专题05 圆（5大考点）（陕西专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦圆的五大核心考点，精选2026年陕西各地二模真题，融合科技（秦岭隧道）、文化（《梦溪笔谈》会圆术、刘徽割圆术）及生活情境（桥洞、门洞），梯度设计基础选择填空与综合解答题。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|8题|垂径定理（桥洞半径计算）、圆周角定理（直径所对圆周角）|结合地域工程案例（终南山隧道）| |填空|10题|圆内接四边形（对角互补）、正多边形面积（割圆术应用）|融入古代数学典籍（《梦溪笔谈》）| |解答|19题|切线判定与性质（12道证明与计算综合题）、圆与三角形综合（动态几何探究）|突出逻辑推理与空间观念，适配中考二模复习需求|

专题05 圆 5大考点概览 考点01圆的基本性质与垂径定理 考点02圆心角、圆周角定理及推论 考点03切线的判定与性质 考点04圆内接四边形 考点05圆与三角形、正多边形 圆的基本性质与垂径定理 考点01 1．（2026·陕西咸阳·二模）桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（   ） A．米 B．米 C．米 D．5米 2．（2026·陕西咸阳·二模）如图，有一个圆弧形的门洞，，上的最高点到水平地面的距离为，则所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·二模）如图，秦岭终南山公路隧道是亚洲最长的公路隧道，位于陕西秦岭山脉之中，其建设技术和规模都处于世界领先水平，是沟通中国南北交通的重要枢纽高速公路．已知隧道的最大高度为，隧道入口宽为，该隧道的截面近似看作一段圆弧，该圆弧所在圆的圆心为，则这个圆的半径是_________． 4．（2026·陕西榆林·二模）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作．其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，、是的半径，点是的中点，连接，于点，“会圆术”给出劣弧的弧长的近似值计算公式：，当时，则的值为______． 圆心角、圆周角定理及推论 考点02 1．（2026·陕西汉中·二模）如图，为的直径，点C、D在上，点为劣弧的中点，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西渭南·二模）如图，内接于，是的直径，点是上一点，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，四边形是的内接四边形，点在劣弧上，且，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西延安·二模）如图，为的直径，点在上，连接、，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，为的直径，点、在异侧的上，，连接、、．若，则的度数为________． 6．（2026·陕西安康·二模）如图，等边三角形和正方形均内接于．若，则的长为_______． 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，是的半径，点D是上一点，连接并延长交于点C，连接．若，，则的度数为___________． 8．（2026·陕西榆林·二模）如图，内接于，是的直径，点D在下方的上，点E为劣弧上一点，连接，若，则的度数为______°． 9．（2026·陕西西安·二模）如图，是的直径，点是上一点，连接，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为______． 10．（2026·陕西西安·二模）如图，为的直径，点，在圆上，且．若，则的度数为______． 11．（2026·陕西商洛·二模）如图，已知内接于，且．连接并延长，交于点，连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（2026·陕西西安·二模）如图，是的直径，弦于点M，连接、，过点C作的垂线交的延长线于点E，延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（2026·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴正半轴上有一点，当最大时，点的坐标为______． 问题解决 （2）某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图2，四边形为水鸟园的建设用地，其中，，，，．根据修建要求，四边形内部为水鸟戏水区，为游客观测点，在边上要修建一段长为的水岸（在上，在下），供水鸟上岸休息的同时方便游客观赏．是否存在满足条件的水岸，使得？如果存在，求出此时的长；如果不存在，请说明理由． 切线的判定与性质 考点03 1．（2026·陕西西安·二模）如图，内接于，且是的直径，是外一点，连接，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，，求的长． 2．（2026·陕西安康·二模）如图，是的外接圆，为的直径，与交于点F，D为延长线上一点，连接，，，． (1)求证：为的切线． (2)若，，半径为4，求长． 3．（2026·陕西渭南·二模）如图，是的直径，内接于，连接，过点B作的切线交的延长线于点D，． (1)求证：； (2)与交于点E，若，，求的值． 4．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，以的中点为圆心，为直径作，与交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 5．（2026·陕西渭南·二模）如图，为的直径，点在的延长线上，过点作的切线，为切点，连接并延长交于点，连接、、、． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求证：． 6．（2026·陕西榆林·二模）如图，内接于，是的直径，且，平分交于点M，过点M作的切线，交的延长线于点N． (1)求证：； (2)若，求的长． 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，是的直径，过点作的切线，连接，，交于点，点是的中点，连接并延长交于点，． (1)求证： ； (2)若，，求的长． 8．（2026·陕西咸阳·二模）如图，为的外接圆，为的直径，与相切于点，交的延长线于点，是上一点，，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．（2026·陕西延安·二模）如图，以的边为直径的分别交边、于点、，过点作的切线交的延长线于点，点为劣弧的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（2026·陕西汉中·二模）如图，在中，以为直径作，恰好为的切线．点为上方上的点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．（2026·陕西西安·二模）如图，是的外接圆，是的直径，过上一点D作于点E，过点C作的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若D为的中点，的直径为10，，求的长． 12．（2026·陕西西安·二模）如图，内接于，是的直径延长线上一点，且满足，过圆心作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 13．（2026·陕西咸阳·二模）如图，是的外接圆，是的直径，过点B作，，连接交于点F，交于点E，过点F作 ，交于点G． (1)求证：FG是的切线； (2)若，，求AE的长． 14．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，点在的边上，连接，以为直径的经过点，过点作，交于点，是的切线． (1)求证：； (2)若，的半径为，求的值． 15．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，是的直径，点A是的中点，的平分线交于点F，过点F作的切线，分别交、的延长线于点E、D． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．（2026·陕西西安·二模）如图，为的内接三角形，且为直径，的角平分线交于点E，交于点D，交的切线于点P． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 17．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，点E在上，连接，以为直径作，交于点D，交于点G，过点E作⊙O的切线交于点F． (1)求证： (2)若，的半径为，求的长． 18．（2026·陕西榆林·二模）如图，是的外接圆，是直径，点是左侧上的一点，连接、，延长到点，连接，是的切线，． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 19．（2026·陕西西安·二模）如图，内接于，为的直径，点F在的延长线上，连接，过点D作交于点E，交于点C，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径等于，求的长． 圆内接四边形 考点04 1．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，四边形内接于，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西渭南·二模）如图，四边形内接于⊙，平分交于点，若，则的度数为____． 3．（2026·陕西榆林·二模）如图，四边形内接于，若，则的度数为________． 4．（2026·陕西西安·二模）如图，为的直径，C为圆上一点，D为上一点，若，则______． 圆与三角形、正多边形 考点05 1．（2026·陕西渭南·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．某同学在学习了“割圆术”后，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为________． 2．（2026·陕西汉中·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，的半径为，则___________．（结果保留和根号） 3．（2026·陕西咸阳·二模）如图，点为矩形内一点，连接、，，，延长交于点，延长到点，连接，使得，则的长为_________． 4．（2026·陕西榆林·二模）问题探究 （1）如图①，在中，点是的中点，连接并延长，请在射线上画出一点，连接，使得； （2）如图②，在中，，连接，点、分别是、的外心，求点、之间的距离； 问题解决 （3）为便于市民休闲，现计划在河边修建一座大型综合性的三角形公园（点、是动点），如图③，是一片荒地，，，，是一条梧桐树步道，是一条沿河跑道．根据规划要求，三角形公园的边经过点，且，，点位于的右侧．为方便沿河跑道上运动的市民能快速进入公园，要把点设置在上．请问点能否在上，如果能，请求出点到的距离；如果不能，请说明理由． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05圆 ☆5大考点概览 考点01圆的基本性质与垂径定理 考点02圆心角、圆周角定理及推论 考点03切线的判定与性质 考点04圆内接四边形 考点05圆与三角形、正多边形 考点01 圆的基本性质与垂径定理 1. (2026陕西咸阳·二模)桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥 洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面AB为6米，拱顶C到水面AB的距离CH为9米，则桥洞的半径为() C H A.23米 B.2V5米 C.4.5米 D.5米 【答案】D 【分析】根据垂径定理得出AH=BH=AB=3米，设桥洞的半径为，则：OH=(9-)米，根据勾股定理 列出关于r的方程，解方程即可. 【详解】解：OH⊥AB, :AH=BH=AB=3(米)， 设桥洞的半径为r,则：OH=(9-r)米， 根据勾股定理得：0A2=AH2+0H2, 即r2=32+(9-r)2, 解得：r=5, 即桥洞的半径为5米， 2.(2026陕西咸阳·二模)如图，有一个圆弧形的门洞，AB=8m,AB上的最高点C到水平地面AB的距离 1/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD为3m,则AB所在圆的半径为() B A.5m 13 B. 6 m C.m D.4m 【答案】C 【分析】因为C是弧AB的最高点且CD垂直AB,所以根据垂径定理CD所在直线必然经过弧AB对应圆的圆心， 且D为AB的中点，设圆的半径为r,那么圆心到弦AB的距离可表示为(r-3),AD的长度为AB的一半即4 ,连接圆心与点A,得到直角三角形，直角边分别为弦长的一半和圆心到弦的距离，斜边为半径，因此可 根据勾股定理建立关于r的一元二次方程，求解得到半径， 【详解】解：设圆心为O,连接0A,OD, CD是弧AB的最高点到AB的距离， .CD⊥AB,AD=BD, .OD⊥AB O、D、C三点共线， 设圆的半径为rm, AB=8m,CD为3m, .0A=0C=r,0D=0C-CD=3-r. B 在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2=AD2+OD2, 代入得：2=42+(3-)2， 解得r=名 :AB所在圆的半径为答m. 3.(2026陕西西安·二模)如图，秦岭终南山公路隧道是亚洲最长的公路隧道，位于陕西秦岭山脉之中， 其建设技术和规模都处于世界领先水平，是沟通中国南北交通的重要枢纽高速公路.已知隧道的最大高度AB 2/56 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为8m,隧道入口宽CD为10m,该隧道的截面近似看作一段圆弧，该圆弧所在圆的圆心为0，则这个圆的半 径是 B 隧道 地面C A地下 【答案】8 【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理，可求出AD,根据勾股定理，则O D2=0A2+AD2,即可. 【详解】解：连接OD,设圆的半径为x ∴.0B=0D=X, AB=8, .0B+0A=X+0A=8, ∴0A=8-X, .CD=10, ..AD=AC=5, 在直角三角形△0AD中，0D2=0A2+AD2, x2=(8-x)2+52, 89 解得：x=16 圆的半径为：6 89 故答案为：16 89 B A 4, (2026陕西榆林·二模)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作.其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如 图，OA、OB是⊙O的半径，点M是AB的中点，连接AB,MN⊥AB于点N,“会圆术”给出劣弧AB的弧长的 近似值计算公式：1=AB+,当0A=5AB=6时，则的值为· 3/56 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 【答案】 【分析】连接OM,根据垂径定理的推论，知OM⊥AB,从而证明M,N,O共线，根据勾股定理求出 0N=4,再求出MN=1,计算求出答案即可. 【详解】解：连接OM,如图所示： M B 点M是AB的中点， .OM⊥AB, MN⊥AB, O、N、M三点在同一直线上， ON⊥AB, AN BN =AB=3, 0A=5, ∴在Rt△AON中，根据勾股定理得：ON=VOA2-AN2=4, .0M=0A=5, MN=0M-0W=5-4=1, 1=AB+=6+{=头 OA 5=5 考点02 圆心角、圆周角定理及推论 1. (2026陕西汉中·二模)如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙0上，点A为劣弧CD的中点，连接 AD,0D,0C,BC.若∠AD0=50°，则∠ABC的度数是() 4/56 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】B 【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理求出LA0D=80°，再根据“同弧（等弧）所对的圆心角相等 得出∠AOC=80°，然后根据圆周角定理得出答案. 【详解】解：LAD0=50°，A0=D0, .∠AD0=∠DA0=50°， ∴.∠A0D=180°-2×50°=80°. ~点A是CD的中点， .∠A0C=∠A0D=80°， ∴LABC=2LA0C=40°. 2.(2026陕西渭南·二模)如图，△ABC内接于⊙0，AC是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，连接BD、 CD,若LCDB=∠ACB,则LACB的度数为() D O A.20° B.25° C.30° D.45° 【答案】D 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得LABC=90°，根据同弧所对的圆周角相等得∠CDB=∠CAB,可得 答案 【详解】解：AC是⊙0的直径， ∴.∠ABC=90°， ∴.∠ACB+∠CAB=90°， 在⊙O中，BC所对的圆周角有∠CDB和LCAB, ∴∠CDB=∠CAB, 5/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又~LCDB=∠ACB, ∴.LACB=∠CAB, .90°=∠ACB+∠CAB=∠ACB+∠ACB=2∠ACB, .∠ACB=45°. 3.(2026陕西宝鸡二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在劣弧AC上，且CE=2AE,连接 DE.若LADE=20°，则LABC的度数为() B A.100 B.130° C.110° D.120° 【答案】D 【分析】连接OA、OE、OC,由圆周角定理得到∠AOE=2LADE,进而求出LAOC的度数，再利用圆周角定 理得到∠ADC=AOC,根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，据此求解即可. 【详解】解：连接OA、OE、OC, ∠ADE=20°， .∠A0E=2∠ADE=40°， CE=2AE, .∠C0E=2∠A0E=80°， .∠A0C=∠A0E+∠E0C=40°+80°=120°， 1 ∠ADC=5∠A0C=×120°=60°， .∠ABC=180°-∠ADC=180°-60°=120°， 4.(2026陕西延安·二模)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙0上，连接BC、OC,过点B作BD‖OC交⊙0 于点D,连接CD,若LABC=20°，则LBCD的度数为() 6/56 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A,50 B.45 C.40° D.30° 【答案】A 【分析】首先根据等腰三角形的性质求出LBOC的度数，然后利用平行线的性质求出LOBD的度数，进而求 出圆心角LBOD的度数，最后根据圆周角定理即可求解 【详解】解：OB=0C,∠ABC=20 .∠OCB=∠ABC=20° .∠B0C=180°-20°-20°=140° .BD OC ∴∠0BD+∠B0C=180° ∴.∠0BD=180°-140°=40° 连接OD D OB=OD .∠0DB=∠0BD=40 .∠B0D=180°-40°-40°=100 LBCD=∠B0D=50°. 5.(2026陕西西安二模)如图，AB为⊙O的直径，点C、D在AB异侧的⊙O上，AD=AC,连接CD、 OC、BD.若LCOB=40°，则∠ABD的度数为 7/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 【答案】70 【分析】连接BC,根据等腰三角形的性质求出LABC=70°，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解即 可 【详解】解：连接BC, ∠C0B=40°，0B=0C ∠ABC=∠0CB=180-40 =70°， 2 .AD=AC, .∠ABD=∠ABC=70° 6.(2026陕西安康二模)如图，等边三角形ABC和正方形DEFG均内接于⊙O.若BC=2V3,则EF的长 为 【答案】2V2 【分析】连接0E、0F、0B、0C,作0H1BC,由题意得∠B0C=120,∠B0H=之B0C=60°，BH=BC= V3,则有0B==2=0B=0F,然后问题可求解 【详解】解：连接OE、OF、OB、OC,作OH⊥BC,如图， 8/56 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 CH ~△ABC是等边三角形， ∠A=60°， .∠B0C=120°， 0B=0C,0H⊥BC,BC=2V3, ∠B0H=∠B0C=60°，BH=BC=V3, 0B= BH sin60° =2=0E=0F, 正方形DEFG内接于⊙O, ∠E0F=90°， .EF =0E2+OF2=22. 7.(2026陕西榆林·二模)如图，OA、OB是⊙O的半径，点D是0A上一点，连接BD并延长交⊙O于点 C,连接AC.若LA0B=70°，∠A=50°，则∠ADB的度数为 【答案】 85 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出C的度数，再根据三角形的外角性 质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求出LADB的度数； 【详解】解：∠A0B=70°， uG=A0B=350 ~∠ADB是△ACD的外角， ∴LADB=∠C+∠A, ∠A=50°， 9/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ADB=35°+50°=85° 8.(2026陕西榆林二模)如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，点D在AB下方的⊙O上，点E 为劣弧BC上一点，连接BE、DE、CD,若LBED=50°，则LACD的度数为°. A D 【答案】 40 【分析】由AB是⊙O的直径得LACB=90°，又LDCB=∠DEB=50°，故可得LACD=40°. 【详解】解：LBED与∠BCD都是BD所对的圆周角， :.∠BCD=∠BED=50° AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° ∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-50°=40° 9.(2026陕西西安·二模)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙O上一点，连接BC,过点C作⊙O的切线交BA 的延长线于点D,若∠D=38°，则∠BCD的度数为， C D B 【答案】116 【分析】连接C0,根据切线的性质可得L0CD=90°，进而求得LC0D=90°-∠D=52°，根据圆周角和圆心 角的关系可得∠B=∠C0D=26°，进而求得∠BCD=180°-∠0BC-∠D=116°. 【详解】解：连接CO, C O 10/56 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD为⊙O的切线， ..OC LCD, ∠0CD=90°， .∠D=38°， ∴LC0D=90°-∠D=52°， :ZB=4C0D=262 .∠BCD=180°-∠0BC-∠D=180°-26°-38°=116°， 10.(2026陕西西安·二模)如图，AB为⊙O的直径，点C,D在圆上，且AC=CD.若∠ABC=32°，则LDAB 的度数为 0 B D C 【答案】26° 【分析】利用直径定理和圆周角定理进行求解. 【详解】解：AB为⊙O的直径， ∴半圆ACB的度数为180°， LABC=32°， ∴AC的度数为64°， AC=CD, .CD的度数为64°， BD的度数为180°-64°-64°=52°， ZDAB=×52°=26. 11,(2026陕西商洛·二模)如图，已知△ABC内接于⊙0，且AB=AC.连接C0并延长，交⊙0于点E, 连接AE,过点B作BD⊥AC于点D,交CE于点F. 11/56 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (I)求证：∠ACE=∠DBC; ②)若an-BAC=,0G=10,求0F的长. 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】(1)由CE为⊙O的直径可得∠CAE=90°，再证明LACB+∠ACE=90°，再由BD⊥AC,可得 ∠BDC=90°，从而得出LACB+∠DBC=90°，最后可得结果； (2)连接BE,过点O作OG1BC于点G,先求得∠BEC=∠BAC,可得an∠BEC=an∠BAC=受，设 BE=2x,则BC=V21x,由中位线性质可得OG=BE=x,CG=BC=x,由勾股定理可列方程x2+ 2 (停°=102，解得x=4,求得0G=4,B=8,BC=42,再证明△EBF-△ABC,可求得 EF=EB=8,最后求得结果， 【详解】(1)证明：~CE为⊙O的直径， .∠CAE=90°， ∴∠ACE+LAEC=90°， ∠AEC=∠ABC,AB=AC, .∠ABC=∠ACB=∠AEC, ∠ACB+∠ACE=90°， BD⊥AC, .∠BDC=90°， ∴LACB+∠DBC=90°， ∴LACE=∠DBC; (2)解：如图，连接BE,过点O作OG⊥BC于点G, 12/56 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ~CE为⊙O的直径， ∠CBE=90°， ∠BEC=∠BAC, tanLBEC tanLBAC=21 2 能-四 21 设BE=2x,则BC=√21x, OG⊥BC, 点G是BC的中点， 点O是CE的中点， 'OG是△BCE的中位线， 0G=2BE=x,CG=BC=②x, 2 在Rt△0CG中，0G2+CG2=0C2, 即2+（受=102，解得x=4《负值已舍去）， 0G=4,BE=8,BC=421, 由(1)知∠ACE=∠DBC, ∴∠DFC=∠DBC+LBCE=LACE+∠BCE=∠ACB, ∠EFB=∠DFC=LACB, 又∠BEC=∠BAC, ∴△EBF一△ABC, 器--1， ..EF EB=8, 0F=0E-EF=0C-EF=10-8=2. 12.(2026陕西西安·二模)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M,连接AD、BC,过点C作AD的垂 线交DA的延长线于点E,延长CE交BA的延长线于点F, 13/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C (I)求证：BC=CF; (②若CD=12,AF=多求BM的长. 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】(I)由题意可得∠BCD=LBAD,∠BAD=∠FAE,推出∠BCD=∠FAE,再根据垂线的定义可得 ∠FEA=90°，∠FMC=∠BMC=90°，利用直角三角形的性质可得LF+∠FAE=∠B+∠BCD=90°，得到 ∠F=∠B,即可证明结论； (2)连接OC,设⊙0的半径为r,则OB=OC=r,AB=2,求出BF=2r+2再根据(1)中BC=CF, 结合CD1AB,可得BM=BF=r+子进而求出M0-子由垂径定理得到CM=6,利用勾股定理建立方程 7 求解即可， 【详解】(I)证明：BD=BD, LBCD=∠BAD, LBAD=∠FAE, ∠BCD=∠FAE, .DE⊥CF,CD⊥AB, .∠FEA=90°，∠FMC=∠BMC=90°， .∠F+∠FAE=∠B+∠BCD=90°， ∴∠F=∠B ..BC=CF; (2)解：连接0C, 14/56 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C B D 设⊙O的半径为r,则0B=0C=r,AB=2r, :.BF =2r+ 7 由(1)知BC=CF, :△BCF是等腰三角形， ,CD⊥AB, :BM=BF=+ 7 M0=BM-OB=年 7 CD⊥AB,CD=12,AB是⊙O的直径， CM=6, 在Rt△0CM中，0C2=CM2+0M2, r2=62+(0 = (负值舍去)， BM=r+子=8， 13. (2026·陕西西安·二模)问题探究 (1)如图1，在平面直角坐标系中，A(2,0),B(4,0),在y轴正半轴上有一点P,当LAPB最大时，点P的坐 标为 问题解决 (2)某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图2，四边形ABCD为水鸟园的建设用地，其中AB=24m, BC=78m,CD=100m,∠B=90,tanC=,根据修建要求，四边形ABCD内部为水鸟戏水区，A为游客 观测点，在CD边上要修建一段长为48m的水岸MN(M在上，N在下)，供水鸟上岸休息的同时方便游客观 赏.是否存在满足条件的水岸MN,使得LMAN=LC？如果存在，求出此时CN的长；如果不存在，请说明 理由， 15/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D M P AB B 图1 图2 备用图 【答案】(1)(0,2W②；(2)存在；CN=42m 【分析】(1)过点A、B作⊙M,且⊙M与y轴相切于点N,连接AN,BN,MN,MA,作MC⊥AB于点 C,在y轴上任取一点Q,点Q与点N不重合，连接AQ,BQ,AQ交⊙M于点D,连接BD,先根据同弧所 对的圆周角相等得出LANB=∠ADB,根据三角形外角的性质得出∠ADB>∠AQB,从而得出 ∠ANB>∠AQB,说明当点P在点N处时LAPB最大，求出此时点N的坐标，即可得出点P的坐标； (2)过点A作AE⊥AB,AE交CD于点E,过点E作EF⊥BC于点F,过点A作AG⊥CD于点G,证明四边 形ABFE为矩形，得出EF=AB=24m,AE=BF,∠AEF=90,解直角三角形求出CF=EF=18m,然后 再求出AG=4×12=48(m),说明点A到CD的距离为48m,作△AMN的外接圆，圆心为O,过点O作0E ⊥MN于点E,连接0M,ON,OA,求出OA+OE=30+18=48(m),说明当LMAN=∠C时，点E在点E 处，且点O在AE上，延长BA,CD,交于点P,解直角三角形求出BP=104m,根据勾股定理求出PC= √BP2+Bc2=130m,再解直角三角形求出PE=64m,最后求出结果即可. 【详解】解：(1)过点A、B作⊙M,且⊙M与y轴相切于点N,连接AN,BN,MN,MA,作MC⊥AB 于点C,在y轴上任取一点Q,点Q与点N不重合，连接AQ,BQ,AQ交⊙M于点D,连接BD,如图所示 .AB=AB, ∴.∠ANB=∠ADB ~LADB为△BDQ的外角， LADB>∠AQB, LANB>∠AQB, 16/56 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当点P在点N处时，∠APB最大， A(2,0),B(4,0), AB=4-2=2,0A=2, .MC⊥AB AC=BC=AB=1,∠MC0=90, 0C=0A+AC=3, ⊙M与y轴相切于点N, ∴MN⊥y轴， ∠MN0=90, :∠MC0=∠MN0=∠CON=90°， 四边形OCMN为矩形， ..MN=OC=3,ON=MC, ∴MA=MN=3, ..MC =MA2-AC2=22, .0N=MC=2N2, 点N的坐标为(0,2V2, 即当LAPB最大时，点P的坐标为(0,2W2: (2)存在； 过点A作AE⊥AB,AE交CD于点E,过点E作EF⊥BC于点F,过点A作AG⊥CD于点G,如图所示： D A B 则∠AGE=∠BAE=∠BFE=90°， ∠B=90°， 四边形ABFE为矩形， EF=AB=24m,AE=BF,∠AEF=90°， ..tanc=3' 17/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CF=EF-18m :.BF=BC-CF=78-18=60(m), ∴AE=BF=60m, ~LAEG+∠CEF=∠CEF+LC=90°， ∠AEG=∠C, tan-AEG=tanC=手 设AG=4x,则EG=3x, .AE=AG2+EG2=5x, 5x=60, 解得：x=12m, AG=4×12=48(m): ∴点A到CD的距离为48m, 作△AMN的外接圆，圆心为O,过点O作OE⊥MN于点E,连接OM,ON,OA,如图所示： D B 0E⊥MN,OM=ON, ME'=NE=MN=24m,∠M0E'=∠NOE'=∠MON, .MNMN, ÷∠MAN=2∠MON, 2 .∠MOE=∠MAN, :LMAN=∠C, LM0E'=∠C, 4 .tanMOE'=tanc= 18/56 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OE' 0E=ME=18m, .0A=0M=V0E2+ME2=30m, .0A+0E'=30+18=48(m), ~点A到CD的距离为48m, ∴当LMAN=∠C时，点E在点E处，且点O在AE上， 延长BA,CD,交于点P,如图所示： 'tanC BP_BP .BP=104m, ..PC=BP2 +BC2 130m, ..tanBPC=BP BC AE =PE 0=提 解得：PE=64m, OE⊥MN, .EN EM =MN =24m, ∴.CN=PC-PE-EN=42m 考点03 切线的判定与性质 1. (2026陕西西安·二模)如图，△ABC内接于⊙0，且AB是⊙O的直径，D是⊙0外一点，连接CD,过 点D作DE⊥AB于点E,DE交BC于点G,∠DCG=∠DGC, 19/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B G (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若⊙0的半径为13，AC=10,CD=8,求CG的长. 【答案】(1)见解析 ②cG-8 【分析】(1)连接0C,利用DE⊥AB可得∠B+∠DCG=90°，又根据等边对等角可得LB=∠OCB,进而可 得LOCB+∠DCG=90°，结论即可论证； (2)通过论证△OAC一△DGC即可得出结论. 【详解】(1)证明：如图，连接0C, DE⊥AB, ∴.∠B+∠BGE=90°， ∠BGE=∠DGC=∠DCG, .∠B+∠DCG=90°， 0C=0B, ∴∠B=LOCB, ∴.∠OCB+∠DCG=90°，即OC⊥CD, ,CD是⊙O的切线 B (2)解：AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∴.∠0CA+∠0CB=90°， .∠OCA=∠DCG, .0A=0C, 20/56 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠OCA=∠OAC=∠DGC=∠DCG, △OAC-△DGC, 6=器 2.(2026陕西安康·二模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BE为⊙O的直径，BE与AC交于点F,D为BE 延长线上一点，连接CD,CE,AE,∠DCE=LDBC. (1)求证：CD为⊙O的切线. (2)若AB=BC,tanD=专 ⊙0半径为4，求BC长， 【答案】(1)见解析 (2)210 5 【分析】(1)连接OC,根据等边对等角和已知两角的关系，得出LDCE=∠BC0,然后根据BE为⊙O的直 径，∠BCE=90°，继而得到∠ECD+LOCE=∠OCE+∠BC0=90即可证明； (2)连接OA,易证△AOB和△COB全等，从而证出BF为角平分线，再根据等腰三角形三线合一，得出 BF⊥AC,再根据互余两角三角函数的关系求出LCOF的正切，得出CF和OF的长，从而求出BF的长，根据勾 股定理求出BC的长即可， 【详解】(1)证明：连接0C, 0B=0C, ∠BCO=∠DBC, 21/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 '∠DCE=∠DBC, .∠DCE=∠BCO, BE为⊙O的直径， .∠BCE=∠BC0+∠OCE=90°， .∠0CE+∠DCE=∠OCD=90°， ~0C为⊙0的半径， CD为⊙O的切线； (2)解：连接0A, .AB=BC,0A=OC,OB=OB, ∴△AOB≌△COB(SSS), .∠ABO=∠CBO, BF为LABC的平分线， .BE⊥AC,即∠BFC=90°， ∠0CF+∠C0D=90°， ∠0CD=90°， ∴.∠D+∠C0D=90°， .∠OCF=∠D tanz0cF=tanD,.即器=专 设CF=3x,0F=4x, 在Rt△C0F中，0C2=0F2+CF2, 42=(3x)2+(4x)2, 解得x=(负值舍去)， 0F=cP=号 BF-0B+0F- 22/56 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BC=CF2 BF2 =12v10 5 3.(2026陕西渭南·二模)如图，AF是⊙O的直径，△ABC内接于⊙0，连接0C、OB,过点B作⊙O的 切线交OC的延长线于点D,∠ACB=∠COB. E (I)求证：ACIBD; (2)0B与AC交于点E,若AF=6,AC=4V2,求tanLCBD的值. 【答案】(1)见解析 a号 【分析】(1)先推导出∠CAB=∠C0B,得到∠ACB=∠CAB,则AB=BC,推导出AC⊥OB,则ACIBD,即可解答 (2)先求出0C=0B=3,CE=AC=2V2,∠0EC=∠BEC=90°，得到0E=V0C2-CE=1,继而推导出 ∠ACB=∠CBD,则an-CBD=tanLACB=是-2=号，即可解答。 BE 2 2 【详解】(1)证明：BC=BC, 1 LCAB=22COB, 1 LACB=24COB, .∠ACB=∠CAB, :.AB=BC, 0B是⊙0的半径， ∴AC⊥OB BD是⊙O的切线， BD⊥OB, ..AC II BD (2)解：AF是⊙0的直径，AF=6,AC=4V2,AC⊥0B, ∴0C=0B=3,CE=2AC=2V2,∠0EC=∠BEC=90, ∴0E=V0C2-CE2=1, 23/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE =0B-0E =2, AC II BD, .∠ACB=∠CBD, tan.CBD=tan-ACB=-器=忌=号 4. (2026陕西榆林二模)如图，在△ABC中，以BC的中点O为圆心，BC为直径作⊙O,与AB交于点D, 连接0D,LBOD=2LA. D (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若BD=4AD=4,求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析 (2)V5 【分析】(1)连接CD,根据圆周角定理可得∠B0OD=2LBCD,再由∠BOD=2LA可得LA=∠BCD,根据BC 是⊙O的直径，可得LBDC=∠ADC=90°，进而可得∠B+∠A=90°，进一步可得LACB=90°，即BC⊥AC, 即可得证： (2)先由∠BDC=∠GDA,∠BCD=∠A,可得△BGD-△CAD,根据相似三角形的性质得器=品即GD2 =BD·AD,再根据BD=4AD=4,可得CD=2,最后根据勾股定理求得BC=2V5,即⊙O的半径为V5. 【详解】(1)证明：连接CD, : BD=BD, ∴.∠BOD=2∠BCD, ∠B0D=2LA, .∠A=∠BCD, 24/56 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC是⊙O的直径， .∠BDC=∠ADC=90°， ∠B+∠BCD=90°， .∠B+∠A=90°， ∠ACB=90°，即BC⊥AC, AC是⊙O的切线， (2)解：∠BDC=∠CDA,LBCD=∠A, △BCD一△CAD, 0-品即G02=BDAD. BD=4AD=4, BD=4,AD=1, .CD2=4×1=4,则CD=2. 在△BCD中，BC=VBD2+CD2=2V5, ⊙0的半径为5 5,(2026陕西渭南·二模)如图，AB为⊙O的直径，点H在AB的延长线上，过点H作⊙O的切线HC,C为 切点，连接CO并延长交⊙O于点D,连接AC、AD、BC、BD. D (I)求证：四边形ACBD为矩形： (2)若AB=2BH,求证：BD=CH. 【答案】(1)见解析 (②)见解析 【分析】(1)根据对角线互相平分可得四边形ACBD为平行四边形.再根据对角线相等，可得四边形ACBD 为矩形； 0C1 (2)由切线的性质得0C1CH,根据sinH=Om=2可得∠H=30,进而证明L0AC=∠H,AC=CH,结合 矩形ACBD中AC=BD即可证明BD=CH. 【详解】(1)证明：~点A、B、C、D均在⊙O上， 25/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .0A=0B,OC=OD, 四边形ACBD为平行四边形. AB和CD均为⊙O的直径， .AB=CD, 四边形ACBD为矩形， (2)证明：AB=2BH, :.0C=0B=BH. CH为⊙O的切线， OC⊥CH,即∠0CH=90°. 在R△0CH中，sinH=8器= ∠H=30°， ∠C0H=90°-∠H=60°， .∠0AC+∠0CA=∠C0H=60°， 0A=0C, ∴∠0AC=∠0CA=30°， .∠OAC=∠H, ∴AC=CH. ~四边形ACBD为矩形， ..AC=BD, :BD CH. 6. (2026陕西榆林二模)如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，且BC=2AC,CM平分LACB交 ⊙O于点M,过点M作⊙O的切线，交CA的延长线于点N, B A (1)求证：MN II AB; (2)若AB=6,求CN的长. 【答案】(1)见详解； 26/56 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)CN=3+2V3, 【分析】(1)已知切线，连半径，连接OM,即可得LOMN=90°，再结合CM平分LACB,通过圆周角定理 可得∠MOA=90°，进而通过同旁内角互补，两直线平行即可证明； (2)根据题干条件BC=2AC,通过三角形内角和可得∠BAC为特殊角60°，通过分段分别将AC和AN放入含60° 角的直角三角形中通过锐角三角函数即可求解 【详解】(1)证明：如解图，连接0M, AB是⊙O的直径， ∴.LACB=90°， CM平分∠ACB, .∠MCA=45°， LM0A=90, MN是⊙O的切线， L0MN=90°， .∠M0A+∠0MN=180°， ..MN II AB; B (2)解：如解图，过点A作AD⊥MN, .∠ADM=90°， 由(1)可知，∠M0A=∠0MN=90°， :四边形AOMD为矩形， .0A=0M, 矩形AOMD为正方形， L0AD=90,AD=0A=2AB=3, .BC 2AC, .∠BAC=2∠CBA, ,∠BAC+∠CBA=90°， 27/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 LBAC=60°， .MN II AB, LDNA=∠BAC=60° MC=AB-Cos∠BAC=6×2=3, AD 3 AN= sin-DNA==2V3, ∴CN=AC+AN=3+2W3. 7.(2026陕西榆林二模)如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线CD,连接AC,AD,AC交⊙O于 点E,点G是BE的中点，连接OG并延长交BC于点F,∠D=∠AEO. G (1)求证：OF II AC; (2若anL0FB=子，BC=6,求BD的长. 【答案】(1)见解析： a号 【分析】(1)根据垂径定理可得0F⊥BE,由直径所对圆周角等于90°可得AC⊥BE,由此即可得出结论； (2)由已知可得LD=∠OAE,由CD是⊙O的切线CD得出LABC=∠DBA=90°，结合等角的余角相等和平 行线性质证明∠BAD=∠C=∠OFB,最后结合正切求边长即可， 【详解】(1)证明：连接EB,交OG于H, B 点G是BE的中点， .OF⊥BE, 又AB是直径， LAEB=90°，即AC⊥BE, 28/56 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OF II AC (2)解：OA=0E, ∠0AE=∠OEA, 又：∠D=∠AE0, ∴.∠D=∠OAE, ~CD是⊙O的切线CD,AB是直径， .∠ABC=∠DBA=90°， ∴.LD+∠BAD=90°，∠C+∠EA0=90° LC=∠BAD, 由(1)得：OF II AC, ∴∠C=∠OFB, .∠BAD=∠C=∠OFB, tan-BAD tanC=tan-OFB= 4B=BC~tanC=6×=4, BD=AB:tan-BAD=4×号=号 8.(2026陕西咸阳·二模)如图，⊙O为△ABD的外接圆，AB为⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B,交AD 的延长线于点C,B是OO上一点，亚=E,连接AE,DB,sin-DAB=子 B (1)求证：∠C=∠E; (2)若AE=2V7,求CD的长. 【答案】(1)见解析 鹏 【分析】(1)根据圆周角定理以及切线的性质即可求证； 29/56 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)连接BEB,设BD=3xAB=4x,则AD=V7,os∠BAD-品=号再由E=配，可得x=受，从而 21 得到AB=214,AD=2号，根据c0sBAD=把=华可得AC=82,即可求解。 2 【详解】(1)证明：AB为⊙O的直径， ..LADB=90, ∴.∠BAD+∠ABD=90°， ,∠ABD=∠E, LBAD+∠E=90°， ~BC与⊙O相切于点B, AB⊥BC,即∠ABC=90°， .∠BAD+∠C=90°， ∴LC=LE; (2)解：如图，连接BE, B AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°，∠AEB=90°， vsln-DAB--0-是 可设BD=3x,AB=4x, .AD=7x, 0 s-BAD=治=￥ 4 .AE BE, 4E=BE=2AB=2V2x=27, 2 x=4 21 AB=2V14,AD=72 21 30/56 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .coS∠BAD= AC4 24=2 AC 4 .AC =82, CD=AC-AD=82-受=2 2 9,(2026陕西延安·二模)如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O分别交边AB、BC于点M、N,过点A作⊙O 的切线AD交CB的延长线于点D,点M为劣弧AN的中点， B (I)求证：AC=BC; (2)若sinD=子BD=4,求AD的长。 【答案】(1)见详解 (2)8 【分析】(1)连接CM,根据圆周角定理得出∠CMA=90°，则∠CMA=∠CMB=90°，根据点M为劣弧AN的 中点，得出LACM=∠BCM,证明△ACM兰△BCM,即可证明AC=BC. (2)根据切线的性质得出∠CAD=90P,则snD=答=，-号求出AC=6,CD=10,再报据勾股定理 即可求解. 【详解】(1)证明：如图，连接CM, D M B AC为⊙O的直径， .∠CMA=90°， 即∠CMA=∠CMB=90°， 点M为劣弧AN的中点， ..AM=MN, 31/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.LACM=∠BCM, .△ACM≌△BCM(ASA), ..AC=BC (2)解：过点A作⊙O的切线AD交CB的延长线于点D, LCAD=90°， ACAC 3 sinD=CD=AC+4=5 解得：AC=6, .CD=6+4=10, .AD =CD2-AC2=8. 10.(2026陕西汉中二模)如图，在口ABCD中，以AB为直径作⊙O,CD恰好为⊙O的切线.点M为AB 上方⊙O上的点，连接BM、CM M (1)求证：∠ABC=45°； (②若BM=8,sin∠BCM=,求BC的长. 【答案】(1)见解析 (2)5V2 【分析】(1)连接OC,根据切线的性质可得OC⊥CD,根据平行四边形的性质可得ABIICD,则OC⊥AB, 进而根据半径相等可得OB=OC,即可得证； (2)连接AM,则∠BAM=∠BCM,根据sinzBAM=sinzBCM,求得AB=10,则OB=5,进而利用勾股定 理，即可求解 【详解】(1)证明：如图，连接0C, M ~CD是⊙O的切线， 32/56 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴OC⊥CD, ~四边形ABCD是平行四边形， .ABIICD ∴0C⊥AB, 0B=0C, ∴△OBC是等腰直角三角形， .∠0BC=45°，即∠ABC=45° (2)解：连接AM,则LBAM=∠BCM, AB是⊙O的直径， .∠AMB=90°， sinBAM sinzBCM =BM AB=5 AB=10, ∴0B=0C=5 ∴在Rt△OBC中，BC=V20B=5V2. 11.(2026陕西西安·二模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过BC上一点D作DE⊥AB 于点E,过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点F, (I)求证：∠DCF=LCDF; (2)若D为BC的中点，O0的直径为10，sin-CDF=等，求CE的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)CE=8V13 5 【分析】本题考查了圆的基本性质，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键。 (1)连接CO,根据DE⊥AB以及CF为⊙O的切线，可得∠DEB=∠OCF=90°，从而得到 ∠EDB+∠0BC=90°，∠DCF+∠OCB=90°，通过C0=OB,得到∠OCB=∠OBC,最后运用等量代换以及对 顶角相等”证得∠DCF=∠CDF; (2)连接CE,过点E作EK⊥CB于点K,先证∠CDF=∠EAC,从而求出BC,由D为BC中点，求得BD的长， 33/56 0学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解 Rt△EDB， ，求出 EB， ，再解 Rt t△EKB， ，求出 EK， KB， ，最后在 Rt△CEK 中，运用勾股定理求出 CE 的长. 【详解】(1)证明：如图，连接 CO， F C D B E ⊙O 是 △ABC 的外接圆， ∴CO=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∵DE⊥AB， $$\therefore \angle D E B = 9 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle E D B + \angle O B C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ∵CF 为 ⊙O 的切线， $$\therefore \angle O C F = 9 0 ^ { \circ } ，$$ 即 $$\angle D C F + \angle O C B = 9 0 ^ { \circ } ，$$ $$\because \angle O C B = \angle O B C ， \angle E D B + \angle O B C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ∴∠DCF=∠EDB， ∵∠CDF=∠EDB， ∴∠DCF=∠CDF； (2)解：连接 CE， ，过点E作 EK⊥CB 于点 K F C. D B E ∵AB 是 ⊙O 的直径， $$\therefore \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ∵DE⊥AB， $$\therefore \angle A E D = 9 0 ^ { \circ }$$ 在四边形 AEDC 中， 34/56 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠ACB+∠CDE+∠DEA+∠EAC=360°， 又~LACB=90°，∠AED=90°， .∠CDE+∠EAC=180°， ,∠CDE+∠CDF=180°， ∴.∠CDF=∠EAC, sinLCDF=写 4 ∴sin-EAC=- 在Rt△ACB中， ∠ACB=90°，sin2EAC=等，⊙0的直径为10， BC=sinEAC×AB=×10=8, D为BC的中点，BC=8, CD=DB=CB=4. LCDF=∠EDB, sin-EDB sinCDF- DE⊥AB, ∠DEB=90°， 在Rt△EDB中， DEB=90,sin-EDB= ,DB=4, :EB=sinzEDB×DB=专×4=G, 4 16 ∴ED=VDB2-EB2= 4-(2-号 .sinB DB ED 12 3 EB 16 4 = COSB DB=- 4 4 EK⊥CB, .∠EKB=90°， 在Rt△EKB中， ZEKB=90%,sinB=cosB=EB= 5 ∴.EK=sinB x EB= 3 4 35/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC=8, .CK=BC-KB=8 64136 25=25 EK⊥CB, ∴.∠EKC=90°， GK= EK- 251 ..CE=CK2+KE2= ..CE 8/13 5 12.(2026陕西西安·二模)如图，△ABC内接于⊙0，D是⊙0的直径AB延长线上一点，且满足 ∠BCD=∠BAC,过圆心O作OEIBC交DC的延长线于点E, B (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若BC=2,AC=4,求DE的长. 【答案】(1)见解析 (2)DE=105 3 【分析】(1)连接OC,由AB是直径得到∠ACB=90°，因此LCAB+∠ABC=90°，又∠BOC=∠OCB, ∠BCD=∠BAC,得到∠BCD+∠OCB=90°，即可证明： (2)根据勾股定理求出AB=VAC2+BC2=25,得到半径A0=B0=AB=V5,证明△BCD一△CAD, 得器-能-设BD=x,则CD=2x,0D=B0+BD=5+x,在t△COD中，根摆勾股定理构造方程， 求出x=2,根据OEBC得到=，即可求解。 【详解】(1)证明：连接0C, 36/56 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB是直径， LACB=90°， LCAB+∠ABC=90°， 0B=0C, .∠BOC=∠OCB ,∠BCD=∠BAC, ∴LBCD+∠0CB=90°，即∠0CD=90°， OC⊥CD, CD是⊙O的切线， (2)解：LACB=90°，AC=4,BC=2, .AB=AC2+BC2=25, M0=B0=AB=5. ∠BCD=∠CAD,∠D=∠D, .△BCD-△CAD, BD BC 21 D=A=4=2 设BD=x,则CD=2x,OD=B0+BD=V5+x, 在Rt△C0D中，0C2+CD2=0D2, (⑤2+(22=（W5+x)2 解得x=5 3 ,CD=5,0D=55, BD=25 3 3 OElBC, DE DO DE 5V5 =09即=， 3 3 37/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴DE=105 3 13.(2026陕西咸阳二模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，过点B作BD⊥AB,BD=AB, 连接AD交⊙O于点F,交BC于点E,过点F作FG BC,交BD于点G. (1)求证：FG是⊙O的切线： ()②若tan-ABC=3DE=6,求AE的长. 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】(1)连接OF,根据题意得出△ABD是等腰直角三角形，再由圆周角定理确定 ∠BOF=2∠BAF=90°，利用平行线的性质即可证明； (2)根据圆周角定理得出∠BAC=90,再由相似三角形的判定和性质得出△BED一△CEA,DE=BD= AE AC AC AB· 然后代入求解即可. 【详解】(1)证明：如图，连接0F, G BD⊥AB,BD=AB, △ABD是等腰直角三角形， ∠BAF=45, ∴.∠B0F=2∠BAF=90°. .FGIBC, ∴∠GF0=180°-90°=90°， 即OF⊥FG, FG是⊙O的切线. 38/56 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：~BC是⊙O的直径， .∠BAC=90°， ∴ACIIBD, .∠D=∠CAE, ∠BED=∠CEA, ∴△BED一△CEA, =4C=4C DE BD AB ~tan-ABC=-专% 1 3 6 AE=2. 14.(2026陕西宝鸡二模)如图，点D在△ABC的边AC上，连接BD,以AD为直径的⊙O经过点B,过点0 作DEIAB,交BC于点E,BC是⊙O的切线. E B (I)求证：∠C0E=∠CBD: ②若BC=25,⊙0的半径为4，求器的值. 【答案】(1)证明见解析 2呢 【分析】(1)连接OB,由圆周角定理可得AB⊥BD,进而由平行线的性质得OE⊥BD,即得 ∠COE+∠ODB=90°，再根据切线的性质得∠CBD+∠OBD=90°，最后根据∠ODB=∠OBD即可求证； (2)利用勾股定理可得0C=VOB2+BC2=6,即得AC=0A+0C=10,再利用△OEC一△ABC解答即可 求解 【详解】(1)证明：如图，连接OB, 39/56 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E AD是⊙O的直径， ∠ABD=90°，即AB⊥BD, .OEllAB, .OE⊥BD, .∠COE+∠ODB=90°， BC是⊙O的切线， .OB⊥BC, .∠0BC=90°， 即∠CBD+∠0BD=90°， 又0D=OB, ∠ODB=∠OBD, LCOE=∠CBD; (2)解：L0BC=90°，0B=4,BC=25, 0C=V0B2+BC2=42+(2⑤2=6， ∴AC=0A+0C=4+6=10, .OEllAB, .△OEC-△ABC, 0E0C63 AB=Ac=0=写 15.(2026陕西宝鸡·二模)如图，BC是⊙O的直径，点A是BC的中点，∠ABC的平分线BF交⊙O于点F, 过点F作⊙O的切线，分别交BA、BC的延长线于点E、D. 40/56 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：BE⊥DE; (2)若BC=4V2,求EF的长. 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】(1)连接OF,根据切线的性质得出OF⊥DE,根据角平分线的定义和等边对等角可得出： ∠BFO=∠ABF=∠OBF,得出BEWOF,然后根据平行线的性质即可得证； (2)连接0A,先求出LA0B=∠A0C=90°，OA=0B=0C=OF=2V2,然后求出∠D=∠ABC=45°，得 出DF=OF=22,OD=4,然后根据平行线分线段成比例求解即可. 【详解】(1)证明：连接0F, DF是⊙O的切线， .OF⊥DE, ,BF平分∠ABC, LABF=∠DBF, 0B=0F, ∠DBF=∠BFO, ∠BFO=∠ABF, ..BEMOF, BE⊥DE: (2)解：连接0A, ~点A是BC的中点， 41/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.LA0B=∠A0C=90°， .BC=42, :.0A=0B=0C=0F=22, ∠ABC=∠F0D=∠D=45°， DF=0F=2V2, 则0D=4, .OFIBE, 器-器 EF=F0=22x22=2. OD 4 16. (2026陕西西安，二模)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，且AC为直径，∠ABC的角平分线交AC于 点E,交⊙O于点D,交⊙O的切线AP于点P D B (I)求证：AD平分∠CAP: (2)若AC=8,CE=2,求BE的长. 【答案】(1)见解析 a 【分析】(1)证明∠CAD=∠CBD=45°，∠DAP=45°，则∠CAD=∠DAP,即可得到结论： (2)连接0D,求出AD=4h2,BD=25.证明△ADE-△BDA,则胎-侣代入数据即可求出答案 【详解】(1)证明：AC为直径， LABC=90°， AP与⊙0相切， LCAP=90°， BP平分LABC, .∠CAD=∠CBD=45°， LDAP=45°， 42/56 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CAD=∠DAP, 即AD平分∠CAP. (2)解：连接OD, D D E B ∴.LA0D=2∠ABD=90°. 0E=2,0A=0D=4, ..AD=42,ED=2\5. LADE=∠BDA,∠DAE=∠DBA, .△ADE一△BDA, 品-器 DB=4D=42=165 DE 2V5 5 BE=DB-DE=165-25=65 5 17.(2026陕西榆林二模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在AB上，连接CE,以CE为直径作 ⊙O,⊙O交AC于点D,交BC于点G,过点E作⊙O的切线交BC于点F. (I)求证：EG=DC ②若CD=3,⊙0的半径为，求CF的长. 【答案】(1)见详解 (2)CF=52 2 【分析】(1)连接ED,根据圆周角定理得出LEDC=90°，即AC⊥ED,又LACB=90°，则EDIBC,得出 LDEC=∠BCE,即可证明EG=DC (2)连接EG, 根据圆周角定理得出LEGC=90°，根据题意可得CE=V5,根据EC=DC,得出EG=CD= V3.在Rt△EGC中，由勾股定理求出CG=V2,根据EF是⊙O的切线，得出LCEF=90°，证明△CGE一△CEF, 43/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则(V⑤2=V2CF,即可解答. 【详解】(1)证明：连接ED, B CE是⊙O的直径， ∠EDC=90°，即AC⊥ED, 又LACB=90°，即AC⊥BC, ..EDBC, ∴∠DEC=∠BCE, ..EG=DC. (2)解：连接EG, CE是⊙O的直径， LEGC=90°， 00半径为号 直径CE=2×5=5, 2 .EG DC, .EG CD=3. 在Rt△EGC中， 由勾股定理：CG=CE2-G2=(⑤2-(V32=V2, EF是⊙O的切线， LCEF=90°， 又LECG=LECF,∠EGC=LCEF=90°， .△CGE一△CEF, 鉴-黑 则CE2=cGCF,即（⑤子=V2.CF, 解得CF=52 2 18,(2026陕西榆林二模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是直径，点E是BC左侧⊙0上的一点，连 44/56 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 接CE、BE,延长EB到点D,连接AD,AD是⊙O的切线，CEIAD. D (1)求证：∠EBC=2LACB; (2)若BD=1,AB=5,求⊙0的半径长， 【答案】(1)见解析 a明 【分析】(1)连接OA,根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=∠BEC=90°，根据平行线的性质可 知∠D=∠BEC=90°，根据切线的定义可知LOAD=∠D=90°，所以可证DAIDE,根据平行线的性质可得 ∠EBC=∠BOA,根据三角形外角的性质可知∠BOA=2∠ACB,等量代换可得：∠EBC=2∠ACB: (2)根据同角的余角相等，可知LBAD=∠0AC,可证△ADB一△CAB,根据相似三角形的性质可得点= BC 1 6 从而可求BC的长度，即⊙0的半径长为 【详解】(1)证明：如下图所示，连接0A, D BC是⊙O的直径， .∠BAC=∠BEC=90°， CEAD .∠D=∠BEC=90°， AD是⊙O的切线， .OA⊥AD, 即∠0AD=∠D=90°， .∠0AD+∠D=180°， .OAlDE, 45/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠EBC=∠BOA, .∠BOA=2∠ACB, ∠EBC=2LACB; (2)解：∠0AD=∠BAC=90°， .∠BAD=∠OAC, 0A=0C, .∠OAC=∠ACB, .∠BAD=∠ACB, ∠D=∠BAC=90°， △ADB△CAB, AB BD BC=AB 即5、1 BC= BC=5, 即⊙0的半径长为号 19. (2026陕西西安·二模)如图，△ABD内接于⊙O,DB为⊙O的直径，点F在BD的延长线上，连接 AF,过点D作DE⊥AF交AF于点E,交⊙O于点C,连接AC,∠BDC=2LC, (1)求证：AF是⊙O的切线： (2)若anc=多⊙0的半径等于 求FD的长， 【答案】(1)见解析 @DF=号 【分析】(1)连接OA,证明A0ICD,证明OA⊥AF,即可得证； (2)根据勾股定理求出AD,AB,证明△ABD一△EAD,求出DE,再证明△OAF一△DEF,即可得解 【详解】(1)证明：连接0A, 46/56 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ∠BDC=2LC,∠AOD=2LC, .∠BDC=∠AOD, .AO lI CD, DE⊥AF于E, .∠DEF=90°， ∴.∠OAF=∠DEF=90°， OA⊥AF, OA为圆O的半径， AF为圆O的切线. (2)解：~B=C,tanC= tanB= BD为圆O的直径， ∴∠BAD=90°， 设AD=X,AB=2x, 在Rt△ABD中，BD=2×=5,AB2+AD2=BD2, x2+(2x)2=52, 解得x=V5(-V5舍去)， AD=5,AB=25, 0A=0D, ∴∠0AD=∠ODA, ,∠0AD+∠DAF=90°， .∠0DA+∠DAF=90°， 又∠ABD+∠ADB=90°， ∴.∠DAF=∠ABD, 47/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠BAD=∠AED=90°， △ABD△EAD, DE=1, ,∠F=∠F,∠DEF=∠OAF, △OAF-△DEF, 0-0 DF DE DF 1 即F+ 4DF- 考点04 圆内接四边形 1. (2026陕西宝鸡·二模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接0B、0C,∠D=110°，∠B0C=120°，则 LABO的度数为() A.10° B.20 C.30 D.40° 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形对角互补求出LABC的度数，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出 LOBC的度数即可得到答案， 【详解】解：~四边形ABCD内接于⊙O, .∠ABC+∠D=180°， ∠ABC=70°； .0B=0C,∠B0C=120°， ∠0BC=∠0CB=180°-B0c=30°， 2 .∠AB0=∠ABC-∠OBC=40°. 2.(2026陕西渭南·二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,CP平分∠BCD交AD于点P,若LA=80°，则∠PCD 的度数为· 48/56 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 【答案】50/50度 【分析】根据圆内接四边形对角互补求出LBCD,再用角平分线的定义求解即可. 【详解】解：四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠A+∠BCD=180°， 又LA=80°， .∠BCD=180°-∠A=100°， 又CP平分LBCD交AD于点P, ∠PCD=2∠BCD=50 21 3.(2026陕西榆林·二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,若LBAD=60°，则LBCD的度数为 B 【答案】120 【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得∠BCD=180°-LBAD. 【详解】解：~四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=60°， .∠BCD=180°-∠BAD=120° 4.(2026陕西西安二模)如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，D为AC上一点，若LA0D=40°，则∠DCB= D B 【答案】110° 49/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】连接AD,由等边对等角并结合三角形内角和定理可得LA=70°，再由圆内接四边形的性质计算即 可得出结果。 【详解】解：如图，连接AD, :∠A0D=40°，0A=0D, ∴LA=180°-∠40D 2 =70°， ×四边形ABCD为⊙O的内接四边形， .∠DCB=180°-∠A=110° 考点05 圆与三角形、正多边形 1. (2026陕西渭南·二模)刘微是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利 用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.某同学在学习了“割圆术”后，作了一个如图所示的圆 内接正十二边形，若⊙0的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为 【答案】12 【分析】过点A作AC10B,垂足为C,根据含30的直角三角形的性质可得AC=0A=1,进而求出△ABC 面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案 【详解】解：如图，过点A作AC⊥OB,垂足为C, B ⊙0的半径为2， ∴.0A=0B=2, 50/56 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “圆的内接正十二边形的中心角为∠40B=36 2=30, .AC=-0A=1, ∴SAA0B=20BAC=1, :圆的内接正十二边形的面积S=12S△40B=12 2. (2026陕西汉中·二模)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”， 利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正八边形的面积S1来近似估 计⊙0的面积S,⊙0的半径为V2,则S-S1= (结果保留π和根号) 【答案】2π-4W2/-4V2+2π 【分析】先连接OD,OE,过点D作DM⊥OE于点M,再根据圆的面积公式求出圆的面积，再通过求出圆的 内接正八边形的中心角，以及勾股定理，得出DM=1,进一步得SADE=兰，最后根据S1=8 SADOE,即可 解答 【详解】解： 如图，连接OD,OE,过点D作DM⊥OE于点M, H D E .∠0MD=90° ⊙0的半径为V2,即0D=0E=V2, ÷S=π×(2)2=2m, ~圆的内接正八边形的中心角为 -=45°， ∠D0E=45°， .∠0DM=90°-45°=45°， .∠D0E=∠0DM=45°， ∴.OM=DM 51/56 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△DOM中， 0D2=0M2+DM2, 即2DM2=(2)2=2, .DM=1, (负值已舍去)， SADOE=0E,DM=i×V2×1= 2 ÷S1=8 SADOE=8×号=4hW2 2 S-S1=2m-42 3.(2026陕西咸阳二模)如图，点E为矩形ABCD内一点，连接AE、BE,AE=CD=V5,BE=2,延长AE 交BC于点F,延长BE到点H,连接AH,使得LH=∠AFB,则AH的长为 D B 【答案】吕 【分析】由题意易得AB=CD=V5=AE,∠ABF=90°，过点A作AG⊥BE于点G,作△ABF的外接圆⊙O, 连接HF,则有BG=GE=1,AG=2,点H在⊙O上，然后可得AH=2FH,HE=HF,设HE=HF=m,则 AH=2m,进而根据勾股定理建立方程进行求解即可. 【详解】解：~四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD=V5=AE,∠ABF=90°， 过点A作AG⊥BE于点G, D G B .BG=GE=BE =1,AG=AB2-BG2=2. 作△ABF的外接圆⊙O,连接HF,如图，则AF为⊙O的直径，由LAHB=∠AFB,可得点H在⊙O上， ∠AFH=∠ABH,∠AHF=90°， .tan∠AFH=tanABH=2,即AH=2FH. 由△ABE为等腰三角形，∠BAE=∠FHE,∠AEB=∠HEF, .△ABE一△HFE, 52/56 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△HEF也为等腰三角形， :.HE HF, 设HE=HF=m,则AH=2m, 在Rt△AGH中，AG2+GH2=AH2,即22+(m+1)2=(2m)2, 解得m=多 A=2m=9 4. (2026陕西榆林·二模)问题探究 图① 图② 图③ (I)如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD并延长，请在射线AD上画出一点P,连接CP,使得 △DCP≌△DBA; (2)如图②，在口ABCD中，∠B=60°，连接AC,AC=6,点O1、O2分别是△ADC、△ABC的外心，求点 01、02之间的距离； 问题解决 (3)为便于市民休闲，现计划在河边修建一座大型综合性的三角形公园AMN(点M、N是动点)，如图 ③，△ABC是一片荒地，∠ABC=90°，AB=2km,BC=1km,AB是一条梧桐树步道，AC是一条沿河跑 道.根据规划要求，三角形公园AMN的边MN经过点B,且MB:BN=2:1,∠MAW=45°，点N位于AB的右 侧.为方便沿河跑道上运动的市民能快速进入公园，要把点N设置在AC上，请问点N能否在AC上，如果能， 请求出点N到A的距离AN;如果不能，请说明理由 【答案】(1)见解析；(2)23，(3)点N能在AC上，AN为3m 【分析】(1)在射线AD上截取DP=AD即可； (2)连接0102、A02、C02、A01,0102交AC于点E,以点02为圆心，A02长为半径作⊙02，根据外心的 定义可得0102垂直平分线段AC,A02=C02,再利用圆周角定理推出△A0102是等边三角形，则01E=02 E,由三角函数求出02E=V3,即可得解； (3)延长AB到D使得DB=AB=1km,连接ND,则AD=3km,证明△ABM一△DBN,推出 2 53/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AND=135°，再根据圆内接四边形的性质和圆周角定理，得出LA0D=90°，当点N与点N'重合时，此时 即为点N所求的位置 过点N作NH⊥BC于点H,NG⊥AD于点G,过点O作OE⊥NH于点E,交AD于点F,则四边形GNHB是矩形， 四边形GNEF是矩形，OP⊥AB,AF=DF=AD=km,证明出△ABC-△AGN,从而设GN=km,则 AG=(2x)km,再利用勾股定理求解即可. 【详解】(1)解：点P的位置如图①所示. D p 图① (2)解：如图②，连接0102、A02、C02、A01,0102交AC于点E,以点02为圆心，A02长为半径作⊙ 02 B 图② ~点01、O2分别是△ADC、△ABC的外心， ∴0102垂直平分线段AC,A02=C02, ÷∠A0201=∠C0201,AE=CE=AC=3, .∠B=609 ∴∠A02C=2∠B=120°， LA0201=∠C0201=A02C=60°，∠02AC=∠02CA=30, 2014C=C0201=30, ∴∠02A01=60°=∠A0201, △A0102是等边三角形， ×AE⊥0102， 54/56 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 01E=02E, AE 在Rt△A02E中，02E=am6o=V3, ∴0102=2V3,即点01、02之间的距离为23 (3)解：如图③，延长AB到D使得DB=AB=1km,连接ND,则AD=3km. M D 图③ MB:BN=2:1, '∠MBA=∠NBD, △ABM一△DBN, .∠M=∠MND '∠MAN=45°， .∠ANM+∠M=135°=∠ANM+∠MND=∠AND, ∠A0D=2(180°-∠AND)=90. 作△ADN的外接圆⊙O,⊙0交AC于点N',连接0A、0D、ON',则∠AOD=2(180°-∠AND)=90°，点N 在劣弧AD上， 当点N与点N'重合时，此时即为点N所求的位置. 过点N作N'H⊥BC于点H,NG⊥AD于点G,过点O作OE⊥N'H于点E,交AD于点F,则四边形GNHB是矩形， 四边形GNEF是矩形，OF1AB,AF=DF=AD=km, 0A=OD,AF=DF, .∠A0F=∠D0F=45°， .∠A0F=∠0AF=45°， .OF=AF=m, 55/56 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .ON=0A=OF2+AF2=32km. 2 ∠ABC=∠AGN'=90°，∠BAC=∠GAN', ∴.△ABC-△AGN', =即=能=2 设GN=xkm,则AG=(2x)km,EN=FG=(复-2xkm,0E=0F+FE=0F+GN=(昼+x)km, 在Rt△OEN中，OE2+EN2=ON2, (+)°+(（任-2x)=(2,解得x=(非正根舍去)， .GN'=km,AG=km, ÷AN=VAG2+GN2=35km. 5 综上，点N能在AC上，点N到A的距离AN为5km, 56/56