吉林长春市十一高中2025-2026学年高一下学期第二学程考试数学试题

长春市十一高中2025-2026学年度高一下学期第二学程考试 数 学答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 10 11 答案 A B D C D D C ABC ACD ABD 12.2.375L 13.①②③ 14.3+ 2 A2D 140 15.【答案】(1)68π；(2) 3 【详解】(1)由题意知，所求旋转体的表面积由圆台下底面， 侧面和一半球面组成.在直角梯形ABCD中，过D点作 DE⊥BC,垂足为E, 5 在Rt△DEC中，CD=√CE2+DE2=5,… .2分 所以S0-行×42-8r,及制=2+5列x5=35元，a=25,6分 所以形成的几何体的表面积为S表=8π+35元+25元=68元..7分 (2)因为圆台的体积V=πx2+V(πx2x5)+元xS）x4=52, .10分 半球的体积=号×4xπx2=16 14 ..12分 23 所以所求几何体的体积为V-了= 140 3 兀13分 16.【答案】(1)连接MP, 在D中，“当子需PA.且 2AD=2, 又AD∥BC,BC=2,.MP∥BC且MP=BC，,.4分 .四边形MPCB为平行四边形，.CP∥BM,6分 又BMC平面SAB,CP￠平面SAB, 所以CP//平面SAB....... .8分 (2)由(1)得CP∥BM,又BMc平面BMQ,CP平面BMQ, .CP/平面BMQ,10分 2025-2026学年度下学期第二学程高一（数学）试题 第1页共4页 在aMD中，DP:PQ:QS=3:2:4,=2_4 MO∥AP, SP 3 SA 又M0C平面BMQ,APg平面BMQ,AP/平面BMQ,.13分 又因AP∩CP=P且AP,CP均在平面ACP中， ∴.平面ACP/I平面BMQ 15分 17.【答案】（证明见详解：2 4 【详解】(1)因为PD⊥DA,PD⊥AB,DAOAB=A,DA,ABC平面ABCD, 可得PD1平面ABCD,. .…4分 且BDC平面ABCD,所以PD⊥BD.... .....5分 2)因为PD1DA,4D-2<DAP-于则D=2.PA=4, .7分 由(1)可知：PD⊥平面ABCD,可知三棱锥P-BCD的高为PD=23, 则三棱锥D-PBC的体积c=乃o-之X25x×2XD=4 3 2 3 解得CD-2, 10分 设A到平面PBD的距离为d,则BD=2√2， 因为0-.0则}×dx×22x25-}25x2x2, 解得d=√2， .13分 设PA与平面PBD所成角为O,则sin8= d P网4， 所以PA与平面PBD所成角的正弦值为 4 .15分 18.【答案】()见解析：(2)0证明见解析：②y 4 【详解】(1)证明：连接OC, PA=PB.PO1AB,2分 又：C是以AB为直径的圆周上一点，∴OA=OB=OC. :PB=PC,∴△POB=△POC, POLOC,.................. ..4分 OB∩OC=O,OB,OCc平面ABC,.PO⊥平面ABC, 2025-2026学年度下学期第二学程高一（数学）试题 第2页共4页 POc平面PAB,.平面PAB⊥平面ABC; .6分 (2)①证明：由题意，四边形ABCD是圆O的内接四边形， :.∠DAB+∠BCD=180°，：∠DAB=∠ABC=60°， .∠ABC+∠BCD=180°， 又点D在圆O上且与C在直线AB的同侧， ∴.CD/IAB, .8分 :CDI平面PAB,ABC平面PAB, .CD//平面PAB, 9分 设平面PABO平面PCD=I, ,CDC平面PCD, l11CD:11分 ②取CD的中点E,连接PE,OE, ,PC=PD则PE⊥CD,OE⊥CD, .pEL1,POL........................ .13分 POc平面PAB,PEC平面PCD, ∠OPE是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角，.14分 PA=PB=PC=3,AB=2,:PO=2. :△OBC是边长为1的正三角形， .o8=3 ,PO⊥平面ABC, ∴.tan∠OPE= 0E6 OP 4 平面PAB与平面©D所成的锐二面角的正切值为 4 .17分 19.【答案】(1)50π；(2)点E是PC的中点：(3)证明见解析. 【详解】(1)把四棱锥P-ABCD放置在长方体中， 则长方体的外接球即为四棱锥的外接球， :PD=5,CD=4,AD=3, 长方体的对角线长为V52+4+32=52, 2025-2026学年度下学期第二学程高一（数学）试题 第3页共4页 则长方体的外接球的半径R=52 3分 ∴.该阳马的外接球的表面积为S=4πR =4万 50 ...4分 (2)点E是PC的中点，.... .....5分 因为PD=CD,所以DE⊥PC, 又因为PD⊥底面ABCD,BCC底面ABCD,所以BC⊥PD, 又BC⊥CD,PDOCD=D,PD,CDC平面PCD,所以BC⊥平面PCD,.7分 又DE,PCC平面PCD,所以BC⊥DE,BC⊥PC, 由DE⊥PC,BC⊥DE,PC∩BC=C,DE,BCC平面PBC, 所以DE⊥平面PBC,又BEC平面PBC,所以DE⊥BE,.… 9分 所以∠DEC=∠DEB=∠BCD=∠BCE=D 所以四面体E-BCD为鳖孺；10分 (3)因为四边形ABCD是菱形，所以AC L BD, 又因为PD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以PD⊥AC, 且BD∩PD=D,BD,PDC平面PDB,所以AC⊥平面PDB;12分 设AC与BD相交于点F,连接EF,又由AC⊥平面PDB,EFC平面PBD, 所以AC1BR,S=-4CB: 当△AEC面积最小时，EF最小，则EF⊥PB, SA=9,x6×BF=9,解得：EF=3: .14分 2 由PB⊥EF且PB⊥AC,EF∩AC=F,EF、ACC平面AEC, 则PB⊥平面AEC,又ECc平面AEC,则PB⊥EC: 又由EF=AF=FC=3,则EC⊥AE,而PB∩AE=E, PB、AEC平面PAB, 故EC⊥平面PAB...… ..17分 B 2025-2026学年度下学期第二学程高一（数学）试题 第4页共4页长春市十一高中2025-2026学年度高一下学期第二学程考试 数 学试 题 第1卷（共58分) 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. -2?则2的虚部是6 3 1.设z= A吉 c D. 2.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是() A.四棱锥 B.四棱柱 C.四棱台 D.三棱柱 3.以下说法正确的是() A.ab、c是空间中的三条直线，若aLb且b.Ec,则a/1G B.a是平面a外的一条直线，则过a且与a平行的平面有且只有 C.平面α内不共线的三点到平面B的距离相等，则&//B D.空间中平行于同一条直线的两直线平行 4.某科技馆“人造太阳模型外观为圆台形，上底面半径为0.8m,下底面半径为12m, 圆合母线长为1.5m,模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（) A号 B.Tm2 C.3nm2 D、6m2 5.如图，在正方体ABCD-4B,C,D中，M,N分别为DB,C的中点，则直线M和 BN夹角的余弦值为( D B.- B D. 2 B 20252026学年度下学期第二学程高一，（数学)试题 第1页共6页 6.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，-AC交BD于点O, E为AD的中点，F在PA上，AP=AF,PC∥平面BEF,则2 的值为() A、1 B. 3-2 -----A C.2 D.3 7.如图，PAL平面ABCD,ABCD为正方形，下列结论不正确的是() A.PB⊥BC B.PD⊥CD C.PD⊥BD D.PA⊥BD 8.如图，在三棱锥S-ABC中，SA=SC=AC=2W2,AB=BC=2,二面角S-AC-B的 正切值是√2，则三棱锥8一BC外接球的表面积是（ A.12元 B.43π C.4π D. 4 3 ；二多项选择题：本题共3小水题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法冲不正确的是 A.以直角梯形的：条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是楼 C.底面是正多边形的棱锥是正梭锥 D、.梭合的各侧楼延长后必交于一点 10.已知m,n为两条不同的直线，&，B为两个不同的平面；则下列命题错误的是 A.若m∥n,ncc,则mIIa 20252026学年度下学期-第二学程高一（数学）试题 第2页共6页 B.若m⊥a,mIn,n⊥B,则xfIB C.若xllB,m/1a,则m1B D.若m⊥n,m⊥a,al1B,则n∥B 11.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，侧面BCC,B,ABB,A均为正方形，AB=BC=1 ∠4BC=90°，点D是棱的AC中点，点O为AB与AB交点，则下列命题正确的是( B A.B,D⊥面ACCA B,BC,II平面ABD C.AB⊥面BCCB D.点4到平面AB,D的距离为 第川卷（共92分) 一、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台， 上、下底面边长分别为15cm和10cm,高为15cm.“升”装满后 用手指或筷子沿升口刮平，这平升”.则该“升”的“平升”可 装(1000cm3=1L)】 L. 13.如图，正方体ABCD-4BCD,的楼长为1，过A点作平面 ABD的垂线，垂足为点H,有下面三个结论：①B与马C是 异面直线；②AH垂直于平面CBD:③直线AC与直线B,C所成 的角是90°.其中正确结论的序号是 B 14.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，sF分别为AB、BC的中点，则过点D E、F的平面截正方体ABCD、ABCD,所得的截面周长为 2025-2026学年度下学期第二学程-高二，（数学）试题 第3页典6页 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.（13分)如图，在直角梯形ABCD中，AD/1BC,∠ABC=90°，AD=2,AB=4,BC=5, 在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴 影部分，若将该图形中阴影部分绕AB所在直线旋转一周. (1)求形成的几何体的表面积； (2)求形成的几何体的体积. A长2D 16.(15分)如图已知四棱锥S-ABCD,底面ABCD为梯形AD∥BC,SA=AB=BC=2, AD=3,P、Q为侧棱SD上的点，且DR:P2:2S=3:2:4,点M为SA上的点，.且 3AM=AS. B (I)求证：CPW平面SAB: (2)求证：平面BMQM平面ACP. 20252026学年度下学期第二学程高一（数学）试题 第4页共6页 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形PD⊥DA,PD L AB. (1)证明：PD⊥BD; Q若AD=2∠DMP-号，三棱锥D-PBC的体积为5，求PA与平面PBD所成角的正 3 弦值。 18.(17分)如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上异于AB的点，P是平面ABC外一 点，且PA=PB=PC=V3. P D (I)求证：平面PAB⊥平面ABC; (2)若AB=2,点D是⊙O上一点，且与C在直径AB同侧，∠DAB=∠ABC=60°. ①设平面PAB⌒平面PCD=l,求证：I1/CD; ②求二面角D-1-A的正切值， 2025-2026学年度下学期第二学程高一（数学）试题 第5页共6页 19.（17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是平行四 边形 ()《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四 个面都为直角三角形的四面体称为鳖脶若四棱锥P-ABCD是阳马，PD=5,CD=4, AD=3,求：该阳马的外接球表面积； (②)若四棱锥P-ABCD是阳马，且PD=CD,点E可能为PA,PB,PC的中点，试确定点E 位置使得四面体E-BCD为鳖嚼，并证明； (3)若E是PB上任意一点，四边形ABCD是菱形，AC=6,BD=63,当△AEC面积的 最小值是9时，求证：EC⊥平面PAB. 2025-2026学年度下学期第二学程高一（数学）试题 第6页共6页