第3章 一次函数（高效培优单元测试·强化卷）数学新教材湘教版八年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章一次函数 (高效培优单元测试·强化卷) (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列函数中，y是x的一次函数的是() A B.y= 1 C.y=3x+1 D.y=3x2+1 2.函数y=x-2的图象为() 2 3.如图，一次函数y=kx+b的图像与y=k2x+b的图像相交于点P(-2,3),则关于x,y的方程组 [y=kx+b的解是〈） y=kx+b -20 x=-2 x=-2 A.y=3 B. C. x=3 x=2 y=2 y=-2 D. y=-2 4.如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点A-3,2),则关于x的不等式kx+b<2解集为() 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A.x>-3 B.x<-3 C.x>2 D.x<2 5.将直线4：y=2x向左平移m个单位长度后得到直线，若直线与y=-x交于点(1，n),则m的值为() A.-1.5 B.-2 c.1.5 D.3 6.己知函数y=3-x-2的图象如图，根据图象，下列结论正确的是() A八 A.点A的坐标为4,0) B.直线AB的解析式为y=-x+5 C.不等式3-x-2>0的解集为-1<x<4D.当x>1时，y随x的增大而减小 7.随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的 函数关系如图所示.根据图中信息判断，下列说法错误的是() y/元个 甲 200 100 5 10 A.消费次数为10时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B.消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C.消费次数为15时，选择乙种消费卡划算 D.消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为150元 8.在某一马拉松比赛中，小明和小王报名参加了相同赛程的比赛·如图，开赛若干分钟后，小明跑了3公里， 小王跑了2.5公里，又跑了10分钟两人相遇，相遇后小王再跑25分钟到达终点，小明再跑30分钟到达终点， 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 请问小明和小王参加的是()公里赛程的比赛。 2.5 010 3540x A.8 B.13 C.21 D.42 4-x 9.函数y= x+1(x-’ 自变量x的取值范围是() A.x≤4且x≠±1 B.x≤4 C.x≥24且x≠±1 D.x24 10.如图，直线1：y=x+与直线，：y=mr+n相交于点P1,b,则关于x,y的方程组 y=x+ 3的解与 y=mx+n 直线2的表达式分别为() y 2 12 x=1 x=1 A. y=2:y=-x+2 B. 8 4;y=-x y= 3 3 x=1 [x=1 4 48 C. 4;y= D. 4;y= J= 3t+2 3 = 3x+3 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.请写出一个经过点(2，-3)的正比例函数解析式 12.已知点P(a,b)在一次函数y=2x+5的图象上，则2a-b= 13.已知一次函数y=+2的自变量x满足-2<<6，则)的取值花围是 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.如图，是函数y,=kx+b与y2=mx+n的图象，则关于x的不等式kx+b>mx+n的解集是 yA y=kx+b y=mx+n -20 15.如图，将直线y=x-3的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，位于x轴上方的图象保持不 变，所得的折线是函数y=x-3的图象·对于函数y=x+m-3(m为常数)的图象，下列命题： 2 y=x-3 1①当m=1时，直线y=x+m-3(m为常数)与x轴交点为2,0)； -10 1234567x ②若函数y=x+m-3图象经过点(1,1，则m=1或3； ③函数y=x+m-3图象与x轴交点为m-3,0); ④若当x≥1时，y随x的增大而增大，则m≥2. 其中是真命题的有·（填序号） ,直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于4，B两点，一动点从点P0,6出发，沿平行 线运动，到达AB上的点P处，再沿平行于OB的直线运动，到达OA上的点B处，再沿平行于AB的直线运 动，到达OB上的点处，再沿平行于OA的直线运动，到达AB上的点P处，.如此运动下去，则点 P26的纵坐标为 y B Pa 0P2 A 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 共9小题，共72分) 17.已知直线y=众+b与直线y=3x-平行你，且过点（行 (I)求这条直线的表达式： (2)设这条直线与x、y轴分别交于点A、B,如果点P在这条直线上（与点A、B不重合），且 了oae·求点P的坐标。 18.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=-2x的图象平移得到，且经过点 A-1,1. (1)求该一次函数的解析式； (2)当x≥-1时，对于x的每一个值，函数y=r的值大于y=kx+b(k≠0)的值，直接写出的取值范围. 19.如图，一次函数y=x+b的图象分别交x轴、y轴于点A、C,与一次函数y=-x+7的图象交于点P, 点P的横坐标为3，PB⊥x轴，B为垂足，AB=2PB. A B (1)求点P的坐标； (②)求一次函数y=x+b的表达式. 20.陕西周至被誉为“中国猕猴桃之乡”，某水果店销售猕猴桃每箱的利润y(元)与销售量x(箱) (20≤x≤60)之间的函数关系如图中的线段AB. 个y/元 60-- 40----+------- 20 60x/箱 (I)求y与x的函数关系式： (2)当猕猴桃每箱的利润为50元时，其销售量是多少？ 21.一次函数y=kx+b和y2=-4x+a的图象如图所示，且A0,4),C(-2,0). 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=kx+b B A 2-4x+a (I)由图可知，不等式kx+b>0的解集是 (2)若不等式kx+b>-4x+a的解集是x>1. ①求点B的坐标； ②求a的值. 2。已知，一次函数少=+2与=青+4分别与x轴相交于点4和点D,与y锥相交于点B和点G,两 直线相交于点E,连接OE. B D (1)求点E的坐标： (2)点F是线段AE上一点，且线段0F把△A0E的面积分成1：4两部分，请求出符合条件的点F的坐标。 23.甲、乙两架无人机进行表演训练，甲以am/s的速度从地面起飞，同时乙从一栋楼的楼顶匀速起飞，5s时 甲、乙到达同一高度，此时，甲停止上升在该高度上进行表演，表演用时s,之后甲按其原速度继续上升： 当甲、乙第二次到达同一高度时进行联合表演.己知甲、乙距离地面的高度ym与飞行时间xs)之间的函 数关系如图所示.请结合图象解答下列问题： 个y/m 88 40 B 17 307s (1)求楼顶距离地面的高度： 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)求a,t的值及直线FC的函数解析式： (3)直接写出甲、乙两架无人机表演训练中，距离地面的高度差为16m时，x的值. -2x+4x≥m 24.函数y= 叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A,与x轴正半轴交点记为 2x+4(x<m) B (1)关于1的对称函数y= -2x+4x≥1） 与直线x=1交于点C; 2x+4x<1) ①A,0)；B(_,0)；C1,): ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当SABc=S4BP时，求点P的坐标； (②)当m>0时，直线y=x与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围： (3)当m>0时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m,点F为y轴上一点，点F的 坐标为(O,-6),直接写出△AEF是以AF为直角边的直角三角形时m的值. 25.【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走， 可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对于两点Ax,y)和Bx2,y2),用以下方式定义 两点间距离：d(A,B)=x-x2+y-y2已知点A(-1,2),点B3,3)· 6 6 5 4 ·B 规划湖 A·2 10 1立方456 1十23456 M 图① 图② 图③ 【初步理解】 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)dA,B= (2)函数y=-x+3(0≤x≤3)的图象如图①所示，P是图象上一点，d(P,A)】 定值，d(P,B 定值（两空均选填“是”或“不是”）， 【深入理解】 (3)在图②中画出使d(Q,B)=3的所有点0围成的图形. (4)函数y=x-k+6(k为常数)： ①当k=-3时，若点M是这个函数的图象上一动点，则使(M,B)≤3的所有点M构成的线段长度为 ②若这个函数的图象上存在点N使d(N,B)≤3，直接写出k的取值范围. 【实际运用】 (5)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图③，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一 次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简 要说明理由) 8/8 第3章 一次函数 （高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义判断各选项即可． 【详解】解：A．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； B．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； C．中，，，满足一次函数的形式，是一次函数，故此选项正确； D．中的次数为，不是一次函数，故此选项错误． 【点睛】一次函数的标准形式为（，为常数，）． 2．函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定函数的类型，再求其与坐标轴的交点，最后根据交点坐标匹配对应的图象． 【详解】解：函数是一次函数，其图象是一条直线， 令，得，即与x轴交点为， 令，得，即与y轴交点为， 在各选项中，只有选项A的图象经过和这两个点． 3．如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解求解即可得到答案； 【详解】解：∵一次函数的图像与的图像相交于点， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：A． 4．如图，直线经过点，则关于的不等式解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象进行解答即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 故不等式解集为． 5．将直线：向左平移m个单位长度后得到直线，若直线与交于点，则m的值为（    ） A． B． C．1.5 D．3 【答案】A 【分析】先把代入求出n的值，然后利用平移规律写出直线的解析式，最后把代入求解即可． 【详解】解：∵经过， ∴， ∵直线：向左平移m个单位长度后得到直线， ∴直线为， 又直线经过， ∴， 解得． 6．已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．直线的解析式为 C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】去绝对值化简得当时，，，当时，，结合图象逐项判断即可求解． 【详解】解：当时，，令，则，解得：； 当时，，则； 当时，，令，则，解得； A、当时，，则，解得，则，故此项错误，不符合题意； B、当时，，即直线的解析式为，故此项正确，符合题意； C、不等式的解集为，故此项错误，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故此项错误，不符合题意． 7．随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【答案】D 【分析】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方． 对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确； 对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确； 对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确； 对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和， 将，代入得，解得， ． 当时，，不是元，选项D错误； 综上，错误的说法是D． 8．在某一马拉松比赛中，小明和小王报名参加了相同赛程的比赛如图，开赛若干分钟后，小明跑了公里，小王跑了公里，又跑了分钟两人相遇，相遇后小王再跑分钟到达终点，小明再跑分钟到达终点，请问小明和小王参加的是（   ）公里赛程的比赛． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小明的速度为公里分钟，则小王的速度为b公里分钟，根据路程相同分别列出关于a，b的二元一次方程组求解得出a，b的值，最后再计算路程即可． 【详解】解：设小明的速度为公里分钟，则小王的速度为b公里分钟， 根据函数图象可得： 解得：， （公里）， 小明和小王参加的是公里赛程的比赛． 9．函数，自变量的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件计算即可得出结果． 【详解】解：∵函数， ∴，，， 解可得， 解可得， 解可得， 综上所述，自变量的取值范围是且． 10．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【分析】求出点的坐标，再根据待定系数法和两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：把点代入得：， ∴点， ∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 将，代入可得，解得：， 故直线的表达式为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．请写出一个经过点的正比例函数解析式______． 【答案】 【详解】解：设经过点的正比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴这个正比例函数解析式为． 12．已知点在一次函数的图象上，则_____． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入函数解析式，变形即可求出所求代数式的值． 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴将点坐标代入，得， 移项整理得：． 13．已知一次函数的自变量x满足，则y的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数的解析式及自变量的取值范围，利用一次函数的增减性求解的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，比例系数， ∴随的增大而减小， 当时，， 当时，， 又∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】直接利用函数图象，结合，得出x的取值范围． 【详解】解：∵交点坐标可知，当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴不等式的解集为 15．如图，将直线的图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，位于轴上方的图象保持不变，所得的折线是函数的图象对于函数（为常数）的图象，下列命题： 当时，直线（为常数）与轴交点为； 若函数图象经过点，则或； 函数图象与轴交点为； 若当时，随的增大而增大，则． 其中是真命题的有______（填序号） 【答案】 【分析】①将代入直线方程，得，再令可得与x轴的交点坐标； ②将代入即可求解； ③令解答即可； ④求出函数的顶点坐标，再根据当时函数的增减性解答即可． 【详解】解：将代入直线方程，得， 令，即，解得， 所以当时，直线为常数与轴交点为， 故是真命题； 将代入，得， 解得或； 故是真命题； 令，解得， 所以函数图象与轴交点为， 故是假命题； 由③知函数的顶点坐标为， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大，则，解得， 故是真命题． 所以其中是真命题的有． 16．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，……如此运动下去，则点的纵坐标为________． 【答案】2 【分析】此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质，找到坐标规律进行求解．根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形，然后根据一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，可以发现点与点重合，由此可知动点每运动次为一个循环，由此可以求出点的纵坐标． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴点与点重合，由此可知动点每运动次为一个循环， 又， ∴点与点重合，即点的纵坐标为． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知直线与直线平行，且过点． (1)求这条直线的表达式； (2)设这条直线与、轴分别交于点、，如果点在这条直线上（与点、不重合），且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两直线平行可得，再将点代入表达式可得答案； （2）先求出点，即可求出，再设点，然后根据可得，接下来求出m的值，则此题可解． 【详解】（1）解：∵一次函数与直线平行，且过点， ∴， ∴， ∴； （2）解：当，；，， 解得， ∴点， ∴， ∴． 设点， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点P的坐标为或． 18．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的性质可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∵一次函数经过， ∴，即， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：如图， 当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，则的取值范围为． 19．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点P的横坐标为3代入表达式，可得答案； （2）结合点P的坐标可得，再结合已知条件可得点C的坐标，然后根据待定系数法求出表达式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点P，且点P的横坐标为3， ∴， ∴点； （2）解：∵点轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为． 20．陕西周至被誉为“中国猕猴桃之乡”，某水果店销售猕猴桃每箱的利润y（元）与销售量x（箱）（）之间的函数关系如图中的线段． (1)求y与x的函数关系式； (2)当猕猴桃每箱的利润为50元时，其销售量是多少？ 【答案】(1)； (2)当猕猴桃每箱的利润为50元时，其销售量是40箱． 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出与之间的函数关系； （2）将代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即与的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， 答：当猕猴桃每箱的利润为50元时，其销售量是40箱． 21．一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 【答案】(1)； (2)点的坐标是；的值是． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集； （）由题意可以求得的值，然后将代入即可求得点的坐标； 根据点也在函数的图象上，从而可以求得的值． 【详解】（1）解：由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：∵，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标是， 当时，， ∴点的坐标是； ∵， ∴，解得， 即的值是． 22．已知，一次函数与分别与x轴相交于点A和点D，与y轴相交于点B和点C，两直线相交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)点F是线段上一点，且线段把的面积分成两部分，请求出符合条件的点F的坐标． 【答案】(1)点E的坐标为 (2)点F的坐标为或 【分析】（1）根据题意可得，得到，即可确定两直线交点的坐标； （2）先求直线与x轴交点，计算得出面积为；设，分和两种情况，根据面积公式列方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵两直线相交于点E， ∴， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：∵直线与轴交于点， ∴将代入得， 解得， ∴，即． ∴ ， ∵在直线上， ∴设， ∴的面积为：， 当两部分的面积比为时，则， ∴ 解得， ∴， 故； 当两部分的面积比为时，则， ∴ 解得， ∴， 故， 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题以一次函数为载体，结合交点求解与面积分割问题，通过联立方程组求交点、分类讨论面积比例，体现了数形结合与分类讨论的数学思想． 23．甲、乙两架无人机进行表演训练，甲以的速度从地面起飞，同时乙从一栋楼的楼顶匀速起飞，时甲、乙到达同一高度，此时，甲停止上升在该高度上进行表演，表演用时，之后甲按其原速度继续上升；当甲、乙第二次到达同一高度时进行联合表演．已知甲、乙距离地面的高度与飞行时间之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1)求楼顶距离地面的高度； (2)求a，t的值及直线的函数解析式； (3)直接写出甲、乙两架无人机表演训练中，距离地面的高度差为时，x的值． 【答案】(1)楼顶距离地面的高度为． (2)，， (3)的值为1，9或13． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式，令，的值即为楼顶距离地面的高度； （2）甲以的速度从地面起飞，距离地面，即可求出速度；先求出距离地面到所用的时间，用减去该时间即为表演用时；由此可得到点的坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数解析式； （3）分当时，当时，当时，三种情况讨论即可求出的值． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为（）， 将，分别代入， 得解得 直线的函数解析式为． 当时，， 楼顶距离地面的高度为． （2）解：由题图知， ， ， ． 设直线的函数解析式为（）， 将，分别代入， 得解得 直线的函数解析式为． （3）解：的值为或． 【提示】当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，符合题意的的值为或． 24．函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 【答案】(1)①；2；2；②点P坐标为或或； (2)； (3)或 【分析】（1）把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标； ②先求得，再根据得到，解得或，再根据解析式求出点P的横坐标即可； （2）先根据关于m的对称函数的解析式， 确定m的取值范围为，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线与关于m的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m的取值范围即可； （3）先求出点E、A的坐标，分为斜边和为斜边两种情况，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：①当时，令，得， 解得， ∴； 当时，令，得， 解得， ∴； 当时，， ∴． ②∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，且时，令，即， 解得， 此时与点C重合，故舍去； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 综上所述，点P坐标为或或． （2）解：∵关于m的对称函数的解析式为， ∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象． ∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内， ∴； ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内． ∴； ∴， ∴直线分别与直线和各有一个交点， 对于直线与直线， 联立得， 解得， 对于直线与直线， 联立得，     解得， ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线与直线有交点， ∴， 又∵，， ∴， ∴m的取值范围是； （3）解：∵点E的横坐标为m， ∴点E在的图象上， 把代入得， ∴， 把代入得， 解得， ∴， ∵点A、E、F组成直角三角形，为直角边时，分两种情况讨论： 情况一：为斜边时，则， ∵点F的坐标为， ∴， 解得， 情况二：为斜边时，则， ∴， 解得：m， 综上所述，是以为直角边的直角三角形时，m的值为或． 25．【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对于两点和，用以下方式定义两点间距离：已知点，点 【初步理解】 （1）___________． （2）函数的图象如图①所示，是图象上一点，___________定值，___________定值两空均选填“是”或“不是” 【深入理解】 （3）在图②中画出使的所有点围成的图形． （4）函数（为常数）； ①当时，若点是这个函数的图象上一动点，则使的所有点构成的线段长度为___________； ②若这个函数的图象上存在点使，直接写出k的取值范围． 【实际运用】 （5）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图③，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由） 【答案】（1）5；（2）不是，是；（3）图见解析；（4）①，②或，（5）见解析 【分析】依据定义求解即可； 设，且，再依据定义求解即可； 根据新定义并结合可知：使的所有点围成的图形为正方形，据此画图即可； ①易得，设，则，再分类讨论，求出t的范围，即可得解； ②由知使的所有点围成的图形为正方形，则只要有满足的图象与正方形有交点，即存在点N使，据此求解即可； 以为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到E处，可由证明结论即可． 【详解】解：（1）； 设，且， 则， 当时，， 当时，，不是定值； ；是定值； 根据新定义并结合可知：使的所有点围成的图形为正方形，如图所示；     ①当时，则， 设， 则， 当时，则， 解得， 此时； 当时，则， 解得， 此时； 当时，则， 解得，此时无解； 综上，当时，满足， 此时两个端点分别为、， 线段长度； ②， 这个函数的图象经过定点， 由图可知，只要满足的图象与正方形有交点，即存在点使， 代入点，得， 此时由图象可知当，均符合题意， ； 代入点得，， 解得， 此时由图象可知当，均符合题意； 综上，或； 如图，以为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止， 设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到E处． 理由：设过点E的直线与x轴相交于点在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线，与x轴相交于点 ， ，， 同理， ， ， 上述方案修建的道路最短． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $