专题04 二元一次方程组5大考点（期末真题汇编，广东专用）七年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 汇集广东多地期末真题，系统覆盖二元一次方程组全考点，融合《算法统宗》等传统文化与无人机配送等现代生活情境，梯度设计兼顾基础与综合应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约15题|二元一次方程（组）概念、解的判断|结合地域期末真题，考查概念辨析| |填空|约8题|方程参数求解、解的应用|设置开放型问题，如正整数解列举| |解答|约20题|解法（代入/加减消元）、特殊解法（换元/整体思想）、实际应用（租车/购物方案）、三元一次方程组|融入错题辨析、方案优化等综合题，如“同城跑腿计费”情境题考查建模能力|

专题04 二元一次方程组 高频考点概览 考点01 二元一次方程（组）的概念与解 考点02二元一次方程组的解法 考点03二元一次方程组的特殊解法 考点04 二元一次方程组的实际应用 考点05 三元一次方程组的解法 考点01 二元一次方程（组）的概念与解 1.（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，依据二元一次方程的定义，对各选项逐一判断即可，解题的关键是掌握二元一次方程需满足的三个条件：首先是整式方程，方程中共含有两个未知数，所有含有未知数的项的次数都是． 【详解】解：由二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是的整式方程， 、是不等式，不是方程，不符合定义，不符合题意； 、是代数式，不是等式，不属于方程，不符合定义，不符合题意； 、中含有两个未知数、，含未知数的项次数均为，是整式方程，符合二元一次方程的定义，符合题意； 、中、的次数为，不符合“含未知数的项次数为”的要求，不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·广东省珠海市·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数都为1的整式方程）进行判断． 【详解】解：A．，未知数的项次数是２，故不符合题意； B．是二元一次方程，符合题意； C．，未知数的项次数是２，故不符合题意； D．不是整式方程，故不符合题意； 故选：B． 3．（22-23七年级下·广东惠州·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则_________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义可得，，解方程可以计算出、的值，再算出即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 4.（24-25七年级上·广东·期末）若是关于x、y的二元一次方程，则的值_______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程，根据二元一次方程的定义求出a、b的值，再代入求出的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·广东广州·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据是关于x，y的二元一次方程，得出，解出的值，即可作答． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程 ∴ ∴ 故选：D 6.（24-25八年级上·广东佛山·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程满足的条件是解题关键． 二元一次方程满足的条件：为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1；两个二元一次方程组合成二元一次方程组．根据二元一次方程的形式及其特点逐一判断即可． 【详解】解：A、最高次项的次数是2，故A不符合题意； B、第二个方程不是整式方程，故B不符合题意； C、为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1，故C符合题意； D、整个方程组含有3个未知数，故D不符合题意． 故选：C． 7．（24-25七年级下·广东省潮州市·期末）下列各对数是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将各选项的x和y值代入方程，验证等式是否成立． 【详解】解：A、当时，左边，等于右边，符合条件； B、当时，左边，不等于右边； C、当时，左边，不等于右边； D、当时，左边，不等于右边． 故选：A． 8.（24-25七年级下·广东省韶关市·期末）若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握运算法则，正确求出的值； 把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入，得到：，然后解得：； 故选：D． 9.（24-25七年级下·广东中山·期末）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A．14 B．11 C．7 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，整体代入的思想是解题的关键．把和的值代入方程即可求出与的关系式，然后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，把代入， 得 ∴ 故选：B． 10．（24-25七年级下·广东广州·期末）下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把每个选项的解分别代入方程组进行判断即可． 【详解】解：A．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，左边≠右边，故选项A不是方程组的解； B．把代入方程，左边，右边，左边≠右边；把代入方程，左边，左边=右边，故选项B不是方程组的解； C．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，右边，左边≠右边，故选项C不是方程组的解； D．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入，左边，右边，左边=右边，故选项D是方程组的解． 故选：D． 11．（24-25七年级下·广东省汕头市潮南区·期末）已知是关于，的二元一次方程组的解，那么，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解：使方程组中每一个方程成立的一组未知数的值，是解题的关键；把代入中，即可求解． 【详解】解：由于是关于，的二元一次方程组的解， 所以，解得：； 即，； 故选：B． 12．（24-25七年级下·广东广州·期末）写出关于x，y的二元一次方程的所有正整数解______． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意分别将代入求得的值，结合都是正整数，即可求解． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 其它更小，不是整数， 故正整数解为或 故答案为：或 14．（24-25七年级下·广东·阶段检测）已知二元一次方程组的解是，则☆表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴， ∴， ∴， ∴，，，． 故☆表示的方程可能是． 故选C． 考点02 二元一次方程组的解法 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）将方程写成用含x的代数式表示y的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，掌握代入消元法是解题关键．将含的项移到等式右边即可． 【详解】解：将方程写成用含x的代数式表示y的形式为， 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东·期末）用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到， 故选：B． 3.（24-25七年级下·广东·期末）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的个成员每人完成一步如图所示是个人合作完成方程组的解题过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（　　）    A．甲 B．丙 C．乙和丁 D．甲和丙 【答案】B 【分析】根据代入法求二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 将③代入②得，， 去分母得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 把代入③得，， ∴原方程的解为， 由上述解方程的过程可得，丙同学出错， 故选：． 【点睛】本题主要考查代入法求二元一次方程组，掌握解方程组的方法是解题的关键． 3．（24-25七年级下·广东·期末）在解关于，的二元一次方程组时，如果①②可直接消去未知数，那么和满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求和后直接消去，令的系数为即可． 【详解】解： 得， 可直接消去未知数， 故， 故选D． 【点睛】本题考查了加减消元法解方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． 4．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）关于的方程组的解满足，则的值为_________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了根据方程组的解的情况求参数，根据题意可得方程组，解方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程组的解满足， ∴ 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∴， ∴， 故答案为：8． 5．（25-26八年级上·广东河源·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则________． 【答案】3 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组可得，结合方程组的解也是二元一次方程的解，即可求出常数的值． 【详解】解：， 得，， 解得：， 代入到②，得， 解得：， 方程组的解为， 由题意得，也是方程的解， ， 解得：． 6．（22-23八年级上·广东·期末）若关于、的二元一次方程组的解、为为相反数，则__． 【答案】 【分析】方程组两方程相加表示出，根据求出的值即可． 【详解】解：， ①②得：， 由题意得：， 可得， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 7．（25-26八年级上·广东梅州·期末）解方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接运用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 将代入得， 解得：， ∴． （2）解：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入得， 解得：， ∴原方程组的解为． 8．（25-26八年级上·广东·期末）已知关于x，y的三个方程：①；②；③ (1)请从上述方程中任选两个，组成一个二元一次方程组________； (2)求（1）中二元一次方程组的解． 【答案】(1)（或或 (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）选取①②，①③，②③，即可组成二元一次方程组； （2）选取①②，②③利用代入消元法解方程组，选择①③用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：组成的二元一次方程组为或或； 故答案为：（或或）； （2）解：， 由②得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； ， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； ， 由②得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 9．（25-26八年级上·广东佛山·期末）错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养． 小明解方程组的过程如表所示： 解：由，得：③  ……第一步 ，得：  ……第二步 把代入①，得：  ……第三步 ∴原方程组的解为  ……第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】第二步是消元，依据见解析，小明的解答过程不正确，正确的过程见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法解答即可． 【详解】解：第二步是消元； 消元的依据是：等式的性质1或等式的两边都加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式． 小明的解答过程不正确，正确过程如下： 解：得：③， 得：， 将代入①得：， 即， ∴原方程组的解为． 10.（24-25七年级下·广东汕头·期末）已知关于x，y的方程组． (1)方程的正整数解有：______； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)若x，y满足，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程的解及二元一次方程组，一元一次不等式，熟练掌握相减知识是解答本题的关键． （1）由得，根据均为正整数可确定的值； （2）联立方程组，解得，代入，求出的值即可； （3）解方程组得，根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵均为正整数， ∴方程的正整数解为，； 故答案为：，； （2）解：联立方程组，解得， 将代入， ∴， 解得； （3）解：解方程组得， ∵， ∴， ∴． 11.（24-25七年级下·广东广州·期末）【阅读材料】 已知：实数满足，且，求的值． 对于上述问题，三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于的方程组，再求的值． 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求的值． 丙同学：先解方程组，再求的值． 【解决问题】 (1)请你选择___________（用“甲”“乙”或“丙”填空）同学思路，写出解答过程． (2)试说明在关于的方程组中，不论取什么实数，的值始终不变． 【答案】(1)乙（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）选择不同同学的思路，解方程即可； （2）将第一个方程两边同乘2再与第二个方程相加并计算即可． 【详解】（1）解：选择甲同学的思路， ， ①②得， 把代入①可得， 解得， 方程的解为， ， 解得； 选择乙同学的思路， 将原方程组中的两个方程相加得， 整理得：， ， ， 解得：； 选择丙同学的思路， ， ①②得， 把代入①，可得， 解得， 方程的解为， 则， 解得． 故答案为：乙（答案不唯一）． （2）解：， ①②得：， 整理得：， 即不论取什么实数，的值始终不变． 12.（24-25七年级下·广东广州·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可；联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， ②①得， 将代入①得， 解得： 方程组的解为： （2）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为，解得， ∴把代入可得，即，，∴． 考点03 二元一次方程组的特殊解法 1.（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知二元一次方程组，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，把两个方程相加即可求解，掌握整体法是解题的关键． 【详解】解：， ①②，得， 即， ∴， 故选：． 2.（24-25八年级上·广东梅州·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答．本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川内江·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，由题意可得，解方程组即可求解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 【详解】解∶∵方程组的解是， ∴方程组中， 解得：． 故选：A 4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知二元一次方程组的解为，那么的解为___． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法． 通过变量代换，将原方程组化为与已知方程组相同的形式，利用已知解直接求解即可． 【详解】解：设，则原方程组化为：， 整理得：， 令，则：， ∵该方程组与已知方程组形式相同，且已知解为， ∴， 所以，解得， ，解得， 故原方程组的解为． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·广东梅州·期末）已知关于，的方程组和有相同的解，那么的平方根是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据已知条件，知，的值适合四个方程，故可以联立解方程组，求得，的值后，再联立解方程组，从而求解． 【详解】解：根据题意得， 解得， 把代入含有，的两个方程得， 解得， 则，2的平方根是． 故选：B． 6．（25-26八年级上·广东清远·期末）已知二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，关键是通过观察方程的系数特征选择简便方法求解的值．可以直接将两个方程相减，利用对应未知数系数的差快速得到的结果，该方法无需单独求解、的具体值，效率更高；也可以先解出、的取值，再代入计算． 【详解】解：， ②①，得， 即． 7.（24-25七年级下·广东省潮州市·期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入方程①可得的值，将代入方程②可得的值； （2）利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入方程得：， 解得； 将代入方程得：， 解得． （2）解：由（1）得：原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 8.（24-25七年级下·广东·期末）已知方程组，王芳看错了方程①中的a得到方程组的解为，李明看错了方程②中的b得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】原方程组的解为 【分析】本题考查了解二元一次方程组错题复原问题．根据没看错的方程和方程的解代入可求得的值，然后还原方程组，根据加减或代入消元法求解即可． 【详解】解：由题意得，解得， ，解得， 代入可得， 解得． 9.（24-25七年级下·广东湛江·期末）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：设， 则原方程组可化为， ， 解得：； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解得：， ， 解得． 10.（24-25七年级上·广东·期末）在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用整体法解二元一次方程组； （1）设，，则方程组可化为，再进一步解方程组即可； （2）设，，则方程组可化为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：的解为， 的解为， 设，， 则方程组可变为：， ，解得：． （2）解：设，， 则可变为：， 的解为， 的解为， 即， 解得： 考点04 二元一次方程组的实际应用 1.（24-25七年级下·广东珠海·期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据一间客房住7人，那么有6人无房可住可得方程，根据一间客房住8人，那么就空出一间客房可得方程，据此列出方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 2.（24-25七年级下·广东广州·期末）《孙子算经》是中国南北朝数学著作，是《算经十书》之一，书中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．如果设绳子长x尺，木头长y尺，那么所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题中的等量关系是解题的关键． 根据题意，设绳子长尺，木头长尺．第一个条件“余绳4．5尺”表示绳子比木头长4．5尺，即；第二个条件“对折后量木头，木头剩余1尺”说明木头比对折后的绳子长1尺，即，据此即可解答． 【详解】解：设绳子长为尺，木头长为尺． 由题意可得． 故选D． 3.（24-25七年级下·广东汕头·期末）垂直式停车位形状为长方形，若一个停车位长比宽多，周长为，设长为，宽为，则由题意可列得方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，读懂题意，找准等量关系准确列出各个方程是解决问题的关键．设长为，宽为，根据题意，停车位为长方形，由长比宽多3米得，周长为16米得，建立方程组即可得到答案． 【详解】解：设长为，宽为， 则由题意可得， 故选：C． 4．（24-25七年级下·广东阳江·期末）某学校计划开发一块试验田作为劳动教育实践基地．通过初步设计，该实践基地由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成（如图）．经测量，该实践基地的宽为80米．设小长方形的长为米，宽为米，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设每块小长方形地砖的长为，宽为， 由题意得：， 故选：A． 5．（24-25七年级下·广东·期末）已知卫星的轨道周长比卫星的轨道周长多千米，卫星轨道周长的倍比卫星轨道周长的倍多千米．设卫星的轨道周长为千米，卫星的轨道周长为千米，则列出的方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意建立方程组，首先确定卫星轨道周长与卫星轨道周长的关系，再根据第二个条件列出第二个方程。 【详解】解：设卫星的轨道周长为千米，卫星的轨道周长为千米，根据题意得 故选：D． 6.（24-25七年级下·广东·期末）《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．设李三公家的店有个房间，来了位客人，由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设李三公家的店有个房间，来了位客人， 若每间住人，则余下人无房可住，则， 若每间住人，则余下一间无人住，则， ， 故选：C． 7．（24-25八年级上·广东深圳·期末）《算法统宗》是我国古代数学著作，书中记载了这样一个问题，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，那么下面列出的方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，建立等量关系是解题关键．根据题意列方程组即可． 【详解】解：根据题意列方程组得，， 故选： C． 8.（24-25八年级上·广东佛山·期末）有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，根据“将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小；又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小”，可列出关于、的二元一次方程，解之即可求出结论． 【详解】解：设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为， 根据题意得：， 解得：， 原来的数为， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·广东佛山·期末）某生态柑橘园现有柑橘24吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．其中型车租金是1000元／辆，型车租金是700元／辆，已知满载时：1辆型车和1辆型车一次可运5吨柑橘；4辆型车和3辆型车一次可运18吨柑橘． (1)满载时这两种类型的货车一次可以分别运多少吨柑橘？ (2)若计划A、B两种型号的货车都租用（每种至少一辆）一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，怎样租车才能最省钱？ 【答案】(1)每辆型车满载时一次可运柑橘3吨，每辆型车满载时一次可运柑橘2吨 (2)最省钱方案是租用6辆型车，3辆型车，花费8100元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设满载时1辆A型货车一次可以运x吨柑橘，1辆B型货车一次可以运y吨柑橘，根据“用1辆A型车和1辆B型车一次可运柑橘5t；用4辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘18t”列出二元一次方程组，解方程即可得解； （2）设租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，根据柑橘24吨，结合（1）的结论，列出二元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设每辆型车满载时一次可运柑橘吨，每辆型车满载时一次可运柑橘吨，由题意可得： ， 解得：， 答：每辆型车满载时一次可运柑橘3吨，每辆型车满载时一次可运柑橘2吨． （2）解：设租用型车辆，型车辆，由题意可得： ， ∴ 均为正整数， ， 当时，总费用：（元）； 当时，总费用：（元）； 当时，总费用：（元）； ∴最省钱方案是租用6辆型车，3辆型车，花费8100元． 10．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知：用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨；用5辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货31 吨，某物流公司现有35 吨货物，计划同时租用A型车 a辆，B型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A车运3吨，1辆B车运4吨 (2)租用1辆A，8辆B或租用5辆A，5辆B或租用9辆A，2辆B (3)租用1辆 A，8辆B，最少租车费为2120元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的解，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设1辆A车运x吨，1辆B车运y吨，根据题意列方程组，然后解方程组即可解答； （2）根据题意，租用a辆 A，b辆B，满足：，结合a、b值为非负整数确定a、b值即可； （3）分别求出每个方案的租车费用，比较大小后可得答案． 【详解】（1）解：设1辆A车运x吨，1辆B车运y吨， 根据题意，列方程组： 解得， 答：1辆A车运3吨，1辆B车运4吨； （2）解：根据题意，租用a辆 A，b辆B，满足：， ∵a、b为非负整数， ∴或或， 故有三种租车方案：租用1辆A，8辆B或租用5辆A，5辆B或租用9辆A，2辆B； （3）解：租金：A：200元/次，B：240元/次， 计算各方案费用： 租用1辆A，8辆B费用为（元）， 租用5辆A，5辆B费用为（元）， 租用9辆A，2辆B费用为（元）， ∴最省钱方案为租用1辆 A，8辆B，最少租车费为2120元． 11.（24-25七年级下·广东广州·期末）学校要购买、两种品牌的足球，若买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元；若买个品牌足球和个品牌足球，则需要花费元． (1)求、两种品牌的足球的销售单价； (2)学校拟购买、两种品牌的足球共个，某体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案：所购买的商品一律打九折； 方案：若购物总价超过元，超过元部分的支付金额打七折． 若学校购买品牌足球个，品牌足球个时，则按“方案”需要花费______元，按“方案”需要花费______元 若学校购买的这个足球中品牌的足球有个，且按照“方案”支付比按照“方案”支付的花费更少时，求最多可以买几个品牌的足球． 【答案】(1)品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元； (2)①，；②最多可以买个品牌的足球． 【分析】（1）设品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元，根据“买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元；买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用“总价单价数量”，结合商店给出的两种优惠方案，即可求出选择各方案所需费用；根据按照“方案”支付比按照“方案”支付的花费更少，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元； （2）根据题意得：按“方案”需要花费元； 按“方案”需要花费元． 故答案为：，； 根据题意得：， 解得：， 又为非负整数， 的最大值为． 答：最多可以买个品牌的足球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需费用；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 12.（23-24八年级上·广东·期末）为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． (1)根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：    乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． (2)从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 【答案】(1)工程队用时的天数；工程队整治道路的总长度 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，联系上下文得甲：表示工程队用时的天数，乙：表示工程队整治道路的总长度；即可作答． （2）分别解出甲乙两个的方程组，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，甲：表示工程队用时的天数， 乙：表示工程队整治道路的总长度； （2）解：选第一种：， 解得， 答：工程队用时10天，工程队用时20天； 选第二种：， 解得：， 工程队用时：， 工程队用时：， 答：工程队用时10天，工程队用时20天． 13.（24-25七年级下·广东广州·期末）近年来，中国低空经济发展迅速，成为经济增长的新动能．2024年某外卖公司在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供应急救援等商品货物配送服务．某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元． (1)求该商店在无促销活动时A，B商品的销售单价分别是多少元？ (2)为鼓励游客使用无人机配送服务，该商店现开展促销活动，有两种方案． 方案一：若消费者用250元购买无人机配送服务卡，凡购买店内任何商品，一律按标价的七五折出售； 方案二：若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（）．求当a在什么范围内时，选用无人机配送服务更合算？ 【答案】(1)该商店在无促销活动时A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元； (2)当时，选用无人机配送服务更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店在无促销活动时A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元，根据“某商店在无促销活动时，买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；买8件A商品，5件B商品，共需2280元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据选用无人机配送服务更合算，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再结合，即可确定结论． 【详解】（1）解：设该商店在无促销活动时A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：该商店在无促销活动时A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元； （2）解：根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴． 答：当时，选用无人机配送服务更合算． 14.（24-25七年级下·广东惠州·期末）根据以下素材，探索完成任务． “同城跑腿急送”，让你的生活更便利 素材1 “同城跑腿急送”送件费用为起送费用、里程费用与重量费用的和，具体计费方式如右． 起送费用 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费，每单10元． 里程费用 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里程费用为每千米a元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元．（实际里程不足1千米，按1千米计算．例如送件实际里程为7.3千米，按8千米算，即计价里程为8千米） 重量费用 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重量费用为每千克b元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元．（实际重量不足1千克，按1千克计算．例如送件实际重量为6.4千克，按7千克算，即计价重量为7千克） 素材2 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务： 甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；另送一件里程10千米，送件重量7千克，费用26元． 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克． 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克小于10千克，总费用是25元． 解决问题 任务1 请你确定的值． 任务2 帮助乙计算这单跑腿需要的费用． 任务3 确定丙这单跑腿的计价里程以及计价重量． 【答案】任务1：； 任务2：69元； 任务3：丙这单跑腿的计价里程为8千米，计价重量为8千克． 【分析】本题考查了的二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，处理表格所给的信息列出方程组是解题的关键． 任务1：根据甲的配送信息列出二元一次方程组运算求解即可； 任务2：根据乙的计价里程和计价重量列式运算即可； 任务3：设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克，分类讨论列式运算即可． 【详解】任务1： 解：由题意可以列出方程组， 解得：； 任务2：由题意可知乙的计价里程和计价重量分别为千米，千克， ∴乙的这单跑腿费用为（元）； 任务3：设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克（，）， ①若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意； ②若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意； ③若，时，跑腿费用为， 整理得，即， ∵为偶数， ∴代入验证可得， 即丙这单跑腿的计价里程为8千米，计价重量为8千克． 考点05 三元一次方程组的解法 1.（25-26七年级上·广东广州·期末）某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜______场、平______场、负______场． 【答案】 6 2 3 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．设胜场数为x，平场数为y，负场数为z，根据总场数、总得分和负场与胜场的关系列出方程组，即可求解． 【详解】解：设胜x场、平y场、负z场，根据题意得： ， 解得：， 答：胜6场、平2场、负3场． 故答案为：6，2，3 2.（24-25七年级下·广东汕头·期末）受新冠疫情影响，学校复学后为尽量减少学生排队打饭的时间，决定采取班级统一预订，学生即领即走的方式，餐费在晚餐后按实际用餐情况进行结算． 食堂提供了6元三明治、12元盒饭和15元盒饭三种选择． 某班根据同学预订情况，将本班同学分成3组，A组：午餐晚餐都吃12元盒饭，B组：午餐晚餐都吃15元盒饭，C组：午餐吃15元，晚餐吃12元盒饭，预计一天的餐费是1 449元． 第一天午餐时，B组有一名同学自带了午餐，A组有一名同学正好没吃饱，就吃了B组同学的那份午餐；晚餐时，C组有部分同学除了预订的晚餐，还每人买了1份三明治；当天统计后发现三个组的实际餐费正好一样多，若C组人数不少于14人，则该班的总人数是_______人． 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，弄清数量关系，正确列出方程是解题的关键．设A组有x人，B组有y人，C组有z人， C组有w人另买三明治，则，，且，得到①，A组实际总餐费为元，B组实际总餐费为元，C组实际总餐费为元，得到即②，即③，进一步得到，求出，把代入②和③得到，即可得到答案． 【详解】解：设A组有x人，B组有y人，C组有z人， C组有w人另买三明治，则，，且， 预计总餐费为 即① A组实际总餐费为元，B组实际总餐费为元，C组实际总餐费为元， 即② 即③ 把②③代入①得到，， ∴ ∵为整数， ∴为的倍数， ∵为整数， ∴， 把代入②和③得到， ∴ 即总人数为人， 故答案为： 3．（24-25七年级下·广东东莞·期末）解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是利用代入消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组进行求解． 通过观察方程组中方程的特点，利用代入消元法，逐步消去未知数，先求出一个未知数的值，再依次求出其他未知数的值． 【详解】解： 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， ∴方程组的解为． 4．（24-25七年级下·广东阳江·期末）【问题提出】已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是先解方程组，再将解得的x，y的值代入整式求值． 此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系； 本题还可以通过适当变形，求得该整式的值，如由可得． 这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为 ； 【问题迁移】 （2）已知的解满足，求m的非负整数解； 【问题探究】 （3）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； 【问题解决】 （4）甲、乙、丙三种商品，如果购买1件甲商品、2件乙商品、2件丙商品共需135元，购买3件甲商品、1件乙商品、1件丙商品共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少元？ 【答案】（1）2；（2）非负整数解为1、0；（3）见解析；（4）购买甲、乙、丙三种商品各1件共需75元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用，解一元一次不等式； （1）由，即可求解； （2）依据题意，，得，则，又，故，进而计算即可判断得解； （3）由，得，即可求解； （4）设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，根据题意，列出方程组，可求得，，即可求解． 【详解】（1）解： ， 得，， 故答案为：2； （2）解： ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴m的非负整数解为1、0； （3）解： ， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变； （4）解：设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，则 ， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴，即， ∴． 答：购买甲、乙、丙三种商品各1件共需75元． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 专题04 二元一次方程组 ☆高频烤点概览 考点01二元一次方程（组）的概念与解 考点02二元一次方程组的解法 考点03二元一次方程组的特殊解法 考点04二元一次方程组的实际应用 考点05三元一次方程组的确解法 目目 考点01 二元一次方程（组）的概念与解 1.(25-26八年级上·广东佛山·期末)下列各式中，是二元一次方程的是() A.x-y>I B.x+3y C.2x-y+1=0 D.x2-2xy-1=0 2.(24-25七年级下·广东省珠海市期末)下列方程中，是二元一次方程的是（) A.x2-2y+1=0 B.3x-y=5 C.2xy-x=10 D.x-1- y 3.(22-23七年级下广东惠州期末)若xm-2+3y3n-m=9是关于x,y的二元一次方程，则m+n= 4.(24-25七年级上广东期末)若(a-3)x+y-8=0是关于x、y的二元一次方程，则a+b的值 5.(23-24七年级下.广东广州期末)若(m-2024)x2023+(n+4)y外3=2025是关于x,y的二元次方程， 则() A.m=±2024，n=±4 B.m=-2024,n=-4 C.m=2024,n=4 D.m=-2024,n=4 6.(24-25八年级上广东佛山期末)下列方程组中，是二元一次方程组的是() x-2y=4 x+y=5 x-y=1 2x+y=3 A. B C D. y=6 十 x+3y=4 x+z=4 x y 7.(24-25七年级下·广东省潮州市期末)下列各对数是二元一次方程x+3y=2的解的是() x=-4 x=1 x=0 A. B x=2 y=2 y=-2 y=-1 D, y=3 x=2 8.(24-25七年级下·广东省韶关市·期末)若 ,是关于x,y的二元一次方程mx+y=3的解，则m的值 y=-1 1/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 为() A.1 B.-1 C.-2 D.2 x=2 9.(24-25七年级下·广东中山期末)已知 =3是关于，y的二元一次方程m+少=7的解，则代数式 4m+6n-3的值是() A.14 B.11 C.7 D.4 2x-y=3 10.(24-25七年级下广东广州·期末)下列各组值中，是二元一次方程组 的解的是() x+3y=19 x=5 x=7 x=3 x=4 A y=7 B. y=4 y=3 D. y=5 x=1 11.（24-25七年级下·广东省汕头市潮南区·期末)已知 =2是关于x,)的二元一次方程组 ax+y=0 x+by=1的 解，那么a,b的值分别为() A.a=2,b=0 B.a=-2,b=0 C.a=2,b=1 D.a=-2,b=1 12.(24-25七年级下·广东广州期末)写出关于x,y的二元一次方程x+2y=5的所有正整数解 14.(24-25七年级下广东·阶段检测)已知二元一次方程组 x+y=1 x=-1 的解是 ,则口表示的方程可能 ☆ y=a 是() A. x-y=3 B.x-2y=4 C.2x-y=-4 D.2x+3y=-4 目目 考点02 二元一次方程组的解法 1.(24-25七年级下广东广州期末)将方程2x+y=4写成用含x的代数式表示y的形式为() A.y=-2x+4 B.y=2x+4 C.y=- r+4 D.=42 2x-y=4① 2.(24-25七年级下·广东·期末)用代入消元法解二元一次方程组 4r+3y=182时，由①变形可得到() A.y=2x+4 B.y=2x-4 C.y=-2x+4 D.y=-2x-4 3.(24-25七年级下·广东·期末)老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4个成员每人完成一步如 图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是() 2/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 老师 甲 乙 丙 2x+3y=8,① 由①，得x= 将③代入②，得 去分母，得 解得y=1.由 3x-5y=5.② 8-3y ③ 3× 8-3y -5y=5. 2 2 24-9y-10y=5. ③， 5 得x二立 A.甲 B.丙 C.乙和丁 D.甲和丙 3.(24-25七年级下·广东期末)在解关于x,y的二元一次方程组 6x+my=3① 时，如果①+②可直接 2x+y=-6② 消去未知数y,那么m和n满足的条件是() A.m=n B.m·n=1 C.m+n=1 D.m+n=0 x+2y=2 4.(24-25七年级下·广东肇庆期末)关于x,y的方程组 的解满足2x+y=7,则k的值为 3x-5y=2k+1 3x+y=7m 5. (25-26八年级上·广东河源期末)若关于x,y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 x-y=m x+y=9的解，则n= 6. (22-23八年级上·广东·期末)若关于x、y的二元一次方程组 x+3=3的解xy为为相反数， 3x+y=k+1 则k=一 7.（25-26八年级上·广东梅州期末)解方程组： 「x-y=5 002x-y=8 x+1=2(y-) ②3x-1+y=-1 2 8. (25-26八年级上广东·期末)已知关于x,y的三个方程：①2x+y=14;②3x=18;③x+3y=12 ()请从上述方程中任选两个，组成一个二元一次方程组 (2)求(1)中二元一次方程组的解， 9.(25-26八年级上·广东佛山期末)错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠 正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养. 小明解方程组 2x-y=3① 5x-2y=4② 的过程如表所示： 3/13 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 解：由①×2，得： 4x-2y=3③第 一步 ②-③，得：x=1 …第二步 把x=1代入①，得： y=-1.第三步 .原方程组的解为 x=1 y=-1 第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否 正确？若不正确，请写出正确的解答过程 2x+y=5 10.(24-25七年级下·广东汕头期末)已知关于x,y的方程组 x-2y=3m+2 (1)方程2x+y=5的正整数解有： (②)若方程组的解满足x+y=1,求m的值； (3)若x,y满足x>2y,求m的取值范围， 11.（24-25七年级下·广东广州期末)【阅读材料】 [7p+6q=13k+7 已知：实数p,9满足p+q=3,且 ,求k的值， 6p+7g=6 对于上述问题，三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 7p+6g=13k+7 甲同学：先解关于p,9的方程组 6p+7g=6 ，再求k的值. 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值。 丙同学：先解方程组 p+9=3 (6p+7g=6’ 再求k的值. 【解决问题】 (1)请你选择 (用“甲“乙”或“丙”填空)同学思路，写出解答过程. 4/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)试说明在关于xy的方程组 x+2y=6-0中，不论取什么实数，x+y的值始终不变. x-y=2a 12.(24-25七年级下·广东广州期末)定义：关于x,y的二元一次方程ax+by=c(其中a≠b≠c)中的常 数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by=c“变更方程”为cx+y=a. (1)求方程3x+2y=4与它的“变更方程”组成的方程组的解： (2)已知关于x,y的二元一次方程ax+y=c的系数满足a+b+c=0,，且ax+by=c与它的“变更方程”组成 的方程组的解恰好是关于x,y的二元一次方程mx+y=p的一个解，求代数式(m+n)m-p(n+p)+2025的 值； 目目 考点03 二元一次方程组的特殊解法 x+2y=5 1.(24-25七年级下·广东东莞期中)已知二元一次方程组 2x+y=7' 则x+y的值为() A.2 B.4 C.5 D.6 2.(24-25八年级上·广东梅州期末)若关于x,y的二元一次方程组 3x-y=4m+1。 x+y=2m-5的解满足r-y=5,则 m的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 2a-3b=13 a=8.3 3.(24-25七年级下·四川内江期中)若方程组 3a+56=30.9的解是6=12，则方程组 2(x+2)-3y-1=13 3(x+2)+5y-1=30.9的解是() x=6.3 x=8.3 x=9.3 x=10.3 A. B. C D. y=2.2 y=1.2 y=0.2 y=2.2 ax+2b=y x=1 4.(25-26八年级上广东佛山期末)已知二元一次方程组 3ax+b=y 的解为 =3'那么 a2x-1)+2b+1=y 3a2x-1)+b=y-1 的解为一· [4x-y=-5「3x+y=-9 5.(23-24八年级上广东梅州期末)已知关于x,y的方程组 ar+=-1和 3ar+4hy=18有相同的解。 那么√a+b的平方根是() 5/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.±V2 C.√2 D.±2 x+2y=4 6.(25-26八年级上广东清远期末)已知二元一次方程组 2x+y=5’ 求x-y的值 ax-4y=-6① 7.(24-25七年级下广东省潮州市·期末)甲、乙两人同解方程组 5x=by+10② 时，甲看错了方程①中的Q, x=3 x=-1 解得 y=1' 乙看错了方程②中的b,解得 y=2· (I)求正确的a,b的值； (2)求原方程组的正确解. ax+5y=15① 8.(24-25七年级下·广东·期末)已知方程组 4x+y=122’王芳看错了方程①中的a得到方程组的解为 =4:李明看错了方程②中的b得到方程组的解为 x=5 x=4 y=51 求原方程组的解。 3(2x+y)-2(x-2y)=26 9.(24-25七年级下·广东湛江·期末)我们在解二元一次方程组 2(2x+川+3x-2列=13时，若假设 2x+y=m ,则原方程组可化为 2m+3n=13,解之得 3m-2n=26, m=8 n=-1'即 2x+y=8 x-2y=n -2y=-1'解之得 x=3 y=2'在上面的 解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元 法. ax+by=6 ()已知关于x、y的二元一次方程组 br+ay=3的解为=-2 =4,求关于m、的二元一次方程组 a(m+n)+b(m-n)=6 b(m+mj+am-m=3的解， x+y_x-Y=4 (2)请用上面的换元法解方程组{23 2(x+y)+x-y=16 2x+3y+4x-3y=7 3 2 10.(24-25七年级上：广东·期末)在解方程组{ 2x+3y+4x-3y=5 时，某同学发现：如果直接用代入消元 4 3 法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x-3y分别看作一个整体， 6/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 m+=7 m=12 m=12 通过换元：设m=2x+3y、n=4x-3y,可以将原方程组化为 32 m+”=5 解得 n=6,把 =6代入 4 3 2x+3y=12 x=3 x=3 m=2x+3y、n=4x-3y,得 4r-3y=6，解得 所以原方程组解为 y=21 3x+by=1 x=1 3x-2)+b(y+2)=1 (1)若方程组 ax+y=6的解为 y=1 则方程组 的解为 a(x-2)+(y+2)=6 ； 1 ax+by=G的解 x=k y=k-2'其中k为常数. 3a(x++2(y-2到=4 (2)若方程组 求方程组 的解。 ax+bay=c 3a,(x+1+b,(y-2=9 目目 考点04 二元一次方程组的实际应用 1.(24-25七年级下·广东珠海期末)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来 到店中，一房七客多六客，一房八客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人 无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、 y的二元一次方程组正确的是() [7x-6=y 7x-6=y A. B 8x-1=y 8(x-1=y [7x+6=y 7x+6=y D. 8x-1=y 8(x-1)=y 2.(24-25七年级下·广东广州期末)《孙子算经》是中国南北朝数学著作，是《算经十书》之一，书中记 载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何.”意思是：用一根绳子 去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺.如果设绳子长x 尺，木头长y尺，那么所列方程组正确的是() x-y=4.5 x-y=4.5 y-x=4.5 x-y=4.5 A. +y=1 D 2 -y=1 -y=1 二1 y-2 3.(24-25七年级下·广东汕头期末)垂直式停车位形状为长方形，若一个停车位长比宽多3m,周长为16m ,设长为xm,宽为m,则由题意可列得方程组为() x-y=3 B y-x=3 A. x+y=16 x+y=16 7/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 x-y=3 y-x=3 C. D. 2(x+y)=16 2(x+y)=16 4.(24-25七年级下·广东阳江·期末)某学校计划开发一块试验田作为劳动教育实践基地.通过初步设计， 该实践基地由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成（如图）·经测量，该实践基地的宽为80米.设 小长方形的长为x米，宽为y米，则可列方程组() 80米 x+y=80 x+y=80 A. B 2x=x+3y 2x=x-3y x-y=80 x-y=80 C. D. 2x=x+3y 2x=x-3y 5.(2425七年级下·广东·期末)己知A卫星的轨道周长比B卫星的轨道周长多3200千米，B卫星轨道周长 的5倍比A卫星轨道周长的3倍多76000千米.设A卫星的轨道周长为x千米，B卫星的轨道周长为y千米， 则列出的方程组可以是() y-x=3200 y-x=3200 A. B 5x-3y=76000 5y-3x=76000 x-y=3200 x-y=3200 D. 5x-3y=76000 5y-3x=76000 6.(24-25七年级下·广东·期末)《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三 公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店， 来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家 的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有x个房间，来了y位客人，则可以列出的方程组为 () 7x-7=y 7x-7=y 7x+7=y 7x+7=y A. B. C. D 9(x-1)=y 9x+1=y 9(x-1)=y 9(x+1=y 7.(24-25八年级上·广东深圳期末)《算法统宗》是我国古代数学著作，书中记载了这样一个问题，大意 是：100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头.问大小和尚各有多少人？ 设大和尚有x人，小和尚有y人，那么下面列出的方程组中正确的是() 8/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 携新年三治国 新 新 算 孜 税宗 古先王 有浦氏命首制焉 全 算 思编 2 成 斋名 x+y=100 x+y=100 x+y=100 x+y=100 A B x C D. 3x+3y=100 +3y=100 3x+=100 +=100 3 33 8.(24-25八年级上·广东佛山期末)有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小144， 又知原来的三位数的百位上的数的7倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小4，则原来的数是 9.(25-26八年级上·广东佛山期末)某生态柑橘园现有柑橘24吨，计划租用A,B两种型号的货车将柑 橘运往外地销售.其中A型车租金是1000元/辆，B型车租金是700元/辆，己知满载时：1辆A型车和 1辆B型车一次可运5吨柑橘；4辆A型车和3辆B型车一次可运18吨柑橘， (1)满载时这两种类型的货车一次可以分别运多少吨柑橘？ (2)若计划A、B两种型号的货车都租用（每种至少一辆）一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，怎样租车 才能最省钱？ 10.(25-26八年级上·广东梅州阶段检测)已知：用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨； 用5辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货31吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车 α辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物. 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (②)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租 车费。 11.(24-25七年级下·广东广州期末)学校要购买A、B两种品牌的足球，若买2个A品牌足球和3个B品牌 足球，需要花费600元；若买1个A品牌足球和4个B品牌足球，则需要花费550元. (I)求A、B两种品牌的足球的销售单价： (②)学校拟购买A、B两种品牌的足球共20个，某体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案1：所购买的商品一律打九折： 9/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 方案2：若购物总价超过1500元，超过1500元部分的支付金额打七折. ①若学校购买A品牌足球6个，B品牌足球14个时，则按“方案1”需要花费 元，按“方案2”需要花 费元 ②若学校购买的这20个足球中A品牌的足球有☑个，且按照“方案1”支付比按照“方案2支付的花费更少时， 求最多可以买几个A品牌的足球。 12.(23-24八年级上·广东·期末)为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由 A,B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天，求两 工程队用时的天数 (1)根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： x+y=0 x+y=▣ 甲： 乙： 15x+10y=▣ 1510 =0 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数x的含义： 甲：x表示 ;乙：x表示 (②)从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题 13.(24-25七年级下·广东广州期末)近年来，中国低空经济发展迅速，成为经济增长的新动能.2024年某 外卖公司在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供应急救援等商品货物配 送服务.某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件 B商品，共需2280元 (①)求该商店在无促销活动时A,B商品的销售单价分别是多少元？ (②)为鼓励游客使用无人机配送服务，该商店现开展促销活动，有两种方案。 方案一：若消费者用250元购买无人机配送服务卡，凡购买店内任何商品，一律按标价的七五折出售； 方案二：若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售。 某科技公司计划在促销期间购买A,B两款商品共30件，其中A商品购买a件(0<a<30),求当a在什 么范围内时，选用无人机配送服务更合算？ 14.(24-25七年级下·广东惠州期末)根据以下素材，探索完成任务. “同城跑腿急送”，让你的生活更便利 素 “同城跑腿急送”送件费用 起 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费， 材 为起送费用、里程费用与 送 每单10元. 重量费用的和，具体计费 费 10/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 方式如右. 用 里 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里 程 程费用为每千米a元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元. 费 (实际里程不足1千米，按1千米计算.例如送件实际里程为7.3 用 千米，按8千米算，即计价里程为8千米) 重 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重 量 量费用为每千克b元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元. 费 (实际重量不足1千克，按1千克计算.例如送件实际重量为6.4 用 千克，按7千克算，即计价重量为7千克) 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务： 甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；另送一件里程10千米，送件重量7千克，费用 素 26元. 材 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克 2 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克小 于10千克，总费用是25元. 解决问题 任 务 请你确定a,b的值. 1 任 务 帮助乙计算这单跑腿需要的费用. 2 任 务 确定丙这单跑腿的计价里程以及计价重量， 3 11/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点05 三元一次方程组的解法 1.(25-26七年级上·广东广州期末)某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮， 胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分.某校队所负场数是胜的场数的)，结果共得20分，则该校 队胜 场、平 场、负 场 2.(24-25七年级下·广东汕头期末)受新冠疫情影响，学校复学后为尽量减少学生排队打饭的时间，决定 采取班级统一预订，学生即领即走的方式，餐费在晚餐后按实际用餐情况进行结算.食堂提供了6元三明 治、12元盒饭和15元盒饭三种选择.某班根据同学预订情况，将本班同学分成3组，A组：午餐晚餐都 吃12元盒饭，B组：午餐晚餐都吃15元盒饭，C组：午餐吃15元，晚餐吃12元盒饭，预计一天的餐费是 1449元.第一天午餐时，B组有一名同学自带了午餐，A组有一名同学正好没吃饱，就吃了B组同学的那 份午餐；晚餐时，C组有部分同学除了预订的晚餐，还每人买了1份三明治；当天统计后发现三个组的实 际餐费正好一样多，若C组人数不少于14人，则该班的总人数是 人 a+b=3 3. (24-25七年级下·广东东莞期末)解方程组{4a-c=7 a+b+c=0 4.(24-25七年级下·广东阳江期末)【问题提出】己知实数x,y满足 3x-y=5① 2.x+3y=7② 求7x+5y的值. 本题常规思路是先解方程组，再将解得的x,y的值代入整式求值. 此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系： 本题还可以通过适当变形，求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y=19. 这种解题思想就是通常所说的整体思想”.解答下面问题： 3x+2y=5 (1)已知方程组 x+y=3,则2x+y的值为： 【问题迁移】 -x-2y=1-3m① (2)已知 的解满足x+y≥0，求m的非负整数解； 3x+4y=2m② 【问题探究】 2x-2y=4a-1 (3)请说明在关于x,y的方程组 x+2y=2-a 中，无论a取何值，x+y的值始终不变； 【问题解决】 12/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)甲、乙、丙三种商品，如果购买1件甲商品、2件乙商品、2件丙商品共需135元，购买3件甲商品、 1件乙商品、1件丙商品共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少元？ 13/13