专题06 图形变换与几何动点问题（6大考点）（陕西专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦图形变换与几何动点专题，整合2026年陕西各地二模真题，覆盖轴对称与折叠、旋转等6大考点，基础选择与综合探究题梯度分布，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约20题|轴对称/中心对称图形判断、三视图识别|结合机器人、汉服纹样等时代素材，考查空间观念| |填空题|约15题|旋转角度计算、动点路径长|融入赵爽弦图等文化元素，强化几何直观| |解答题|约15题|几何最值探究、动态问题建模|以垂钓园、种植基地为情境，设计“问题提出-探究-解决”结构，对接中考综合题命题趋势|

专题06 图形变换与几何动点问题 6大考点概览 考点01轴对称与折叠问题 考点02旋转问题 考点03中心对称问题 考点04 立体图形与几何体的三视图 考点05几何最值问题 考点06几何动点问题 轴对称与折叠问题 考点01 1．（2026·陕西榆林·二模）下列图形中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·二模）下列图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西安康·二模）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点D折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若，则正方形纸片的边长为（   ） A． B． C．4 D． 旋转问题 考点02 1．（2026·陕西榆林·二模）将如图所示的图形绕其中心点旋转一定角度后会与原图形重合，则这个角度可以是_____．（写出一个符合题意的角度即可） 2．（2026·陕西渭南·二模）如图，赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，将它绕着中心点旋转()后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是______．(写出一个符合题意的数即可) 3．（2026·陕西铜川·二模）如图，将绕点旋转至的位置，点在边上．若，则的度数为_____． 4．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，点是正六边形的中心，连接、、，将该图形绕着点旋转后，能够与原来图形完全重合，则的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 中心对称问题 考点03 1．（2026·陕西咸阳·二模）目前我国机器人产业加速崛起．下列机器人图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西商洛·二模）汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·二模）前沿科技日新月异，创新成果竞相涌现．如图所示的四个科创标志图中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西宝鸡·二模）某校为落实“五育并举”促进学生全面发展，开展了多项社团活动．下列社团标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·二模）七巧板源于古人对测量工具“矩”的认识以及先秦古籍《周髀算经》勾股定理，后在民间演变为拼图板玩具．下列由七巧板中部分板拼成的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西铜川·二模）汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西商洛·二模）下列符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西榆林·二模）下列花瓣图案中，既是中心对称图形、又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西西安·二模）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 立体图形与几何体的三视图 考点04 1．（2026·陕西渭南·二模）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西榆林·二模）如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．五棱柱 3．（2026·陕西渭南·二模）科技创新赋能强国建设，中国正以创新姿态领跑时代．已知某机器人的零部件呈圆柱形，如图，则该零部件的截面形状不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西汉中·二模）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西渭南·二模）如图是一个倒放的“T”字模型，它的俯视图为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西延安·二模）中国鼓文化是以鼓为载体，融合音乐、舞蹈等的传统艺术形式，如图是一种鼓的示意图，其左视图是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西汉中·二模）下列几何体的俯视图是三角形的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西西安·二模）鲁班锁是中国传统的智力玩具、如图，这是鲁班锁一个组件的示意图，则该组件的左视图是（   ） A． B． C． D． 几何最值问题 考点05 1．（2026·陕西西安·二模）如图，在菱形中，点E为边上一点，将沿着翻折得到．点G为中点，连接，过点F作于点H．若，，则的最小值为________． 2．（2026·陕西西安·二模）如图，在四边形中，，，，连接，则的最小值为_________． 3．（2026·陕西西安·二模）如图，已知，，，，则线段长度最大值为_____ 4．（2026·陕西渭南·二模）【问题提出】 (1)如图1，已知线段，点是平面内任意一点，连接、，若，则长度的最大值为________； 【问题探究】 (2)如图2，在中，，、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，是某垂钓园的圆形鱼池，是鱼池上架的一座木桥，为了满足更多钓鱼爱好者的需求，计划在鱼池上方再架三座木桥、、，点、、均在上，要求木桥尽可能的长．已知米，的半径为120米，点、分别是、的中点，求木桥长度的最大值．（木桥的宽度均忽略不计） 5．（2026·陕西宝鸡·二模）按要求解答问题： 【思路梳理】 (1)如图1，在等边中，，点在边上，且，连接． ①的面积为________； ②将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的长． 【衍生拓展】 (2)如图2，某现代化生态种植基地内有一块等腰直角三角形的核心种植区，，，是分隔带，米．为了减轻灌溉压力，该基地计划在核心区外围建设一个大型圆形蓄水池，其圆心位于线段的垂直平分线上，且点到点的距离与点到点的距离相等，蓄水池的半径为米，动点、在上（且、、三点按顺时针排列），连接，劣弧所对的圆周角为，连接、，分别在、、的中点、、处修建取水点，根据要求以、、为顶点的三角形（即）的周长要尽可能的大，请你帮助该基地求出周长的最大值．（分隔带的宽度以及取水点的大小均忽略不计） 6．（2026·陕西西安·二模）探究三角形的面积、外接圆性质及几何最值问题，并完成以下问题 【思路梳理】 (1)如图1，是的角平分线，若，则的值为________； (2)如图2，内接于，，连接、，已知的半径为4，求的周长； 【问题解决】 (3)如图3，某药材种植基地计划在基地内新增一个形状为四边形的药田用来种植桔梗和黄芪，其中，米，连接，沿挖一条隔离沟将其分为两个区域，在区域种植桔梗，区域种植黄芪，，过点作交边于点，沿修一条灌溉水渠，根据市场的需求，现要使种植桔梗区域（即）的面积尽可能的小，请你帮助该基地求出种植桔梗区域面积的最小值．（隔离沟、水渠的宽度均忽略不计） 7．（2026·陕西铜川·二模）按要求解答问题： 【问题提出】 (1)如图①，在中，，，分别是边，的中点．若，，则的长为_____； (2)如图②，正方形的边长为，，分别是边，上一点，且，连接，交于点，连接，求的最小值； 【问题解决】 (3)如图③是一个以为圆心的圆形警戒海域的示意图，半径为海里．海域边界上设有两个固定航标，，海里．一艘巡逻艇在警戒海域边界上巡航（不与重合），将的中点设为辅助定位点，的中点设为临时指挥点．为确保指挥通信距离在安全范围内，求巡航过程中临时指挥点到航标的距离的最大值． 8．（2026·陕西渭南·二模）研究以下问题： (1)【课本再现】如图1，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间．你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？请你在图中画出储物点的位置．（保留画图痕迹，不写画法） (2)【尝试探究】如图2，在中，，，点在上，，过点作交于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，点在的延长线上，且，连接，求的长； (3)【拓展应用】今年是“十五五”开局之年，为持续性做好爱国主义教育，某校规划了爱国主义教育展厅，规划示意图如图3所示，直线、是校园内两条小路，，（点在上，点、在上）区域为红色文化区，点处为宣誓台，米，米，．校方计划在、上分别取点、，沿、修建主题形象墙，根据规划要求，，请你求出的最大值．（小路和主题形象墙的宽度、宣誓台的大小均忽略不计） 9．（2026·陕西咸阳·二模）问题提出： (1)如图①，在中，，，点在的延长线上，，是上一点，连接，若，求的最小值； (2)问题解决：某晶圆封装工厂准备新修建一个晶圆封装车间，如图②所示，在矩形车间示意图中，米，米，为入口，为出口，为封装核心区域，半径为30米，圆心在上，从入口处，将原材料沿着传送带传送至上，在区域完成切割，贴装，电镀等加工后形成可使用的晶圆片，将最终产品沿传出，已知，段修建费用均为600元/米，段为300元/米，考虑到成本费用，求修建，，三段总费用的最小值，并求出总费用最小时的长． 10．（2026·陕西西安·二模）探究圆与直角三角形结合的几何性质与动态路径的关系，并完成以下问题 (1)【问题提出】如图1，四边形内接于，，则的度数为______°； (2)【问题探究】如图2，在四边形中，，连接，，过点C作交于点E，，，求的长； (3)【问题解决】如图3，是某公园的一个三角形水池，现要对该水池进行重新规划与扩建，在边上修一个入水口，再修一个经过点、、的圆形水池，为的直径，沿、和架设木桥，在区域内种植荷花，已知，，，设的长为，区域的面积为．（木桥的宽度及入水口的大小均忽略不计） ①求与之间的函数关系式； ②由于预算有限，要求区域的面积尽可能的小，求种植荷花面积的最小值（即面积的最小值）． 11．（2026·陕西延安·二模）根据要求，解决问题： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，，交的延长线于点，则的长为_____； 【问题探究】 (2)如图2，在中，，，点、分别在边、上，，以为斜边在内部作等腰直角，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 (3)秦岭被尊为华夏文明的龙脉，近年来，陕西省对秦岭生态环境保护高度关注．为了宣传秦岭生态文化，某市拟开发出如图3所示的菱形区域，打造生态旅游度假区，为一条观光车道，的中点是一个出入口，规划部门计划在、上分别取点、，沿、铺设观景栈道，根据规划要求，米，，．为了节约铺设成本，要求观景栈道的总长度尽可能小，请你求出的最小值． 12．（2026·陕西西安·二模）解决下列问题： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，，则______． 【问题探究】 (2)如图2，与，直角顶点重合于点，点在上，且，连接，若，，求长． 【问题解决】 (3)如图3，某公园内有两条道路和，夹角，米，米．点处有一棵百年老树，为保护古树，公园的工作人员准备在大树周围40米的区域围一个保护区，现计划在保护区边缘上任找一点（位置满足米）建一个小商店，还计划在和之间的连线上设置一个休息点，使得，同时要在道路和上分别选择两个服务点和，用于修建凉亭．为了用最短的围栏将、、三点围成一个三角形绿化区，需要确定和的位置，使得的周长最小．请问这个最小的周长是多少？ 13．（2026·陕西西安·二模）探索四边形与矩形中的角度及边长关系 问题提出： (1)如图①，在四边形中，，，，，求四边形的对角线的长； 问题解决： (2)如图②，矩形为某公园内的一片空地，现计划将此区域修建为园林景观，其中将区域建设为池塘，四边形区域放置假山，其余区域种植花草树木．已知，，G为的中点，，．根据设计要求，需将假山区修建的尽可能小．试问四边形面积是否存在最小值？若存在，求出四边形PEGF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 14．（2026·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图①，，面积为6，则的面积为________； （2）如图②，，点为平面内一点，且满足面积为6，求周长的最小值； 问题解决 （3）某新区计划在一块空地上修建一个四边形公园，如图③所示，按规划要求千米，千米，且四边形面积最大．在规划的面积最大的公园内修建一个凉亭，沿着、修建观光路线，两条观光路线恰好平分四边形的面积．若修建观光路线每千米投资20万元，试问观光路线修建费用是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 几何动点问题 考点06 1．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，，，点是上的动点（可与端点重合），点是上的动点，连接，当最小时，的长为_____． 2．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在矩形中，，，点、是对角线上的动点，点在点的下方，，连接、，当最小时，的长为________． 3．（2026·陕西西安·二模）如图，在中，，D、E分别为上两动点，且，连接，则的最小值为______． 4．（2026·陕西榆林·二模）如图，在梯形中，，连接，点M是边上一动点（不与端点重合），点E、F分别在边上，连接，若，则的值为___________． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，在矩形中，，，是边的中点，以为边在右侧作等边，为矩形内部一动点，连接、、，则的最小值是________． 6．（2026·陕西铜川·二模）如图，已知正方形的边长为，是边上一动点，连接，以为直角顶点作等腰，连接．当取得最小值时，的周长为_____． 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，在矩形中，，点是矩形内的动点，连接、、，且与始终互余，则的最小值为_____． 8．（2026·陕西渭南·二模）如图，点、分别为正方形的边、上的动点，点为延长线上的动点，连接、、，，，若，则的最小值为______． 9．（2026·陕西商洛·二模）如图，在菱形中，，，M为对角线上一动点，N为菱形外一点，且，，连接，，则的最小值为_____________． 10．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，，，为上一动点，为上一动点，且，连接，，，是的中点，则点从点到点的运动过程中，点运动轨迹的长为________． 11．（2026·陕西西安·二模）如图，已知菱形的边长为，，点、分别是、上的两个动点且满足，连接，过点作，点为的中点，则的最小值是______． 12．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，，，点在上，，点是上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小长度为______． 13．（2026·陕西西安·二模）如图，点是边长为4的正方形的对称中心，点、分别是边、上的动点，且，连接、、，点是的中点，连接、，当最大时，的面积为_________． 14．（2026·陕西咸阳·二模）按要求解答问题： 问题探究 (1)如图①，点是平面内的动点，且点在线段的垂直平分线上，点在线段上，，连接、、，则的最小值为_________； (2)如图②，在中，，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，点在上，，连接，求的度数； 问题解决 (3)习近平总书记强调，今年是“十五五”开局之年，青年建功正当其时．某社区利用一块空地打造“青年之家”自习室，并在附近拟建一个大致示意图如图③所示的五边形广场，旨在为青年提供学习、工作后的放松场所．其中，，，，．点是平面内的动点，点是边上的动点，连接，沿种植一条绿化带，根据规划要求，和始终满足且．点是广场内一点，点到、的距离相等，点在边上，连接、，．现要沿和修建遮阳林荫通廊，为节约成本，要求林荫通廊的总长尽可能的短．请你帮助规划人员求当的值最小时，的长．（绿化带、通廊的宽度忽略不计） 15．（2026·陕西宝鸡·二模）结合图形解答下列各题： (1)【问题提出】如图1，在中，，，点D是边上的动点，连接，则的最小值为______； (2)如图2，在四边形中，，与互补，延长CD至点E，使得，连接，求证：平分； (3)【问题解决】如图3，是某农场的一块育苗基地示意图（周围空地可利用），的中点E处有一口灌溉水井，射线是一条小路，现要将育苗基地进行扩建，在上找一点D，沿修一条小路，并在小路右侧修一小路，使得，且，与关于所在直线对称，四边形是水培植物区，再沿修一条水渠，为节约成本，要求水渠的长度尽可能的短．已知m，，平分，求水渠的最短长度．（灌溉水井的大小、小路和水渠的宽度均忽略不计） 16．（2026·陕西西安·二模）探究解题 (1)如图1，在正方形中，E、F分别为上两动点，且满足，连接交于点P． ①的度数为______；②连接，若，则的最小值为______； (2)如图2，在长方形中，，，E为中点，Q为上一动点，F为上一点，P为上一点，且满足，，连接，求的最小值，及此时的面积． 17．（2026·陕西榆林·二模）问题探究 (1)如图①，在中，点E、F分别是、的中点，连接、，点G是上一点，连接、，若，则_________； (2)如图②，在四边形中，连接，，过点A分别作于点E，于点F，若，分别求与的度数； 问题解决 (3)为践行山水林田湖草沙一体化保护和系统治理的生态文明理念，某地拟对一片区域制定并逐步实施绿化规划．如图③，和是两条公路，内部是一大片荒地，点C、D分别在、上，是一条青砖路，，．现拟规划一个五边形区域，并对该区域绿化，点E、F是右上方的动点．连接、，将、建成碎石路，根据规划要求，．点P是上一点，现要在以点E、F、P为顶点的三角形区域内种植常绿乔木，其余地方开垦成农田或种植草坪．为提升绿化效果，要求常绿乔木的种植面积尽可能的大．请你求出种植常绿乔木面积的最大值（即求以点E、F、P为顶点的三角形面积的最大值）．（公路、青砖路、碎石路宽度都忽略不计） 18．（2026·陕西榆林·二模）【问题探究】 (1)如图1，是的弦，半径于点D，且，，则的长是______； (2)如图2，已知，M、N分别为射线上的动点，P为内一点，连接，且为定长．当的周长取得最小值时，求的度数； 【问题解决】 (3)如图3，某地有一片圆形湿地，其中的半径为，现想在这片湿地上修建一个形如四边形的“探秘湿地”综合实践活动区，四边形内接于，且，计划沿修建绿色长廊，圆心O为教育中心，教育中心O到绿色长廊的距离为．按照设计要求，现要分别在线段上确定点M、N（不与端点重合），沿的一周（）修建步道．为节约成本，需要三条步道的长度和（的周长）尽可能的短．请问这三条步道的长度和是否存在最小值？若存在，请求出这三条步道长度和的最小值；若不存在，请说明理由．（教育中心的大小、绿色长廊及步道的宽度均忽略不计） 19．（2026·陕西汉中·二模）【问题提出】 (1)如图①，线段，平面内有一动点C，且，则的最小值为 ； (2)如图②，在中，，，在上取一点D，使得，连接，求证：； (3)【问题解决】如图③，矩形是某次海域监测中的探测基准区，，，对角线为海底固定探测主缆线路，以D为圆心、为半径的是水下探测头的旋转作业范围，E是上一点，表示探测头的实时工作位置．在点A，E之间设置一条信号传输缆线，并计划以为直角边设置信号防护架，其中，．为减少海域监测对水下生物活动的影响，需使点F与主缆线路围成的的面积尽可能小，求面积的最小值． 20．（2026·陕西榆林·二模）【问题探究】 (1)如图1，在梯形中， ，连接，则 ；（填“”“=”或“<”） (2)如图2，已知的半径为2，点是上一动点，点是外一定点，连接，取的中点，当点在上运动一圈时，求点运动的路径长； 小明同学进行了探究，他连接，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成求解过程． 【问题解决】 (3)某农业观光园的平面规划示意图如图3所示，在四边形中， ，，，，点在边上，且，计划在四边形内修建一口水井，并沿修建三条笔直的灌溉水渠，且满足，在的中点处规划一座有机蔬菜餐厅，观光园的入口设置在边上，出口设置在边上，并沿规划观光小路，在区域种植某种有机蔬菜，为了合理购买蔬菜幼苗的数量，需要知道当取得最小值时，的面积，请你帮助规划人员计算出当取得最小值时，的面积．（水井、餐厅、出入口的大小以及水渠和小路的宽度均忽略不计） 21．（2026·陕西汉中·二模）【问题探究】 (1)如图1，P、Q是正方形的对角线上的点，且，连接、，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在梯形中，，为边上一点，且，，是对角线上的两个动点，且，连接、，求的最小值； 【问题解决】 (3)如图3，某地计划在一片空地上修建一个形如平行四边形的森林生态公园，沿其对角线BD修建一条景观水渠，其中，，．现在计划在水渠上找两个点 ，沿修建笔直的健身步道，沿修建笔直的塑胶跑道，已知修建健身步道的费用是20万元，修建塑胶跑道的费用是40万元．请你计算出修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用．（水渠、健身步道及塑胶跑道的宽度均忽略不计） 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 图形变换与几何动点问题 6大考点概览 考点01轴对称与折叠问题 考点02旋转问题 考点03中心对称问题 考点04 立体图形与几何体的三视图 考点05几何最值问题 考点06几何动点问题 轴对称与折叠问题 考点01 1．（2026·陕西榆林·二模）下列图形中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 2．（2026·陕西西安·二模）下列图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合的图形是轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：如下图所示，该图形沿图中虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，，该图形是轴对称图形，故C选项符合题意； D选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形， 故D选项不符合题意． 3．（2026·陕西安康·二模）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点D折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若，则正方形纸片的边长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，则有，由题意得：，由折叠的性质可知：，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则有，由题意得：， 由折叠的性质可知：， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴正方形的边长为． 旋转问题 考点02 1．（2026·陕西榆林·二模）将如图所示的图形绕其中心点旋转一定角度后会与原图形重合，则这个角度可以是_____．（写出一个符合题意的角度即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：将如图所示的图形绕其中心点旋转一定角度后会与原图形重合，则这个角度可以是． 2．（2026·陕西渭南·二模）如图，赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，将它绕着中心点旋转()后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是______．(写出一个符合题意的数即可) 【答案】90(答案不唯一) 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：根据题意可知：旋转的最小角度是：， ∴的值可以是90或180或270． 3．（2026·陕西铜川·二模）如图，将绕点旋转至的位置，点在边上．若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得，，，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算出即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴， ∴． 4．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，点是正六边形的中心，连接、、，将该图形绕着点旋转后，能够与原来图形完全重合，则的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】120（或240或360） 【分析】观察图形可知，由正六边形的性质求出，该图形绕点O旋转的整数倍后能够与原来图形完全重合，找出最小旋转角即可求解． 【详解】解：连接、、， 点是正六边形的中心， ， ， 同理可得：、， 该图形绕点O旋转的整数倍后能够与原来图形完全重合， ， 的值可以是120或240或360． 中心对称问题 考点03 1．（2026·陕西咸阳·二模）目前我国机器人产业加速崛起．下列机器人图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形）和中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，该选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意． 2．（2026·陕西商洛·二模）汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 选项B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 选项C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 选项D是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 3．（2026·陕西榆林·二模）前沿科技日新月异，创新成果竞相涌现．如图所示的四个科创标志图中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐项判断即可． 【详解】解： A选项不是中心对称图形； B选项不是中心对称图形； C选项是中心对称图形； D选项不是中心对称图形． 4．（2026·陕西宝鸡·二模）某校为落实“五育并举”促进学生全面发展，开展了多项社团活动．下列社团标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形，该选项不符合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，该选项符合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意． 5．（2026·陕西西安·二模）七巧板源于古人对测量工具“矩”的认识以及先秦古籍《周髀算经》勾股定理，后在民间演变为拼图板玩具．下列由七巧板中部分板拼成的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意； B、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意． 6．（2026·陕西铜川·二模）汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于选项A：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 对于选项B：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项C：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 7．（2026·陕西商洛·二模）下列符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 由轴对称图形和中心对称图形的定义可知，四个选项中只有B选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形． 8．（2026·陕西榆林·二模）下列花瓣图案中，既是中心对称图形、又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 9．（2026·陕西西安·二模）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】A是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意． 故选D． 立体图形与几何体的三视图 考点04 1．（2026·陕西渭南·二模）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“面动成体”的原理，分析平面图形各部分旋转后形成的立体图形即可． 【详解】解：观察平面图形可知，该图形是一个三角形，且有一条边在旋转轴l上， ∵ 三角形绕其一边所在直线旋转一周，上半部分边旋转形成圆锥侧面，下半部分边旋转形成圆锥侧面， ∴ 得到的立体图形是两个底面重合的圆锥． 2．（2026·陕西榆林·二模）如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．五棱柱 【答案】D 【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：由题意知， 上下底面是五边形， 故该几何体是五棱柱． 3．（2026·陕西渭南·二模）科技创新赋能强国建设，中国正以创新姿态领跑时代．已知某机器人的零部件呈圆柱形，如图，则该零部件的截面形状不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用平面截取圆柱体，不同截取方式得到不同截面，求解即可； 【详解】解：当垂直于圆柱底面沿轴线方向截取，圆柱直径与高相等时可得正方形截面， 故A是可能的； 平行于圆柱底面截取，可得到圆形截面，故B是可能的； 当垂直于圆柱底面沿轴线方向截取，直径与高不相等时可得长方形截面，故C是可能的，无论怎么用平面截取圆柱，都不可能得到三角形截面，因此截面不可能是三角形； 4．（2026·陕西汉中·二模）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据如图所示的平面图形绕直线l旋转一周得出两个圆锥的组合体，即可作答． 【详解】解：将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是 5．（2026·陕西渭南·二模）如图是一个倒放的“T”字模型，它的俯视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是几何体的三视图，关键是掌握俯视图的定义和观察方法．俯视图是从物体正上方向下观察得到的视图，要注意看得见的棱用实线表示，被遮挡的棱不画。根据这个倒放的“T”字模型的结构特点，从正上方观察时，竖直部分会被水平部分完全遮挡，只能看到水平部分的顶部轮廓，也就是三个并排的矩形，据此可以判断出对应的选项． 【详解】解：这个倒放的“T”字模型，从正面看，是一个“T”字形的立体结构， 从正上方往下看时，竖直的那一段会被水平的部分完全挡住，只能看到三个并排的矩形（也就是水平部分的顶部轮廓）， 对应选项，选项是主视图（从正面看的形状），选项、的形状和观察方向都不符合俯视图的要求． 6．（2026·陕西延安·二模）中国鼓文化是以鼓为载体，融合音乐、舞蹈等的传统艺术形式，如图是一种鼓的示意图，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据左视图的定义，从物体的左面观察得到的平面图形即为左视图，据此判断其左视图的形状． 【详解】解：该几何体是一个竖直放置的鼓，其上下底面是圆，侧面是向外凸出的曲面， 从左面看，其上下边缘投影为水平线段，左右边缘投影为向外凸出的曲线， 其左视图为选项D所示的图形． 7．（2026·陕西汉中·二模）下列几何体的俯视图是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图形可知，俯视图是三角形的是D选项的三棱柱． 8．（2026·陕西西安·二模）鲁班锁是中国传统的智力玩具、如图，这是鲁班锁一个组件的示意图，则该组件的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据从左边看得到的平面图形是左视图，注意看不见的轮廓线用虚线，可得答案． 【详解】解：从左面看，是一个正方形， 正方形的中间有一条横向的虚线，如图所示： ． 几何最值问题 考点05 1．（2026·陕西西安·二模）如图，在菱形中，点E为边上一点，将沿着翻折得到．点G为中点，连接，过点F作于点H．若，，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】作于点P，取线段的中点K，连接，作，再根据菱形的性质可得 ，然后根据折叠的性质可得，接下来说明，可得，即可得当点H，F，K共线时，的值最小值为线段的长度，再结合正切的定义，由勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，过点D作于点P，取线段的中点K，连接，过点K作于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点H，F，K共线时，的值最小，即为线段的长度． ∵， ∴设，则， 由勾股定理，得， 解得， ∴， 即的最小值为． 2．（2026·陕西西安·二模）如图，在四边形中，，，，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】连接，作于点，过点作的平行线，延长交直线于点，延长到点，使，则点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接，求得的最小值为的长，作交延长线于点，据此计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， 作于点，过点作的平行线，延长交直线于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 延长到点，使，则点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接，则， ∴的最小值为， 作交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 3．（2026·陕西西安·二模）如图，已知，，，，则线段长度最大值为_____ 【答案】/ 【分析】通过旋转构造全等三角形，将分散的线段转化为已知长度的线段，再利用勾股定理求出定长线段，最后结合三角形三边关系确定线段的最大值． 【详解】解：∵， 将绕点逆时针旋转，使与重合，得到， 根据旋转的性质可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理可得：， 在中，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得， 当三点共线，且点位于两点之间时，取得最大值，此时， ∵， ∴的最大值为． 4．（2026·陕西渭南·二模）【问题提出】 (1)如图1，已知线段，点是平面内任意一点，连接、，若，则长度的最大值为________； 【问题探究】 (2)如图2，在中，，、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，是某垂钓园的圆形鱼池，是鱼池上架的一座木桥，为了满足更多钓鱼爱好者的需求，计划在鱼池上方再架三座木桥、、，点、、均在上，要求木桥尽可能的长．已知米，的半径为120米，点、分别是、的中点，求木桥长度的最大值．（木桥的宽度均忽略不计） 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)木桥长度的最大值为米． 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，构造出辅助线，找到线段之间的关系． （1）根据三角形三边关系可得，，当且仅当共线时等号成立，即可求解； （2）由题意可得，是的中位线，，由为的中点可得，再根据，即可求证； （3）连接，取的中点，连接，取的中点，连接，根据三角形中位线的性质可得，从而确定当点在的延长线上时，最大，最大为，取的中点，连接，则是的中位线，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得，，当且仅当共线时等号成立， 则，即长度的最大值为； （2）解：∵、分别是、的中点，点是的中点 ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，取的中点，连接，取的中点，连接，如图： 由题意可得，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∵的半径为米， ∴米， ∴米，米， ∵ ∴当点在的延长线上时，最大，最大为， 取的中点，连接，则是的中位线， ∴，米， 在中，米，米， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵米，点是的中点，点是的中点， ∴米， 在中，米， ∴最大为米 答：木桥长度的最大值为米． 5．（2026·陕西宝鸡·二模）按要求解答问题： 【思路梳理】 (1)如图1，在等边中，，点在边上，且，连接． ①的面积为________； ②将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的长． 【衍生拓展】 (2)如图2，某现代化生态种植基地内有一块等腰直角三角形的核心种植区，，，是分隔带，米．为了减轻灌溉压力，该基地计划在核心区外围建设一个大型圆形蓄水池，其圆心位于线段的垂直平分线上，且点到点的距离与点到点的距离相等，蓄水池的半径为米，动点、在上（且、、三点按顺时针排列），连接，劣弧所对的圆周角为，连接、，分别在、、的中点、、处修建取水点，根据要求以、、为顶点的三角形（即）的周长要尽可能的大，请你帮助该基地求出周长的最大值．（分隔带的宽度以及取水点的大小均忽略不计） 【答案】(1)①；② (2)米 【分析】（）①过点作于，利用等边三角形的性质和勾股定理求出，再根据三角形的面积公式计算即可求解；②证明即可求解； （）当时，连接，可得米，即得四边形是正方形，进而可证经过圆心，此时最长，再利用中位线的性质得到米，米，米，最后求出的周长即可求解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②由旋转可得，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，当时，连接， ∵，，米， ∴米， ∵点到点的距离与点到点的距离相等， ∴米， 又∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴米， ∴四边形是正方形， ∴， ∵劣弧所对的圆周角为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点及三点共线， ∴经过圆心，此时最长， ∴米， ∵、、分别是、、的中点， ∴米，米， ∵，米， ∴米， ∵， ∴四边形是梯形， ∴米，此时最长， ∴周长的最大值米． 6．（2026·陕西西安·二模）探究三角形的面积、外接圆性质及几何最值问题，并完成以下问题 【思路梳理】 (1)如图1，是的角平分线，若，则的值为________； (2)如图2，内接于，，连接、，已知的半径为4，求的周长； 【问题解决】 (3)如图3，某药材种植基地计划在基地内新增一个形状为四边形的药田用来种植桔梗和黄芪，其中，米，连接，沿挖一条隔离沟将其分为两个区域，在区域种植桔梗，区域种植黄芪，，过点作交边于点，沿修一条灌溉水渠，根据市场的需求，现要使种植桔梗区域（即）的面积尽可能的小，请你帮助该基地求出种植桔梗区域面积的最小值．（隔离沟、水渠的宽度均忽略不计） 【答案】(1)2 (2) (3)种植桔梗区域面积的最小值为平方米 【分析】（1）作于点，于点，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果； （2）由圆周角定理可得，再结合勾股定理计算即可得出结果； （3）证明四边形是平行四边形，得出米，再证明是的平分线，过点作于点，于点，在上截取，使得，连接，则，证明得出，，求出米，米，由得出要使的面积最小，则需使的长最小，作的外接圆，过点作于点，连接、、，设的半径为米，则米，米，米，当最小时，有最小值，求出的长为米，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图：作于点，于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：内接于，， ． 的半径为4， ， ． 的周长为． （3）解：，， 四边形是平行四边形， 米， ， ， ， ， 是的平分线， 如图3，过点作于点，于点，在上截取，使得，连接， 是的平分线， ， ， ，， ，，， ， ， ， 米，，， 米，米， ， 要使的面积最小，则需使的长最小， 如图3，作的外接圆，过点作于点，连接、、， ， ， 设的半径为米，则米， 米，米， 当最小时，有最小值， ， ， ， 的最小值为80，此时的长为米， 面积的最小值为（平方米）， 种植桔梗区域面积的最小值为平方米． 7．（2026·陕西铜川·二模）按要求解答问题： 【问题提出】 (1)如图①，在中，，，分别是边，的中点．若，，则的长为_____； (2)如图②，正方形的边长为，，分别是边，上一点，且，连接，交于点，连接，求的最小值； 【问题解决】 (3)如图③是一个以为圆心的圆形警戒海域的示意图，半径为海里．海域边界上设有两个固定航标，，海里．一艘巡逻艇在警戒海域边界上巡航（不与重合），将的中点设为辅助定位点，的中点设为临时指挥点．为确保指挥通信距离在安全范围内，求巡航过程中临时指挥点到航标的距离的最大值． 【答案】(1)6 (2) (3)海里 【分析】（1）先利用中位线的性质求出，再使用勾股定理求出； （2）容易证明，则，进而得到，因此点在以为直径的上运动，当、、三点共线时，取得最小值，用勾股定理求出即可； （3）连接、、，取的中点，连接、，取的中点，连接、，作于点，由中位线的性质可得，，，因此点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，当、、三点依次共线时，取得最大值．使用勾股定理的逆定理容易判断，进而可证明，，计算得，，使用勾股定理计算出，因此的最大值为． 【详解】（1）解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，； （2）解：如图，取的中点，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上运动， ∴， 在中，， ∵， ∴的最小值为； （3）解：如图，连接、、，取的中点，连接、，取的中点，连接、，作于点， ∵、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，是的中位线， ∴，， ∴点在以点为圆心，1为半径的圆上运动， ∵， ∴当、、三点依次共线时，取得最大值， 在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 在中，， ∴的最大值为． 答：临时指挥点到航标的距离的最大值为海里． 8．（2026·陕西渭南·二模）研究以下问题： (1)【课本再现】如图1，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间．你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？请你在图中画出储物点的位置．（保留画图痕迹，不写画法） (2)【尝试探究】如图2，在中，，，点在上，，过点作交于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，点在的延长线上，且，连接，求的长； (3)【拓展应用】今年是“十五五”开局之年，为持续性做好爱国主义教育，某校规划了爱国主义教育展厅，规划示意图如图3所示，直线、是校园内两条小路，，（点在上，点、在上）区域为红色文化区，点处为宣誓台，米，米，．校方计划在、上分别取点、，沿、修建主题形象墙，根据规划要求，，请你求出的最大值．（小路和主题形象墙的宽度、宣誓台的大小均忽略不计） 【答案】(1)见解析 (2) (3)米 【分析】（1）根据两点之间线段最短即可求解； （2）证明四边形为平行四边形，求出，得到，求出，再根据勾股定理进行计算即可； （3）过点作于点，过点作于点，作点关于的对称点，连接、、，交所在直线于点、交直线于点，四边形和四边形均为矩形，证明，即可得到四边形是平行四边形，再证明，、、在一条直线上时，取得最大值，此时点、分别在点、的位置，即可得到答案． 【详解】（1）解：点的位置如图1所示． （2）解：四边形为平行四边形， ，． 又， ，四边形为平行四边形． ， ． ， ， ，， ， ，，， ， ， ． （3）解：过点作于点，过点作于点，作点关于的对称点，连接、、，交所在直线于点、交直线于点，如图3． 故四边形和四边形均为矩形， ，，． ，， 米， 米． ， ， ． ，， ， 米， 米． 点与点关于所在直线对称， ，米，米． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 米， 米． ， 当、、在一条直线上时，取得最大值，此时点、分别在点、的位置，如图3，即的最大值为米． 9．（2026·陕西咸阳·二模）问题提出： (1)如图①，在中，，，点在的延长线上，，是上一点，连接，若，求的最小值； (2)问题解决：某晶圆封装工厂准备新修建一个晶圆封装车间，如图②所示，在矩形车间示意图中，米，米，为入口，为出口，为封装核心区域，半径为30米，圆心在上，从入口处，将原材料沿着传送带传送至上，在区域完成切割，贴装，电镀等加工后形成可使用的晶圆片，将最终产品沿传出，已知，段修建费用均为600元/米，段为300元/米，考虑到成本费用，求修建，，三段总费用的最小值，并求出总费用最小时的长． 【答案】(1) (2)修建，，三段总费用的最小值为元，此时的长为100米 【分析】（1）过点H作于点G，过点E作于点F，证明为等腰直角三角形，得出，说明，根据两点之间线段最短，得出当、、G三点共线时，最小，即最小，根据垂线段最短，得出当点G与点F重合时，最小，且最小值为的长度，解直角三角形求出结果即可； （2）以点C为顶点，为角的一条边，在下方作，过点G作于点H，延长，截取，连接、、、、，延长，交于点K，过点作于点M，交于点N，先证明，得出，根据，得出，从而得出最小时，最小，即最小，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出的最小值为的长，解直角三角形求出最小值即可． 【详解】（1）解：过点H作于点G，过点E作于点F，如图所示： 则， ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、、G三点共线时，最小，即最小， ∵垂线段最短， ∴当点G与点F重合时，最小，且最小值为的长度， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）解：以点C为顶点，为角的一条边，在下方作，过点G作于点H，延长，截取，连接、、、、，延长，交于点K，过点作于点M，交于点N，如图所示： 则， ∵，段修建费用均为600元/米，段为300元/米， ∴的长度最小时，修建，，三段总费用的最小， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，米，米， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∵米， ∴， ∴当最小时，最小， ∵， ∴， ∴当最小时，最小， ∴最小时，最小，即最小， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴的最小值为的长， ∵，， ∴（米），， ∴（米）， ∵，， ∴（米）， ∴的最小值为225米， ∴的最小值为（米）， 即的最小值为165米， ∴修建，，三段总费用的最小值为（元）， ∵交于点N， ∴此时点O在点N处， ∵，， ∴， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 即总费用最小时的长为100米． 10．（2026·陕西西安·二模）探究圆与直角三角形结合的几何性质与动态路径的关系，并完成以下问题 (1)【问题提出】如图1，四边形内接于，，则的度数为______°； (2)【问题探究】如图2，在四边形中，，连接，，过点C作交于点E，，，求的长； (3)【问题解决】如图3，是某公园的一个三角形水池，现要对该水池进行重新规划与扩建，在边上修一个入水口，再修一个经过点、、的圆形水池，为的直径，沿、和架设木桥，在区域内种植荷花，已知，，，设的长为，区域的面积为．（木桥的宽度及入水口的大小均忽略不计） ①求与之间的函数关系式； ②由于预算有限，要求区域的面积尽可能的小，求种植荷花面积的最小值（即面积的最小值）． 【答案】(1) (2) (3)① ② 【分析】（1）利用圆的内接四边形对角互补即可求出结果； （3）根据四边形内角和定理可得，根据同角的余角相等，可证，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出的长度； （3）①利用勾股定理可以求出，根据的长为，可得，根据圆内接四边形的性质可证，根据相似三角形对应边成比例可得，利用勾股定理可得，根据圆周角定理可证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得； ②利用二次函数的性质求出的最小值即可． 【详解】（1）解：四边形内接于， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 在四边形中，， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）①解：如下图所示，连接， ，，， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， 又， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：整理， 可得：， ， 有最小值， 当时，的最小值为． 11．（2026·陕西延安·二模）根据要求，解决问题： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，，交的延长线于点，则的长为_____； 【问题探究】 (2)如图2，在中，，，点、分别在边、上，，以为斜边在内部作等腰直角，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 (3)秦岭被尊为华夏文明的龙脉，近年来，陕西省对秦岭生态环境保护高度关注．为了宣传秦岭生态文化，某市拟开发出如图3所示的菱形区域，打造生态旅游度假区，为一条观光车道，的中点是一个出入口，规划部门计划在、上分别取点、，沿、铺设观景栈道，根据规划要求，米，，．为了节约铺设成本，要求观景栈道的总长度尽可能小，请你求出的最小值． 【答案】(1) (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求出，再解直角三角形得出，，求出，最后由勾股定理计算即可得出结果； （2）由等腰直角三角形的性质可得，，结合题意得出，再由等腰直角三角形的性质可得，从而得出，进而可得，即，即可得出结果； （3）以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，表示出，令，该式可看作平面直角坐标系中的点到点和到点的距离之和，结合轴对称进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵以为斜边在内部作等腰直角， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形为平行四边形； （3）解：如图，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，过点作轴交于点，过点作轴交于点， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴，，， 则， ∵点是的中点， ∴； 设，则，， ∴， ∴，， ∴， 即； ∴ ， 令， 该式可看作平面直角坐标系中的点到点和到点的距离之和； 如图： 作点关于轴的对称点， 则有，当且仅当、、三点共线时取到最小值， 最小值为， ∴的最小值为， 即的最小值为． 12．（2026·陕西西安·二模）解决下列问题： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，，则______． 【问题探究】 (2)如图2，与，直角顶点重合于点，点在上，且，连接，若，，求长． 【问题解决】 (3)如图3，某公园内有两条道路和，夹角，米，米．点处有一棵百年老树，为保护古树，公园的工作人员准备在大树周围40米的区域围一个保护区，现计划在保护区边缘上任找一点（位置满足米）建一个小商店，还计划在和之间的连线上设置一个休息点，使得，同时要在道路和上分别选择两个服务点和，用于修建凉亭．为了用最短的围栏将、、三点围成一个三角形绿化区，需要确定和的位置，使得的周长最小．请问这个最小的周长是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形性质得出，进而求出结论； （2）先求出，，再证明，得出，进而求出结论； （3）连接，在上取点O，使，连接，证明，得出，分别作点P关于的对称点，连接，交于点，此时的周长最小，连接，延长交于点K，证明得出，当点P在与交点处时，最短，即此时最短，作，垂足分别为，证明，再求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连接，在上取点O，使，连接， ， ， ， ， ， ， ∴点P的运动轨迹为以点O为圆心，10米为半径的圆， 分别作点P关于的对称点，交于点E，交于点F，连接，交于点， 此时的周长， 即此时的周长最小， 由作图知，点为中点，点为中点， 是的中位线， ， 连接，延长交于点K， ， ∴点四点共圆， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ∵点P的运动轨迹为以点O为圆心，10米为半径的圆， ∴当点P在与交点处时，最短，即此时最短，的周长最小． 作，垂足分别为，如下图， ， ， ， ， 在中，，米， ， 米， ， ， ， 在中，， ， ， ， 的周长最小值为． 13．（2026·陕西西安·二模）探索四边形与矩形中的角度及边长关系 问题提出： (1)如图①，在四边形中，，，，，求四边形的对角线的长； 问题解决： (2)如图②，矩形为某公园内的一片空地，现计划将此区域修建为园林景观，其中将区域建设为池塘，四边形区域放置假山，其余区域种植花草树木．已知，，G为的中点，，．根据设计要求，需将假山区修建的尽可能小．试问四边形面积是否存在最小值？若存在，求出四边形PEGF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积存在最小值，最小值为 【分析】（1）过点D作，由旋转的性质得到为等腰三角形，求出，再利用正弦的定义求解即可；（2）连接将绕点P逆时针旋转60°，得到，连接，证明为等边三角形，得出，作的外接圆O，过点O作，垂足为M，过点E作，垂足为N，连接、，得到，作的外接圆，过点G作，垂足为I，交圆于点K，过点P作，垂足为H，连接、，证明G、P、H、四点共线，求出的最小值即可得解； 【详解】（1）解： ， ， ， 如图①，将绕点D逆时针旋转120°得到， ，， 点A与点C对应，点B与点E对应， 则， B、C、E三点共线， ，， 为等腰三角形， ， 过点D作，垂足为F， ， ，， ， ， ； （2）解：存在． 如图②，连接将绕点P逆时针旋转60°，得到，连接， ，， 点E与点F对应，点G与点对应， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 作的外接圆O，过点O作，垂足为M，过点E作，垂足为N，连接、， 当N、M两点重合时有，此时， 此时， 作的外接圆，过点G作，垂足为I，交圆于点K，过点P作，垂足为H，连接、， ， 当G、P、H三点共线时有， 点G为的中点， ， ， 当P、H、三点共线时有， 此时，G、P、H、四点共线， ， 连接、， ， 易得， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， 四边形的面积存在最小值，最小值为． 14．（2026·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图①，，面积为6，则的面积为________； （2）如图②，，点为平面内一点，且满足面积为6，求周长的最小值； 问题解决 （3）某新区计划在一块空地上修建一个四边形公园，如图③所示，按规划要求千米，千米，且四边形面积最大．在规划的面积最大的公园内修建一个凉亭，沿着、修建观光路线，两条观光路线恰好平分四边形的面积．若修建观光路线每千米投资20万元，试问观光路线修建费用是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）；（3）存在，最小值为万元 【分析】（1）根据“同底等高的两个三角形的面积相等”即可求解； （2）过A作于D，作，作C关于a的对称点，连接，，，根据轴对称的性质和线段公理得出，则当、、三点共线时，最小，最小值为，即周长的最小值为，在中根据勾股定理求出，即可求解； （3）连接，作的外接圆O，连接，求出，结合，得出当最大时，最大，证明A、B、C、D四点共圆，则当时，最大，连接，，过O作，在上任取一点Q（不含端点），连接，，根据三角形中线的性质得出，，可求出，由（1）知：，进而得出，则当点Q在上（不含端点）时，、平分四边形的面积，延长交于，连接，，根据直径所对的圆周角是直角得出，则可证，根据垂径定理得出是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出，则，故当A、Q、三点共线，即Q和O重合时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴A、D到的距离相等， ∴和是同底（）等高的两个三角形， ∴； （2）过A作于D，作，作C关于a的对称点，连接，，， 则， ∴， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为， 又， ∴周长的最小值为， ∵面积为6，， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∴周长的最小值为； （3）连接，作的外接圆O，连接 ∵，， ∴，， ∵， ∴当最大时，最大， ∵， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴当时，最大， 如图，连接，，过O作，在上任取一点Q（不含端点），连接，， 由（1）知：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴当点Q在上（不含端点）时，、平分四边形的面积， 延长交于，连接，， ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴平分，即是的垂直平分线， ∴， ∴， 当A、Q、三点共线，即Q和O重合时，最小，最小值为， ∴的最小值为， ∴观光路线修建费用的最小值为（万元）． 【点睛】掌握“将军饮马”模型是解题的关键． 几何动点问题 考点06 1．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，，，点是上的动点（可与端点重合），点是上的动点，连接，当最小时，的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查轴对称的性质，含30°的直角三角形的性质，解题的关键为利用轴对称的性质将转化为一条线段． 作点关于的对称点，由于点到直线的距离垂线段最短，则过作交于，此时的值最小，且，重合，利用含30°的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点， 由于，则， 过作交于，交于，连接， 此时的值最小． 过点作，连接，， ∵点，点关于的对称， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，，三点共线， 由于过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，则与重合，即与重合，与重合， ∵在中，，， ∴， ∴． 2．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在矩形中，，，点、是对角线上的动点，点在点的下方，，连接、，当最小时，的长为________． 【答案】10 【分析】连接交于点，过点F作，过点A作，且与交于点G，连接，交于点，证明四边形是平行四边形，则，当G、、C三点共线时，有最小值，证明，则，进而求出是的中位线，则，根据勾股定理求出长，利用求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点F作，过点A作，且与交于点G，连接，交于点， 、， 四边形是平行四边形， 、， ， 当G、、C三点共线时，有最小值，最小值为，此时点运动到点，即， 四边形是矩形， 、、、， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ， 即当最小时，的长为10． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（2026·陕西西安·二模）如图，在中，，D、E分别为上两动点，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】在上截取，连接，证明，得到，则，作点关于的对称点，连接，，当且仅当三点共线时，取得最小值，即为，进一步求出即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接， ∴，， ∴ 当且仅当三点共线时，取得最小值，即为， 在中， ， ∴， 即的最小值为． 4．（2026·陕西榆林·二模）如图，在梯形中，，连接，点M是边上一动点（不与端点重合），点E、F分别在边上，连接，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质，求出和的度数，进而得到和的度数，利用三角函数或等腰直角三角形斜边与直角边的关系，将和分别用和表示，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， 设与交于点，如图： ， ， 在中，， ，即， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， ， 是边上一点， ， ． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，在矩形中，，，是边的中点，以为边在右侧作等边，为矩形内部一动点，连接、、，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），连接、、，作于点，于点，交的延长线于点，延长交于点，可证明和均为等边三角形，当四点依次共线时，取得最小值，即为，再结合矩形和等边三角形的性质，运用勾股定理，求出的值，再证明四边形、为矩形，运用性质求出的值，最后运用勾股定理即可求解出的值． 【详解】如图，将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），连接、、，作于点，于点，交的延长线于点，延长交于点， ∴，，，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴当四点依次共线时，取得最小值，即为， ∵在矩形中， ∴，，， ∵是边的中点， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，． 6．（2026·陕西铜川·二模）如图，已知正方形的边长为，是边上一动点，连接，以为直角顶点作等腰，连接．当取得最小值时，的周长为_____． 【答案】/ 【分析】延长至点，使得，连接、、，，由正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得，则、、、四点共圆，因此，进而计算出．容易证明，则，因此，当、、三点共线时，取得最小值，用勾股定理计算出，并求出的周长即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接、、，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当、、三点共线时，取得最小值，此时的周长为． 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，在矩形中，，点是矩形内的动点，连接、、，且与始终互余，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】以中点为圆心，为半径作，连接，与交于点，则点在矩形内部的上运动，根据当点与点重合时最小求解即可. 【详解】解：∵与始终互余， ∴， 以中点为圆心，为半径作，连接，与交于点，则点在矩形内部的上运动， ∴， ∵在中，，又， ∴当点与点重合时最小为． 8．（2026·陕西渭南·二模）如图，点、分别为正方形的边、上的动点，点为延长线上的动点，连接、、，，，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由可得．作的外接圆，如图，过点作于点，连接、、，则，，设，则，，由可得，求解即可； 【详解】解：由正方形的性质可得，，， ， ， ， 由可得． 作的外接圆，如图，过点作于点， 连接、、， 则，，， 设，则，， ，由可得， ， ， ， 即的最小值为． 9．（2026·陕西商洛·二模）如图，在菱形中，，，M为对角线上一动点，N为菱形外一点，且，，连接，，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，图形对称的性质，最值问题．连接交于点O，连接．证明，证得；作点D关于所在直线的对称点E，过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，．通过证明四边形为矩形，在中，由勾股定理，求出相关线段长度，从而求出，的长，最后求得的长度，由，求得的最小值． 【详解】解：如图1，连接交于点O，连接． ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图2，作点D关于所在直线的对称点E，过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，，由对称性知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得． ∵， ∴当C，N，E三点共线时，取等号，此时的值最小， 故的最小值为． 10．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，，，为上一动点，为上一动点，且，连接，，，是的中点，则点从点到点的运动过程中，点运动轨迹的长为________． 【答案】 【分析】考虑点和点重合以及点和点重合这两种特殊情况，分析得点的运动轨迹为一条线段，连接、交于点，则得点的运动轨迹为的中位线，结合菱形的性质和解直角三角形计算即可 ． 【详解】解：当点和点重合时，，点和点重合，点为的中点，如下图所示， 当点和点重合时，，点和点重合，点为的中点，如下图所示， 因此点的运动轨迹为一条线段，如下图所示， 连接、交于点，如下图所示，则点的运动轨迹为的中位线， 四边形是菱形， ，、互相平分， ， 是等边三角形， ， ， ， 点运动轨迹的长为． 11．（2026·陕西西安·二模）如图，已知菱形的边长为，，点、分别是、上的两个动点且满足，连接，过点作，点为的中点，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】首先通过建立坐标系确定菱形各顶点及动点的坐标，推导得出直线恒过定点；再由，判断出点在以为直径的圆上，算出该圆的圆心和半径；最后求出中点到圆心的距离，进而得到的最小值为． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵四边形是菱形，边长为，， ∴， ∴， 延长交于点，过点作，垂足为， ∵四边形是菱形，边长为， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴点在以为直径的圆上（直径所对的圆周角为直角）， ∴圆心的坐标为，即， 半径， ∵是的中点，， ∴，即：， ∴， ∴的最小值半径（当三点共线且在与之间时取到）， ， 故：的最小值为． 12．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，，，点在上，，点是上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小长度为______． 【答案】 【分析】在上截取，连接、，过点作于点，过点作于点．则是等边三角形，证明，求得，推出，点与点重合时的长度最小，据此求解即可． 【详解】解：在上截取，连接、，过点作于点，过点作于点． 在中，由可得， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点与点重合时的长度最小， ∴， 在中，，， ∴， ∴的最小长度为． 13．（2026·陕西西安·二模）如图，点是边长为4的正方形的对称中心，点、分别是边、上的动点，且，连接、、，点是的中点，连接、，当最大时，的面积为_________． 【答案】4或8 【分析】如图1所示，过点O作于点M，于点N，连接，根据正方形的性质和已知条件可证明，则可得到，，；由三线合一定理可得，，证明四边形是正方形，得到；证明四点共圆，得到，则N、G、M三点共线，即点G在线段上运动；则可证明当点G与点M重合或点G与点N重合时，有最大值，据此讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，过点O作于点M，于点N，连接， ∵点是边长为4的正方形的对称中心， ∴，，，， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴； ∵， ∴四点共圆， ∴， ∴N、G、M三点共线， ∴点G在线段上运动； 如图1所示，设交于点T，则，，， ∴， ∵（点G不与点T重合时）， ∴越大，越大， ∴当点G与点M重合或点G与点N重合时，有最大值； 如图2所示，当点G与点M重合时，； 如图3所示，当点G与点N重合时， ∵， ∴， ∴， 综上所述，当最大时，的面积为4或8． 14．（2026·陕西咸阳·二模）按要求解答问题： 问题探究 (1)如图①，点是平面内的动点，且点在线段的垂直平分线上，点在线段上，，连接、、，则的最小值为_________； (2)如图②，在中，，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，点在上，，连接，求的度数； 问题解决 (3)习近平总书记强调，今年是“十五五”开局之年，青年建功正当其时．某社区利用一块空地打造“青年之家”自习室，并在附近拟建一个大致示意图如图③所示的五边形广场，旨在为青年提供学习、工作后的放松场所．其中，，，，．点是平面内的动点，点是边上的动点，连接，沿种植一条绿化带，根据规划要求，和始终满足且．点是广场内一点，点到、的距离相等，点在边上，连接、，．现要沿和修建遮阳林荫通廊，为节约成本，要求林荫通廊的总长尽可能的短．请你帮助规划人员求当的值最小时，的长．（绿化带、通廊的宽度忽略不计） 【答案】(1)3 (2) (3)当的值最小时，的长为 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，确定，得出当点D、A、C三点共线时，即点A在上时，取得最小值，即可求解； （2）根据题意得出，再由旋转的性质确定．  利用全等三角形的判定和性质即可求解； （3）连接，取的中点，连接，根据三角函数得出，确定是等边三角形，再由全等三角形的判定和性质得出，，确定垂直平分线段．过点作交于点，作点关于所在直线的对称点，连接，交于点，连接，则四边形是平行四边形，，利用相似三角形的判定和性质得出，然后结合图形求解即可 【详解】（1）解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， 当点D、A、C三点共线时，即点A在上时，取得最小值，即； （2）在中，． 由旋转的性质可知：．     ， ， 即， ， ，     ． （3）连接，取的中点，连接，如图． 在中，． ， 是等边三角形， ． ， ， ， ，即， 垂直平分线段．     ∵点到A、C的距离相等， ∴点在OP上． ， ，即， ∴．     过点作交于点，作点关于所在直线的对称点，连接，交于点，连接，则四边形是平行四边形，， ∴四边形为矩形， ， ， 即当点H、P、N在一条直线上时，的值最小，此时点在点的位置．     延长交于点， ∵点是的中点，，F为的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线，， ． ． ， ∴当的值最小时，的长为． 15．（2026·陕西宝鸡·二模）结合图形解答下列各题： (1)【问题提出】如图1，在中，，，点D是边上的动点，连接，则的最小值为______； (2)如图2，在四边形中，，与互补，延长CD至点E，使得，连接，求证：平分； (3)【问题解决】如图3，是某农场的一块育苗基地示意图（周围空地可利用），的中点E处有一口灌溉水井，射线是一条小路，现要将育苗基地进行扩建，在上找一点D，沿修一条小路，并在小路右侧修一小路，使得，且，与关于所在直线对称，四边形是水培植物区，再沿修一条水渠，为节约成本，要求水渠的长度尽可能的短．已知m，，平分，求水渠的最短长度．（灌溉水井的大小、小路和水渠的宽度均忽略不计） 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，根据垂线段最短可得当点与重合时，取得最小值，再解即可； （2）证明即可； （3）以点C为圆心，长为半径作圆弧，交于点G，连接，作点P关于的对称点Q，连接，可证明，则点Q在边上，由对称性可得，故当最小时，最小，过点C作于点H，过点E作于点N，则，那么，可得，由三线合一得到，则，故，当点重合时，最小，此时． 【详解】（1）解：过点作于点， ∴， ∴当点与重合时，取得最小值为3； （2）证明：∵与互补，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴平分； （3）解：以点C为圆心，长为半径作圆弧，交于点G，连接， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， 作点P关于的对称点Q，连接，而 ∴， ∴，即 在和中， ∴， ∴， ∴点Q在边上 ∵与关于所在直线对称， ∴点E、F关于所在直线对称， 又∵点P关于的对称点Q， ∴ ∴当最小时，最小， 过点C作于点H，过点E作于点N， 则， ∴ ∴ ∵的中点E ∴ ∴ ∵于点H， ∴， ∴ ∴， ∴当点重合时，最小，此时 ∴水渠的最短长度为． 16．（2026·陕西西安·二模）探究解题 (1)如图1，在正方形中，E、F分别为上两动点，且满足，连接交于点P． ①的度数为______；②连接，若，则的最小值为______； (2)如图2，在长方形中，，，E为中点，Q为上一动点，F为上一点，P为上一点，且满足，，连接，求的最小值，及此时的面积． 【答案】(1)①；② (2)最小值为， 【分析】（1）①证明，则，根据角之间的关系的，即可得到结论；②求出点在以为直径的圆上运动，取的中点，则，根据圆外一点到圆上的点的距离的最值求出答案即可； （2）连接，证明为等边三角形．延长交于G，证明，求出．在上取点O，且使得，连接，得到点P在以O为圆心，10为半径的圆上，连接，求出．则（当且仅当B、O、P三点共线时等号成立），求出的最小值为－10．过点P作于H，延长交于K，证明，求出，得到，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ②∵ ∴点在以为直径的圆上运动， 取的中点，则， ∴， ∴的最小值为 （2）解：如图2，连接， ∵，E为中点， ∴， ∵四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 延长交于G， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 在上取点O，且使得，连接， ∵， ∴． 又∵， ∴点P在以O为圆心，10为半径的圆上，连接， ∴． ∴（当且仅当B、O、P三点共线时等号成立）， ∴的最小值为． 如备用图，过点P作于H，延长交于K， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 17．（2026·陕西榆林·二模）问题探究 (1)如图①，在中，点E、F分别是、的中点，连接、，点G是上一点，连接、，若，则_________； (2)如图②，在四边形中，连接，，过点A分别作于点E，于点F，若，分别求与的度数； 问题解决 (3)为践行山水林田湖草沙一体化保护和系统治理的生态文明理念，某地拟对一片区域制定并逐步实施绿化规划．如图③，和是两条公路，内部是一大片荒地，点C、D分别在、上，是一条青砖路，，．现拟规划一个五边形区域，并对该区域绿化，点E、F是右上方的动点．连接、，将、建成碎石路，根据规划要求，．点P是上一点，现要在以点E、F、P为顶点的三角形区域内种植常绿乔木，其余地方开垦成农田或种植草坪．为提升绿化效果，要求常绿乔木的种植面积尽可能的大．请你求出种植常绿乔木面积的最大值（即求以点E、F、P为顶点的三角形面积的最大值）．（公路、青砖路、碎石路宽度都忽略不计） 【答案】(1)4 (2)， (3)种植常绿乔木面积的最大值为 【分析】（1）连接，，先证明四边形是平行四边形，最根据等底等高可得； （2）由等腰三角形三线合一的性质得到，，在根据，得到，接着根据四边形内角和，求出； （3）分别取、中点、，连接，，，过作交于，交于，交于，如图，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，再推导角度关系得到，得到，四边形是平行四边形，结合中位线得到，，根据，，求出，，，由和垂线段最短可得，当时，最大，则最大． 【详解】（1）解：连接，， ∵， ∴，， ∴根据等底等高可得， ∵点E、F分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）解：∵，过点A分别作于点E，于点F， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内角和， ∴； （3）解：分别取、中点、，连接，，，过作交于，交于，交于，如图， ∵，、中点、，， ∴，，是中位线， ∴，，，，， 设，则， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∵以点E、F、P为顶点的三角形面积的最大值，， ∴当最大时最大， 由和垂线段最短可得， ∴当时，最大，最大值，此时为最大值， 即种植常绿乔木面积的最大值（即求以点E、F、P为顶点的三角形面积的最大值）为． 18．（2026·陕西榆林·二模）【问题探究】 (1)如图1，是的弦，半径于点D，且，，则的长是______； (2)如图2，已知，M、N分别为射线上的动点，P为内一点，连接，且为定长．当的周长取得最小值时，求的度数； 【问题解决】 (3)如图3，某地有一片圆形湿地，其中的半径为，现想在这片湿地上修建一个形如四边形的“探秘湿地”综合实践活动区，四边形内接于，且，计划沿修建绿色长廊，圆心O为教育中心，教育中心O到绿色长廊的距离为．按照设计要求，现要分别在线段上确定点M、N（不与端点重合），沿的一周（）修建步道．为节约成本，需要三条步道的长度和（的周长）尽可能的短．请问这三条步道的长度和是否存在最小值？若存在，请求出这三条步道长度和的最小值；若不存在，请说明理由．（教育中心的大小、绿色长廊及步道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)24 (2) (3) 【分析】（1）连接，求出的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）分别作点P关于直线的对称点C，D，连接， 由轴对称的性质可得， ，则当C、M、N、D四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；可证明是等边三角形，得到，当的周长有最小值时，由轴对称的性质可得，据此可得答案； （3）过点O作于点H，由垂径定理和勾股定理可求出；分别作点D关于直线的对称点G，E，连接，同理可得当E、M、N、G四点共线时，的周长最短，最短为的长，过点C作于点F，则， ，由勾股定理得，则，即这三条步道长度和的最小值为． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，分别作点P关于直线的对称点C，D，连接， 由轴对称的性质可得， ， ∴的周长， ∴当C、M、N、D四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值； ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴当的周长有最小值时，， 由轴对称的性质可得， ∴； （3）解：如图所示，过点O作于点H， ∴， ∵，教育中心O到绿色长廊的距离为， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，分别作点D关于直线的对称点G，E，连接， 由轴对称的性质可得， ，， ∴ ， ∴， 同理可得当E、M、N、G四点共线时，的周长最短，最短为的长， 如图所示，过点C作于点F， ∴， ， ∴， ∴， ∴这三条步道长度和的最小值为． 19．（2026·陕西汉中·二模）【问题提出】 (1)如图①，线段，平面内有一动点C，且，则的最小值为 ； (2)如图②，在中，，，在上取一点D，使得，连接，求证：； (3)【问题解决】如图③，矩形是某次海域监测中的探测基准区，，，对角线为海底固定探测主缆线路，以D为圆心、为半径的是水下探测头的旋转作业范围，E是上一点，表示探测头的实时工作位置．在点A，E之间设置一条信号传输缆线，并计划以为直角边设置信号防护架，其中，．为减少海域监测对水下生物活动的影响，需使点F与主缆线路围成的的面积尽可能小，求面积的最小值． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)面积的最小值是 【分析】（1）由求解即可； （2）证明即可； （3）取的中点G，连接，，证明，求出，得到点F的运动轨迹是以点G为圆心，为半径的，过点G作于点H，交于点，当点F与点重合时，最短，此时的边上的高最短，所以面积取得最小值，再根据解直角三角形和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 当点C在线段上时，取得最小值为3； （2）证明：，，， ，．    ∴，              ， ．                     ． ； （3）解：如图，取的中点G，连接，． ，． ∵四边形是矩形， ，． ． ，即， ． ， ，即． ．                     ． ． ∴点F的运动轨迹是以点G为圆心，为半径的．                 过点G作于点H，交于点． 当点F与点重合时，最短，此时的边上的高最短，所以面积取得最小值． 在中，， ．                     ∴在中，， ．                     ． 即面积的最小值是． 20．（2026·陕西榆林·二模）【问题探究】 (1)如图1，在梯形中， ，连接，则 ；（填“”“=”或“<”） (2)如图2，已知的半径为2，点是上一动点，点是外一定点，连接，取的中点，当点在上运动一圈时，求点运动的路径长； 小明同学进行了探究，他连接，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成求解过程． 【问题解决】 (3)某农业观光园的平面规划示意图如图3所示，在四边形中， ，，，，点在边上，且，计划在四边形内修建一口水井，并沿修建三条笔直的灌溉水渠，且满足，在的中点处规划一座有机蔬菜餐厅，观光园的入口设置在边上，出口设置在边上，并沿规划观光小路，在区域种植某种有机蔬菜，为了合理购买蔬菜幼苗的数量，需要知道当取得最小值时，的面积，请你帮助规划人员计算出当取得最小值时，的面积．（水井、餐厅、出入口的大小以及水渠和小路的宽度均忽略不计） 【答案】(1)= (2) (3) 【分析】（1）根据平行线间的距离相等和等底等高三角形面积相等即可得出结论； （2）连接，利用三角形的中位线定理解答即可； （3）连接，取的中点O，连接，由（2）可得点在以B为圆心，为半径的圆上（四边形内）；再将军饮马模型，先作对称然后连线可得当、、、四点在同一直线上时，取最小值，根据勾股定理求出，进而可得，解三角形求出面积即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵，， ∴. （2）连接，如图，    ∵B是的中点，C是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点B的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆； ∴点运动的路径长为 （3）解：连接，取的中点O，连接，如解图3-1，    ∵，， ∴，，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上（四边形内）； 延长到，使，则连接，，如解图3-2； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴当、、、四点在同一直线上时，最小， ∴当、、、四点在同一直线上时，取最小值， 过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．此时最小值为， 21．（2026·陕西汉中·二模）【问题探究】 (1)如图1，P、Q是正方形的对角线上的点，且，连接、，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在梯形中，，为边上一点，且，，是对角线上的两个动点，且，连接、，求的最小值； 【问题解决】 (3)如图3，某地计划在一片空地上修建一个形如平行四边形的森林生态公园，沿其对角线BD修建一条景观水渠，其中，，．现在计划在水渠上找两个点 ，沿修建笔直的健身步道，沿修建笔直的塑胶跑道，已知修建健身步道的费用是20万元，修建塑胶跑道的费用是40万元．请你计算出修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用．（水渠、健身步道及塑胶跑道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)万元 【分析】（1）证明，即可得到； （2）连接、，同理求得，再利用三角形三边关系求解即可； （3）取的中点的中点，连接、，作点关于的对称点交于点，过点作交的延长线于点，连接，利用三角形中位线定理求得，求得，据此求解即可． 在中， 【详解】（1）解：，理由： ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接、， ， ∴， ， ， ， ， ，     ， ∴，， 在中，， ， ∴当位于与的交点处时，取得最小值，最小值为； （3）解：由题意知，修建健身步道与塑胶跑道的总费用． 如图3，取的中点的中点，连接、，作点关于的对称点交于点，过点作交的延长线于点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ，， ， ， ， ，，是的中位线， ， 关于对称， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ． ， 的最小值为， 故修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为万元． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $