吉林长春市第二实验中学2025-2026学年度下学期高一期中考试数学试题

2025—2026学年度下学期期中考试 高一数学答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A A C A D AD AB 题号 11 答案 BCD 12．/ 13． 14． 15．（13分）（1） （2） 【详解】（1）因为，，，所以，即； 2分 因为，所以， 3分 ，， 5分 解得． 6分 （2）， 8分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期中考试 高一数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共3页．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡． 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求） 1．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标（ ） A．或 B．或 C． D． 3．已知a，b，表示不同的直线，，表示不同的平面，给出下面四个命题： （1）若，，则； （2）若，，，，则； （3）若，，则； （4），，则． 上面四个命题正确的有（ ） A．（1），（3） B．（2），（4） C．（1），（2），（4） D．（1），（3），（4） 4．在中，内角，，的对边分别为，，，且，则一定为（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 5．若圆锥的母线长为1，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 6．在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 7．如图，圆锥的底面圆直径为2，母线长为4，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为（ ） A． B． C． D． 8．《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论错误的是（ ） A．的周长为 B．三个内角，，满足 C．外接圆的直径为 D．的中线的长为 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列说法正确的是（ ） A．已知，，则的最小值为6 B．已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 C．在中，若，则为钝角三角形 D．已知，，则在上的投影向量的坐标为 10．对于复数，，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，在棱长为3的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A．过点，，的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形 B．当点是线段的中点时，存在点，使得平面 C．存在点，，使得平面平面 D．当为棱的中点且时，点的轨迹长度为 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本小题共3题，每题5分，共15分） 12．已知四面体的顶点都在球的球面上，且，，，，则球的体积为_____________． 13．如图，在中，，，与相交于点，若（），则_____________． 14．记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为_____________． 四、解答题（本小题共5题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知，， （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16．（15分）在海岸处，发现北偏东方向，距离为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距离为2海里的处有一艘缉私艇奉命以海里/分钟的速度追截走私船，此时，走私船正以1海里/分钟的速度从处向北偏东方向逃窜． （1）问船与船相距多少海里？船在船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间． 17．（15分）在中，角，，的对边分别是，，，的面积为，外接圆半径，且． （1）求； （2）若，的平分线交于，求的长度． 18．（17分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）设棱与平面交于点，求的值． 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，与交于点，平面，，点为的中点，点是线段上的动点．当平面时，． （1）求； （2）求点到平面的距离； （3）设，探究当为何值时，直线与平面所成的角最大． 学科网（北京）股份有限公司 $