第三章 一次函数 单元测试 2025-2026学年湘教版数学八年级下册

**基本信息** 湘教版八年级数学下册第3章一次函数单元卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合非遗文化情境与跨知识综合题，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一次函数图像性质（如第1题）、平移（第5题）|非遗文化展机器人行程分析（第10题），体现数学眼光观察现实| |填空题|8/24|函数建模（声速与温度关系，第15题）、图像应用（第12题行程图）|科学情境问题，培养数据意识与模型观念| |解答题|8/66|几何与函数综合（折叠问题，第22题）、新定义运算（第23题）|跨知识整合，发展推理能力与创新意识|

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C C B A D C C 2025-2026学年下学期第三章测试卷（答案） 1．B 【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据一次函数的图象经过的象限确定参数的范围，由条件可得，再进一步求解即可. 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得， 因此，的取值范围是， 故选：B 2．A 【分析】一次函数 当＞ 随的增大而增大， ＜ 随的增大而减小，根据以上性质可得答案. 【详解】解： 一次函数，＜ 随的增大而减小， ＜ ， 故选 【点睛】本题考查的是一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键. 3．D 【分析】根据等腰三角形的定义及三角形周长可列出函数关系式；然后根据三角形的三边关系即可求出定义域． 【详解】解：∵等腰三角形的周长是36，设腰长为x，底边长为y， ∴y关于x的函数关系式为， 根据题意，得： ， 解得：， 即， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列函数关系式和三角形周长及等腰三角形的定义—等腰三角形两腰相等，解题的关键是熟练掌握根据实际问题列函数关系式的方法和三角形周长，等腰三角形的定义． 4．C 【分析】本题主要考查对一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能熟练地运用一次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据一次函数的单调性可得出，再利用一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数的图象经过第二、三、四象限，此题得解． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而减小， ， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限． 故选：C． 5．C 【分析】根据一次函数图象左右平移时解析式的变化规律求解． 【详解】将直线向左平移5个单位长度， 得， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题关键是理解一次函数图象左右平移时解析式的变化规律． 6．B 【分析】本题考查一次函数的图象上的点，求不等式组的解集，根据一次函数图象和第一象限点的坐标特征确定m的取值范围即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∴； 故选B． 7．A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【详解】解：∵一次函数和的图象交点的坐标为， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 故答案为：A． 8．D 【分析】根据题意列出等量关系式，结合常量变量定义逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 其中，都是变量，是常量， 故选D； 【点睛】本题考查一次函数函数的应用，解题的关键是根据题意列出等量关系式，熟练掌握常量，变量的定义． 9．C 10．C 【分析】从函数图象获取信息．根据图象信息以及路程、速度和时间的关系即可求解． 本题考查了一次函数的应用，看懂图象是解题关键． 【详解】解：结合图像，甲比乙早出发15秒，故正确； 当时，，当时，， 则乙提速前的速度是， ∵乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴乙提速后速度为，故正确； 故提速后乙行走所用时间为：， ， ， ∴甲的速度为， ，故错误； 当时，乙和甲的距离逐渐增大， 当时达到最大为：， 当时，乙和甲的距离先减小后增大， 当时达到最大为：， 当时，乙和甲的距离逐渐减小到0， ，故正确 则正确， 故选：C． 11． 【分析】根据一次函数的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度，所得函数的表达式为，即； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 12． 【分析】求速度，用距离与时间的比即可． 【详解】解：由函数图象可知， ∴OA段速度为：（千米/分）， ∴AB段速度为：（千米/分）， ∴BC 段速度为：（千米/分）， ∴CD段速度为：（千米/分）， ∴最快的速度为CD段， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 13． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出值即可，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 14．三 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．先根据一次函数的性质判断出k的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 15． 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的关系式．设一次函数关系式为，将两组数据代入求得k，b即可． 【详解】解：设一次函数关系式为，由题意得 ，解得， 函数关系式为． 故答案为： 16． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ， 解得． 17． 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点与相关三角形的面积问题. 求出直线与坐标轴的交点坐标或坐标表达式，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k的值． 【详解】解：当时，，当时， 直线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， 则与坐标轴围成的三角形的面积为， 解得， 故答案为：． 18． 【分析】利用待定系数法，选取表格中两组自变量与函数的对应值代入一次函数解析式，构建关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数解析式． 【详解】解：选取表格中，和，两组对应值代入中， 可得， 解得：， ∴这个一次函数的解析式为． 19．图象见解析， 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标即为方程组的解．利用两点法作出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：列表， 1 1 3 3 1 描点，连线，如图， 观察图象，两直线的交点坐标为， 所以，方程组的解是． 20． 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题、一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 先由两直线平行得到，再把交点A的横坐标代入求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象平行， ∴． 又∵一次函数的图象与x轴交于点A，且点A的横坐标为， ∴，即 ∴． ∴一次函数的表达式为． 21．(1)自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度．（或者自变量是，因变量是）； (2)； (3)该弹簧最多能挂的物体． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，函数的定义，理解题意是关键； （1）根据函数的定义可得答案； （2）根据表格数据可知,每增加就增加，再列函数关系式即可； （3）把代入所列函数关系式计算即可； 【详解】（1）解：自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度； （2）解：由表格数据可知，每增加就增加， 所以挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系式为. （3）解：令，则； 解得； 所以,该弹簧最多能挂的物体. 22．(1), (2) (3)存在点P使得点P、M、为顶点的三角形是直角三角形，且或 【分析】(1)令，得到确定点B的坐标；令，得到，确定点A的坐标即可． (2)根据,，得到，，,，设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． (3)分，，三种情形，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵ ， 令， ∴， ∴点； 令， ∴， 解得， ∴点． （2）∵,， ∴，,， 设， 根据折叠的性质，得，，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）当点P在的右边时，在中，， 故是锐角； 当点P在的左边时，在中，，且， 故是钝角； 故时，显然不成立， 当时，在中，， 此时P与原点重合， 故； 当时，设，则，， 根据勾股定理，得， 解得， 故， 故存在点P使得点P、M、为顶点的三角形是直角三角形，且或． 23．(1)， (2)； (3) 【分析】（1）由定理可知：的值就是取和1的较小值，即；同理可得另一个式子的结果； （2）由定义列不等式解出即可； （3）根据图象可知：当，． 【详解】（1）解：，当时，； 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 整理得， 解得； （3）解：∵， ∴， 由图象得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解，此类题目要认真阅读并理解新定义的内含：结果取最小值，第三问利用数形结合的思想求解更简便． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期第三章测试卷 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷一并交回。 4．测试范围：新教材湘教版八年级数学下册第3章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过，两点，则（    ） A． B． C． D．与的大小无法确定 3．已知某等腰三角形的周长为36，腰长为，底边长为，那么关于的函数关系式及自变量的取值范围是（    ） A．（） B．（） C．（） D． 4．已知一次函数，若y随着x的增大而减小，则该函数的图像经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 5．若直线向左平移5个单位长度，则得到的直线解析式为（    ） A． B． C． D． 6．点在一次函数的图象上，且点在第一象限，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．一次函数和的图象交点的坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 8．某人用了分钟加工了个零件，用表示每分钟加工零件的个数，下列说法正确的是（   ） A．数和，都是常量 B．只有是变量 C．与之间的关系式为 D．与之间的关系式为 9．已知直线经过点和点，则m的值为（       ） A． B． C． D．8 10．2025年成都非遗文化展上，展馆的机器人甲和乙从入口出发，准备给相距的非遗手作展区送展示牌，甲比乙先出发，且速度保持不变，乙出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设甲行走的时间为，甲和乙行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） ①甲比乙先出发15秒； ②乙提速后的速度为： ③； ④从甲出发至送展示牌结束，甲和乙最远相距． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移 3 个单位长度，所得的函数的解析式是 ． 12．某人沿直路行走，若此人离出发的距离s（千米） 与行走时间t（分）的函数关系如图所示，则此人 在这段时间内最快的行走速度是______千米/分． 13．已知一次函数，则当时对应的函数值为________． 14．如果函数中的y随x的增大而减小，那么这个函数的图象不经过第________象限． 15．声音在空气中传播的速度（简称声速）是空气温度的一次函数，若当空气温度为时，声速为；当空气温度为时，声速为，则声速y与温度t的函数关系式为 ． 16．若正比例函数的图象经过点，则的值为______． 17．已知直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则k的值为__________． x … 0 1 … y … 0 3 6 9 … 18． 已知函数的部分自变量的值和对应的函数值如下表所示，则这个一次函数的解析式为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）在同一个坐标系中画出函数和的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解． 20．（10分）已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且与x轴交于点A，且点A的横坐标为．求一次函数的表达式． 21．（12分）在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体质量的增加而伸长，经过实验发现，弹簧的长度与所挂物体质量之间的对应关系如下表： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 … 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 … (1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？ (2)请根据表格中的数据，求挂物体后弹簧的长度与所挂物体质量之间的关系式； (3)在弹性限度内，弹簧伸长后的最大长度为，该弹簧最多能挂多重的物体？ 22．（14分）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点处． (1)求A、B两点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（14分）定义运算：当时，；当时，；如：；；，根据该定义运算完成下列问题： (1)______，当时，______； (2)若，求x的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出x的取值范围是_____ 第 2 页 共 5 页 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $