 D．块 【答案】C 【分析】根据题意得出等差数列前项和公式，再求前项和． 【详解】由题意可知，每层所铺瓦片数构成一个公差为1，首项为的等差数列， 则， 共铺瓦片数为块，故C正确． 故选：C． 55．（25-26高三上·福建福州·期末）现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（    ） A．7千克 B．6千克 C．5千克 D．4千克 【答案】C 【分析】设等差数列的首项和公差，根据已知条件列出不等式，再结合总质量求出首项的最小值，进而得到最重盒子质量的最小值. 【详解】依题意设十个盒子的质量构成的等差数列为，首项为，公差为（）， 则这十个盒子的质量分别为：， 则前三位盒子总质量为：， 后三位盒子总质量为：， 依题意可得：，化简得：， ，即， 由，且， 所以，有，解得， 又因为是关于的减函数， 当取最大值时，取得最小值，. 故选：C. 题型十二 等比数列的实际应用 56．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）（多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2430元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 【答案】ABD 【分析】对于BC选项，根据等额本金的还款方案分析结合等差数列求和公式计算即可；对于A选项，等额本息的还款方案，结合等比数列的判定及求和公式计算；对于D选项，通过比较两种还款方案的利息进行判断. 【详解】对等额本金的还款方案，设每月的还款额为（万元）， 则，，…，， 所以B选项正确； 所还的利息总数为（万元）， 所以C选项错误； 对等额本息的还款方案，设第个月的贷款利息为（万元），偿还本金为（万元）， 则，， ，， 同理可得：，，…，. 所以是以为首项，为公比的等比数列， 其前12项的和为：，解得. 所以每月的还款额为，故A选项正确； 所以等额本息的还款方案，所还利息总和为万元， 又等额本金的还款方案，所还的利息总数为万元， 因为，所以等额本息还款的利息多，故D正确. 综上所述，选项ABD正确. 57．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某人现存入银行10000元定期存款，若以年利率的复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则5年后本利和是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【详解】由题意可知：5年后本利和是元. 58．（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据：） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 【答案】A 【分析】根据等比数列的求和公式，代入数据，即可得答案. 【详解】设第n天的报酬为，， 由题意，是以首项，公比的等比数列， 则工作了10天，他领到的总报酬. 59．（2026·河南洛阳·模拟预测）《九章算术》第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：若A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，且A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元，810元．某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“2025年青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金29520元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金16400元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（    ） A．20%，5120元 B．10%，5120元 C．20%，6400元 D．10%，6400元 【答案】A 【分析】根据题意设出“衰分比”和甲所获得的奖金，列出方程求解即可. 【详解】设甲、乙、丙、丁四位同学分配的“衰分比”为，甲所获得的奖金为元 则乙、丙、丁所获得的奖金分别为元、元、元， 由题意可知， 由①得 ②代入③得，解得，即“衰分比”为， 把代入②，得，解得， 从而丁所获得的奖金为元 60．（25-26高二下·四川达州·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，则牧场从今年起开始计算，第年年初计划存栏数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得牧场从今年起开始计算，第年年初计划存栏数为. 题型十三 等差数列与等比数列的综合计算 61．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助等比中项性质求出等差数列公差以确定通项公式. （2）通过分组求和法分别计算对应等比、等差数列的前项和，合并得到最终结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则， 可得，，. 由，，成等比数列， 可得， 代入得 ， 展开整理得， 解得. 因此，. （2）由（1）得， 数列为等比数列，其前项和为， 数列为等差数列，其前项和为， 因此. 62．（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式及等比数列的通项公式求解； （2）①求出，利用错位相减法求和.②将代入恒成立不等式：，从而得到对恒成立，设，问题转化为求,利用单调性求出的最小值，从而得到的最大值. 【详解】（1）因为数列是等差数列，，， 所以， 解得，则. 则，则 ，，， 因为，所以 ， 则 ，. （2）①由（1）得，代入数列通项：， 因此数列前项和为：， 将上式两边同乘公比：， 用错位相减法，作差： ， . ②将代入恒成立不等式：， 解得： ，即：对恒成立， 设，问题转化为求, , 当时， ， ，数列单调递减； 当时， ，，数列单调递增， 因此数列在处取得最小值，， 因此的最大值为. 63．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知等比数列的公比为且，等差数列的公差为，满足条件：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列与等比数列的通项的基本量运算求解即得； （2）利用分组求和法，结合等比等差数列求和公式计算即得． 【详解】（1）由题意，，则. ，故， 由可得，消去，可得， 即. 因为且，所以. 故数列的通项公式为，数列的通项公式为． （2）根据题意得：， 由（1）得. 故 64．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)数列求数列的前项和． 【答案】(1)，. (2) 【分析】(1)根据等差数列与等比数列的基本量运算即可求得数列的通项公式； (2)利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 于是 ； 则， 故的通项公式为，的通项公式为. （2）由题可知 数列的前项和为 . 65．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知数列的前项和为，且；等差数列满足;； (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1），，两式相减即可得是等比数列，进而求的通项公式，再结合条件;及是等差数列求解即可； （2）分组后采用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由已知，当时，，即，． 当时，，， 两式相减，得，即，， ∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． ；； ， 设等差数列的公差为，则, 所以； （2）由第（1）问，， ∴设，① ①，得，，② ∴①-②，得， ， 另一部分的前n项和为 所以. 题型十四 含绝对值的等差数列求和 66．（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系，根据，求得数列的通项公式； （2）分析和两种情况，即可数列的前n项和． 【详解】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式，所以. （2）.令，解得，且， 所以当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：． 67．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合与之间的关系运算求解即可； （2）根据数列的通项公式分析的符号，分和两种情况，结合运算求解即可. 【详解】（1）因为， 当时，则； 当时，则， 可得； 综上所述：. （2）因为， 当时，； 当时，令，解得；令，解得； 综上所述：当时，；当时，. 当时，则； 当时，则 ； 综上所述：. 68．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式an与前n项和公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设的公差为，则， 解得，所以的通项公式为， ； （2）由（1）得，令，解得， 当时，数列的前项均为正数， 则； 当时，数列的前7项为正数，从第8项至第项为负数， 则， ， 综上，. 69．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2)（） 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以， . （2）由（1）知，公差，故数列是递增数列. 令，解得. 所以当时，；当时，；当时，. 当时，， 当时， ， 因为， 所以 . 综上所述，数列的前n项和为： （）. 70．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）在数列 中， ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到 ，由累乘法得到 ； （2）设 ， 的前 项和为 ，求出 ，当 时， ；当 时， ，从而得到答案. 【详解】（1）由数列 中， ，且 ， 所以 (符合首项)， 所以 ； （2）其中 ， 设 ， 的前 项和为 ，其中 ， 故 ， 当 时， ，故 ； 当 时， ， 故 综上所述， 题型十五 等差数列等比数列有关新文化题 71．（2026·浙江·三模）（多选）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为（）.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．，使得 D．，都有 【答案】ABD 【分析】根据题意可得数列的递推公式，分析可知数列是以首项，公比为的等比数列，即可得，，进而逐项分析判断. 【详解】由题意可知：，，，， 则， 可知数列是首项为，公比为的等比数列，则，， 所以，故A正确； 因为，则，即，故B正确； 因为， 即，所以不存在，使得，故C错误； 由等比数列性质可知，即，都有，故D正确. 72．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为，则_______． 【答案】0.9/ 【详解】设，则， 依题意，有，且， 所以，故. 73．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）《算学启蒙》是中国最早的科普著作．该书中有名的“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，底面每边果子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图，给出了5层三角锥垛俯视图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层三角锥垛的果子数分别为共有44层，则该三角锥垛从顶层向下数前10层的果子总数为（   ） （参考公式：） A．225个 B．220个 C．230个 D．250个 【答案】B 【分析】先由题意推出第n层果子数的递推关系，再由累加法求出即可计算求解. 【详解】设第n层果子数为，则由题可得第层果子数与前一层的关系为， 所以， 所以 ， 所以. 所以该三角锥垛从顶层向下数前10层的果子总数为 . 故选：B 74．（25-26高二上·浙江温州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，⋯⋯，第层有个球，则数列的前6项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出递推公式，结合累加法、等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 这些等式相加，得， 显然适合上式，故， 所以， 所以的前6项和为. 故选：D 75．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）（多选）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，设，记数列，的前项和分别为，.则（ ） A．是，的等比中项 B． C． D． 【答案】AD 【分析】对A：计算出、后验证是否满足即可得；对B：由题意可得，，则，从而可借助分组求和得到；对C：由题意可得，即有，结合，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，即可得数列的通项公式；对D：由数列的通项公式可求出，结合B中所得可求出. 【详解】对A：由题意可得，， 有，故是，的等比中项，故A正确； 对B：，，则， 则 ，故B错误； 对C：， 由，则，故，则， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，即，故C错误； 对D：由，则， 则， 则，故D正确. $专题01 等差数列等比数列的通项与求和 题型1 等差数列基本量的计算（重点） 题型9 证明数列是等比数列（重点） 题型2 等差中项与下标性质 题型10 等比数列的函数特性 题型3 等差数列前n项和的最值 题型11 等差数列的实际应用 题型4 等差数列前n项和的性质（重点） 题型12 等比数列的实际应用 题型5 证明数列是等差数列（重点） 题型13 等差数列与等比数列的综合计算 题型6 等比数列的基本量的计算（重点） 题型14 含绝对值的等差数列求和 题型7 等比中项与下标性质 题型15 等差数列等比数列有关新文化题 题型8 等比数列前n项和的性质（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 等差数列基本量的计算 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知是公差为的等差数列，是其前项和，若，则__________（用表示）． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知首项和公差都不为 0 的等差数列 ，其前 项和为 ，且 ，则 _____. 4．（2026·山东泰安·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．84 B．96 C．100 D．103 5．（2026·江西·模拟预测）记等差数列的前项和为，若，，则（     ） A．23 B．25 C．35 D．45 6．（2026·湖南湘西·三模）在等差数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 题型二 等差数列与下标性质 7．（25-26高二下·广东江门·期中）已知数列是等差数列，且满足，则等于______． 8．（25-26高二下·贵州·期中）在等差数列中，若，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026·湖南怀化·二模）已知数列，均为等差数列，若，，则________． 10．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若等差数列满足，则_____________. 题型三 等差数列前n项和的最值 11．（湖南怀化市2026届高三5月考前自测数学试题）设等差数列的前n项和为，已知，，则满足的n的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，， (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值以及对应的的值． 14．（25-26高二下·云南玉溪·期中）（多选）设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ） A．是等差数列 B．成等差数列，公差为 C．当或时，取得最大值 D．时，n的最大值为32 15．（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型四 等差数列前n项和的性质 16．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）（多选）已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为6 D．若， 则数列的公差为 17．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，，则数列先增后减 C．若，则 D．，，成等差数列 18．（2025·广东汕尾·一模）（多选）分别是等差数列的前项和，则（    ） A．是等差数列 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．（24-25高三上·山西吕梁·阶段检测）（多选）记为等差数列的前n项和，则（   ） A． B．若的公差不为，，则 C．，，成等差数列 D．是等差数列 20．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段检测）（多选）记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则（    ）. A．，，成等差数列 B．，，成等差数列 C． D． 题型五 证明数列是等差数列 21．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． 22．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知数列中，，. (1)求证：数列为等差数列； (2)令的前项和为，求证：. 23．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等差数列； (2)求证：． 24．（25-26高三上·广西柳州·阶段检测）已知数列的前项和为，若，且. (1)证明：为等差数列，并求. (2)若，求数列的前项和. 25．（25-26高二上·全国·期末）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 题型六 等比数列的基本量的计算 26．（2026·湖南·一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A．15 B．17 C．80 D．82 27．（2026·甘肃白银·三模）（多选）记等比数列的前项和为，若，，公比，则（    ） A． B． C． D． 28．（2025·上海·模拟预测）设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 29．（25-26高三下·重庆·阶段检测）记为正项等比数列的前项和．若，，则（    ） A． B． C． D． 30．（2026·山西大同·三模）已知等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 题型七 等比中项与下标性质 31．（2026·山西·模拟预测）在等比数列中，，，则________． 32．（25-26高二下·吉林长春·期中）在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为___________ 33．（25-26高二下·广东韶关·期中）若等差数列的公差不为，且成公比为的等比数列，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 34．（2026高二·全国·专题练习）已知各项均为正数的数列满足对任意的正整数都有，，则_____. 35．（2026·广东茂名·二模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（     ） A． B． C．2 D．3 题型八 等比数列前n项和的性质 36．（25-26高二下·四川成都·期中）（多选）已知数列是等差数列，为其前项和，是等比数列，为其前项和，则必有（ ） A． B． C．，，成等差数列 D．，，成等比数列 37．（2026·安徽滁州·二模）（多选）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 38．（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）（多选）下列说法错误的有（   ） A．若数列的前n项和，则数列为等比数列 B．若等差数列的公差，则数列是递减数列 C．数列是等比数列，为前n项和，则，，，…仍为等比数列 D．若数列的前n项和（t为常数），则数列一定为等差数列 39．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）（多选）下列说法错误的是（   ） A．若等差数列的公差，则数列是递减数列 B．若数列的前项和，则数列为等比数列 C．若数列的前项和（为常数），则数列一定为等差数列 D．数列是等比数列，为前项和，则，，，…仍为等比数列 40．（2026·广东中山·一模）（多选）数列是等比数列，公比，其前项和为，则（   ） A．当时，为递增数列 B．若，，则 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 题型九 证明数列是等比数列 41．（25-26高二下·广东江门·期中）已知数列的前项和为，且． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)已知，求数列的前项和，并证明：． 42．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知数列满足，，设． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，记为数列的前n项和，证明：． 43．（25-26高二下·河南南阳·期中）在数列和中，，，. (1)证明：是递增数列. (2)证明：是等比数列，是等差数列. 44．（25-26高二下·广东广州·期中）设数列的前项积为，满足． (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和． 45．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)若对一切，不等式均成立，求实数的取值范围． 题型十 等比数列的函数特性 46．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知数列是各项均为正数的无穷等比数列，其中，记，求当取到最大值时，的值为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．5或6 47．（24-25高二上·陕西西安·期末）（多选）已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 48．（2023·黑龙江·三模）已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则_______，不等式成立的的最小值为_______． 49．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的公比是（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 50．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型十一 等差数列的实际应用 51．（25-26高二下·广西·阶段检测）某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 52．（25-26高二下·安徽·期中）为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演．队形被设计成一个由多个同心圆组成的图案．从最内圈开始，逐圈向外增加队员．最内圈（第1圈）站了12名同学，为了方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人．若这次团体操表演总共动用了300名同学，则这个队形的圈数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 53．（25-26高二下·陕西·阶段检测）粗细都是1cm的一组圆环依次相扣，悬挂在某处，最上面圆环的外直径是20cm，每个圆环的外直径皆比它上面的圆环的外直径少1cm，则从上向下数第4个环底部与第2个环顶部距离是______cm；记从上向下数第n个环底部与第一个环顶部距离是，则______. 54．（25-26高二下·全国·课堂例题）一个屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了层瓦片，共铺了瓦片（   ） A．块 B．块 C．块 D．块 55．（25-26高三上·福建福州·期末）现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（    ） A．7千克 B．6千克 C．5千克 D．4千克 题型十二 等比数列的实际应用 56．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）（多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2430元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 57．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某人现存入银行10000元定期存款，若以年利率的复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则5年后本利和是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 58．（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据：） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 59．（2026·河南洛阳·模拟预测）《九章算术》第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：若A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，且A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元，810元．某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“2025年青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金29520元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金16400元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（    ） A．20%，5120元 B．10%，5120元 C．20%，6400元 D．10%，6400元 60．（25-26高二下·四川达州·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，则牧场从今年起开始计算，第年年初计划存栏数为（   ） A． B． C． D． 题型十三 等差数列与等比数列的综合计算 61．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 62．（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 63．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知等比数列的公比为且，等差数列的公差为，满足条件：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 64．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)数列求数列的前项和． 65．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知数列的前项和为，且；等差数列满足;； (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 题型十四 含绝对值的等差数列求和 66．（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 67．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 68．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式an与前n项和公式； (2)求数列的前n项和. 69．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前n项和. 70．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）在数列 中， ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 题型十五 等差数列等比数列有关新文化题 71．（2026·浙江·三模）（多选）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为（）.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．，使得 D．，都有 72．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为，则_______． 73．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）《算学启蒙》是中国最早的科普著作．该书中有名的“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，底面每边果子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图，给出了5层三角锥垛俯视图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层三角锥垛的果子数分别为共有44层，则该三角锥垛从顶层向下数前10层的果子总数为（   ） （参考公式：） A．225个 B．220个 C．230个 D．250个 74．（25-26高二上·浙江温州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，⋯⋯，第层有个球，则数列的前6项和为（    ） A． B． C． D． 75．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）（多选）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，设，记数列，的前项和分别为，.则（ ） A．是，的等比中项 B． C． D． $